Inhatsverzeichnis 3 Inhatsverzeichnis Vorwort 6 1 Der Taschenrechner 6 1.1 Erste Rechnungen.................................. 6 1.2 Bearbeiten und Löschen der Eingaben....................... 8 1.3 Mehrere Rechenschritte hintereinander....................... 9 1.4 Das Schnetastenmenü.............................. 9 2 Weitere Rechnungen 11 2.1 Eingabe und Umwanden von Brüchen....................... 11 2.2 Rechnen mit Brüchen............................... 12 2.3 Rechnen mit Kammern............................... 13 2.4 Der Variabenspeicher................................ 13 2.5 Potenzieren und Wurzeziehen........................... 14 2.6 Simuation von Zufaszahen............................ 15 2.7 Die Exponentiaschreibweise............................ 16 3 Geichungen und Geichungssysteme 20 3.1 Geichungen ösen mit dem Grafikfenster..................... 20 3.2 Geichungen ösen mit Sove............................ 22 3.3 Lineare Geichungssysteme............................. 23 4 Funktionen untersuchen Tei 1 29 4.1 Grafische Darsteung................................ 29 4.2 Einsteen des Grafikfensters............................ 30 4.3 Die Zoom-Funktion................................. 31 4.4 Wertetabeen.................................... 33 4.5 Der geteite Bidschirm............................... 34 4.6 Funktionswerte berechnen............................. 35 4.7 Nusteen berechnen................................ 36 4.8 Schnittpunkte berechnen.............................. 38 5 Funktionen untersuchen Tei 2 47 5.1 Extrempunkte berechnen.............................. 47 5.2 Abeitungsgraph zeichnen............................. 49 5.3 Wendepunkte berechnen.............................. 50 5.4 Integrae Fächenberechnung........................... 51 5.5 Stammfunktionen zeichnen............................. 54 5.6 Kurvenscharen................................... 55 5.7 Tangenten...................................... 56 5.8 Regression...................................... 57
4 Inhatsverzeichnis 6 Matrizen 65 7 Die Binomiaverteiung 67 7.1 Binomiaverteiung und kumuierte Binomiaverteiung.............. 67 7.2 Berechnung von Kettenänge und Trefferwahrscheinichkeit............ 68 8 Kompexe Aufgaben ösen mit dem GTR 73 8.1 Medikament.................................... 73 8.2 Mountainbikes................................... 78 8.3 Tannensetzing................................... 83 8.4 Matrizen Fertighäuser............................... 87 8.5 Kugeschreiber................................... 91 8.6 Forschungsabor................................... 93 8.7 Busfahrt....................................... 94 9 Einsteungen 96 9.1 Anzeigekontrast................................... 96 9.2 Anzeige der Dezimasteen............................. 96 9.3 Winkemaße..................................... 96 9.4 Zurücksetzen des Geräts.............................. 96 9.5 Spracheinsteungen................................. 96
Inhatsverzeichnis 5 Wie arbeitest du mit diesem Buch? Wenn du den TI-84 Pus C zum ersten Ma in der Hand hätst, ist es am besten, das Buch von vorne durchzuarbeiten, um den Rechner näher kennenzuernen. Wenn du das Gerät schon kennst und eine konkrete Fragesteung hast, kannst du jederzeit direkt im entsprechenden Kapite nachesen. Zu Beginn jedes Kapites wird kurz eräutert, worum es geht. Außerdem wird gezeigt, wo die entsprechenden Funktionen im GTR zu finden sind. Anhand eines Beispies wird das Thema dann konkret behandet. Man ernt am besten durch Üben. Deswegen gibt es zu jedem Thema eine oder mehrere Übungsaufgaben. An diesen kannst du direkt anwenden, was du gerade geesen hast. Die Lösungen zu den Übungsaufgaben befinden sich am Ende des jeweiigen Kapites. Einen neuen Taschenrechner nur durch ein Buch kennenzuernen, ist nicht einfach. Daher iegt diesem Buch eine CD bei, auf der sich Videos befinden, in denen die Benutzung des Taschenrechners noch einma genau gezeigt wird. Die entsprechenden Steen im Buch sind mit einem Kamerasymbo gekennzeichnet. Wichtige Tipps werden durch dieses Symbo am Rand hervorgehoben. Wir wünschen dir vie Spaß mit dem Gerät. Robert Neumann und Hemut Gruber
20 Geichungen und Geichungssysteme 3 Geichungen und Geichungssysteme 3.1 Geichungen ösen mit dem Grafikfenster Der GTR bietet eine speziee Funktion zum Lösen von Geichungen. Es ist aber oft sinnvoer, die Geichung über den Funktioneneditor bzw. das Grafikfenster zu ösen, da man auf diese Art einen besseren Überbick behät. Dazu stest du zuerst die Geichung so um, dass auf der einen Seite Nu steht, gibst die andere Seite im Funktioneneditor ein und bestimmst die Nusteen des zugehörigen Graphen. Bei Geichungen wie z.b. 2x 5 = 17, die nur eine nicht-quadratische Unbekannte enthaten, ohnt es sich oft nicht, den GTR zum Geichungsösen zu benutzen. Bei Geichungen, bei denen x in höheren Potenzen voriegt, ist das Gerät jedoch sehr hifreich. Beispie 1 Gesucht sind die Lösungen der Geichung x 2 2x 5 = 3. Zuerst stest du die Geichung nach Nu um: x 2 2x 8 = 0 Du wechsest in den Funktioneneditor und gibst die inke Seite der Geichung as Funktion ein: Y1 =x 2 2x 8 Um den Graph der Funktion zu zeichnen, benutzt du die Taste [GRAPH]. Die gesuchten Lösungen der Geichung x 2 2x 8 = 0 sind die Nusteen der Funktion. Die Nusteen der Kurve bestimmst du wie im Kapite 4.7 auf Seite 36 beschrieben. Die Lösungen der Geichung x 2 2x 5 = 3 sind aso x 1 = 2 und x 2 = 4. Weitere Nusteen können ausgeschossen werden, da quadratische Funktionen maxima 2 Nusteen besitzen.! Mit Hife des GTR findest du nicht automatisch ae Lösungen, sondern nur die Lösungen im Ausschnitt des Grafikfensters. Mehr dazu im zweiten Beispie. Jede Lösung der Geichung muss einzen bestimmt werden. Eine weitere Methode ist es, die inke Seite der Geichung bei Y1 = einzutragen und die rechte Seite bei Y2 =. Die Lösungen der Geichung sind die x-werte der Schnittpunkte der beiden Kurven; diese berechnest du mit 2nd [CALC] intersect. Die Funktionswerte an diesen Steen haben keine Bedeutung für die hier behandete Fragesteung. Eine dritte Mögichkeit, Geichungen zu ösen, ist die Sover-Funktion im Menü [ MATH]. Dies ist die oben erwähnte «speziee Funktion» des Taschenrechners. Dabei bestehen jedoch die fogenden Einschränkungen:
Geichungen und Geichungssysteme 21 - Die Lösung der Geichung muss geschätzt werden. - Es gibt wenige Anhatspunkte, ob noch weitere Lösungen existieren. Beispie 2 Gesucht sind die Lösungen der Geichung 0,2x 2 + 0,5x = 20. Zuerst stest du die Geichung nach Nu um: 0,2x 2 + 0,5x 20 = 0 Nun wechsest du in den Funktioneneditor und gibst die inke Seite der Geichung as Funktion ein: Y1 =0,2x 2 + 0,5x 20 und ässt die Funktion zeichnen. Um die Nusteen zu bestimmen, rufst du über 2nd [CALC] die Funktion zero auf. Mit Hife des Grafikfensters kann man vermuten, dass inks noch eine weitere Nustee vorhanden ist, daher setzt du Xmin auf 20. Im neuen Anzeigebereich sind nun zwei Nusteen zu sehen und können bestimmt werden. Weitere Nusteen kann es nicht geben, da quadratische Funktionen maxima zwei Nusteen haben. Die erste Lösung der Geichung ist x 1 11,33, die zweite Lösung ist x 2 8,83. Übungen a) Bestimme die Lösungen der fogenden Geichung: x 2 + 4x = 3 b) Bestimme die Lösungen der fogenden Geichung: x 2 = 2x + 168
22 Geichungen und Geichungssysteme 3.2 Geichungen ösen mit Sove Eine weitere Mögichkeit, agemeine Geichungen zu ösen, ist der Equation Sover. Diesen rufst du mit[math] auf (dazu musst du mit den Pfeitasten nach unten scroen). Diese Funktion findet die Lösungen eines gegebenen Ausdrucks. Aerdings ist dafür die Eingabe eines Schätzwerts nötig. Um diesen zu bestimmen, ist es sinnvo, die Geichung as Funktion zeichnen zu assen. Dann ist aerdings der Weg über die Bestimmung der Nusteen der effektivere. Daher ist die Benutzung von Sove nur sehr eingeschränkt zu empfehen. Beispie Gesucht sind die Lösungen der Geichung 0,2x 2 + 0,5x = 20. Du rufst den Sover auf mit [MATH] Sover und gibst in das obere Fed die inke Seite der Geichung ein und in das untere Fed die rechte Seite. Du bestätigst mit [ENTER]. Nun muss in der zweiten Zeie ein Startwert zur Bestimmung der Lösung eingegeben werden. Dort steht im Moment Nu. Ohne Kenntnis der ungefähren Lösungen ist das schwierig, im Beispie wurde jetzt X = 1 in die zweite Zeie eingegeben. Nicht mit [ ENTER] bestätigen, der Cursor muss in der Zeie mit dem X stehen. Um die Lösung anzuzeigen, benutzt du A [SOLVE]. Die erste Lösung wird angezeigt, es handet sich um die positive Lösung, wie sie im zweiten Beispie des vorangegangenen Kapites bestimmt wurde. Gibst du as Schätzwert X = 2 ein, wird die zweite Lösung angezeigt.! Es werden nur die Lösungen bestimmt, die sich in der Umgebung des Schätzwerts befinden!
Kompexe Aufgaben ösen mit dem GTR 73 8 Kompexe Aufgaben ösen mit dem GTR Die fogenden Aufgaben sind kompexer und im Sti von Abituraufgaben gestet, daher auch der Wechse in der Aufgabensteung vom «du» zum «Sie». Anhand dieser Aufgaben kannst du die Strategien erarbeiten, die nötig sind, um soche Aufgaben mit Hife des GTR zu ösen. Bei einigen Aufgaben ist zuerst der «kassische» Weg beschrieben, d.h. das schrittweise Lösen der Aufgabe. Im Anschuss wird gezeigt, dass mit dem GTR diese Aufgaben in wenigen Schritten geöst werden können. Am Rand befinden sich Verweise auf die Seiten im Buch, auf denen die jeweiige Methode ausführich erkärt wird. Die Eingaben in den GTR sind zwecks besserer Lesbarkeit grau hinteregt. 8.1 Medikament Durch die Funktion f (t) = 40t e 0,5t ; t 0 wird die Konzentration eines Medikaments im But eines Patienten beschrieben. Dabei wird t in Stunden seit der Einnahme und f (t) in mg gemessen. a) Skizzieren Sie den zeitichen Verauf der Konzentration. Nach wecher Zeit erreicht die Konzentration ihren höchsten Wert? Wie groß ist dieser höchste Wert? Das Medikament ist nur wirksam, wenn seine Konzentration im But mindestens 8 mg beträgt. Berechnen Sie den Zeitraum, in dem das Medikament wirksam ist. b) Zu wechem Zeitpunkt wird das Medikament am stärksten abgebaut? Wie groß ist zum Zeitpunkt t = 4 die momentane Änderungsrate der Konzentration? Ab diesem Zeitpunkt wird die Konzentration des Medikaments nun näherungsweise durch die Tangente an den Graph von f (t) an der Stee t = 4 beschrieben. Bestimmen Sie damit den Zeitpunkt, zu dem das Medikament voständig abgebaut ist. c) Das Medikament wird nun in seiner Zusammensetzung verändert, seine Konzentration im But wird durch die Funktion g(t) = at e bt mit a > 0 und b > 0 beschrieben. Dabei wird t in Stunden seit der Einnahme und g(t) in mg gemessen. Bestimmen Sie die Konstanten a und b so, dass die Konzentration vier Stunden nach der Einnahme ihren größten Wert mit 20 mg erreicht.
74 Kompexe Aufgaben ösen mit dem GTR Lösungen Lösungen Medikament a) Es ist f (t) = 40t e 0,5t ; t 0. Seite 29 Der Graph der Funktion f hat in dem Bereich, der für die Aufgabe reevant ist, fogenden Verauf: Zuerst gibst du die Funktion im Funktioneneditor in der ersten Zeie Y1 = ein. Um die Variabe t einzugeben, benutzt du [X,T,Θ,n]. Die Eingabe des Funktionsterms wird mit [ ENTER] abgeschossen. Nun wechsest du ins Grafikfenster. Der Graph iegt zu weit «oben», mit [TRACE] kannst du dir Funktionswerte anzeigen assen. Der Bidschirmausschnitt wird entsprechend mit [ WINDOW] angepasst. Nun ist der reevante Tei des Graphen mit dem Hochpunkt sichtbar. Seite 47 Das Maximum von f (t) erhätst du mit dem GTR: t = 2 und f (2) 29,43. Nach zwei Stunden wird aso die maximae Konzentration von 29,43 mg erreicht.
Lösungen Kompexe Aufgaben ösen mit dem GTR 75 Im Grafikfenster wird das Maximum mit von 2nd [CALC] maximum berechnet (inke und rechte Grenze, sowie einen Schätzwert vorher eingeben). Das Medikament ist wirksam, wenn die Konzentration größer ist as 8 mg. Um den Anfangsund Endzeitpunkt zu bestimmen, musst du den Graphen von f (t) mit der Geraden y = 8 schneiden. Die Ergebnisse dieser Schnittpunktbestimmung sind: t 1 0,22 und t 2 7,15. Damit ist: t 2 t 1 = 6,93 Die Länge des Wirksamkeitszeitraums beträgt somit etwa 7 Stunden. Seite 38 Zuerst gibst du die Funktion y = 8 im Grafikeditor in der zweiten Zeie ein und wechsest ins Graphikfenster. Nach der Eingabe von 2nd [CALC] intersect bestätigst du die beiden Graphen mit 2 ma[enter]. Bevor du Guess bestätigst, pazierst du den Cursor nahe an einem der beiden Schnittpunkte. Um die zweite Schnittstee anzeigen zu assen, wiederhost du das Verfahren, pazierst aber den Cursor in der Nähe des zweiten Schnittpunkts, oder gibst bei Guess einen Wert ein, der nahe am zweiten Schnittpunkt iegt. b) Um den Zeitpunkt, an dem das Medikament am stärksten abgebaut wird, zu erhaten, gibt es verschiedene Wege: Man kann mit Hife der Produktrege die Abeitung f (t) berechnen: f (t) = 40e 0,5t + 40t e 0,5t ( 0,5) = (40 20t)e 0,5t Das Minimum von f (t) erhät man mit dem GTR: t = 4. Genau 4 Stunden nach Einnahme des Medikaments wird es am stärksten abgebaut. Die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt t = 4 erhät man mit f (t) oder mit dem Seite 50 GTR: f (4) = (40 20 4)e 0,5 4 = 40e 2 = 40 e 2 5,41.
76 Kompexe Aufgaben ösen mit dem GTR Lösungen Nach 4 Stunden beträgt die momentane Änderungsrate aso etwa 5,4 mg. Mit Hife des GTR kann diese Berechnung kompett durchgeführt werden: Du gibst bei Y2 den Abeitungsbefeh ein: [MATH] nderiv und [X] wie auf dem Screenshot zu sehen. Die Funktion Y1 wird mit oder mit A [F4] aufgerufen. Es ist sinnvo, zuerst noch die y-werte des Fensters anzupassen, z.b auf Ymin = 10. Du wähst nun: 2nd [CALC] minimum. Mit [ ] wechsest du auf die Abeitungsfunktion und gibst die Grenzen und den Schätzwert ein. Der rechts angezeigte Wert ist nicht der y-wert des Wendepunktes, sondern der Funktionswert der Abeitung und damit der Wert der Wachstumsrate. Seite 56 Um die Geichung der Tangente t an den Graph von f (t) an der Stee t 1 = 4 zu erhaten, setzt du t 1 = 4, y 1 = f (4) = 160e 2 und m = f (4) = 40e 2 in die Punkt-Steigungsform y y 1 = m(t t 1 ) ein: y 160e 2 = 40e 2 (t 4) y = 40e 2 t + 320e 2 Schneidet man die Tangente mit der x-achse, so erhät man: 0 = 40e 2 t + 320e 2 = e 2 (320 40t) 320 40t = 0 t = 8 Nach 8 Stunden ist das Medikament aso voständig abgebaut. Mit dem GTR geht das Ganze direkt, ohne dass eine Tangentenforme benötigt wird: Du rufst im Grafikfenster mit 2nd [DRAW] Tangent die Tangentenfunktion auf. (Y2 vorher ausbenden) Bei äteren Betriebssystemversionen und beim TI-83 Pus gibst du ein: nderiv(y1, X, X ). Die Eingabereihenfoge ist:«abzueitende Funktion, Abeitungsvariabe, Wert für den die Abeitung gebidet werden so». Da die Abeitung für «ae X» gesucht ist, wird zum Schuss «X» eingegeben.
Lösungen Kompexe Aufgaben ösen mit dem GTR 77 Nun gibst du den gewünschten x-wert ein und bestätigst mit [ENTER]. Die gesuchte Tangente wird angezeigt und hat die Geradengeichung y = 5,41x + 43,31. Um die Nusteen der Tangente zu berechnen, muss diese erst im Funktioneneditor as Funktion eingegeben werden. Die Eingabe von 2nd [CALC] zero führt dann zur Nusteenberechnung. c) Es ist g(t) = at e bt ; a > 0, b > 0. Die Abeitung g (t) erhätst du mit der Produkt- und Kettenrege: g (t) = a e bt + at e bt ( b) = (a abt) e bt Damit die Konzentration g(t) nach 4 Stunden ihren größten Wert von 20 mg müssen fogende Bedingungen geten: g(4) = 20 g (4) = 0 As Geichungssystem geschrieben bedeutet das: I 4a e 4b = 20 II (a 4ab) e 4b = 0 annimmt, Betrachtet man Geichung II, so ergibt sich (da der zweite Faktor nicht geich Nu sein kann): a 4ab = 0 Auskammern führt zu: a(1 4b) = 0 Wegen a > 0 fogt: 1 4b = 0 b = 1 4 Setzt man b = 1 4 in Geichung I ein, so ergibt sich: 4a e 4 0,25 = 20 4a e 1 = 20 a = 5e 13,59 Die Konzentration erreicht aso 4 Stunden nach der Einnahme ihren größten Wert von 20 mg, wenn a = 5e und b = 4 1 gewäht werden. Die Funktion g(t) autet dann: g(t) = 5e t e 1 4 t = 5te 1 1 4 t