Werner Sandmann: Modellierung und Analyse 6 1. Kapitel 6. Analyse elementarer Markovscher Modelle

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse 6 1 Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.1 Geburts-/Todesprozesse 6 2 Abschnitt 6.1 Geburts-/Todesprozesse

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.1 Geburts-/Todesprozesse 6 3 Formale Definition Definition: Geburts-/Todesprozeß Ein stochastischer Prozeß (X t ) t 0 mit stetiger Parametermenge T und diskretem Zustandsraum IN heißt Geburts-/Todesprozeß mit Geburtsraten λ 0, λ 1,... 0 und Todesraten µ 1, µ 2,... 0, wenn gilt: Übergänge sind nur zwischen Zuständen n und n + 1, n 0 möglich, P(X t+h = n + 1 X t = n) = λ n h + o(h), P(X t+h = n X t = n + 1) = µ n+1 h + o(h), WK für mehr als einen Übergang in einem Zeitraum der Länge h ist o(h). Geburt: Übergang von n nach n + 1, n 0, Tod: Übergang von n + 1 nach n, n 0 bzw. von n nach n 1, n > 0. Zu jeder Zeit nur Geburt oder Tod möglich, Tod nur wenn n > 0. WK für mehr als eine Geburt oder einen Tod in kleinem Zeitraum vernachlässigbar.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.1 Geburts-/Todesprozesse 6 4 Zusammenhang mit Markovketten Offensichtlich hängen die Zustandsübergänge bei Geburts-/Todesprozessen nur vom aktuellen Zustand ab, der Zustandsraum ist diskret, der Parameterraum ist stetig. Geburts-/Todesprozesse sind spezielle stetige Markovketten. Zustandsübergangsdiagramm λ 0 λ 1 λ 2 λ i 0 1 2 µ 1 µ 2 µ 3 µ i+1 Generatormatrix Q = λ 0 λ 0 0 0 µ 1 (λ 1 + µ 1 ) λ 1. 0......... 0. µ i (λ i + µ i ) λ i... 0............

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.1 Geburts-/Todesprozesse 6 5 Spezialfälle M/M/1 Warteschlangenmodell Konstante Geburts- und Todesraten λ λ λ λ 0 1 2 µ µ µ µ M/M/1/K-Warteschlangenmodell Konstante Geburts- und Todesraten und endlicher Zustandsraum λ λ λ λ 0 1 2 K µ µ µ µ vergleiche Folie 4 89 und folgende mit zugehörigen Generatormatrizen.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.1 Geburts-/Todesprozesse 6 6 Bezug zu Poissonprozessen Im Vergleich zum Poissonprozeß zwei Arten von Übergängen Geburten ( = Ankünfte) Tode ( = Abgänge Bedienungen in Warteschlangenmodellen) Alle Raten können zudem abhängig vom aktuellen Zustand sein. Poissonprozeß: Ankunftsprozeß = reiner Geburtsprozeß mit konstanter Geburtsrate λ. Poissonprozeß P(N h = 1) = λh + o(h) P(N h > 1) = o(h) P(N h = 0) = 1 λh + o(h) Geburts-/Todesprozeß P(X t+h = n + 1 X t = n) = λ n h + o(h) P(X t+h = n X t = n + 1) = µ n+1 h + o(h) P(> 1 Übergänge in Zeitraum der Länge h) = o(h) P(0 Geburten in... h in Zustand n) = 1 λ n h + o(h) P(0 Tode in... h in Zustand n + 1) = 1 µ n+1 h+o(h) Wie sehen die Zustandswahrscheinlichkeiten aus?

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.1 Geburts-/Todesprozesse 6 7 Komponenten der Zustands WK Der Clou: Berechnung mit Hilfe von Ableitungen Differentialgleichungssystem Kurzschreibweise: P n (t) := P(X t = n), n IN. Für n 1 besteht P n (t + h) aus vier wechselseitig ausgeschlossenen Komponenten Zustand n zur Zeit t und keine Übergänge im Zeitraum der Länge h : P n (t)(1 λ n h + o(h))(1 µ n h + o(h)) = P n (t)(1 µ n h + o(h) λ n h + λ n µ n h 2 λ n ho(h) + o(h)) = P n (t)(1 µ n h λ n h + o(h)) = P n (t)(1 λ n h µ n h) + o(h). Zustand n 1 zur Zeit t und eine Geburt im Zeitraum der Länge h : P n 1 (t)(λ n 1 h + o(h)) = P n 1 (t)λ n 1 h + o(h). Zustand n + 1 zur Zeit t und ein Tod im Zeitraum der Länge h : P n+1 (t)(µ n+1 h + o(h)) = P n+1 (t)µ n+1 h + o(h). Mehr als ein Übergang im Zeitraum der Länge h : o(h)

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.1 Geburts-/Todesprozesse 6 8 Differentialgleichungssystem Zusammen also P n (t + h) = (1 λ n h µ n h)p n (t) + λ n 1 hp n 1 (t) + µ n+1 hp n+1 (t) + o(h). Umformung führt auf P n (t + h) P n (t) h = (λ n + µ n )P n (t) + λ n 1 P n 1 (t) + µ n+1 P n+1 (t) + o(h) h. Grenzwert für h 0 ist gerade die Ableitung und liefert P n(t) = dp n(t) dt Beachte: wir hatten n 1 vorausgesetzt. = (λ n + µ n )P n (t) + λ n 1 P n 1 (t) + µ n+1 P n+1 (t). Für n = 0 analog (Herleitung Übung) P 0(t) = dp 0(t) dt = λ 0 P 0 (t) + µ 1 P 1 (t).

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.1 Geburts-/Todesprozesse 6 9 Anmerkungen Transiente Zustands WK sind durch unendliches Differentialgleichungssystem gegeben. Zusätzlich werden Anfangsbedingungen benötigt, also eine Anfangsverteilung (P 1 (0), P 2 (0),...). Man kann unter sehr allgemeinen Bedingungen zeigen: Lösung existiert für alle n, t. Analytische Berechnung/Lösung ist extrem schwierig, bis auf Spezialfälle. Poissonprozeß = reiner Geburtsprozeß (µ n = 0) mit konstanten Raten λ n = λ, n IN. Mit P 0 (0) = 1 folgt (vgl. Abschnitt 4.1) P n(t) = λp n (t) + λp n 1 (t), n 1 P 0(t) = λp 0 (t) P n (t) = e λt (λt) n, n IN, t 0. n!

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.1 Geburts-/Todesprozesse 6 10 Gleichungen für stationäre Zustands WK Berechnung transienter (zeitabhängiger) Zustands WK im allgemeinen schwierig. Einfacher: stationäre (zeitunabhängige) Zustands WK im statistischen Gleichgewicht p n := lim t P n (t), n IN. Grenzwertbildung t für das Differentialgleichungssystem der transienten ZWK. Es gilt n IN : lim P t n(t) = 0, lim P n (t) = p n. t Also für n = 0 und für n 1 0 = µ 1 p 1 λ 0 p 0, p 1 = λ 0 µ 1 p 0. 0 = λ n 1 p n 1 + µ n+1 p n+1 (λ n + µ n )p n µ n+1 p n+1 λ n p n = µ } n p n {{ λ n 1 p n 1 }. =:g(n) g n+1 = g n und wegen 0 = µ 1 p 1 λ 0 p 0 = g 1 folgt g n = 0, n IN.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.1 Geburts-/Todesprozesse 6 11 Stationäre Zustands WK Insgesamt also p n+1 = λ n µ n+1 p n, n IN. Damit sukzessive Berechnung der stationären Zustands WK p 1 = λ 0 µ 1 p 0, p 2 = λ 1 µ 2 p 1 = λ 0λ 1 µ 1 µ 2 p 0, p 3 = λ 2 µ 3 p 2 = λ 0λ 1 λ 2 µ 1 µ 2 µ 3 p 0,... Allgemein p n = λ 0λ 1 λ 2 λ n 1 µ 1 µ 2 µ 3 µ n p 0. Fehlt nur noch p 0 : mit Normierungsbedingung für Wahrscheinlichkeiten p n = p 0 + p 1 + p 2 + = 1. n=0

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.1 Geburts-/Todesprozesse 6 12 Existenz stationärer Zustands WK Einsetzen liefert p 0 ( 1 + λ 0 µ 1 + λ 0λ 1 µ 1 µ 2 + + λ 0λ 1 λ 2 λ n 1 µ 1 µ 2 µ 3 µ n + ) = 1. Stationäre Zustands WK existieren also, wenn S := 1 + λ 0 µ 1 + λ 0λ 1 µ 1 µ 2 + + λ 0λ 1 λ 2 λ n 1 µ 1 µ 2 µ 3 µ n + <. Dann gilt p 0 = 1 S > 0. Stabilitätsbedingungen für Warteschlangenmodelle.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.1 Geburts-/Todesprozesse 6 13 Beispiel: Einfaches Warteschlangenmodell M/M/1/1: ein Bediener, kein Warteraum, Poisson Ankunftsprozeß mit Rate λ, exponentiell verteilte Bedienzeiten mit Parameter µ. WK für Ankunft in einem Zeitraum der Länge h ist λh + o(h). Wenn ein Kunde in Bedienung ist, dann ist (wegen Gedächtnislosigkeit) die WK, daß die Bedienung in einem Zeitraum der Länge h beendet wird: 1 e µh = µh + o(h). Also Geburts-/Todesprozeß mit Zustandsraum {0, 1}, 0 = Bediener frei (server idle), 1 = Kunde in Bedienung (server busy), Geburtsraten λ 0 = λ, λ n = 0, n > 0, Todesraten µ 1 = µ,µ n = 0, n > 1. Damit P 1(t) = λp 0 (t) µp 1 (t), P 0(t) = λp 0 (t) + µp 1 (t) P 0(t) + P 1(t) = 0.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.1 Geburts-/Todesprozesse 6 14 Transiente Zustands WK Jetzt P 0(t) + P }{{ 1(t) } = 0 P 0 (t) + P 1 (t) = const P 0 (t) + P 1 (t) = 1, t 0. (P 0 (t)+p 1 (t)) P 0(t) = λp 0 (t) + µp 1 (t) = λp 0 (t) + µ(1 P 0 (t)) = λp 0 (t) + µ µp 0 (t) P 0(t) + (λ + µ)p 0 (t) = µ. Elementare Differentialgleichungstheorie liefert und analog gemäß Symmetrie P 0 (t) = µ λ + µ + P 1 (t) = λ λ + µ + ( P 0 (0) µ ) λ + µ ( P 1 (0) e (λ+µ)t λ ) e (λ+µ)t. λ + µ Damit für beliebige Anfangsverteilung (P 0 (0), P 1 (0)) transiente ZWK berechenbar.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.1 Geburts-/Todesprozesse 6 15 Stationäre Zustands WK Durch Grenzwertbildung t sind stationäre Zustands WK, zeitunabhängige Zustands WK im statistischen Gleichgewicht berechenbar: p 0 := lim P 0 (t) = µ t λ + µ, p 1 := lim P 1 (t) = λ t λ + µ. Andere Variante Setze Ableitungen gleich 0, und ersetze P 0 (t) durch p 0 sowie P 1 (t) durch p 1 : 0 = λp 0 µp 1, 0 = λp 0 + µp 1. Beide Gleichungen sind äquivalent und liefern jeweils p 1 = λ µ p 0. Mit Normierungsbedingung p 0 + p 1 = 1 folgt p 0 = µ λ + µ, p 1 = λ λ + µ.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.1 Geburts-/Todesprozesse 6 16 Gleichgewichtsgleichungen Intuitive Methode zur Herleitung der Gleichungen für stationäre Zustands WK Flußrate in einen Zustand ist gleich der Flußrate aus dem Zustand Flow Rate In = Flow Rate Out Betrachte Zustand n 1. (??? Übersetze als: Einfluß = Ausfluß???) mittlere Flußrate in den Zustand: λ n 1 p n 1 + µ n+1 p n+1. mittlere Flußrate aus dem Zustand: µ n p n + λ n p n = (µ n + λ n )p n. Globale Gleichgewichtsgleichungen λ n 1 p n 1 + µ n+1 p n+1 = (µ n + λ n )p n, n 1, λ 0 p 0 = µ 1 p 1. Lokale Gleichgewichtsgleichungen durch Aufteilen nach Richtungen λ n p n = µ n+1 p n+1.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.2 Grundmodelle M/M/ 6 17 Abschnitt 6.2 Grundmodelle M/M/

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.2 Grundmodelle M/M/ 6 18 Allgemeines Warteschlangenmodelle mit Markovschen Annahmen (also exponentiell verteilten Zwischenankunfts und Bedienzeiten) können als Geburts-/todesprozesse modelliert werden. Für elementare Warteschlangenmodelle (also ein Knoten) Zustand n (zur Zeit t) = n Kunden im System (zur Zeit t) Zufallsvariablen N, N t Anzahl der Kunden im System (zur Zeit t) Geburt = Kundenankunft (Rate kann abhängig vom Systemzustand sein) Tod = Kundenabgang=Bedienung (Rate kann abhängig vom Systemzustand sein) Insbesondere (auch weil es einfacher ist) interessieren stationäre Leistungsmaße, die oft berechnet werden können per Spezialisierung der allgemeinen Lösungen S = 1 + c 1 + c 2 + <, c n = λ 0λ 1 λ 2 λ n 1 µ 1 µ 2 µ 3 µ n, n 0, p 0 = P(N = 0) = 1 S, p n = P(N = n) = c n p 0.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.2 Grundmodelle M/M/ 6 19 6.2.1 M/M/1 Modell M/M/1 Modell mit Ankunftsrate λ und Bedienrate µ. Wegen λ n = λ, n IN und µ n = µ, n 1 folgt aus allgemeinen Lösungen mit ρ = a = λ µ c n = ρ n, S = 1 + ρ + ρ 2 + ρ 3 + Die Reihe S konvergiert genau dann, wenn ρ < 1, und zwar dann gemäß geometrischer Reihe S = 1 p n = P(N = n) = (1 ρ)ρ n, n IN. 1 ρ Das ist gerade die ( andere, vgl. W-Rechnung) geometrische Verteilung mit Parameter 1 ρ. Satz: Stationäre Verteilung der Kundenzahl im M/M/1 Modell Die stationäre Verteilung der Anzahl von Kunden in einem stabilen M/M/1 Modell mit Ankunftsrate λ und Bedienrate µ mit ρ := λ µ < 1 ist die geometrische Verteilung mit Parameter p = 1 ρ.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.2 Grundmodelle M/M/ 6 20 Stationäre Leistungsmaße Spezielle Wahrscheinlichkeiten P(server idle) = P(N = 0) = 1 ρ. P(server busy) = P(N > 0) = 1 P(N = 0) = ρ. (Auslastung) Aus den Eigenschaften der geometrischen Verteilung folgt sofort (beim EW ggf. nach Verschiebung der normalen geometrischen Verteilung um 1 vgl. W Rechnung) E[N] = 1 p 1 = 1 p p = ρ 1 ρ, VAR[N] = 1 p p 2 = ρ (1 ρ) 2. Mit dem Gesetz von Little Stationäre Verweilzeit E[R] = E[N] λ = ρ 1 ρ λ = 1 µ(1 ρ). Damit wiederum Stationäre Wartezeit E[W] = E[R] E[S] = 1 µ(1 ρ) 1 µ = ρ µ(1 ρ).

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.2 Grundmodelle M/M/ 6 21 Bedingte Wartezeitverteilung Offensichtlich: wenn ankommender Kunde System leer vorfindet, dann wartet er nicht. P(W = 0) = P(N = 0) = 1 ρ. Wenn ankommender Kunde n > 0 Kunden vorfindet, wartet er n exponentiell verteilte Bedienzeiten (auch die Restbedienzeit des in Bedienung befindlichen Kunden ist wegen Gedächtnislosigkeit expverteilt) mit Parameter µ. Bedingte Wartezeit (unter der Bedingung n Kunden im System ) ist Erlang verteilt mit n Phasen und Parameter µ, hat also die Dichte f W N=n (x) = µn (n 1)! e µx x n 1, x 0, n > 0. Also für n > 0 P(W x N = n) = x 0 µ n (n 1)! e µt t n 1 dt. Daraus jetzt Wartezeitverteilung für nicht-leeres System ( = Wartezeit > 0)...

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.2 Grundmodelle M/M/ 6 22 Wartezeitverteilung Nach Satz der totalen Wahrscheinlichkeit (vgl. W Rechnung) P(0 < W x) = P(W x N = n)p(n = n). n=1 Also P(0 < W x) = n=1 x 0 µ n (n 1)! e µt t n 1 (1 ρ)ρ n dt = = = x 0 x 0 x 0 e µt (1 ρ) e µt (1 ρ) e µt (1 ρ) n=1 n=1 n=1 µ n (n 1)! ρn t n 1 dt µ n (n 1)! λn µ n tn 1 dt λ n t n 1 (n 1)! dt.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.2 Grundmodelle M/M/ 6 23 Weiter vereinfachen P(0 < W x) = x 0 e µt (1 ρ) n=1 λ n t n 1 (n 1)! dt = = = ρ x 0 x 0 x 0 λe µt (1 ρ) (λt) n 1 (n 1)! n=1 }{{} e λt λ(1 ρ)e (λ µ)t dt = x 0 dt ρ(µ λ)e (λ µ)t dt ] ) (µ λ)e t(µ λ) dt = ρ [ e ( e x0 t(µ λ) = ρ x(µ λ) + e 0 ) = ρ (1 e x(µ λ). Daraus jetzt (unbedingte) Wartezeitverteilung...

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.2 Grundmodelle M/M/ 6 24 Wartezeitverteilung Zusammensetzen ergibt für x 0 F W (x) = P(W x) = P(W = 0) + P(0 < W ) x) = 1 ρ + ρ (1 e x(µ λ) = 1 ρe x(µ λ). Exponent kann weiter umgeformt werden: x(µ λ) = µ(1 ρ)x = x E[R]. Beachte Verteilungsfunktion hat Sprungstelle, ist unstetig an der Stelle 0. Es gilt also E[W] = P(W = 0)E[W W = 0] + P(W > 0)E[W W > 0] = (1 ρ) 0 + ρe[w W > 0] E[W W > 0] = E[W] ρ = ρ µ(1 ρ)ρ = 1 µ(1 ρ) = E[R].

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.2 Grundmodelle M/M/ 6 25 Verweilzeitverteilung Herleitung der Verteilungsfunktion der Verweilzeit R analog zu W; sogar einfacher, da keine Unterscheidung zwischen System leer/nicht-leer nötig. Satz: Verweilzeitverteilung im M/M/1 Modell Die Verweilzeit in einem M/M/1 Modell mit Ankunftsrate λ und Bedienrate µ ist exponentialverteilt mit Parameter µ(1 ρ). Beweis: Analog zur Herleitung von F W als Übung! Eleganter mit Laplace Stieltjes Transformierten so: E [ e ϑr] ( ) ( µ = P(N = n)(1 ρ)ρ n µ = (1 ρ) µ + ϑ µ + ϑ n=0 µ = (1 ρ) µ + ϑ 1 1 ρ ( µ µ+ϑ ) = (1 ρ)µ µ + ϑ ρµ n=0 = (1 ρ)µ (1 ρ)µ + ϑ ( ) ) n µ µ + ϑ

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.2 Grundmodelle M/M/ 6 26 6.2.2 M/M/c Modell Beachte: anders als bei M/M/1 ist Verkehrsintensität a nicht gleich Auslastung ρ, da sich der Verkehr auf c identische Server verteilt, also a := λ µ, ρ = λ cµ = a c. Geburts- und Todesraten λ n = λ, n 0. { nµ, falls 0 < n c, µ n = cµ, falls n c. Zustandsübergangsdiagramm Gemäß der allgemeinen Formeln a n, falls 0 < n c, n! c n = a c c! ρn c, falls n > c λ λ λ λ λ λ 0 1 2 c 1 c c + 1 µ 2µ 3µ (c 1)µ cµ cµ

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.2 Grundmodelle M/M/ 6 27 Stationäre Zustands WK Für ρ < 1 existieren stationäre Lösungen und S = 1 p 0 = 1 + a + a2 2! + + ac 1 (c 1)! + ac c! (1 + ρ + ρ2 + ) Also = c 1 n=0 p 0 = p n = a n n! + ac c! ( c 1 n=0 ρ n = n=0 c 1 n=0 ) 1 a n n! + a c, c!(1 ρ) a n n! + a c c!(1 ρ). a n n! p 0, falls 0 < n < c, a n c!c n c p 0, falls n c.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.2 Grundmodelle M/M/ 6 28 Erlangsche C Formel WK, daß Kunde warten muß Erlangsche Warteformel (Erlang s delay formula) Kunde muß genau dann warten, wenn alle Bediener belegt sind, also wenn mindestens c Kunden im System sind. Diese WK hängt offensichtlich von c&a ab ;-) Schreibweise: C(c, a) := P(N c) Erlangsche C-Formel (Erlang s C formula) C(c, a) = P(N c) = p n = 1 n=c c 1 n=0 c 1 p n = 1 p 0 n=0 a n n! = c 1 n=0 c 1 n=0 a n n! a n n! + ac c!(1 ρ) = a c c! (1 ρ) c 1 n=0. a n n! + ac c!

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.2 Grundmodelle M/M/ 6 29 Anmerkungen zur Erlangschen C Formel Zur Berechnung der Erlangschen C Formel diverse Algorithmen ( 5.3.2) riesige Tabellen für diverse Werte von c und a. Aus der Erlangschen C Formel sind diverse Leistungsmaße berechenbar. Offensichtlich p 0 = 1 P(N 1) = 0 n=0 0 n=0 a n n! a n n! + a1 1!(1 ρ) = 1 1 + a. 1 ρ Daraus zeigt man leicht ( Übung) den Zusammenhang p 0 = c!(1 ρ)c(c, a) a c.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.2 Grundmodelle M/M/ 6 30 Warteschlangenlänge Herleitung der erwarteten Warteschlangenlänge ( = Anzahl Kunden im Warteraum) E[N q ] = (n c)p n = kp c+k = p 0 ac kρ k c! n=c = p 0 ac c! = p 0 ac c! ρ d dρ = p 0 ac c! ρ d dρ = p 0 k=0 ( 0 + ρ + 2ρ 2 + 3ρ 3 + ) ( 1 + ρ + ρ 2 + ) ( ) 1 1 ρ a c c!(1 ρ) 2 ρ k=0 (Ableitung nach ρ) = ρc(c, a) 1 ρ.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.2 Grundmodelle M/M/ 6 31 Warte- und Verweilzeit Mit dem Gesetz von Little jetzt erwartete Wartezeit: Wegen ρ = λ cµ = λe[s] c E[W] = E[N q] λ = C(c, a)e[s] c(1 ρ) = C(c, a) cµ(1 ρ) = P(N c)e[s] c(1 ρ) = P(N c) cµ(1 ρ). Erwartete Verweilzeit mittels P(N c) E[R] = E[W] + E[S] = cµ(1 ρ) + 1 µ = C(c, a) cµ(1 ρ) + 1 µ C(c, a) + c(1 ρ) =. cµ(1 ρ) Daraus dann wieder mit Little die erwartete Kundenanzahl E[N] = λe[r] =. Auch Verteilungsfunktionen sind nicht allzu schwierig... (aber wir verzichten darauf)

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.2 Grundmodelle M/M/ 6 32 6.2.3 M/M/ Modell M/M/, also unendlich viele Bediener (Infinite Server) Zustandsübergangsdiagramm λ λ λ λ 0 1 2 µ 2µ 3µ iµ Unendlich viele Bediener in der Realität natürlich unmöglich. Bedeutung: jedem ankommenden Kunden wird sofort ein Bediener zugeteilt. Damit c n = an n!, n > 0, S = 1 a n = p 0 n! = ea. Also n=0 p n = e a an, n 0. N ist Poisson verteilt mit Parameter a. n!

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.2 Grundmodelle M/M/ 6 33 Anmerkungen zu unendlich vielen Bedienern Folgerungen: E[N] = a ist mittlere Anzahl belegter Bediener. E[N q ] = 0, E[W] = 0, E[R] = E[S] = 1, da nie gewartet wird. µ M/M/ kann also benutzt werden, um Benutzerverhalten zu modellieren Verzögerung bei Warten auf Terminaleingaben Kein Warten am Terminal (jeder Benutzer hat eigenes Terminal) Kommando eingeben/abschicken verbraucht Zeit Also nur Bedienungsverzögerung, Denkzeit (think time) Weitere Anwendung ist zum Beispiel die Schätzung der Anzahl von Leitungen in großen Kommunikationsnetzen.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.3 Endliche Warteräume Verlustsysteme 6 34 Abschnitt 6.3 Endliche Warteräume Verlustsysteme

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.3 Endliche Warteräume Verlustsysteme 6 35 6.3.1 M/M/1/K Modell Erster Ansatz: Symbolische Lösung M/M/1/1 als Beispiel schon gesehen. Allgemein ist für M/M/1/K die zugrundeliegende stetige Markovkette endlich. Also: Generatormatrix Q endlich und LGS prinzipiell z.b. mittels Gauß-Verfahren lösbar. Idee: Löse das LGS πq = 0 bzw. Q T π T symbolisch (d.h. allgemein für λ und µ) Beispiel: M/M/1/2 M/M/1/2-Warteschlangensystem mit Platz für maximal 2 Kunden, also Generatormatrix (vgl. Folie 4 90) Q = λ λ 0 µ (λ + µ) λ 0 µ µ, Q T = λ µ 0 λ (λ + µ) µ 0 λ µ.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.3 Endliche Warteräume Verlustsysteme 6 36 Symbolische Lösung λ µ 0 0 λ (λ + µ) µ 0 0 λ µ 0 λ µ 0 0 0 λ µ 0 1 1 1 1 λ µ 0 0 0 λ µ 0 0 λ + µ λ λ Zeilenvertauschung und Normierungsbedingung Z 3 := λz 3 + Z 1 Z 3 := λz 3 (λ + µ)z 2 λ µ 0 0 0 λ µ 0 0 0 λ 2 + µ(λ + µ) λ 2

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.3 Endliche Warteräume Verlustsysteme 6 37 Rückwärtseinsetzen λ µ 0 0 0 λ µ 0 0 0 λ 2 + µ(λ + µ) λ 2 π 2 = λ 2 λ 2 + λµ + µ 2, π 1 = λµ λ 2 + λµ + µ 2, π 0 = µ 2 λ 2 + λµ + µ 2. Dabei entsprechen die π i der Markovkette den p i des Warteschlangenmodells, also p 0 = π 0, p 1 = π 1, p 2 = π 2. Grundsätzlich so für beliebiges K möglich, aber schwierig für allgemeines K, Aufwand wächst mit K, Aufwand Gauß Verfahren: O(n 3 ) für n n Matrizen, also hier O ( (K + 1) 3), Andererseits: fast nur Nulleinträge, Bandmatrix. Ausnutzung des Geburts-/Todesprozesses trotz endlichem Zustandsraum besser.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.3 Endliche Warteräume Verlustsysteme 6 38 M/M/1/K als Geburts-/Todesprozeß Beachte: anders als bei M/M/1 ist Verkehrsintensität a nicht gleich Auslastung ρ, da nicht alle Kunden, die das System erreichen, auch eintreten können, d.h. a = λ µ ρ. Geburts- und Todesraten λ n = { λ, falls 0 n < K, 0, falls n K, µ n = { µ, falls 0 n K, 0, falls n > K. Aus allgemeinen Lösungen folgt für 0 n K p n = p 0 λn µ n = p 0 a n. Insbesondere p n = 1 K + 1 = p 0 für a = 1, 0 n K. Wegen folgt 1 = p 0 + p 1 + + p K = p 0 K p 0 = n=0 ( ) 1 a a n K+1 = p 0, a 1 1 a 1 a 1 ak+1, a 1.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.3 Endliche Warteräume Verlustsysteme 6 39 Stationäre Zustands WK Insgesamt ergibt sich für die stationären Zustands WK 1, falls a = 1, K + 1 p n = (1 a)a n 1 ak+1, falls a 1. Beachte Da Zustandsraum endlich (d.h. niemals mehr als K Kunden im System), erreicht das System für alle Werte von a = λ µ stationären Zustand (also nicht nur für λ < µ). Mit λ < µ bzw. a < 1 konvergieren die p n für K offensichtlich gegen die stationären Zustands WK im M/M/1 Modell, also lim K (1 a)a n 1 a K+1 = (1 a)an = (1 ρ)ρ n.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.3 Endliche Warteräume Verlustsysteme 6 40 Stationäre Leistungsmaße: erwartete Kundenanzahl Für λ µ, also für a 1 K E[N] = np n = n=0 = = = ( ) 1 a K (na n ) = 1 a K+1 n=1 ( ) 1 a a 1 a K+1 K n=1 ( ) 1 a a d 1 a K+1 da ( ) 1 a a d 1 a K+1 da da n da K n=1 a n ( ) 1 a K+1 1 a ( ) 1 a a 1 a K+1 K n=1 (Ableitung nach a) na n 1 = a 1 a (K + 1)aK+1 1 a K+1.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.3 Endliche Warteräume Verlustsysteme 6 41 Vergleich mit M/M/1 Modell Für λ < µ E[N] = M/M/1 Modell a 1 a = ρ 1 ρ E[N] = M/M/1/K Modell a 1 a (K + 1)aK+1 1 a K+1 Also für a < 1 ist erwartete Anzahl von Kunden in M/M/1/K kleiner als in M/M/1. Für a = 1 (wobei M/M/1 instabil ist) in M/M/1/K K E[N] = np n = 1 + 2 + + K K + 1 n=0 = K 2. Insgesamt also für M/M/1/K E[N] = K 2, falls a = 1, a 1 a (K + 1)aK+1 1 a K+1, falls a 1.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.3 Endliche Warteräume Verlustsysteme 6 42 Verluste Kundenverluste bei vollem Warteraum Ankommende Kunden werden abgewiesen, wenn das System voll ist, also mit WK p K gehen diese Kunden verloren bzw. der Warteraum läuft über. In Kommunikationssystemen Paket-/Zellverlust (Packet Loss, Cell Loss), Pufferüberlauf (Buffer Overflow) Bei großem Warteraum und/oder geringer Verkehrsintensität seltenes Ereignis (Rare Event) Verlustwahrscheinlichkeit, Überlaufwahrscheinlichkeit p K Bei großem Warteraum und/oder geringer Verkehrsintensität sehr kleine Wahrscheinlichkeit (Rare Event Probability) Mittlere Zeit bis zum Überlauf (Mean Time To Overflow, MTTO) mit Interpretation eines Kundenverlustes als Fehler: Mean Time To Failure, MTTF Bei großem Warteraum und/oder geringer Verkehrsintensität sehr lange Zeit Für größere Netze (wenn überhaupt) nur mit speziellen Verfahren zur Simulation seltener Ereignisse (Rare Event Simulation) analysierbar.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.3 Endliche Warteräume Verlustsysteme 6 43 Weitere Leistungsmaße Sei λ a die Ankunftsrate der Kunden, die tatsächlich eintreten, also λ a := λ(1 p K ). Mit dem Gesetz von Little E[R] = E[N] λ a = E[N] λ(1 p K ) =... Die Auslastung des Bedieners, also die WK, daß der Bediener arbeitet, ergibt sich zu ρ = P(server busy) = λ a E[S] = λ(1 p K ) 1 µ = (1 p K)a. Der Vollständigkeit halber, aber ohne Herleitungen ( F R (x) = P(R x) = 1 F W (x) = P(W x) = 1 K 1 n=0 K 2 n=0 ( p n 1 p K e µt p n+1 1 p K e µt n k=0 n k=0 ) (µt) k, x 0 k! ) (µt) k, x 0. k!

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.3 Endliche Warteräume Verlustsysteme 6 44 6.3.2 M/M/c/c Erlang-Verlustmodell M/M/c/c, also c Bediener und kein Warteraum. Kunden, die ankommen, wenn alle Bediener besetzt sind, gehen verloren Erlang-Verlustmodell Zustandsübergangsdiagramm λ λ λ λ 0 1 2 c µ 2µ 3µ cµ Damit c n = an n!, 0 < n c, S = 1 p 0 = 1 + a + a2 2! + a3 3! + + ac c!. Also p n = c n p 0 = a n n! 1 + a + a2 2! + a3 3! + + ac c!, 0 n c.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.3 Endliche Warteräume Verlustsysteme 6 45 Erlangsche B Formel Insbesondere gilt für die WK, daß alle Bediener belegt sind und Kunden verloren gehen Erlangsche Verlustformel (Erlang Loss Formula), Erlangsche B Formel B(c, a) := p c = a c c! 1 + a + a2 2! + a3 3! + + ac c! Da nie gewartet wird, kein Warteraum vorhanden ist: E[W] = 0, E[N q ] = 0, E[R] = E[S] = 1 µ.. Erwartete Anzahl von Kunden c E[N] = np n = p 0 n=0 c n=1 n an n! = ap 0 c 1 n=0 a n n! = a(1 B(c, a)). Offensichtlich hat R die gleiche Verteilung wie S, also Exponentialverteilung: F R (x) = 1 e µx, x 0.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.3 Endliche Warteräume Verlustsysteme 6 46 Erlangsche B und C Formel Es gilt (Herleitung leicht) 1 B(1,a) = 1 + 1 a, 1 B(n,a) = 1 + n a Zusammenhang zwischen B und C Formel (Herleitung leicht) 1 B(n 1, a), 1 < n c. 1 C(c, a) = ρ + 1 ρ B(c, a), C(c, a) = B(c, a) ρb(c, a) + 1 ρ. Damit einfacher Algorithmus zur Berechnung der C Formel 1. Berechne 1 B(1,a) = 1 + 1 a ; 1 2. Berechne B(n,a) = 1 + n a 1 ( 1 3. Setze B(c, a) = B(c,a)) 1 ; B(n 1,a) 4. Berechne C(c, a) = B(c,a) ρb(c,a)+1 ρ. für n = 2,..., c;

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.3 Endliche Warteräume Verlustsysteme 6 47 Besserer Algorithmus Problem: Obiger Algorithmus numerisch instabil für kleines B(c, a). Beispiel: B(40, 0.01) Überlauf nicht des Warteraums, sondern beim Berechnen einiger 1/B(c, a) B(40, 0.01) e 0.01 0.0140 40! = e 0.01 40! 10 80 = 1.234 10 128. Besserer (stabilerer) Algorithmus 1. Setze B(1, a) = a 1 + a ; 2. Berechne B(n, a) = 3. Berechne C(c, a) = ab(n 1, a) n + an(n 1, a) B(c, a) ρb(c, a) + 1 ρ. für n = 2,..., c;

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.4 Endliche Populationen 6 48 Abschnitt 6.4 Endliche Populationen

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.4 Endliche Populationen 6 49 6.4.1 M/M/c//m Engset-Wartemodell MM/c//m, c < m also c Bediener, unendlicher Warteraum und Population der Größe m. Engset-Wartemodell Geburts-/Todesprozeß mit Raten { (m n)λ, falls 0 n < m, λ n = 0, falls n m, µ n = nµ, falls 0 n c, cµ, falls c n m, 0, falls n > m. Zustandsübergangsdiagramm mλ (m 1)λ (m 2)λ (m c + 1)λ 0 1 2 c µ 2µ 3µ cµ (m c)λ cµ (m 1)λ m cµ

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.4 Endliche Populationen 6 50 Modell Machine Repair Machine Repair Vorhanden sind m Maschinen und c Reparatureinheiten. Maschine = Kunde im Warteschlangenmodell. Reparatureinheit = Bediener im Warteschlangenmodell. Ankunft: Maschine betritt das System, wenn sie ausfällt. Hier exponentiell verteilte Zeiten zwischen zwei Ausfällen, Mean Time To [Machine/Component] Failure (MTT[M/C]F) also bekannt/gegeben. Bedienung: Reparatureinheit repariert Maschine. Hier exponentiell verteilte Reparaturdauern, Bestandteil in Zuverlässigkeitsmodellen (Reliability Models), dort interessiert dann z.b. die mittlere Zeit bis zum Systemfehler, üblicherweise als MTTF bezeichnet. Systemfehler = gleichzeitiger Ausfall bestimmter Maschinen.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.4 Endliche Populationen 6 51 Modelle Terminal und Web Server Interpretation als einfaches Terminal Modell Nutzer an m Terminals schicken Aufträge an Computer Bearbeitungsdauer von Aufträgen ist exponentiell verteilt. Denkzeit eines Nutzers zwischen zwei Aufträgen ist exponentiell verteilt. Wenn ein Nutzer Auftrag geschickt hat, wartet er auf Antwort denkt nicht über neue Aufträge nach, schickt also auch keine Aufträge. Je mehr Nutzer denken, desto höher ist die effektive Auftragsrate. Interpretation Web-Server Modell Web Surfer stellen Anfragen an Web Server analog Spezialfall M/M/1//m nur ein Bediener bzw. eine Reparatureinheit, ein Computer, ein Web Server.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.4 Endliche Populationen 6 52 Stationäre Zustandsverteilung Für n c p n = λ 0λ 1 λ n 1 µ 1 µ 2 µ n p 0 = mλ (m 1)λ (m 2)λ (m n + 1)λ µ 2µ 3µ nµ p 0 = m(m 1) (m n + 1) n! ( λ µ ) n p 0 = ( m n ) ( λ µ ) n p 0. Für n c p n = λ 0λ 1 λ n 1 µ 1 µ 2 µ n p 0 = mλ (m 1)λ (m 2)λ (m n + 1)λ µ 2µ 3µ cµ (cµ) n c p 0 = = m(m 1)(m 2) (m n + 1) c! c n c m! (m n)! 1 c! c n c ( ) n λ p 0. µ ( ) n λ p 0 µ

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.4 Endliche Populationen 6 53 Stationäre WK für leeres System Mit der Normierungsbedingung p 0 + p 1 + + p n = 1 folgt p 0 = ( c 1 n=0 ( m n )( λ µ ) n + m n=c m! (m n)! 1 c! c n c ( ) ) 1 n λ. µ Die Verteilung der Anzahl B von belegten Bedienern ist gegeben durch die Engset Verteilung P(B = 0) = P(B = k) = ( c ( )( ) ) i 1 m λ, i µ i=0 ( m k ) ( λ µ ) k P(B = 0), 0 < k c.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.4 Endliche Populationen 6 54 Interpretationen Für Interpretation Machine Repair Systemzustand ist Anzahl ausgefallener Maschinen p n = P(Anzahl ausgefallener Maschinen = n), p m n = P(Anzahl funktionierender Maschinen = n). Für Interpretation als einfaches Terminal Modell Systemzustand ist Anzahl unbearbeiteter Aufträge p n = P(Anzahl unbearbeiteter Aufträge = n), p m n = P(Anzahl denkender Nutzer ist = n). Für Interpretation als Web-Server Modell Systemzustand ist Anzahl unbeantworteter Anfragen p n = P(Anzahl unbeantworteter Anfragen = n), p m n = P(Anzahl denkender Nutzer ist = n).

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.4 Endliche Populationen 6 55 Zustands WK bei Ankunft Da nur endliche Population vorhanden ist, bilden Ankünfte keinen Poissonprozeß. Welche stationären Zustands WK sehen ankommende Kunden? a n := P(Ankommender Kunde findet n Kunden vor) = P(N = n Ankunft passiert). Damit gilt Bayes a n = P(Ankunft passiert N = n) p n m P(Ankunft passiert N = k) k=0 = lim h 0 ((m n)λh + o(h)) p n m ((m k)λh + o(h)) p k k=0 = (m n)λp n m = (m n)p n m = (m k)λp k (m k)p k k=0 k=0 (m n)p n m mp k m kp k k=0 k=0 = (m n)p n m m kp k k=0 = (m n)p n m E[N]. Verweilzeitverteilung...

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.4 Endliche Populationen 6 56 Stationäre Verweilzeitverteilung Darstellung mittels Laplace Stieltjes-Transformierten (LST) Seien R (ϑ) LST der Verweilzeit R und R (ϑ n) LST der bedingten Verweilzeit R N = n. Dann R (ϑ) = m 1 n=0 R (ϑ n)a n und R (ϑ n) = µ, falls n < c, ϑ + µ ( ) n c+1 ( ) cµ µ, falls c n < m. ϑ + cµ ϑ + µ Damit R (ϑ) = µ ϑ + µ ( c 1 n=0 a n + m 1 n=c ( ) ) n c+1 cµ a n. ϑ + cµ

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.4 Endliche Populationen 6 57 Stationäre Wartezeitverteilung Für die LST W (ϑ) der stationären Wartezeitverteilung W folgt sofort (wegen V = W + S) c 1 m 1 ( ) n c+1 cµ W (ϑ) = a n + a n. ϑ + cµ n=0 n=c Aus den LST lassen sich mittels Ableitungen Erwartungswert, Varianz und höhere Momente der Warte- und Verweilzeit berechnen. Dichten ergeben sich durch Inversion der LST. Warum Darstellung mittels LST? LST eindeutig, d.h. auch die LST beschreibt die Verteilung eindeutig. Formeln für Dichte und Verteilungsfunktion wesentlich komplizierter/unübersichtlicher. Etwa die Dichte der Verweilzeit c 1 f V (x) = µe µx n=0 a n + m 1 n=c ( ( ) n c+1 ( ) n c+1 c c n c a n µe µx µ e c 1 c 1 r=0 ) µx(µ(c 1)x)r. r!

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.4 Endliche Populationen 6 58 Variante Variante M/M/c//m, c m, also mindestens soviele Bediener wie potentielle Kunden Anzahl der Kunden im System = Anzahl arbeitender Bediener. Nach wie vor (Formel für n < c jetzt für alle n, da n > c unmöglich) ( ) ( ) n m λ p n = p 0. n µ Jetzt mit Normierungsbedingung p 0 + p 1 + + p n = 1 ( m ( )( ) ) n 1 (( m λ p 0 = = 1 + λ m ) 1 = n µ µ) n=0 1 ( ) m. 1 + λ µ Also p n = ( m n ) ( λ µ ) n (( 1 + λ µ) m ) 1 = ( m n ) ( λ µ ) n ( ) m. 1 + λ µ

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.4 Endliche Populationen 6 59 Verteilung der Anzahl arbeitender Bediener Umformung führt zu p n = = ( ) ( ) m n (( ) ( )) n m µ λ µ n λ + µ µ λ + µ ( ) ( ) m n ( ) n m µ λ. n λ + µ λ + µ Anders ausgedrückt P(N = n) = p n = ( ) m p n (1 p) m n, n also Binomialverteilung mit Parameter p := λ λ + µ.

Werner Sandmann: Modellierung und Analyse Kapitel 6 Analyse elementarer Markovscher Modelle 6.4 Endliche Populationen 6 60 6.4.2 M/M/c/c/m Engset-Verlustmodell Jetzt kein Warteraum, d.h. Ankünfte gehen verloren, wenn alle Bediener arbeiten. Gemäß der Formeln des Engset-Wartemodells gilt p n = ( m n c i=0 ) ( ) n λ µ ) ( ) i, 0 n c. λ µ ( m i Die Verlustwahrscheinlichkeit ist also gegeben durch p c = ( m c c i=0 ) ( ) c λ µ ) ( ) i. λ µ ( m i Mehr dazu in der Literatur...