Aufgabe W2b/2003 Die vier dunkel eingefärbten Teilflächen eines regelmäßigen Fünfecks mit der Seitenlänge 7,6 bilden den Mantel einer quadratischen Pyramide. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. Der Punkt liegt auf der Mitte der Strecke. Berechnen Sie die Länge von im Körper. Tipp: Berechnung von über den Kosinussatz. Lösung: 69,1 8,3 Aufgabe W3a/2005 Von einer regelmäßigen neunseitigen Pyramide sind bekannt: 300 (Mantelfläche) 6,4 (rundkante) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. Lösung: 473 Aufgabe W3a/2007 Ein regelmäßiges Fünfeck hat die Seitenlänge 3,6. Verlängert man alle Fünfeckseiten, so entsteht das Netz einer regelmäßigen Pyramide. Berechnen Sie die Mantelfläche und das Volumen der Pyramide. Lösung: 49,9 36,8
Aufgabe W2a/2009 Von einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide sind gegeben: 126 (Mantelfläche) 8,4 (Höhe der Seitenfläche) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks. Lösung: 33,8 Aufgabe W2b/2010 Aus einem rechteckigen Stück Papier wird der Mantel einer sechsseitigen Pyramide gefertigt. Der Punkt ist der Mittelpunkt der Seitenkante. Berechnen Sie die Länge der Strecke in der Pyramide. Tipp: Strecke über den Kosinussatz. Lösung: 31,0 Aufgabe W2a/2011 Von einer massiven regelmäßigen fünfseitigen Pyramide sind bekannt: 329 (Volumen der Pyramide) 7,0 Ein Teil der Pyramide wird ausgeschnitten (siehe Skizze). Berechnen Sie die Oberfläche des entstandenen Körpers. Lösung: 314,6
Aufgabe W2a/2013 Von einer massiven regelmäßigen sechsseitigen Pyramide sind bekannt: 3,4 6,7 Ein Teil der Pyramide wird abgeschnitten (siehe Skizze). Berechnen Sie die Mantelfläche des neu entstandenen Körpers. Lösung: 70,1 Aufgabe W2a/2014 Eine regelmäßige achtseitige Pyramide hat die rundkante 12,0 Berechnen Sie die Länge!". Diese Pyramide hat das Volumen 836. Berechnen Sie die Länge!#. Tipp: Kosinussatz für Seitenkante der acht gleichseitigen Dreiecke der rundfläche, trigonometrischer Flächeninhalt eines Dreiecks für Flächeninhalt der rundfläche der Pyramide. Lösung:!"31,4!#28,8
Aufgabe W2a/2015 egeben sind zwei Dreiviertelkreise. Aus ihnen werden der Mantel eines Kegels und der Mantel einer regelmäßigen sechsseitigen Pyramide gefertigt. Berechnen Sie die Differenz der beiden Körperhöhen. Lösung: $%& 14,02 ()*+,- 13,64 Aufgabe W2a/2016 Aus einer Kreisfläche wird die Mantelfläche einer regelmäßigen, fünfseitigen Pyramide ausgeschnitten. Der Kreis hat einen Radius von 8,3. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide Lösung: () 163
Lösung W2b/2003 Volumen der Pyramide über (quadratische Pyramide). Berechnung des Innenwinkels und des Fünfecks. Berechnung von über den. Hieraus folgt. Berechnung der Strecke (entspricht der halben Diagonalen der quadratischen rundfläche). Berechnung von über den Satz des Pythagoras. Berechnung des Volumens der Pyramide. Berechnung von über den von zu, hieraus folgt. Berechnung der Strecke über den Kosinussatz mit, und. : 72 hieraus 36.! : & ; &,-.,0,- 6,46 : 6,46 hieraus 3,23 : 2 7,6 2 5,37 : 4 5 66,46 5 5,37 Satz des Pythagoras 12,8947 3,59 : 7,6 3,59 69,12 : :,!;,< 0,5557 >?0,5557@ 56,24 hieraus 112,5 : A B C 5 2 Kosinussatz 6,46 A 3,23 5 2 6,46 3,23 112,5 68,1345 668,1345 8,2544 Das Volumen der Pyramide beträgt 69,1 D. Die Strecke ist 8,3 D lang.
Lösung W3a/2005 Volumen der Pyramide über E. Berechnung von E: Wir berechnen die rundfläche des regelmäßigen Neunecks. Der Mittelpunktswinkel ist 40. Daraus ergeben sich die ; Basiswinkel der jeweiligen Teildreiecke zu 0 > 70. Wir berechnen den Radius des Umkreises über den Sinussatz. Wir berechnen die Fläche des Teildreiecks F über den trigonometrischen Flächeninhalt, multiplizieren das Ergebnis mit 9 und haben somit die röße der rundfläche errechnet. Berechnung von : Über den gegebenen Mantel berechnen wir die Fläche eines Seitendreicks der Pyramide. Mithilfe dieser Fläche und der rundseite errechnen wir die Höhe eines Seitendreiecks. Wir berechnen die Höhe HI (siehe rafik) eines Teildreiecks der rundfläche. Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich nunmehr die Höhe der Pyramide ermitteln. E Berechnung von E: : 40 ; : 0 > 70 :,-<!,-K" Sinussatz,-K,<,-K 9,36,-<,-< HIM : HIM trigonometrischer Flächeninhalt HIM 9,36 40 28,16 E: E 9 HIM 9 28,16 253,40 Berechnung von : NO,PO : NO,PO M 33,3333 ; ; : NO,PO H QRSTR,,< 10,42 HI : HI 4 5 B C 69,36 5 3,2 Satz des Pythagoras HI 77,37 8,80 : 4 5 HI 31,14 5,6 610,42 5 8,80 Satz des Pythagoras
: 253,4 5,6 473,01 Das Volumen der Pyramide beträgt 473 D. Lösung W3a/2007 Der Mantel der regelmäßigen, fünfseitigen Pyramide entspricht fünfmal der Fläche des Dreiecks FU. Für die Dreiecksfläche benötigen wir die Länge von N. Für N wiederum benötigen wir den Winkel. Im Drachenviereck UVW sind die Winkel UW, WV und VU gleich groß und entsprechen dem Winkel X. errechnet sich somit aus der Winkelsumme im Viereck von 360 abzüglich dreimal dem Winkel X. Die Fläche des Dreiecks FU kann jetzt ermittelt werden und damit auch der Mantel der Pyramide. Für das Volumen der Pyramide wird die rundfläche des Fünfecks sowie die Höhe benötigt. Hierzu muss ermittelt werden über den Y. errechnet sich aus dem Spitzenwinkel des Dreiecks F. Die Fläche des Dreiecks F errechnet sich nun über die Flächenformel des Dreiecks aus und. Die rundfläche ist fünfmal die Fläche des Dreiecks F. Die Höhe der Pyramide errechnet sich aus dem Satz des Pythagoras. Danach kann das Volumen der Pyramide berechnet werden. X: X! 0 > 108! : 360 5 3 X 360 5 3 108 36 2; : N : 18 Y & N & P- Z : Q N ; Y,0 P-0 5,54 HI[ : HI[ 3,6 5,54 9,97 : 5 HI[ 5 9,97 49,86 : 72 hieraus 36.! : Y & & P-. : & ; Y,0 P- 2,48 HIM : HIM 3,6 2,48 4,46 E: E 5 HIM 5 4,46 22,3 : 4 N 5 65,54 5 2,48 Satz des Pythagoras 624,5412 4,95
: E 22,3 4,95 36,795 Der Mantel der Pyramide hat einen Flächeninhalt von 49,9 D. Ihr Volumen ist 36,8 D groß. Lösung W2a/2009 Berechnung des Flächeninhalts eines Seitendreiecks über den gegebenen Mantel. Berechnung der rundkante aus der Flächenformel für Dreiecke und daraus. Berechnung des Spitzenwinkels und daraus. Berechnung von über den Y. Berechnung von über den Satz des Pythagoras. Berechnung des Winkels \ über den. Berechnung der Strecke W als Summe von und. Berechnung der Fläche des Dreiecks W] über die trigonometrische Flächenformel. HIN : HIN 126 25,2!! : HIN N 2; N H^_Q!, : Q 0,< hieraus 3 :! : Y & & P-. : & ; Y P- 4,13 : 4B C A 63 A 4,13 Satz des Pythagoras 626,0569 5,1 \: \ : & <, 0,49166666 : Q 0,< \ >?0,49166666@ 60,55 W: W A 5,1 A 4,13 9,23 H`N : H`N W \ 8,4 9,23 60,55 33,76 Das Dreieck W] hat einen Flächeninhalt von 33,8 D.
Lösung W2b/2010 Die Abwicklung in der Skizze der Aufgabenstellung zeigt die sechs Seitendreiecke der Pyramide. Daraus ergibt sich der Spitzenwinkel. Wegen der angegebenen waagrechten Strecke von 70 D ist die Seitenkante der Pyramide 35 D lang und daraus. Berechnung des Basiswinkels der Seitendreiecke über die Winkelsumme im Dreieck. Berechnung von über den und daraus der Seitenkante. Die rundfläche einer regelmäßigen sechsseitigen Pyramide lässt sich in sechs gleichseitige Dreiecke mit der Seitenlänge aufteilen. Berechnung von Wa aus zweimal der Strecke. Berechnung des Winkels \ über den. Berechnung der Strecke a über den Kosinussatz. : 0 30 : K 35 daraus : 0 > 0 > 75 : & 17,5 35 75 9,06 daraus 18,12 Wa: Wa 2 2 18,12 36,24 \: \ 0,! 0,51771 \ >?0,51771@ 58,82 a: a B C A Wa 5 2 Wa \ Kosinussatz 17,5 A 36,24 5 2 17,5 36,24 58,82 962,90 a 962,90 31,03 Die Strecke a ist 31 D lang.
Lösung W2a/2011 Wir berechnen zunächst die Oberfläche der massiven Pyramide mit b E A. Die rundfläche (regelmäßiges Fünfeck) ergibt sich aus E 5 (siehe Formelsammlung). Hierzu berechnen wir, und über den Wir berechnen dann über die Volumenformel der Pyramide. Für den Mantel benötigen wir N. Berechnung von über den Satz des Pythagoras. Berechnung von über den Satz des Pythagoras. Berechnung von über 5 mal den Flächeninhalt eines Seitendreiecks. Berechnung von b aus der Summe von E und. Der ausgeschnittene Teil nimmt! von b weg, hinzu kommt jedoch zweimal der Flächeninhalt des Dreiecks F]. Berechnung von IMN über die Flächenformel des Dreiecks. Berechnung von b cod. b E A : 72 hieraus 36! : & &,-.,!,- 5,95 ; E: E 5 2,5 5,95 72 trigonometrischer Flächeninhalt E 84,17 : E 3; E e f ; 0<,K 11,73 : 4 5 B C 65,95 5 3,5 Satz des Pythagoras 623,1525 4,81 : 6 A 611,73 A 4,81 Satz des Pythagoras 160,729 12,68 I[N : I[N 7 12,68 44,83 : 5 I[N 5 44,83 221,9 b : b 84,17 A 221,9 306,07 IMN : IMN 5,95 11,73 34,90 b cod : b cod < b! A 2 IMN < 306 A 2 34,9 314,60! Die Oberfläche des entstandenen Körpers beträgt 314,6 D.
Lösung W2a/2013 Der Mantel einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide berechnet sich nach 3 N. Von dem gesamten Mantel ist der Mantelfläche abgeschnitten, somit Mantelrest: gop 2 N. Berechnung von N über den Satz des Pythagoras. Hierzu benötigen wir allerdings. Die sechseckige rundfläche der Pyramide besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenkante. ist die Höhe eines solchen gleichseitigen Dreiecks. Die Höhe im gleichseitigen Dreieck berechnet sich aus 3 (siehe Formelsammlung). Nach dem Satz des Pythagoras gilt somit für N : N 6 A Nachdem N bestimmt ist, Berechnung von gop. Durch den Abschnitt kommt die Fläche des grau gekennzeichneten Dreiecks auf der rechten Seite der Skizze zur Mantelfläche hinzu. Diese Fläche berechnet sich aus ho,oij k. Hierzu benötigen wir sowohl k als auch. k ist die rundseite eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Schenkellänge und dem Spitzenwinkel 120. Hierrüber ermittelt sich l über den 60. lässt sich mit dem Satz des Pythagoras errechnen mit A. Hierzu benötigen wir zunächst die Strecke. errechnet sich: 5 m, wobei m sich über den 60 errechnen lässt. Nach Berechnung aller Zwischenwerte kann ho,oij bestimmt werden und damit auch die Mantelfläche des Restkörpers mit nöpo gop A ho,oij. Der Mantel des Restkörpers besteht aus vier Seitendreiecken der Pyramide ( gop ) zuzüglich der Fläche des grau gekennzeichneten Dreiecks auf der rechten Seite der Skizze ( ho,oij ). gop : 3 N N : N 6 A : N 66,7 A 2,94 7,3167 3 3,4 7,3167 74,63 gop 74,63 49,75,< 3 3 2,94
ho,oij : ho,oij k q k: 60 k 2 60 2 3,4 3 3,4 3 5,889 : A : 5 m r m: 60 m 60 3,4 0,5 1,7 3,4 5 1,7 1,7 66,7 A 1,7 6,9123 ho,oij 1 5,889 6,9123 20,3533 2 nöpo : nöpo gop A ho,oij 49,75 A 20,3533 70,10 Der Mantel des Körpers ist etwa 70,1 D groß. Lösung W2a/2014 Die rundfläche der regelmäßigen achteckigen Pyramide lässt sich in acht gleichschenklige Dreiecke unterteilen mit der rundseite und den Seitenkanten (siehe Formelsammlung). Hieraus bestimmt sich der Scheitelwinkel dieser Dreiecke aus 0 45. Über den Kosinussatz lässt sich nun die Seitenlänge eines solchen Dreiecks berechnen. Die Strecke st ist dann 2 lang. Zur Berechnung der Strecke su benötigen wir zuerst die Höhe und die Seitenkante der Pyramide sowie den Spitzenwinkel v. Für die Berechnung von benötigen wir den Flächeninhalt der rundfläche aus acht gleichseitigen Dreiecken. Die Dreiecksfläche errechnet sich mithilfe des trigonometrischen Flächeninhalts. Mithilfe der nun bekannten Höhe der Pyramide und Seitenkante des gleichseitigen Dreiecks der rundfläche lässt sich über den Satz des Pythagoras und der halbe Winkel v über den Y ermitteln. Letztendlich berechnen wir dann die Strecke su aus und dem Winkel v über den.
st: st 2 : A 5 2 Kosinussatz 2?1 5 @ 4?>ix@ : 45 0 4 15,6787?>ix<! @ st 2 15,6787 31,3575 Die Strecke st ist 31,4 D lang. su: g v su v?>ix@ : A A Satz des Pythagoras : E e f E: E 8 trigonometrischer Flächeninhalt E 4 15,6787 45 695,2886 0< ;!,00 636,01 A 15,6787 39,2752 Satz des Pythagoras v: Y B y C!,K0K :, y >?0,4354@ 23,53 v 47,06 su 39,2752?47,06 @ 28,75 Die Strecke su ist 28,8 D lang. Lösung W2a/2015 Kegel: Der Radius des Dreiviertelkreises wird zur Seitenlänge noz des Kegels. Die Länge des Kreisbogens des Dreiviertelkreises wird zum Umfang des rundkreises des Kegels. Über diesen Umfang ermitteln wir den Radius noz des Kegels. Mithilfe des Satz des Pythagoras ergibt sich dann die Höhe noz des Kegels.
Sechseckpyramide: Der Radius des Dreiviertelkreises wird zur Seitenlänge der Pyramide. Der Spitzenwinkel eines Seitendreicks ergibt sich aus dem Öffnungswinkel des Dreiviertelkreises von 270 dividiert durch 6 zu 45. Wir berechnen nun die Seitenkante der Pyramide über den. Die rundfläche der Sechseckpyramide ist ein gleichmäßiges Sechseck. Ein Teildreieck dieses Sechsecks ist ein gleichseitiges Dreieck mit den Seitenlängen. Die Höhe der Pyramide lässt sich nun über den Satz des Pythagoras ermitteln aus 4 5. Kegel: noz 21,2 { : { 2~ 21,2 99,90 } } < noz : { } 2~ noz 99,90 :2~ noz ;;,; 15,9 noz : noz 4 noz noz 196,63 14,02 5 noz 621,2 5 15,9 Satz des Pythagoras Sechseckpyramide: 21,2 : K & : B C B C 2 2 B C 2 21,2 22,5 16,2258 : 4 noz 186,1634 13,64 5 621,2 5 16,2258 Satz des Pythagoras
Lösung W2a/2016 In der gegebenen Aufgabengrafik wird ein Teildreieck zur Seitenfläche der Pyramide. Zur Berechnung der regelmäßigen fünfseitigen rundfläche der Pyramide benötigen wir zunächst die. Der Länge der Seitenkante gegebene Radius wird zur Seitenkante der Pyramide. Weiterhin benötigen wir später für die Berechnung der Höhe der Pyramide die Länge der Höhe der Seitenfläche. Wir bestimmen als erstes die Winkel und der Seitenfläche und berechnen daraus die zuvor beschriebenen Werte. Fünfeckpyramide: Die nebenstehende rafik zeigt die Situation nach dem Falten der Pyramide. Zur Berechnung des Volumens benötigen wir die röße der rundfläche sowie die Höhe der Pyramide. Die rundfläche ist ein regelmäßiges und Fünfeck mit der Kantenlänge setzt sich zusammen aus fünf gleichschenkligen Dreiecken. Wir benötigen also die Fläche eines solchen Teildreiecks, berechnen hierfür zunächst den Innenwinkel v und y und dann. Mittels mittels dem trigonometrischen Flächeninhalt für Dreiecke berechnen wir die Fläche eines Teildreiecks. Abschließend benötigen wir noch die Höhe der Pyramide, die wir über den Satz des Pythagoras mithilfe von und berechnen. : : : :,- >! 0 > 50 0 >!,,,- 8,3 65 0,,-!,-! 7,02
v: v 72! Spitzenwinkel im Fünfeck : y & ; y &,!,-,- : p p v trigonometrischer Flächeninhalt 5,9716 72 16,9573 E : E 5 5 16,9573 84,7865 : 4 33,223 5,7645 5 68,3 5 5,9716 Satz des Pythagoras : E 84,7867 5,7645 162,9176 Das Volumen der Pyramide beträgt etwa 163 D.