Einführung in die symbolische Logik

Einführung in die symbolische Logik mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendungen Von Rudoff Carnap Professor der Philosophie University of California, Los Angeles Zweite neu bearbeitete und erweiterte Auflage Mit 5 Textabbildungen Springer-Verlag Wien GmbH

ISBN 978-3-7091-3591-4 ISBN 978-3-7091-3590-7 (ebook) DOI 10.1007/978-3-7091-3590-7 Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten Ohne ausdrückliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus auf photomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) zu vervielfältigen Copyright 1960 by Springer-Verlag Wien Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag in Vienna 1960 Softcover reprint of the hardcover 2nd edition 1960

Für Ina in tiefer Dankbarkeit

V orwort zur ersten Auflage In der Gestalt der symbolischen oder mathematischen Logik oder Logistik hat die Logik seit etwa 100 Jahren eine völlig neue Form angenommen. Die Verwendung von Symbolen ist zwar das auffallendste Merkmal der neuen Logik, aber nicht das wesentlichste. Wichtiger sind die Exaktheit der Formulierung, die große Ausdehnung des Gebietes insbesondere in der Theorie der Relationen und der Begriffe höherer Stufen, und die vielfältige Anwendungsmöglichkeit der neuen Methoden. In den letzten Jahrzehnten ist daher das Interesse an der symbolischen Logik in weiteren Kreisen wachgeworden, besonders unter Philosophen und Mathematikern, aber auch unter den Fachwissenschaftlern, die an der Analyse der Begriffe ihrer Fachwissenschaften interessiert sind. Insbesondere in den Vereinigten Staaten ii;,t die symbnlische Logik heute ein anerkanntes Fachgebiet in Forschung und Unti':"lrricht; hier betra<;hten die meisten Autoren, die über Philosophie der Erkenntnis, Sprachanalyse, Methodenlehre der Wissenschaft, Grundlagen der Mathematik, axiomatische Methode und ähnliches schreiben, die symbolische Logik als ein unentbehrliches Hilfsmittel. Dieses Buch möchte dazu beitragen, das Interesse an der symbolischen Logik in den deutschsprachigen Ländern zu fördern. Es unterscheidet sich von den übrigen Lehrbüchern, die meist in englischer Sprache erschienen sind, hauptsächlich in folgenden Punkten. Hier werden nicht nur, wie sonst üblich, die elementaren Teile der Theorie dargestellt, sondern auch ausführlich die höheren Gebiete, besonders die Logik der Relationen, die für die Anwendung besonders wichtig sind. Ferner ist der ganze Teil II der Anwendung der symbolischen Logik gewidmet. Dort wird zunächst die Konstruktion verschiedener Sprachformen, die für Anwendungen in Betracht kommen, erläutert, und dann werden Axiomensysteme aus verschiedenen Gebieten in symbolischer Form dargestellt. Schließlich werden hier, entsprechend dem heutigen Gesichtspunkt, die Theorien der formalen Sprachsysteme - die logische Syntax - und der interpretierten Sprachsysteme - die Semantik - wenigstem; skizziert,. Wenn diese Theorien selbst auch notwendigerweise über den Rahmen eines einführenden Buches hinausgehen, so scheint es mif doch wichtig, daß jeder, der sich die neuen symbolischen Methoden aneignet, sie vom Anfang an unter dem Gesichtspunkt des Aufbaues von deduktiven Systemen zu betrachten lernt. Dadurch gewinnt er wie VOll selbst die Einsicht, daß die Symbolik eine unter genauen Regeln stehende Sprache ist, durch deren Verwendung die Formen seines eigenen Denkens verschärft werden können. Diese Berücksichtigung der logischen Syntax und der Semantik ist es auch, was dieses Buch - abgesehen von seinem

VI Vorwort zur ersten Auflage erheblic'h größeren Umfang - hauptsächlich von meinem früheren Buch unterscheidet ("Abriß der Logistik", Wien 1929, 114 Seiten), das inzwischen vergriffen ist und in vielem durch die schnelle Entwicklung des Gebietes überholt ist. Wenn ein Jahreskurs für das Gebiet der symbolischen Logik geplant wird, so könnte dieses Buch so verwendet werden, daß Teil I A als Grund lage für den Einführungskurs des ersten Semesters genommen wird, ergänzt durch einige in Sprachform A formulierte Anwendungsbeispiele aus Teil H (siehe die Erläuterungen in 42e). Der Kurs des zweiten Semesters würde dann hauptsächlich den Inhalt von Teil I C behandeln, wiederum ergänzt durch Anwendungen aus Teil H. Dazu könnten dann nach dem Belieben des Lehrers in kjeinerem oder größerem Ausmaß Erörterungen über syntaktische und semantische Theorie hinzugefügt werden, sei es auf Grund der kurzen Angaben in Teil I B oder auf Grund ausführlicherer Darstellungen in anderen Büchern. Das gesamte Gebiet der modernen Logik einschließlich der Theorie der formalen und der gedeuteten Sprachsysteme ist jedoch so umfassend, daß es weit besser wäre, wenn zwei Jahreskurse dafür geplant werden könnten. Princeton, N. J., im Januar 1954. ~nstitute for Advanced Study. Rudolf Carnap

Vorwort zur zweiten Auflage Der Inhalt des Buches ist im wesentlichen derselbe geblieben. Bei der Durcharbeitllng sind aber außer zahlreichen kleinen Verbesserungen die folgenden größeren Änderungen und Hinzufügungen gemacht worden. In den Abschnitten 20ff. sind die Erörterungen über die BegrifFe der Sprache, des syntaktischen Systems und des semantischen Systems ausführlicher und genauer gefaßt. Ein neuer Abschnitt (26b) über eine mögliche Formalisierung der Syntax und der Semantik ist hinzugefügt. Für den Begriff der linearen Ordnung gab die erste Auflage (in 31) nur die bisher meist übliche Explikation durch RUSSELLS Begriff der Reihe (D 5); jetzt habe ich eine zweite Explikation hinzugefügt, nämlich die durch den Begriff der einfachen Ordnung (D 8, basiert auf D 6 und D 7). Der Begriff der einfachen Ordnung hat gewisse Vorteile gegenüber dem dex Reihe und wird daher neuerdings häufiger verwendet, besonders von Mathematikern; ich habe ihn jetzt auch in einigen Definitionen in 38 verwendet. Bei der Darstellung der axiomatischen Methode in 42 a wird jetzt ein Unterschied zwischen der Grundsprache L und der axiomatischen Sprache L' gemacht. In 42b habe ich die Deutungen und die Modelle von Axiomensystemen ausführlicher erklärt und den Unterschied zwischen einer Deutung und einem Modell, der oft nicht genügend beachtet wird, hervorgehoben. Auch im zweiten Teil, der Anwendungen der symbolischen Logik behandelt, sind größere Änderungen vorgenommen worden. Der Abschnitt 43 über das Axiomensystem der Mengenlehre ist gänzlich umgearbeitet. In 43a ist das Axiom der Regularität (A 9) hinzugefügt. Der frühere Abschnitt 43b, der eine zweite Fassung des Axiomensystems mit Funktoren als Grundzeichen gab, ist jetzt weggelassen. Der neue Abschnitt 43 b ist eine Erweiterung eines Teiles des ursprünglichen 43 a; er enthält eine geänderte Form des Beschränktheitsaxioms (A 10). Ferner ist der Abschnitt 43c hinzugefügt; hier wird eine neue Fassung des Axiomensystems mit Individuenvariablen als einzigen Variablen gegeben. Im Abschnitt 46 über das Axiomensystem der Umgebungen ist eine neue zweite Fassung hinzugefügt (46 b); die Definitionen der logischen Begriffe (46c) basieren jetzt auf der einfacheren zweiten Fassung. Das Literaturverzeichnis (56) ist durch Angabe neuerer Veröffentlichungen ergänzt worden. In den Kapiteln A, Bund C habe ich zahlreiche neue Übungen angegeben; für seine Mithilfe hierbei möchte ich DAVID B. KAPLAN bestens danken. Los Angeles, im Herbst 1959. Rudolf Carnap

Inhaltsverzeichnis Erster Teil System der symbolischen Logik A. Die einfache Sprache A.... Seite 1 1. Die Aufgabe der symbolischen Logik...................... 1 a) Der Zweck der symbolischen Sprache 1. - b) Die Entwicklung der symbolischen Logik 2. 2. Individuenkonstanten und Prädikate... 4 a) Individuenkonstanten und Prädikate 4. - b) Satzkonstanten 6. - c) Prädikate für Beispiele 6. 3. Satzverknüpfungen........................................ 7 a) Deskriptive und logische Zeichen 7. - b) Verknüpfungszeichen 7. - c) Fortlassen von Klammern 9. - d) Übungen 10. 4. Die Wahrheitstafeln...................................... 10 a) Wahrheitstafeln 10. - b) Wahrheitsbedingung und Sinn 14. 5. L-Begriffe... 15 a) Tautologische Sätze 15. - b) Spielraum und L-Wahrheit 16. 6. L.lmplikation und L-Äquivalenz.......................... 19 a) L-Implikation und L-Äquivalenz 19. - b) Gehalt 21. - c) Klassen von Sätzen 22. - d) Beispiele 23. 7. Satz variable... 24 a) Variable und Satzformeln 24. - b) Satzvariable 24. 8. Tautologische Satzformeln................................. 26 a) Tautologische Implikationsformeln 26. - b) Vertauschbarkeit 29. - c) Tautologische Äquivalenzformeln 30. - d) Ableitungen 33. 9. All- und Existenzsätze.................................... 34 a) Individuenvariable und Operatoren 34. - b) Mehrere Operatoren 35. - c) Allgemeine Implikationen 36. - d) übersetzungen aus der Wortsprache 37. 10. Prädikatvariable......................................... 38 a) Prädikatvariable 38. - b) Intensionen und Extensionen 39. 11. Bewertungen............................................. 42 12. Einsetzungen... 44 a) Einsetzungen für Variable 44. - b) Einsetzungen für Satzvariable 45. - c) Einsetzungen für Individuenvariable 45. - d) Einsetzungen für Prädikatvariable 46. - e) Lehrsätze über Einsetzungen 48. - f) Beispiele 49. 13. Lehrsätze über Operatoren... 51

x Inhaltsverzeichnis Seite 14. Vertauschbarkeit und Definitionen... 54 a) Vertauschbarkeit 54. - b) Definitionen 56. - c) Beispiele 57. 15. L-wahre Formeln mit Operatoren..................... 58 a) L-wahre Implikationsformeln 58. - b) L-wahre Äquivalenzformeln 61. - c) Übtmgen 64. 16. Prädikate höherer Stufen... 66 a) Prädikate und Prädikatvariable verschiedener Stufen 65. - b) Stufenerhöhung 66. - c) Beispiele 67. 17. Identität; Kardinalzahlen... 68 a) Identität 68. - b) Beispiele 69. - c) Kardinalzahlen 70. 18. Funktoren...... 71 a) Ftmktoren; Bereiche einer Relation 71. - b) Bedingungen für die Einführung von Funktoren 73. 19. Isomorphie............................................. 74 B. Die Sprache B... 77 20. Semantische und syntaktische Systeme..................... 77 21. Formregeln für Sprache B................................. 79 a) Die Sprache B 79. - b) Das System der Typen 80. - c) Russells Antinomie 82. - d) Satzformeln und Sätze in B 83. - e) Definitionen in Sprache B 84. 22. Umformungsregeln für Sprache B... 85 a) Grundsatzschemata 85. - b) Erläuterungen zu einigen Grundsätzen 86. - c) Schlußregeln 88. 23. Beweise und Ableitungen in Sprache B..................... 89 a) Beweise 89. - b) Ableitungen 91. 24. Lehrsätze über Beweisbarkeit und Ableitbarkeit in Sprache B.. 92 a) Allgemeine Lehrsätze für Sprache B 92. - b) Vertauschbarkeit 93. 25. Das semantische System für Sprache B..................... 95 a) Bewertungen und Auswertungen 95. - b) Bezeichnungsregeln 98. - c) Wahrheit 99. 26. Beziehungen zwischen syntaktischen und semantischen Systemen 100 a) Deutung einer Sprache 100. - b) Über die Möglichkeit einer Formalisierung von Syntax und Semantik 102. C. Die erweiterte Sprache C... 105 27. Die Sprache C... 105 28. Prädikatverknüpfungen................................... 106 a) Prädikatverknüpfungen 1O~. - b) Universalität 107. - c) Klassenterminologie 109. - d) Ubungen 111. 29. Identität; Extensionalität... 111 a) Identität 111. - b) Über die Typen logischer Konstanten 112. - c) Extensionalität 113. 30. Relationsprodukt; Relationspotenzen........ 114 a) Relationsprodukt 114. - b) Relationspotenzen 115. - c) Ergänzung 117.

Inhaltsverzeiohnis Seite 31. Versohiedene Arten von Relationen... 118 a) Darstellllllgen von Relationen 118. - b) Symmetrie, Transiti vität, Reflexivität 118. - c) Lehrsätze über Relationen 120. - d) Lineare Ordnllllg: Reihen lllld einfache Ordnllllgen 122. - e) Eineindeutigkeit 125. 32. Weitere logische Prädikate, Fllllktoren lllld Verknüpfllllgen... 125 a) Leere Klasse lllld Allklasse 125. - b) Vereinigllllgsklasse lllld Durchschnittsklasse 126. - c) Verknüpfllllgen von Relationen lllld Klassen 127. - d) Lehrsätze 128. - e) Aufzählllllgs. klassen 129. 33. Der )'.Operator........................................... 1:30 a) }. Operator 130. - b) Regel für den )'.Operator 133. - c) Defi nitionen durch )' Ausdrücke 135. - d) Die R von b 136. 34. Äquivalenzklassen, Strukturen, Kardinalzahlen... 137 a) Äquivalenzrelationen lllld Äquivalenzklassen 137. - b) Struk turen 139. - c) Kardinalzahlen 141. - d) Strukturelle Eigen schaften 142. 35. Kennzeichnllllgen von Individuen... 14:~ a) Kennzeichnllllgen 143. - b) Relationale Kennzeichnllllgen 146. 36. Erblichkeit lllld Relationsketten... 147 a) Erblichkeit 147. - b) Relationsketten 148. - c) R Fami lien 149. 37. Endliches lllld Unendliches... 150 a) Progressionen 150. - b) Summe und Vorgängerrelation 151. - c) Induktive Kardinalzahlen 152. - d) Reflexive Klassen 153. - e) Unendlichkeitsannahme 154. :38. Stetigkeit... 156 a) Wohlgeordnete Relationen, dichte Relationen, rationale Ord nllllgen 156. - Stetigkeit 157. b) Dedekindsche Stetigkeit und Cantorsche Zweiter Teil Anwendungen der symbolischen Logik D. Formen und Methoden des Sprachaufbaues... 159 39. Dingsprachen... 159 a) Dinge lllld ihre Schichten 159. - b) Drei Formen der Ding. sprache; Sprachform I 161. - c) Sprachform II 162. - d) Sprachform III 163. 4-0. Koordinatensprachen...................................... i63 a) Koordinatensprache mit natürlichen Zahlen 163. - b) Rekur sive Definitionen 166. - c) Koordinatensprache mit ganzen Zahlen 166. - d) Reelle Zahlen 168. 41. Quantitative Begriffe............................... 169 a) Quantitative Begriffe in Dingsprachen 169. - b) Formulierllllg von Gesetzen 170. - c) Quantitative Begriffe in Koordinaten sprachen 171. 42. Die axiomatische Methode................................. 172 a) Axiome lllld Theoreme 172. - b) Formalisiel'llllg lllld Sym. bolisierllllg; Deutllllgen lllld Modelle 173. - c) Widerspruchs. freiheit, Vollständigkeit, Monomorphie 175. -- d) Der Explizit begriff 176. - e) Die ASe im Teil II 177. XI

XII Inhaltsverzeichnis Seite E. Axiomensysteme (ASe) der Mengenlehre und Arithmetik 179 43. AS der Mengenlehre... 179 a) Das Zermelo-Fraenkel-AS 180. - b) Das Axiom der Beschränktheit 181. - c) Geänderte Fassung des AS in einer elementaren Grundsprache 183. 44. Peanos AS der natürlichen Zahlen..... _... 184 a) Erste Fassung, die ursprüngliche Form 184. - b) Zweite Fassung, nur ein Grundzeichen 184. 45. AS der reellen Zahlen..................................... 186 F. ASe der Geometrie... 188 46. AS der Topologie (Umgebungsaxiome)... 188 a) Erste Fassung 188. - b) Zweite Fassung 189. - c) Definition logischer Begriffe 191. 47. AS der projektiven, affinen und metrischen Geometrie... 192 a) AS der projektiven Geometrie 193. - b) Affine Geometrie 195. - c) AS der metrischen, euklidischen Geometrie 196. G. ASe der Physik... 198 48. ASe der Raum-Zeit-Topologie: 1. Das K-Z-System.... 198 a) Allgemeine Erläuterungen 198. - b) K, Z und Weltlinien 199. - c) Wirkungsrelation 202. - d) Die Struktur des Raumes 204. 49. ASe der Raum-Zeit-Topologie: 2. Das Wlin-System... 208 50. ASe der Raum-Zeit-Topologie: 3. Das W-System... 210 51. Determination und Kausalität... 2ll a) Der allgemeine Begriff der Determination 211. - b) Prinzip der Kausalität 212. H. ASe der Biologie... 214 52. AS der Dinge und ihrer Teile... 214 a) Die Dinge und ihre Teile 214. - b) Die Schichten der Dinge 216. - c) Zeitrelation 217. 53. AS einiger biologischer Begriffe... 217 a) Teilung und Verschmelzung 217. - b) Hierarchien, Zellen, Organismen 219. 54. AS der Verwandtschaftsbegriffe... 221 a) Biologische Verwandtschaftsbegriffe 221. - b) Juristische Verwandtschaftsbegriffe 223. Anhang... 227 55. Übungsaufgaben zur Anwendung der symbolischen Logik... 227 a) Mengenlehre und Arithmetik 227. - b) Geometrie 228. - c) Physik 230. - d) Biologie 231. 56. Literaturverzeichnis....................................... 232 57. Literaturhinweise....................................... 235 Namen - und Sachverzeichnis... 237 Zeichen der symbolischen Sprache und der Metasprache... 241