Grundlegendes zu Kategorien

Grundleendes zu Kateorien Jonathan Zachhuber 26. pril 2011 Der Vortra orientiert sich weitläui an [W05]. Manche nsätze sind aber aus [Kü09] und [HS90], sowie aus [MM07]. Deinition 1 (Kateorie): Eine Kateorie C besteht aus zwei Klassen 1 : Den Objekten Ob(C) und den Peilen r(c). Jedem Peil ist ein Paar Objekte (, ) zueordnet und man schreibt :. Haben wir zwei Peile : und : C, ordern wir die Existenz eines dritten Peils : C, die Verkettun von nach (ot einach nur ). Des Weiteren ordern wir 1. ür jedes Objekt die Existenz eines Identitätspeils id : mit ür beliebie Peile :, sowie id = id = 2. die ssoziativität der Peile, also dass ür :, : C und h: C D h ( ) = (h ) ilt. Wir ordern nicht, dass die Gesamtheit aller Peile eine Mene bildet; ist dies der Fall so sprechen wir von kleinen Kateorien. In dem Fall ist auch die Gesamtheit aller Objekte eine Mene, da jedes Objekt einen Identitätspeil besitzt. Wir ordern allerdins, dass ür zwei este Objekte, die Gesamtheit der Peile von nach eine Mene bildet und nennen diese Hom(, ) (manchmal ordert man das nicht und nennt solche Kateorien lokal klein). Sei : ein Peil. Gibt es einen Peil :, so dass = id und = id, so nennen wir und Isomorphismen. Die Objekte und nennen wir in dem Fall isomorph. 1 u Klassen wollen wir an dieser Stelle nicht enauer einehen. Für unsere Zwecke enüt es, sich Klassen als eine rt Verallemeinerun von Menen vorzustellen, die nur Menen enthalten düren. Dadurch vermeidet man die Probleme, die bei Russels Paradoxon autauchen und die Gesamtheit aller Menen bildet eine Klasse. Wer sicherehen möchte, dass so tatsächlich alle Probleme elöst werden können und man sich keine weiteren Soren machen muss, kann das zum eispiel in dem bschnitt 0.2 Foundations in [HS90] nachlesen. 1

eispiel 2 (Kateorien): eispiele ür Kateorien sind zum eispiel Set, die Kateorie der Menen, in der die Objekte Menen und die Peile bbildunen sind, Grp, die Kateorie der Gruppen mit Homomorphismen als Peilen, und Top, die Kateorie der topoloischen Räume mit stetien bbildunen als Peilen. Das sind alles roße Kateorien, denn in jedem Fall bildet die Gesamtheit der Objekte keine Mene mehr. Man kann aber auch sehr kleine Kateorien deinieren, so zum eispiel eine mit nur einem einzien Objekt und Hom(, ) = id. Ein weiteres interessantes eispiel ist das Folende: Sei M eine Mene und eine Teilordnun au M. Dann können wir daraus eine Kateorie C bauen mit Ob(C) = M und ür zwei Elemente, aus M setzten wir { Hom(, ) = sonst. Ween der Transitivität von lieert uns das tatsächlich eine Kateorie und zum ersten Mal eine, in der die Morphismen keine bbildunen sind. Deinition 3 (Opposite Kateorie): Sei C eine Kateorie. Dann deinieren wir eine Kateorie C op, die dieselben Objekte hat, in der wir einen Peil : aus C aber als : auassen; wir ordern also ür alle Objekte und aus C, dass Hom C (, ) = Hom C op(, ). Wir nennen die Kateorie C op die opposite Kateorie zu C. Deinition 4 (Initiales/Terminales Objekt): Sei C eine Kateorie. Ein Objekt T mit der Eienschat, dass es ür jedes Objekt enau einen Peil von nach T ibt, nennen wir terminales Objekt. Das Objekt T hat in C op nun die Eienschat, dass es zu jedem anderen Objekt enau einen Peil von T nach ibt. Ein Objekt mit dieser Eienschat nennen wir initiales Objekt. eispiel 5 (Initiales/Terminales Objekt): In Grp ist die triviale Gruppe sowohl initiales als auch terminales Objekt; in der Kateorie der Rine ist Z initiales Objekt und der Nullrin terminales Objekt. Satz 1 (Eindeutikeit Terminales Objekt): Sei C eine Kateorie. Wenn es in C ein terminales Objekt ibt, so ist dies bis au eindeutie Isomorphie bestimmt. eweis: Seien T, T terminale Objekte. Dann ibt es, da T terminales Objekt ist, enau einen Morphismus : T T und da T auch ein terminales Objekt ist, enau einen Morphismus : T T. Weiterhin ibt es ür die terminalen Objekte immer nur enau einen Morphismus in sich selbst, nämlich die jeweilie Identität. Das lieert = id T und = id T, womit und Isomorphismen sind. Da es insesamt nur einen Morphismus zwischen den beiden ab, ibt es insbesondere auch keinen weiteren Isomorphismus. 2

Deinition 6 (Mono-/Epimorphismen): Sei C eine Kateorie, : ein Peil in C. Dann nennen wir einen Monomorphismus, wenn x = y = x = y. nalo nennen wir einen Epimorphismus, wenn x = y = x = y. eispiel 7 (Mono-/Epimorphismen): In Set entsprechen die Monomorphismen den injektiven und die Epimorphismen den surjektiven bbildunen. Das macht man in la i als Übunsauabe. In Grp ilt das enauso, das ist aber etwas auwendier zu zeien 2. Das stimmt aber nicht immer, denn zum eispiel ist in der Kateorie der Rine die Einbettun i: Z Q (als Rinhomomorphismus) sicherlich nicht surjektiv, aber trotzdem ein Epimorphismus, denn: Seien und zwei Morphismen von Q in irendeinen Rin R mit i = i, dann ilt ür a b Q: ( a b ) = (a) (1 b ) = (a) (b) 1 = (a) (b) 1 = ( a b ), da und au Z leich sind, also tatsächlich =. Deinition 8 (Funktor): Seien C und D Kateorien. Ein Peil F : C D heißt Funktor, wenn er jedem Objekt C aus C ein Objekt F (C) (oder F C) in D zuordnet und 1. Peilen : aus C Peile F : F F zuordnet, 2. F (id ) = id F () ilt und 3. ür Peile : und : C ilt: F ( ) = F F. eispiel 9 (Cat): Da wir jetzt Peile zwischen Kateorien deiniert haben und die Verkettun von zwei Funktoren wieder ein Funktor ist, können wir nun versuchen eine Kateorie aus der Gesamtheit aller Kateorien zu basteln. Da wir in der Deinition von Kateorien eordert hatten, dass die Gesamtheit aller Objekte eine Klasse bildet und die Gesamtheit aller Morphismen zwischen zwei esten Objekten eine Mene bildet, müssen wir uns hier au kleine Kateorien beschränken 3. Die Kateorie Cat hat also kleine Kateorien als Objekte und Funktoren zwischen solchen als Peile. Für zwei kleine Kateorien, ist Hom(, ) also eine Mene, da es sich um eine Teilmene von bb(ob(), Ob()) handelt. Man kann es sich auch anz leicht machen und sich überleen, das Cat eine Unterkateorie von Set ist, denn jede kleine Kateorie C entspricht einach einer Mene {Ob(C), r(c)} und ein Funktor zwischen zwei Kateorien ist einach eine bbildun zwischen den entsprechenden Menen, die sich zusätzlich an ewisse Verträlichkeitsreeln hält. 2 Siehe daür zum eispiel: eispiel 1.1.8 in [Kü09]. 3 Wer das nicht möchte, benötit das Konzept der Quasikateorien. Näheres dazu indet man wieder in [HS90] au Seite 39. 3

Deinition 10 (Kontravariant/Kovariant/voll/treu): Einen Funktor F : C op D nennen wir einen kontravarianten Funktor von C nach D. Entsprechend eht F op von C nach D op. Manchmal nennen wir Funktoren von C nach D auch kovariant. Wir nennen einen Funktor F : C D treu, wenn er au den Morphismenmenen injektiv ist. Wir nennen ihn voll, wenn er au den Morphismenmenen surjektiv ist. eispiel 11 (Veriss-Funktor/Hom-Funktor): 1. Ist C eine Kateorie, deren Objekte Menen mit einer bestimmten Struktur sind (z.. Grp oder Top), so ibt es den Veriss-Funktor F : C Set, der den Objekten ihre Menen und den Morphismen die entsprechenden bbildunen zuweist. 2. Sei C eine Kateorie. Für die Gesamtheit aller Morphismenmenen, deren Elemente als Ursprun haben, schreiben wir Hom(, ), entsprechend ür die Gesamtheit aller, deren Elemente als Ziel haben, Hom(, ) und ür alle einach Hom(, ). Dies lieert uns einen Funktor in zwei Variablen von C nach Set, indem wir ür ein estes Objekt { Ob(C) C Hom(, C) Ob(Set) Hom(, ): Hom(C, D) [ ] Hom(Hom(, C), Hom(, D)) deinieren. Das ist nach Konstruktion ein kovarianter Funktor. nalo konstruieren wir ür estes den kontravarianten Funktor: { Ob(C) C Hom(C, ) Ob(Set) Hom(, ): Hom(C, D) [ ] Hom(Hom(D, ), Hom(C, )). Deinition 12 (Natürliche Transormation/Äquivalenz): Seien C, D Kateorien, F, G Funktoren von C nach D. Wir nennen λ: F G eine natürliche Transormation von F nach G, wenn λ eine Klasse von Peilen λ C : F C GC, C Ob(C) ist, so dass ür jeden Peil : C C das olende Diaramm kommutiert: F C F λ C GC G λ C F C GC Wenn jedes λ C ein Isomorphismus ist, nennen wir λ eine natürliche Äquivalenz. eispiel 13 (idualraum): Ein eispiel ür eine natürliche Transormation kennt man aus der linearen lebra: Wir betrachten die Kateorie C aller K-Vektorräume und den 4

Funktor F : C C, der ein Objekt V Ob(C) au den zuehörien idualraum V = Hom(Hom(V, K), K) und einen Homomorphismus Φ Hom(V, W ) au Hom(V, W ) Φ : µ [λ µ(λ Φ)] schickt. Wir deinieren nun ür jedes V eine bbildun η V : V V, die ein Element au den Einsetzunshomomorphismus schickt η V : v [λ λ(v)] V und stellen est, dass ür einen beliebien Vektorraum W und Hom(V, W ), v V, sowohl η W (v) = [λ (λ )(v)], als auch (da µ hier nur auswertet) η V (v) = [λ (λ )(v)] ilt, also das olende Diaramm kommutiert: v λ λ(v) V η V V W η W W (v) λ (λ )(v) Es handelt sich bei der Gesamtheit der η V also um eine natürliche Transormation η : id F. eispiel 14 (Funktor-Kateorien): Sei D eine Kateorie und C eine kleine Kateorie. Dann bildet die Gesamtheit aller Funktoren von C nach D die Kateorie Func(C, D) mit den natürlichen Transormationen als Peilen. Wenn nun F und G zwei Funktoren von C nach D sind, bildet die Gesamtheit aller natürlichen Transormationen von F nach G tatsächlich eine Mene, denn: C ist eine kleine Kateorie, Ob(C) ist also eine Mene, daher ist die Gesamtheit der Mölichkeiten, die es an einem einzelnen Objekt C ür eine natürliche Transormation ibt, auch nur eine Mene (da Hom(F (C), D(C)) eine Mene ist). Sei nun H ein dritter Funktor und λ: F G und µ: G H natürliche Transormationen. Dann können wir µ λ: F H bilden, in dem wir µ und λ an jeder Komponente verketten. Wir schreiben ür Func(C, D) ot auch D C und ür den Hom-Funktor Nat(F, ) ür einen Funktor F : C D. Deinition 15 (Äquivalenz): Zwei Kateorien C, D nennen wir äquivalent, wenn es einen Funktor F : C D ibt, der volltreu ist, und es ür jedes Objekt aus D ein Objekt aus C ibt, so dass F () isomorph zu ist. 5

Satz 2 (Äquivalenz von Äquivalenz): Seien C, D Kateorien. Dann sind äquivalent: 1. C ist äquivalent zu D. 2. Es ibt Funktoren F : C D und G : D C, so dass F G natürlich äquivalent zu id D ist und G F natürlich äquivalent zu id C ist. eweis: Zuerst sei C äquivalent zu D, es ebe also einen Funktor F : C D, der volltreu ist und zusätzlich elte Ob(D) Ob(C) : F () =. Dann wählen wir uns ür jedes Ob(D) ein solches und nennen es G(). Weiterhin wählen wir ür jedes Objekt einen zuehörien Isomorphismus λ : F () = F (G). Nun sei D ein weiteres Objekt aus D und : D ein Morphismus. Dann sehen wir an olendem Diaramm, D λ λ D FG() FG(D) λ D λ 1 dass wir so einen Morphismus λ D λ 1 Hom(F (G), F (GD)) erhalten und da F volltreu ist, lieert uns das enau einen Morphismus G() Hom(G(), G(D)) mit FG = λ D λ 1. Dadurch wird G zu einem kovarianten Funktor von D nach C (dass tatsächlich G( ) = G G ilt, kann man leicht mit Hile der Tatsache, dass F ein Funktor und volltreu ist, zeien, es ist nur sehr viel Schreibarbeit). Nun müssen wir nur noch zeien, dass GF und FG natürlich äquivalent zu den entsprechenden Identitäten sind. Nach Konstruktion von G ilt soort, dass FG natürlich äquivalent zu id D ist, denn ür jedes, und war FG ja erade so konstruiert, dass das olende Diaramm kommutiert: λ FG() λ FG() FG = λ λ 1 uch GF ist natürlich äquivalent zu id C, denn: Seien, Objekte aus C, :. Dann ilt nach Konstruktion von G, dass F () = FGF (), denn es ibt ür jedes den oben konstruierten Isomorphismus λ F : F FG(F ) Hom(F (), F (GF )) 6

und da F volltreu ist, lieert uns das enau einen Isomorphismus Φ Hom(, GF ), so dass F (Φ ) = λ F (). Damit kommutiert jetzt aber ür das olende Diaramm, Φ Φ GF () GF GF () da nach Konstruktion von G FG(F ) = λ F () F λ 1 F () ilt und, da F volltreu ist, lieert uns das GF = Φ Φ 1, wie ewünscht. Nun elte die 2. ussae: Wir haben also zwei Funktoren F und G deren Verkettunen natürlich äquivalent zu den Identitäten sind, es ibt also natürliche Äquivalenzen λ: id C GF und η : id D FG. Für ein Objekt C aus C bzw. D aus D bezeichne λ C : C GF (C) bzw. η D den entsprechenden Isomorphismus. Wir zeien zunächst, dass F volltreu ist, dass es also ür Objekte, aus C eine ijektion Hom(, ) Hom(F, F ) ibt. Seien also, Hom(, ) mit F = F. Dann ilt insbesondere auch GF = GF und unsere natürliche Äquivalenz λ lieert λ λ GF () GF GF () also = λ 1 GF λ und analo = λ 1 GF λ. Da aber GF = GF, olt daraus schon =. Damit ist F au den Morphismenmenen injektiv. Es ehlt noch die Surjektivität: Dazu stellen wir est, dass ür zwei Objekte, aus D durch η eine ijektion der Morphismenmenen durch Hom(, ) FG = η η 1 induziert wird. Diese aktorisiert als Hom(FG(), FG()) Hom(, ) G Hom(G(), G()) F Hom(FG(), FG()), also ist F surjektiv ür alle Objekte im ildbereich von G. Das enüt aber, denn wir können ja immer zu den GF und GF überehen, deren Morphismenmene durch λ bijektiv der von und entspricht und die im ildbereich von G lieen. Zur letzten ussae: Sei ein beliebies Objekt in D. Dann ist durch η isomorph zu F (G), also ist G() ein solches Objekt. 7

eispiel 16 (Yoneda-Einbettun): Sei C eine Kateorie, : in C. Dann induziert durch Verkettun eine natürliche Transormation von Hom(, ) nach Hom(, ): Sei C ein beliebies Objekt aus C. Dann erhalten wir λ C Hom(Hom(, C), Hom(, C)) durch λ C : Hom(, C) ϕ ϕ Hom(, C). Sei nun C ein weiteres Objekt aus C und ψ : C C. Das ild von ψ unter dem Hom-Funktor ist dann zum eispiel Hom(, ψ): Hom(, C) α ψ α Hom(, C ), und das olende Diaramm kommutiert λ C Hom(, C) Hom(, C) Hom(, ψ) Hom(, ψ) λ C Hom(, C ) Hom(, C ) ψ ψ denn: Sei Hom(, C). Dann ilt und enauso Hom(, ψ) λ C () = Hom(, ψ)( ) = ψ λ C Hom(, ψ)() = λ C (ψ ) = ψ, womit λ wie behauptet eine natürliche Transormation der Hom-Funktoren ist. So erhalten wir einen kontravarianten Funktor von C nach Func(C, Set), indem wir ein Objekt C au Hom(C, ) und einen Peil Hom(, ) au die induzierte natürliche Transormation λ: Hom(, ) Hom(, ) schicken. Diesen Funktor nennen wir die Yoneda-Einbettun. Das verallemeinern wir jetzt. Satz 3 (Yoneda-Lemma): Sei C eine Kateorie, F : C Set ein kovarianter Funktor. Dann ibt es ür jedes Objekt C aus C eine ijektion: Hom(Hom(C, ), F ) F (C). Das heißt jede natürliche Transormation Hom(C, ) F ist eindeuti durch ein Element der Mene F (C) estelet. eweis: Wir konstruieren eine entsprechende bbildun: Sei y : Hom(Hom(C, ), F ) F (C), 8

wobei wir eine natürliche Transormation η : Hom(C, ) F au y(η) := η C (id C ) F (C) schicken. Sei nun ein weiteres Objekt aus C. Dann ilt ür die Komponente von η bei, da η eine natürliche Transormation ist, dass ür jeden Peil : C das olende Diaramm kommutiert: id C η C (id C ) Hom(C, C) η C F (C) Hom(C, ) F Hom(C, ) η F () η () = F (η C (id C )) Insbesondere bedeutet das aber, dass η () = F (η C (id C )) ist, also die esamte natürliche Transormation η durch F und η C (id C ) estelet ist; die bbildun y ist also injektiv. Sei nun x F (C) und ein Objekt aus C. Dann deinieren wir uns die bbildun ε : Hom(C, ) F (), durch die Vorabe F (x). Sei nun ein weiteres Objekt und :, dann stellen wir est, dass das olende Diaramm kommutiert F (x) Hom(C, ) ε F () Hom(C, ) F Hom(C, ) ε F () F ( )(x) (da F (F (x)) = (F F )(x) = F ( )(x), da F Funktor) und daher alle ε emeinsam eine natürliche Transormation ε: Hom(C, ) F bilden. ußerdem ilt ε C (id C ) = F (id C )(x) = x, also ist y(ε) = x und damit ist y auch surjektiv. emerkun 17 (Yoneda kontravariant): nalo kann man die kontravariante Variante des Yoneda-Lemmas ormulieren und beweisen: Für einen Funktor F : C op Set erhalten wir eine ijektion Hom(Hom(, C), F ) F (C). 9

Satz 4 (Yoneda-Einbettun): Die bbildun aus eispiel 16, die : au die induzierte natürliche Transormation η : Hom(, ) Hom(, ) schickt, ist ein volltreuer kontravarianter Funktor F : C Func(C, Set). eweis: In eispiel 16 hatten wir esehen: F schickt ein Objekt C aus C au Hom(C, ) und die Morphismen au die entsprechenden natürlichen Transormationen, ist also ein kontravarianter Funktor. Das Yoneda-Lemma lieert nun ür Objekte und eine ijektion Hom(Hom(, ), Hom(, )) Hom(, ), was erade bedeutet, dass F volltreu ist. Deinition 18 (Darstellbare Objekte): Sei F : C Set ein kovarianter Funktor. Dann nennen wir F darstellbar, wenn es ein Objekt C von C ibt, so dass F zu Hom(C, ) natürlich äquivalent ist. Deinition 19 (Graph): Im Folenden sei ein Graph ewissermaßen eine kleine Kateorie, in der wir keine Verkettun von Peilen ordern; wir saen also ein Graph G besteht aus zwei Menen, O die Objekte und die Peile, sowie zwei bbildunen d 0, d 1 : O, die einem Peil sein nans- bzw. Zielobjekt zuweisen. Ein Homomorphismus F : G H zwischen zwei Graphen ist eine bbildun, die Objekte au Objekte und Peile au Peile abbildet und mit d 0 und d 1 verträlich ist, also : aus G au F (): F () F () aus H schickt. Man sieht also, dass jede (kleine) Kateorie C einen zurundelieenden Graphen C besitzt und jeder Funktor F : C D einen ihm zurundelieenden Graphenhomomorphismus F : C D besitzt. Wir erhalten so soar einen Funktor von Cat in die Kateorie der Graphen. Deinition 20 (Diaramm): Sei C eine Kateorie, I ein Graph. Ein Diaramm in C ist dann ein Graphenhomomorphismus 4 D : I C ; I nennen wir in dem Fall auch den Indexraphen des Diaramms und das Diaramm nennen wir ein Diaramm vom Typ I. Ot schreiben wir einach D : I C. Wir nennen D ein endliches Diaramm, wenn es nur endlich viele Objekte und Peile beinhaltet. Für jedes Objekt aus C können wir den konstanten Graphenhomomorphismus wählen, der alle Objekte aus I au schickt und alle Peile au id. So erhalten wir zu jedem Objekt ein Diaramm, das nur beinhaltet. Für zwei Diaramme D und E können wir anz analo zu Funktoren natürliche Transormationen deinieren: λ: D E ist eine natürliche Transormation, wenn es zu jedem Objekt i aus I einen Peil λ i : D(i) E(i) ibt, so dass das olende Diaramm 4 Wenn C selbst keine kleine Kateorie ist, können wir trotzdem immer zu einer kleinen Unterkateorie U von C überehen, damit U deiniert ist und alles so klappt, wie wir es uns wünschen. Das machen wir in Zukunt immer implizit. 10

ür jedes Objekt j und jeden Peil e: i j aus I kommutiert: D(i) D(j) D(e) λ i λ j E(i) E(j) E(e) eispiel 21 (Diaramm): Sei C eine Kateorie mit mindestens drei Objekten und nicht leeren Morphismenmenen zwischen diesen. Sei weiterhin I der Graph 1 2 3. Dann ist zum eispiel das olende Diaramm ein Diaramm vom Typ I in C: C Deinition 22 (Kommutatives Diaramm): Für ein kommutatives Diaramm ordern wir einach, dass I nicht nur ein Graph, sondern selbst schon eine kleine Kateorie ist und dass der Graphenmorphismus D ein Funktor von I nach C ist. Durch die so vorhandenen Verknüpunspeile kommutiert D (manchmal lassen wir die so erhaltenen Peile trotzdem aus Gründen der Überschaubarkeit we). Deinition 23 (Keel/Kommutativer Keel): Eine natürliche Transormation α aus einem konstanten Diaramm in ein Diaramm D nennen wir Keel anschaulich ist das ein Diaramm, in dem es ür jedes D(i) enau einen Peil von dorthin ibt, α ist dann die Gesamtheit aller dieser Peile; das Objekt nennen wir Spitze. Wenn alles kommutiert, nennen wir α kommutativer Keel. Für α schreiben wir manchmal auch Cone(, D). emerkun 24 (Keelkateorien): Wir erhalten so zu einem Diaramm D vom Typ I die Kateorie Cone(, D) oder C D der Keel zu D, in der die Objekte natürliche Transormationen sind; ür zwei Objekte η : D und λ: D sind die Peile einach die Peile : aus C, die mit den Transormationen verträlich sind, also ür die das olende Diaramm ür alle Objekte i und j aus I und alle Morphismen : i j aus I kommutiert: η i D(i) D() λ j D(j) 11

Deinition 25 (Limes/Kolimes): Sei C eine Kateorie, D ein Diaramm vom Typ I. Dann nennen wir ein terminales Objekt in C D einen Limes von D. Ein Kolimes eines Diaramms D ist der Limes von D in der oppositen Kateorie, enauer: Ein Kokeel eines Diaramms D : I C mit Spitze ist eine natürliche Transormation von D nach, man kann diese enauso in einer Kateorie zusammenassen und in dieser initiale Objekte suchen. eispiel 26 (Supremum): Sei M R eine Teilmene 5 der reellen Zahlen. Die Reellen Zahlen können wir, wie in eispiel 2, zu einer Kateorie C machen, die R als Objektemene hat und in der es einen Peil von nach enau dann ibt, wenn. Sei nun I eine kleine Kateorie und D : I C ein Funktor, der erade M als ild hat, so dass M durch D zu einem kommutativen Diaramm über I wird. Sei nun x R. Dann ibt es enau dann eine natürliche Transormation von x in D, wenn x eine obere Schranke von M ist, denn wir ordern ür eine solche Transormation erade, dass es einen Peil in jedes D(i) ibt, also x y ür jedes y M ilt. Die Kateorie C D hat hier also als Objekte die oberen Schranken von M und als Morphismen wieder (dass alles kommutiert liet an der Transitivität von ). In dieser Kateorie existiert immer ein terminales Objekt, nämlich die kleinste obere Schranke, das Supremum von M, s hier ilt ür jede andere obere Schranke o von M, dass es enau einen Peil von o nach s ibt. In diesem Fall ist also das Supremum von M der Limes von D. Deinition 27 (Vollständi/Endlich vollständi): Wir nennen eine Kateorie C vollständi, wenn jedes Diaramm in C einen Limes besitzt. Wir nennen sie endlich vollständi, wenn jedes endliche Diaramm einen Limes besitzt. eispiel 28 (Produkt): In Set haben wir ür je zwei Menen und das kartesische Produkt mit den beiden kanonischen Projektionen π und π. Das wollen wir jetzt verallemeinern. Sei dazu C eine beliebie Kateorie und I = {1, 2} ein Graph ohne Peile. Dann ist ein Diaramm vom Typ I in C einach ein eordnetes Paar (, ) von Objekten aus C. Ein kommutativer Keel über (, ) ist nun einach ein weiteres Objekt K mit Peilen : K und : K. Dann deinieren wir das Produkt von und,, als Limes von (, ). Wir ordern also, dass es ür jeden anderen Keel (K,, ) enau einen Peil Φ ibt, so dass das olende Diaramm kommutiert: K!Φ π 5 Wahrscheinlich will man hier noch endliches Lebesuemaß oder so ordern, damit das Supremum tatsächlich auch in R existiert. π 12

In Set ist das erade das kartesische Produkt, denn wir setzen Φ(k) = ((k), (k)) ür alle k K und sehen an der kanonischen Projektion, dass es die einzie Mölichkeit ist. emerkun 29 (Endliche Produkte): nalo kann man nun einen Graphen ohne Peile I = {1,..., n} nehmen und den Limes eines Diaramms D : I C als das Produkt i ObI D(i) (oder D i) deinieren. Man kann nachrechnen, dass es bis au Isomorphie assoziativ ist, also das ür je drei Objekte, und C aus C ilt: ( C) = ( ) C. eispiel 30 (Equaliser): Sei C eine Kateorie,, Objekte. Dann nennen wir zwei Peile, : parallel. Wir können dann den Equaliser Eq(, ) als den Limes des olenden Diaramms deinieren: Der Equaliser ist also ein Keel über (, ), also ein Objekt Eq(, ) mit zwei Peilen h 1 : Eq(, ) und h 2 : Eq(, ), so dass h 1 = h 1 = h 2, von dem wir zusätzlich ordern, dass es ür jede andere Keelspitze (K, j 1, j 2 ) enau einen Morphismus Φ: K Eq(, ) ibt, so dass das olende Diaramm kommutiert: Eq(, ) h 1 j 1!Φ K Das lieert uns zum eispiel in Set die Mene Eq(, ) = {x (x) = (x)}, da h 1 hier einach die Einbettun nach ist, denn ür jede andere Mene K mit einer bbildun h: K mit (h(k)) = (h(k)) ür jedes k K ilt schon h(k) Eq(, ) und somit ist Φ in diesem Fall enau Φ: K Eq(, ), k h(k). Wir können auch jeden Kern eines Gruppenhomomorphismus als Equaliser auassen: Sei dazu : G H und t der triviale Homomorphismus, der alles au id H schickt. Dann ist der Equaliser von und t erade Kern, nämlich { G () = t() = id H }. 13

Für jeden anderen Morphismus h: K G mit (h(k)) = id H ür jedes k, muss notwendierweise das ild von h schon im Kern von enthalten sein, wir haben somit wieder keine andere Wahl ür unser Φ. eispiel 31 (Faserprodukt): In der Kateorie Set ibt es zu je drei Menen, und C mit den bbildunen : C und : C die Teilmene C := {(x, y) (x) = (y)} des kartesischen Produkts, das Faserprodukt. Es ist die rößte solche mit der Eienschat, dass und au die einzelnen Komponenten anewandt einen emeinsamen Punkt in C lieern. Das möchten wir verallemeinern. Sei also C eine Kateorie und es ebe in C das olende Diaramm D: C Wir suchen nun Objekte K und Peile x: K und y : K, so dass das olende Diaramm kommutiert: K y x C Das sind aber erade die kommutativen Keel über D. Nun können wir das Pullback oder Faserprodukt von D einach als den Limes von D deinieren, also ein Objekt C mit Morphismen p 1 : C und p 2 : C, so dass es ür jedes (K, x, y) enau einen Morphismus Φ: K C ibt (der Limes ist ja das terminale Objekt), so dass das olende Diaramm kommutiert: K y!φ x C p 1 p 2 C 14

In Set bedeutet das, dass C die oben aneebene Mene ist und wir ür p 1,2 einach die entsprechenden Projektionen einsetzen können, denn bei jedem (K, x, y) aktorisiert x bzw. y über C. Satz 5 (Existenz von Limiten): Sei C eine Kateorie. Wenn in C Terminalobjekt, Produkt und Equaliser existieren, so existiert in C auch jeder endliche Limes. eweis: Seien, und C Objekte aus C mit : C und : C. Wir zeien erst die Existenz des Faserprodukts: Nach Voraussetzun existiert das Produkt mit den beiden Projektionen π und π. Nun haben wir aber π π C und nach Vorraussetzun existiert nun der Equaliser E (mit der zuehörien bbildun τ : E ) von π und π. Dieser ist aber das Faserprodukt C, denn ür ein Objekt K mit Morphismen x und y, so dass x = y, kommutiert das olende Diaramm, K y!ψ!φ π τ x π E π τ π τ C denn, da (K, x, y) einen kommutativen Keel über (, ) bildet, ibt es enau einen Morphismus ψ von K in das Produkt. Dadurch wird aber K zu einem Keel über π π C wodurch wir einen eindeutien Morphismus Φ in den Equaliser E erhalten. Somit ist (E, π τ, π τ) das Faserprodukt C. Nun nehmen wir uns ein beliebies (endliches) Diaramm D und ehen enauso vor, um den Limes zu konstruieren: Im Folenden bezeichne, ür einen Peil :, dom das Objekt und cod das Objekt. Sei I nun ein (nichtleerer) endlicher Graph und D : I C der zuehörie Morphismus. Da in C Produkte existieren, existieren induktiv auch endliche Produkte. Wir inden in 15

C also die Objekte = i ObI D(i) und = α ri D(cod α), mit den zuehörien Projektionen π dom α : D(dom α), π cod α : D(cod α) und π α : D(cod α), wobei die D(i) alle Objekte aus dem Diaramm sind und die D(cod α) all diejenien, in die Peile hineinehen. Wir können also mit den zuehörien Projektionen als Keel über den Komponenten von auassen und erhalten so (aus dem Produkt) einerseits enau einen Peil : mit π α = α π dom α, aber auch enau einen Peil : mit π α = π cod α, ür alle Peile α. Das bedeutet, dass die olenden Diaramme ür alle α kommutieren: i ObI D(i) α ri D(cod α) i ObI D(i) α ri D(cod α) π dom α π α Dα D(dom α) D(cod α) π cod α D(cod α) π α Nun betrachten wir den Equaliser E von, : mit dem zuehörien Morphismus h: E. Das bedeutet aber erade, dass wir (E, h) als Keel über D auassen können und ween h = h kommutiert auch alles und wir sehen, au Grund der Limeseienschat des Equalisers, dass E der Limes von D ist. Den einzien Fall, den wir so nicht erwischen, ist der des leeren Diaramms. ber in dem Fall ist jedes Objekt Keel über D und der Limes ist einach das terminale Objekt in C, dessen Existenz wir ja eordert hatten. Literatur [HS90] [W05] [Kü09] [MM07] Jiri dámek, Horst Herrlich und Geore E. Strecker. bstract and Concrete Cateories: The Joy o Cats. 1990. url: http://katmat.math.uni-bremen. de/acc/acc.pd. Michael arr und Charles Wells. Toposes, Triples and Theories. 2005. url: http://www.case.edu/artsci/math/wells/pub/pd/ttt.pd. Stean Kühnlein. lebra 2. 2009. url: http://www.math.kit.edu/ia3/ lehre/al22009s/media/alebra2skript.pd. Saunders MacLane und Ieke Moerdijk. Sheaves in Geometry and Loic: First Introduction to Topos Theory. Spriner, 2007. 16