8 Laplace-Transformation

8 Laplace-Transformation Ausgangspunkt: Die Heaviside-Funktion für t < u(t) = 1 für t besitzt keine Fourier-Transformation. Denn: Formal bekommt man das unbestimmte Integral ^u(ω) = e iωτ dτ = 1 iω das für ω offensichtlich nicht existiert. Beachte: u / L 1 (R). [ 1 lim τ (cos(ωτ) i sin(ωτ)) ] Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 241

Gibt es alternative Integraltransformationen? Voraussetzung: Ab sofort f(t) = für t <, so dass formal (wie eben) g(ω) := ^f(ω) = f(τ)e iωτ dτ. Nun: Um Konvergenz zu erzwingen, verwenden wir konvergenzerzeugenden Faktor e at, für a >, und betrachten stattdessen das uneigentliche Integral und somit G(ω) = F(τ)e iωτ dτ wobei F(τ) = e aτ f(τ) für a >. G(ω) = f(τ)e (a+iω)τ dτ Beachte: Es gelten (unter Voraussetzungen an f) die (Fourier-)Umkehrformeln F(t) = 1 2π f(t) = 1 2π G(ω)e iωt dω G(ω)e (a+iω)t dω. Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 242

Konstruktion der Laplace-Transformation. Ausgangspunkt: Mit der Umkehrformel f(t) = 1 2π G(ω)e (a+iω)t dω = 1 2π f(τ)e (a+iω)τ e (a+iω)t dτ dω und der Substitution s = a + iω C erhält man mit dem Symbol ( ) s a [L(f)](s) := G = G(ω) i die Laplace-Transformation [L(f)](s) = sowie die Laplace-Umkehrformel f(τ)e sτ dτ =: φ(s) f(t) = 1 2πi a+i a i φ(s)e st ds =: [ L 1 (φ(s)) ] (t). Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 243

Die Laplace-Transformation und deren Inverse. Definition: Falls für f das uneigentliche Integral [L(f)](s) = f(τ)e sτ dτ = φ(s) existiert, so bezeichnet man φ als Laplace-Transformation von f. Falls für φ das uneigentliche Integral [ L 1 (φ(s)) ] (t) = 1 2πi a+i a i φ(s)e st ds existiert, so bezeichnet man L 1 (φ) als inverse Laplace-Transformation von φ. Der Integraloperator L 1 wird entsprechend als inverse Laplace-Transformation bezeichnet. Somit gilt (unter geeigneten Voraussetzungen) φ(s) = [L(f)](s) und f(t) = [L 1 (φ)](t). Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 244

Zur Existenz der Laplace-Transformation. Satz: Sei f auf (, ) lokal integrierbar, und es gelte f(t) Me γt für alle t mit geeigneten Konstanten M und γ, so existiert die Laplace-Transformation für alle s C mit Re(s) > γ. φ(s) = f(τ)e sτ dτ Beweis: Mit f(t) ist auch e st f(t) lokal integrierbar, und wegen e st f(t) = e Re(s) t f(t) gilt mit dem Majorantenkriterium sogar absolute Konvergenz, f(τ)e sτ dτ Me (Re(s) γ)τ M dτ = Re(s) γ. Das Infimum aller γ mit obiger Abschätzung heißt Konvergenzabzisse von f. Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 245

Beispiele. Beispiel 1: Für die Heaviside-Funktion für t < u(t) = 1 für t gilt [L(u)](s) = φ(s) = e sτ dτ = 1 s [ e sτ ] τ= τ= = 1 s für Re(s) >. In diesem Fall ist γ = die Konvergenzabzisse. Beispiel 2: Für Re(s) > Re(β) (und somit γ = Re(β)) gilt [ L ( e βt )] (s) = e (β+s)τ dτ = 1 s + β. Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 246

Weiteres Beispiel. Beispiel 3: Für Re(s) > gilt [L(sin(βt))](s) = sin(βτ)e sτ dτ = 1 [ cos(βτ)e sτ ] τ= β s cos(βτ)e sτ dτ τ= β = 1 β s { 1 [ sin(βτ)e sτ ] τ= β β τ= + s } sin(βτ)e sτ dτ β und somit ( ) 1 + s2 β 2 [L(sin(βt))](s) = 1 β Analog zeigt man [L(cos(βt))](s) = für Re(s) > s s 2 + β 2 für Re(s) > Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 247

Noch ein Beispiel. Beispiel 4: Betrachte für s > (reell und positiv) die Laplace-Transformation [L(t n )](s) = so folgt (mit der Substitution ξ = sτ) τ n e sτ dτ [L(t n )](s) = 1 s n+1 ξ n e ξ dξ = Γ(n + 1) s n+1 für s >, und somit (für n N ) [L(t n )](s) = n! s n+1 für s >. Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 248

Laplace-Transformation von Ableitungen. Erfüllt f für f C 1 die Voraussetzungen des vorigen Satzes zur Existenz der Laplace-Transformation, so bekommt man für die Laplace-Transformation [L(f )] (s) = mit partieller Integration f (τ)e sτ dτ [L(f )] (s) = [ f(τ)e sτ] τ= τ= + s f(τ)e sτ dτ, so dass mit (der angegebenen Voraussetzung) lim τ f(τ)e sτ = gilt [L(f )] (s) = s [L(f)](s) f(). Für höhere Ableitungen von f gilt unter entsprechenden Voraussetzungen [ ] L(f (n) ) (s) = s n [L(f)](s) n 1 k= s k f (n 1 k) (). Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 249

Noch mehr Beispiele. Beispiel 5: Mit der Substitution kτ = ξ bekommt man für [L(f(kt))] (s) = das Resultat [L(f(kt))] (s) = 1 k f(kτ)e sτ dτ für k > f(ξ)e s k ξ dξ = 1 [L(f(t))] (s/k) k Beispiel 6: Es gilt [L(t f(t))] (s) = τf(τ)e sτ dτ = d ds f(τ)e sτ dτ und daraus folgt die Implikation φ(s) = [L(f(t))](s) = φ (s) = [L(t f(t))](s). Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 25

Verschiebungssätze. Erster Verschiebungssatz: Es gilt der erste Verschiebungssatz [ L(e kt f(t)) ] (s) = f(τ)e (s+k)τ dτ = [L(f(t))](s + k) für Re(s) > max(γ, γ k). Mit der Rücktransformation erhält man [ L 1 (φ(s)) ] (t) = e kt L 1 [(φ(s k))](t), Zweiter Verschiebungssatz: Es gilt der zweite Verschiebungssatz [L(f(t k))](s) = e sk [L(f(t))](s). Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 251

Faltungssatz. Satz: Für die Faltung (Konvolution) (f g)(t) = t f(τ)g(t τ)dτ zweier Funktionen f und g gilt (unter den vorigen Voraussetzungen) die Formel L(f g) = L(f) L(g) Beweis: Es gilt [L(f g)](s) = = α (f g)(α)e sτ dτ f(τ)g(α τ)dτ e sα dα Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 252

Fortsetzung des Beweises. Unter Vertauschung der Integrationsreihenfolge bekommt man [L(f g)](s) = = τ f(τ)g(α τ)e sα dα dτ f(τ)e sτ g(α τ)e s(α τ) dα dτ τ und weiterhin (mit der Substitution ρ = α τ im zweiten Integral) [L(f g)](s) = = f(τ)e sτ f(τ)e sτ dτ g(ρ)e sρ dρ dτ = [L(f)](s) [L(g)](s) g(ρ)e sρ dρ Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 253

Beispiel. Betrachte die Funktion H(s) = 1 s 3 (s 2 + ω 2 ) = 1 s 3 1 s 2 =: F(s) G(s) + ω2 Für f(t) = t 2 /2 (Beispiel 4) und g(t) = sin(ωt)/ω (Beispiel 3) gilt Mit dem Faltungssatz gilt daher [L(f)](s) = F(s) und [L(g)](s) = G(s) h(t) := [L 1 (H)](t) = [L 1 (F G)](t) = (f g)(t) und somit (unter zweifacher Verwendung partieller Integration) h(t) = = 1 2ω t τ 2 sin(ω(t τ))dτ t 2 2ω 2 1 cos(ωt) ω 4. Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 254