Gleichungen Gleichungen und Terme sehen zwar sehr ähnlich aus, haben aber doch fundamentale Unterschiede. Ein Term steht für einen Wert 1, eine Gleichung für eine Aussage. Eine Gleichung vergleicht zwei Terme. Dieser Vergleich wir typischerweise auf drei Arten gebraucht: 1. Überprüfung, ob die Aussage stimmt 2 a+3>5 b 2. Wertbestimmung unbekannter Terme (Variablen) x 2 +2x=0 3. Zuweisung eines Wertes, wobei dies ein Trivialfall von (2) ist x=7 Viele Computerprogramme und TR können nur mit Variante (1) und (3) umgehen 3. Gleichungsumformungen Bei der Umformung von Gleichungen muss nur die Aussage erhalten bleiben, nicht aber die Werte links und recht vom Vergleichszeichen. Gleichungsumformungen sollten rechts (von einem senkrechten Strich abgetrennt) notiert werden, so dass der Schritt zur nächsten Gleichung nachvollziehbar bleibt. Auch hier gilt: Die Variablen in den Regeln stehen für beliebige Terme, nicht nur für (unbekannte) Zahlen. Die Umformungen lassen sich in folgende Typen gliedern: Links und Recht das Selbe machen Der häufigste Fall, der meist in Zwischenschritten gebraucht wird, um die Gleichung für die anderen Umformungen vorzubereiten. Meist entsprechen diese Umformungen auch den im nächsten Abschnitt erklärten Regeln. x 2 =a+b ^2 x 4 =(a+b) 2 Problemspezifische Lösungen Quadratische Gleichung Nullstellen-Produktregel ax 2 +bx+c=0 x 1/ 2 = b ± b2 4ac 2a Andere Varianten sind entsprechend nachzuschlagen. Ein Produkt ist dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Entsprechend kann man eine Gleichung der Form a b c...=0 Faktoren weise lösen. Achtung rechts muss eine 0 stehen, nichts anderes! Beispiel: x(x 2 4)( x+5)=0 x 1 =0 x 2 =2 x 3 = 2 x 4 = 5 Gleichungsregeln für Operationen und Funktionen Zu den den jeweiligen Operationen und Funktionen gibt es je einen Block an gleichwertigen Gleichungen (Die Anzahl pro Block hängt von den Anzahl Argumenten ab). Rechts die Regeln für Operationen erster bis dritter Stufe. Weitere sind entsprechend nachzuschlagen. a=b +c b=a c c=a b a=b c b= a c c= a b a=b c 1 b=a c = a c c=log b (a) 1 Dieser Wert muss aber weder bekannt, berechenbar noch eindeutig sein. Ist den meisten Fällen ist er aber all das. 2 Diese Anwendung ist in Computerprogrammen, Regeltechnik und Steuerung sehr häufig anzutreffen. 3 Computerprogramme verwenden oft >= für und <= für sowie <> oder!= für. Bei Vergleichen wird oft auch == (doppeltes =) anstelle von = geschrieben, um eine klare Abgrenzung zur Zuweisung zu erhalten. Gleichungen 1/5 Jörg Mäder (20.12.2012)
Vergleich mit Termregeln Termregeln Anwendung einzeln für sich Die selben Variablen links und rechts Ein Term in der Form der einen Seite wird durch einen Term in der Form der anderen Seite ersetzt. Können auch auf Teilterme angewendet werden. Beispiel: Regel: a(b+ c)=ab+ac Anwendung: 6(4+a 3 ) =24+6a 3 Zwischen den beiden Termen kann/soll ein Gleichheitszeichen gesetzt werden, da sie gleichwertig sind. Gilt auch wenn nur ein Teilterm umgeformt wurde. Gleichungsregeln Anwendung als Block Links andere Variablen (meist nur eine) als rechts Eine Gleichung in der Form einer Zeile wird durch eine in der Form einer anderen Zeile ersetzt. Dürfen nur auf die Wurzelelemente links und rechts als ganzes angewendet werden. Beispiel: Regel: dritte Stufe (siehe oben) Anwendung: 16=(a+2) 2 a+2= 16 2 Zwischen den beiden Gleichungen darf kein Gleichheitszeichen gesetzt werden, da sich die Werte links und rechts davon geändert haben! Strategien Meist müssen Gleichungen nach einer ihrer Variablen aufgelöst werden. Anhand des Strukturbaums gilt es festzustellen wo und in welcher Form die unbekannte vorkommt. Diese Strukturen werden mit den Strukturen der Regeln verglichen und an die Ähnlichste angepasst, so dass man diese verwenden kann. Tipps 4 Bei Additionen sortieren: alle Terme mit der Unbekannten auf eine Seite, den Rest auf die andere. Anschliessen x ausklammern und durch die Klammer dividieren Bei Divisionen: Die ganze Gleichung mit dem kgv aller Nenner multiplizieren. Kommt ein Faktor (mit oder ohne der Unbekannten) in allen Termen vor, nach Möglichkeit ausklammern und kürzen/dividieren. Zwischendurch immer wieder prüfen ob man Zusammenfassen oder Kürzen kann. Kommt die Unbekannte in verschiedenen Potenzen vor sind quadratische Gleichung und 0-Stellen- Produktregel gute Kandidaten. Oft muss bei einem Term nur noch das Vorzeichen angepasst werden um Kürzen oder Ausklammern zu können. Ist das Wurzelelement beiderseits die selbe Funktion, müssen deren Argumente identisch sein. Beispiel cos(3+4x)=cos(3x) 3+4x=3x. Siehe auch Beispiel G & H weiter unten. Nicht vergessen x=1 x respektive x=1 x 1, sowie 1=1 x 0 Endergebnis in der Ursprungsgleichung testen. Nicht alle Gleichungen haben eine Lösung! Manche dafür mehrere oder beliebig viele. 4... die meist funktionieren, aber nicht immer Gleichungen 2/5 Jörg Mäder (20.12.2012)
Beispiele A Vereinfachen (Termregeln) Struktur: Additionen Mittels Addition/Subtraktionen sortieren Struktur: Multiplikation Lösen via Block für 2. Stufe B Wie vorher, dieses mal mit zusätzlichem Parameter a. In Schritt drei muss daher Ausgeklammert werden. C Struktur: Bruch Mittels Multiplikation auflösen links Summe rechts Multiplikation angleichen (Termregeln) Struktur: Additionen Mittels Addition/Subtraktionen sortieren Struktur: Multiplikation Lösen via Block für 2. Stufe D Potenzen im Stile der quadratischen Gleichung sauber anpassen lösen gemäss quadratischer Gleichung (a=1, b=-5, c=4) E Hässliche Vorfaktoren eliminieren (analog bei grossen Zahlen) 3x+ 6 4x+ 9=x 7 x+ 15=x 7 2x= 22 x=11 2x=4 ax 2x +ax=4 x(2+a)=4 x= 4 2+a x+13 2x 5 =16 x +13=16 (2x 5) x +13=32x 80 31x= 93 x=3 x 2 +4=5x x 2 5x +4=0 x 1 =1 x 2 =4 0.01x+0.04=0.06 x+4=6... F Mischform Vereinheitlichen Zusammenfassen 5( x + 2)+8=x +9 5x+10+8=x+9... G Da beidseits ein Bruchstrich steht, darf man auch beidseits den Kehrwert bilden (= Potenzieren mit -1). H Auch hier. Da beiderseits mit 6 potenziert wird, muss die Basis auf beiden Seiten die selbe sein. I J Hier geht es nicht ganz so schön auf, aber sollte via Ausmultiplizieren, sortieren und quad. Gleichung lösbar sein. Term 'x-3' mit Faktor -1 an '3-x' anpassen. Mit 'x-3' dividieren Siehe auch Fallstrick d weiter unten. K Man könnte hier wie bei C vorgehen (es entsteht eine quadratische Gleichung). Wer aber erkennt, dass der Nenner auch im Zähler vorkommt, ist im Vorteil. Zudem würde der Weg über die quadratische Gleichung die falsche Lösung x=0.5 ergeben (Nenner wird 0). 1 2+x = 1 2x 1 2+ x=2x 1... (x+3) 6 =(2 x) 6 x+3=2 x... (x+3) 6 =(2 x) 3 (x+3) 2 =(2 x) 1... (3 x)( x+2)=( x+1)( x 3) (3 x)( x+2)= (x+1)(3 x) x+2= (x+1)... 6x 2 3x 1 2x =9 3x (1 2x) =9 1 2x 3x=9... -x & -15 /-2 +ax /(2+a) (2x-5) -32x & -13 /-31-5x qdr. Gl. 100 ^-1 ^1/6 ^1/3 /(3-x) Ausklam. Kürzen Gleichungen 3/5 Jörg Mäder (20.12.2012)
Fallstricke a) Bei Potenzen wird oft die negative Lösung vergessen: x 2 =4 hat zwei Lösungen (+2 & -2) b) Häufig werden Klammern, die vor der Umformung noch unnötig waren, vergessen. Beispiel: a+b ^2 a+b 2 was falsch ist. c) Wenn in der Aufgabenstellung die gleichen Variablennamen verwendet werden, wie in den Umformungsregeln selbst, aber nicht an der selben Position, sind Flüchtigkeitsfehler häufig. d) Bei der Division einer Gleichung durch einen Term mit x muss getestet werden, was passiert wenn dieser Term selbst 0 ist. Eventuell ergeben sich dadurch zusätzliche Lösungen. Im Beispiel J würde sich die zweite Zeile mit x=3 zu 0=0 vereinfachen und somit ist x=3 eine gültige Lösung. Damit wäre dieser Fall behandelt und man kann sorglos durch (3-x) dividieren. e) Ebenso muss getestet werden ob in der Ursprungsgleichung kein Divisor 0 wird, wenn man das Resultat einsetzt. (Würde passieren, wenn im Beispiel K rechts -1.5 steht x=0.5 wäre die scheinbare Lösung, der Nenner wäre somit aber 0, was er nicht sein darf.) f) Multipliziert man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl, kehrt sich das Vergleichszeichen. Beispiel: 4>3 4< 3. Kompliziert wird es, wenn man durch einen Term dividiert, dessen Vorzeichen (noch) nicht bekannt ist. In diesem Fall sind Fallunterscheidungen notwendig. Gleichungen 4/5 Jörg Mäder (20.12.2012)
Versteckte Strukturen Die oben aufgelisteten Regeln verleiten uns dazu, Variablen nur als Stellvertreter für Zahlen zu sehen, was uns blind für die echten Strukturen macht 5. Beispiel A: Die Lösung der quadratische Gleichung 0.5x 2 2.5x+2=0 ist unproblematisch. Die Parameter a, b und c sind sofort erkennbar. Genau die selbe Struktur, und somit auch Lösungstechnik, besitzt die Gleichung 0.5(1 u) 4 2.5(1 u) 2 +2=0. Dies erkennt man, wenn man eine neue Variable x=(1 u) 2 einführt. Die Lösung der quadratischen Gleichung liefert zwar noch nicht direkt die Lösung für u, sondern (1 u) 2 =1 & (1 u) 2 =4. Diese (nun) zwei Gleichungen sind aber recht einfach zu lösen und ergeben u 1 = 1, u 2 =0, u 3 =2 & u 4 =3 Beispiel B: Die Gleichung 0.5x 3 2.5x 2 +2x=0 kann man ebenfalls durch einen einfachen Trick in die obige Form bringen: x(0.5x 2 2.5x+2)=0 Nun kann man nach der 0-Stellen-Produktregel (siehe oben) die Faktoren einzeln behandeln: x 1 =0 x 2 =1 x 3 =4 Computer & Taschenrechner Viele Programme und TR können Gleichungen näherungsweise lösen 6, indem sie verschiedene Werte ausprobieren und deren Ergebnisse gezielt einsetzen um den richtigen Wert zu berechnen. Solche Verfahren können aber auch zu endlosen Berechnungen führen oder einzelne Lösungen übersehen. Teilweise hilft hier, die Problemstellung via Grafik zu analysieren ( Funktionen darstellen). Exakte Lösungen können nur wenige Computerprogramme und TR berechnen. Wobei auch hier immer noch gewisse Lösungsansätze für den Computer verborgen bleiben, die der Mensch relativ rasch erkennt. 5 Nichts desto Trotz bleibt das Erkennen dieser Strukturen eine Mischung aus Erfahrung, Glück und Spürsinn. 6 Die Lösung ist in dem Fall in Dezimalform und nicht exakt: Beispiel 1.41421 anstelle von 2 Gleichungen 5/5 Jörg Mäder (20.12.2012)