Exponentialverteilung Dauer von kontinuierlichen Vorgängen (Wartezeiten; Funktionszeiten technischer Geräte) Grenzübergang von der geometrischen Verteilung Pro Zeiteinheit sei die Eintrittswahrscheinlichkeit p P(X=k)=p(1-p) k bzw. P(X k)=(1-p) k Bei Verkleinerung der Zeiteinheiten muss sich die Eintrittswahrscheinlichkeit proportional ändern, damit die Wahl der Zeiteinheit das Ergebnis nicht beeinflusst: 1/2 Zeiteinheit ==> p/2 1/3 Zeiteinheit ==> p/3 Statistik für SoziologInnen 1 Exponentialverteilung
Exponentialverteilung P(X k)=(1-p) k P(X k)=(1-p/2) 2k P(X k)=(1-p/3) 3k... P(X k)=(1-p/n) nk bei 1 Zeiteinheit bei 1/2 Zeiteinheit bei 1/3 Zeiteinheit bei 1/n Zeiteinheit Die kontinuierliche Betrachtung ergibt sich durch n : P(X k) = (1-p) k diskretes Modell ~ Geometrische V. P(X k) = exp(-pk) stetiges Modell~ Exponential V. P(X x) = 1 - exp(- x) Verteilungsfunkt. (x 0) Statistik für SoziologInnen 2 Exponentialverteilung
Exponentialverteilung Dichtefunktion f(x)=.exp(- x) Verteilungsfunkt. (x 0) P(X x) = 1 - exp(- x) y 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 lambda = 1 lambda = 0.25 y 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 lambda = 1 lambda = 0.25 0 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8 10 12 14 Statistik für SoziologInnen 3 Exponentialverteilung
Exponentialverteilung Sei X eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter, d.h. X~EX( ), so gilt E(X) = 1/ V(X) = 1/ ² Std.Abw(X) = 1/ Beachte: Bei der Exponentialverteilung gilt, dass der Erwartungswert identisch mit der Standardabweichung ist Die Exponentialverteilung hat eine no memory oder no ageing Eigenschaft: h(x) = f(x)/(1-f(x)) = const. h(x)... Hazardfunktion (instantaneous risk of mortality) Statistik für SoziologInnen 4 Exponentialverteilung
Exponentialverteilung Ist die "Anzahl der Vorkommnisse eines bestimmten Phänomens" poissonverteilt (Poisson- Prozess) Anzahlen des Eintreten in nicht-überlappenden Zeiteinheiten sind unabhängig Wahrscheinlichkeit für das Auftreten in einem (kleinen) Intervall der Länge dt sei dt Mit dt 0 geht die Wahrscheinlichkeit für das mehrfache Auftreten in einem Intervall gegen Null dann ist der zeitliche Abstand zwischen dem Auftreten von zwei Beobachtungen des interessierenden Phänomens exponentialverteilt. Statistik für SoziologInnen 5 Exponentialverteilung
Beispiel: Im Durchschnitt beträgt die Zeit zwischen den Ankünften zweier Kunden an einem Bedienungsschalter 2,5 Minuten. Unter der Modellannahme, dass die Zeit zwischen den Ankünften von zwei Kunden exponentialverteilt sei, ergibt sich für den Parameter =0,4 (E(X) = 1/ = 2,5) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit, dafür, dass zwischen dem Eintreffen zweier Kunden mehr als 2 Minuten verstreichen. P(X k) = exp(-pk) P(X>2)=1-P(X 2) =1-(1-exp(-0.4*2)) = exp(-0.8) = 0.4493 Statistik für SoziologInnen 6 Exponentialverteilung
Beispiel: Es wird die Lebensdauer von 100 Glühbirnen in h beobachtet: 108 966 5 2623 944 1527 827 913 1222 2774 1180 1757 1933 577 2681 2778 4553 1223 3988 272 3620 1298 1441 2926 1011 8734 15 37 91 968 9674 143 298 709 8313 1661 561 191 2050 753 185 1280 1180 1433 2914 2203 4338 2473 433 54 7801 734 2044 354 30 392 2102 8468 69 174 6403 1942 92 7286 2268 1543 2047 362 1276 810 4549 418 118 7470 6802 1752 8712 926 4464 908 1246 611 1202 5651 323 559 2384 1268 2321 220 3126 1572 1416 2918 2118 9361 123 2775 4265 3911 mean(x)= 2235.24 ==> = 0.0004474 var(x)= 5901954 Std.Abw.(x)= 2429.39 Statistische Schätzung Statistik für SoziologInnen 7 Exponentialverteilung
0.0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 Histogramm und Exponentialverteilung Empirische Verteilung (rot) Theoretisches Verteilungsmodell auf Basis des aus den empirischen Daten geschätzten Parameters (schwarze Linie) 0 2000 4000 6000 8000 10000 x Statistik für SoziologInnen 8 Exponentialverteilung
Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 1 Glühbirne länger als 1 Jahr (=8760 h) brennt? P(X>8760)=1-P(X<8760)= 1-(1-exp(-0.0004474*8760)=exp(-3.919)= 0.0199 ~ 2% Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 1 Glühbirne länger als 1000 h brennt? P(X>1000)=1-P(X<1000)= 1-(1-exp(-0.0004474*1000)=exp(-.04474)= 0.6393 ~ 64% Statistik für SoziologInnen 9 Exponentialverteilung
Beispiel: Wie ist die Summe der Brenndauern von n Glühbirnen verteilt? Im Beispiel wurde wiederholt die Funktionsdauer von n=10 zufällig ausgewählten Glühbirnen addiert: 11909 20942 20141 24353 16493 22168 24029 36119 15785 31585 Wie schaut die Verteilung der Summenwerte aus? ==> zentr. Grenzwertsatz Statistik für SoziologInnen 10 Exponentialverteilung
Verteilung der Summen von n=10 Glühbirnen Statistik für SoziologInnen 11 Exponentialverteilung
Beispiel Nach Angaben des Produzenten beträgt die mittlere Lebensdauer einer in den Verkauf gebrachten 100- Watt Glühbirne 5000 Stunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne, (a) weniger als die Hälfte (b) mehr als das Doppelte der durchschnittlichen Lebensdauer erreicht? Modellannahme: X exponentialverteilt P(X<x)=1-exp(- x) =1/5000 P(X<2500)=1-exp(-2500/5000)=1-exp(-1/2)=0.394 P(X>10.000)=1-(1-exp(-10000/5000))=exp(-2)=0.135 Statistik für SoziologInnen 12 Exponentialverteilung
Beispiel Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensaduer einer Glühbirne um mehr als 100 Stunden von der durchschnittlichen Lebensdauer abweicht? X~Exp(1/5000) P(4900<X<5100)=0,015 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelwert von 1000 Glühbirnen um mehr als 100 Stunden von der durchschnittlichen Lebensdauer abweicht? Modellannahme: Mittelwert normalverteilt N(5.000; 5.000²/1000) P(4900<MW<5100)=0,473 Statistik für SoziologInnen 13 Exponentialverteilung