Was ist Turbulenz? Max Camenzind Senioren Uni Würzburg @WS2013
Themen Einige Beispiele aus dem täglichen Leben. 1755 leitete Leonhard Euler die Euler- Gleichungen her für ideale Flüssigkeiten; Das mathematische Modell: die Navier-Stokes Gleichungen (1827, 1845) als Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und Energie. Instabilitäten erzeugen Wirbel: Rayleigh-Taylor, Kelvin-Helmholtz und Konvektion. Die Reynolds-Zahl Re als Kriterium für Turbulenz. Rätsel: Was treibt die Jupiter Atmosphäre an?
Experimente mit Flüssigkeiten Unterschied zwischen laminar und turbulent
Experimente mit Flüssigkeiten 4
Tinte im Weinglas RT Instabil 5
Experimente mit Kaffeetasse 7
Turbulente Staubwolken 8
Konvektion treibt Kontinentaldrift Im Fall der Konvektion reicht eine Zentraltemperatur von 5500 K aus, um den an der Erdoberfläche beobachteten Wärmefluss zu erklären. Die Funktionsweise des Wärmetransports lässt sich am Beispiel der Bénard Konvektion studieren. Auf Grund der hohen Viskosität von 10 23 Pa s erfolgt die Umwälzung sehr langsam maximal einige Zentimeter pro Jahr. 9
Mathematisches Modell für Flüssigkeiten (Navier & Stokes) 1 cm³ Wasser enthält 10 24 Atome N-Körper-Rechnung unmöglich. Die Beschreibung von Strömungen basiert also auf der Beschreibung der Fluide, genauer gesagt auf der Beschreibung der Wechselwirkung zwischen den einzelnen Fluidmolekülen untereinander (innere Reibung) Fluid und ruhendem Festkörper (z.b. Strömungen in Rohren) Die hierbei entstehenden Kräfte werden durch eine physikalische Eigenschaft der Fluide beschrieben, die sich Zähigkeit oder auch Viskosität h nennt. 10
Viskosität h Die Viskosität einer Flüssigkeit ist ein Maß für die innere Reibung in einer Strömung. Hierzu denkt man sich das Fluid aus mehreren Schichten aufgebaut. r a = h dv/dz Wirkt nun eine Kraft aufgrund der Strömung auf die oberste Fluidschicht, so wird aufgrund der Reibung zwischen den Schichten ein Teil dieser Kraft auf die darunter liegende Schicht übertragen. Diese überträgt wieder einen Teil ihrer Kraft auf die darunter liegende Schicht und so geht das weiter, bis die Randschicht erreicht wird.
Einige Zahlenwerte Stoffart Temperatur T / C Viskosität h / (10-3 N s/m²) Ammoniak 0 0,0093 Helium 0 0,0187 Luft 0 0,0172 Stickstoff 0 0,0165 Quecksilber 20 1,554 Olivenöl 20 80,8 Ethanol 20 1,20 Wasser 0 1,792 20 1,002 Glyzerin 0 12100 20 1480
Flüssigkeiten Flüssigkeitselement für Erhaltungssätze Verhalten einer Flüssigkeit wird in makroskopischen Größen beschrieben: Geschwindigkeitsfeld u oder v. Druck P. Dichte r. Temperatur T. Totale Energie E. Mittelpunkt des Volumens: (x,y,z,t). Diese Größen sind Mittelwerte über genügend viele Moleküle. Ein solches Volumen ist groß genug, um die Kontinuumsbeschreibung zu gewährleisten. dy y z (x,y,z) dx Flächen sind mit Norden, Osten, Westen, Süden, Top und Bottom bezeichnet x dz
Geschwindigkeitsfeld Wirbel
Geschwindigkeitsfeld Stromlinien
Navier-Stokes Gleichungen Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Strömung von newtonschen Flüssigkeiten und Gasen. Die Gleichungen sind somit eine Erweiterung der Euler-Gleichungen um die innere Reibung oder Viskosität. Nur 3 Erhaltungssätze (konservativ): 1. Massenerhaltung 2. Impulserhaltung 3. Erhaltung der totalen Energie. 17
Das Transport-Theorem Gauss Zeitliche Änderung des Inhalts f (Dichte) eines Volumens V = Inhalt der zeitlichen Änderung von f in V + Verluste und Gewinne durch die Oberflächen des Volumens. n
Das Transport-Theorem
Divergenz eines Vektor- Feldes Volumen- Änderung = 0 parallel
Massenerhaltung Dr r U 0 Dt Nicht konservative Form t r div ( r u) 0 Zeitliche Änderung der Masse eines Volumens V = Integral zeitlichen Änderung der Dichte + Verluste und Gewinne durch die Oberflächen des Volumens.
Impulserhaltung Scherungstensor; h, l: Zähigkeit
Viskoser Spannungstensor Spannungen sind Kräfte pro Fläche (wie Druck). Einheit: N/m 2 or Pa. Viskoser Spannungstensor t. Index Notation: t ij Richtung. Tensor hat 9 Komponenten: t xx, t yy, t zz sind senkrechte Spannungen (= Druck). Die anderen Komponenenten sind Scherspannungen: t zy ist Spannung in y-richtung auf der z-ebene.
Energieerhaltung Arbeit durch Gravitationskraft Dissipationsfunktion Innere + kinetische Energie
h = 0 5 Euler Gleichungen Erhaltungsgleichungen für U = (r,rv,re)
Computational Fluid Dynamics Supercomputer
Diskretisierung der Gleichungen Heute typisch: 1 Milliarde Zellen
Laminare und turbulente Strömungen Das Modell der Flüssigkeitsschichten ermöglicht es uns nun zwei Arten von Strömungen zu unterscheiden: In laminaren Strömungen gleiten die Flüssigkeitsschichten aneinander vorbei, ohne dass die Schichten sich vermischen. Die auftretenden Reibungskräfte sind vergleichsweise niedrig. Bei turbulenten Strömungen vermischen sich hingegen die Luftschichten. Für den Schichtübergang muss jedoch Energie aufgebracht werden. Diese Energie kann nur in Form höherer Reibungsarbeit erbracht werden, was sich in einer größeren Reibungskraft äußert. In Gasen muss zudem noch beachtet werden, dass die Strömungsgeschwindigkeit klein gegenüber der Schallgeschwindigkeit in dem Gas ist, weil sonst noch Kompressionsvorgänge zu berücksichtigen sind. Laminare Strömungen gehen bei Zunahme der Strömungsgeschwindigkeit in turbulente Strömungen über.
Die Reynolds-Zahl Der Punkt, an den eine laminare Strömung in eine turbulente Strömung umschlägt, lässt sich berechnen. Die Kenngröße hierfür ist die nach dem englischen Physiker Osborne Reynolds benannte, dimensionslose Reynolds-Zahl Re : Re r L v h Hierbei ist v die Strömungsgeschwindigkeit, r die Dichte, h die Viskosität und L eine charakteristische Länge des umströmten Körpers, beispielsweise der Durchmesser eines Rohres. Solange diese Größen kleiner sind als die maximale Reynoldszahl des umströmten Körpers, ist die Strömung laminar, anderenfalls wird sie turbulent. Typische Größenordnung für Rohre ist eine maximale Reynoldszahl von Re = 2040. Durch spezielle Behandlung der Rohre etwa für Pipelines kann sie bis auf etwa Re 20.000 gesteigert werden.
Anwendung in Medizin Blut fliesst laminar im Körper außer in der Aorta, wo die Geschwindigkeit über 35 m/s steigt und turbulent wird erzeugt Schall. 31
Hindernisse erzeugen Turbulenz
Tragflügel erzeugt Turbulenz
Instabilitäten erzeugen Turbulenz 34
Schwere Flüssigkeit Rayleigh-Taylor Instabilität g Leichte Flüssigkeit 35
Rayleigh-Taylor Instabilität Selbst-Experiment 36
Zeit
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Der Krebs-Nebel M1
Kelvin-Helmholtz Instabilität von Scherströmungen erzeugt
Kelvin-Helmholtz Instabilität
Konvektive Instabilität Abstrahlung: kühl Wärmezufuhr: heiß aufsteigende Blasen
Benard- Konvektion 1900 Dissertat.
Die Granulen der Sonne, die durch Konvektion entstehen, sind heiße, aufsteigende Säulen aus Plasma, die von dunklen Bahnen aus kühlerem, absinkendem Plasma gesäumt sind. Der weiße Balken = 5.000 Kilometer.
Konvektive Instabilität
Konvektiver Stern Rotationsperiode: 6 Tage 47
Kolmogorov Kaskade
Konvektiver Wärmetransport treibt Plattentektonik 49
Jupiters Turbulente Atmosphäre Bild: Cassini/NASA 2000 50
Bild: Cassini/NASA 2000 51
Bild: Cassini/NASA 2000
7000 km Magnetfeld bremst die Windgeschwindigkeiten Korotation Radius: 71.000 km
Zonale Winde auf Jupiter Heftige Winde sind mit Breitenzonen und sog. Bändern assoziiert, mit Geschwindigkeiten bis zu 150 m/s = 540 km/h. Wirbelgeschwindigkeiten sind kleiner. Die Struktur hat sich in den letzten 25 Jahren kaum verändert.
Erde: Polarer Jet-Stream: 160 km/h Rossby-Wellen Mäanderung
Jet- Streams Erde
Das Bild zeigt farbcodierte Windgeschwindigkeiten in der Computersimulation (rot = ostwärts, blau = westwärts) und demonstriert, dass die Winde die gesamte äußere Gashülle durchziehen. Weiter innen werden die Winde durch das Magnetfeld abgebremst. Moritz Heimpel et al. 2005
Zonale Wind Profile Jupiter c=0.90 Model Moritz Heimpel et al. 2005
Unterschied Jupiter - Saturn Differenziell rotierende Schalen (Aspekt c = r i /r o ) Jupiter: c = 0,75 ~ 0,95; Saturn: c = 0,4 ~ 0,8 Moritz Heimpel et al. 2005
Jupiter im Modell
Zusammenfassung Navier-Stokes Gleichungen sind ein sehr erfolgreiches Modell für Strömungen. Sie werden heute auf Supercomputern gelöst ( Computational Fluid Dynamics ). Sie spielen eine sehr wichtige Rolle Technik, Erdaufbau und Klima, Medizin, Astrophysik, Universum. Turbulenz geht auf Instabilitäten zurück. Turbulenz durch Reynolds-Zahl geregelt.