Money out of nothing? Prinziien Grlagen der Finanzmathematik Francesca Biagini Daniel Rost Die Finanzmathematik hat als jüngste mathematische Diszilin in den letzten 15 Jahren einen gewaltigen Aufschwung erlebt. Eine ihrer wichtigsten Aufgaben ist die Bewertung von Derivaten. Dabei lassen sich, am Beisiel einer Call-Otion, schon in einem ganz einfachen Marktmodell die ernunkte Prinziien dieser Theorie gut veranschaulichen. Der folgende Beitrag ist die Ausarbeitung eines Vortrags, den die Autorin auf der Münchener GDM-Tagung 1 gehalten hat. Er zeigt auch auf, wie finanzmathematische onzete ohne Probleme in den Schulunterricht integriert werden können. Ein verlockendes Angebot... Wir betrachten die Aktie der Linde AG gehen von einem heutigen (März 13) ursstand von 15 Euro aus (der aktuelle urs bei Druck dürfte wohl etwas höher sein). Ihre Bank bietet Ihnen dazu, zu einem gewissen, sofort zu entrichtenden Preis, folgendes Geschäft an: Wenn der urs S T der Aktie der Linde AG zum Zeitunkt T = März 14 größer als =96(Euro) ist, bekommen Sie von ihm die Differenz zu ausgezahlt; wenn er kleiner ist, bekommen Sie nichts. In der Finanzmathematik nennt man ein solches Geschäft eine Call-Otion auf die Aktie der Linde AG (in diesem Zusammenhang auch Underlying genannt) mit Strike =96 Fälligkeitszeitunkt T = März 14. Die Call-Otion liefert dann die Auszahlung C := max{s T, } =(S T ) +. Was man an Auszahlung bekommt, hängt also vom zukünftigen, heute noch ungewissen ursstand der Aktie in einem Jahr ab. Die Abbildung unten zeigt zwei mögliche ursverläufe, ausgehend von einem heutigen ursstand von S = 15 Euro. Im linken Bild landet der urs in T oberhalb von, Sie erhalten also die Auszahlung C = S T >. Imrechten Fall ist S T <, alsoistc =. Eine Call-Otion ist ein gängiges Finanzinstrument zur Absicherung gegen steigende ursverläufe. In der Tat, wenn man die Linde-Aktie zum Zeitunkt T erwerben, aber dafür nicht mehr als =96Euro bezahlen möchte, lässt sich dies mit dem auf obiger Call-Otion bewerkstelligen. Denn unabhängig vom ursstand zum Zeitunkt T kostet die Aktie dann maximal 96 Euro, indem man sie entweder direkt am Markt erwirbt (im Fall S T )oder den anfallenden Differenzbetrag (im Fall S T > ) durch die Auszahlung der Otion abdeckt. Die entscheidende Frage ist nun: Wie viel ist eine solche Otion heute wert? Welchen Preis darf der Bankberater als Verkäufer dafür verlangen, bzw. welchen Preis sind Sie als äufer bereit, dafür zu bezahlen?... ein fairer Preis? Wird die Otion am Markt gehandelt (wie die Aktie auch), so wird der Preis der Otion auch durch den Markt, d. h. durch die Nachfrage bestimmt. Reißt man dem Verkäufer die Otionsscheine aus den Händen, wird der Preis steigen; bleibt er auf ihnen sitzen, wird der Preis sinken. Das Erstaunliche ist nun, dass sich für diesen sich 15 1 S T 1 15 15 8 1 6 S T 5..4 t.6.8 T 1 4..4 t.6.8 T 1 Abbildung 1. S T > Abbildung. S T 18 FOUS DOI 1.1515/dmvm-13-11
dann einstellenden fairen Preis der Otion ein einfaches Prinzi finden sogar eine Formel angeben lässt. Zunächst scheint es einsichtig, dass der Preis der Otion von den Vorstellungen abhängt, die man vom zukünftigen ursverlauf hat. Unserer erste Aufgabe wird es also sein hier kommt die Stochastik ins Siel ein Modell aufzustellen, das den zufälligen ursverlauf des Underlyings gut erfasst. Charakteristisch für die mathematische Herangehensweise ist nun, dass man zunächst ein ganz einfaches Aktienkursmodell betrachtet, auch wenn dieses die für einen Aktienchart tyische Zitterbewegung nur sehr rudimentär erfasst. Das Binomialmodell Unsere sehr vereinfachenden Modellannahmen für den urs des Underlyings das Marktgeschehen sind: 1. Ein Börsenhandel ist nur zu drei Zeitunkten möglich: t =(heute, März 13) t =1(Juli 13) t =(November 13) T (= März 14) wird gleich 3 gesetzt.. In diesen drei Zeitunkten können wir die Aktie des Underlyings (auch Anteile davon) zum aktuellen urs kaufen oder verkaufen (auch sog. Leerverkäufe möglich) Geld auf ein zinsloses Bankkonto einzahlen bzw. von dort abheben (auch zinslose Überziehung erlaubt). 3. Die Aktie steht in t =bei 15 (Euro) kann sich ro Zeitschritt nur mit einer Wahrscheinlichkeit von = 3 4 um % nach oben oder mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 = 1 4 um % nach unten entwickeln. Die Wahl von = 3 4 für eine Bewegung nach oben siegelt dabei unsere ositive Markterwartung wider. Dieses Binomialmodell lässt sich als Binomialbaum wie folgt aufzeichnen: S t+1 =(1±, ) S t =3/4 1- =1/4 15 1-15 1 1-1- 18 8 1-1 3 16 1 1-96 1- S 3 =96 } Zeit Man sieht, dass der Aktienkurs von 15 (in t =)biszu 16 steigen oder auch auf fallen kann. Insgesamt sind in T =3genau 4 ursstände möglich; ganz rechts ist zu diesen Endkursständen die jeweilige Auszahlung der Otion notiert. Für S 3 = 16 ist C = 1 S 3 = ist C =48 S 3 =96 ist C = S 3 = ist C =. Der zu diesem Baum gehörige Grraum Ω besteht aus den 8 Pfaden, die (von oben nach unten) mit ω 1,...,ω 8 bezeichnet seien. Für die zugehörige Wahrscheinlichkeit P auf Ω sind die Elementarwahrscheinlichkeiten dann die Pfadwahrscheinlichkeiten, also z. B. P({ω 1 })= 3 u. s. w. Es liegt nun nahe, in diesem Modell als Preis der Otion die mittlere Auszahlung, also den Erwartungswert von C zu verwenden. Dazu berechnen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung von S 3, die sich aus obigem Binomialbaum wie folgt ergibt: P[S 3 = 16] = 3 = 7 3 P[S 3 = ] = (1 ) = 7 P[S 3 = 96] = (1 ) = 9 1 P[S 3 = ] = (1 ) 3 = 1 Der Erwartungswert von C unter P ist dann E P [ (S3 ) +] = 1 7 7 +48 =7, 875. Es wäre jedoch nicht ratsam, in diesem Modell für die Otion 7,87 (Euro) zu bezahlen, denn man kann, wie wir im Folgenden sehen werden, durch geschicktes Handeln mit einem weitaus geringeren Einsatz dieselbe Auszahlung erreichen, wie sie die Otion liefert. Der faire Preis der Otion ist damit nicht der Erwartungswert der Auszahlung der Otion, 7,87 Euro ist als Preis zu hoch. Strategie Vermögensrozess Bis jetzt haben wir zwar ein Modell für den Aktienkurs aufgestellt, jedoch noch nicht die Möglichkeit realisiert, mit der Aktie Handel zu betreiben. Dazu definieren wir für t =, 1, x t = Anzahl der Aktien, die zum Zeitunkt t gekauft werden; diese werden bis t +1gehalten; y t = Betrag auf dem Bankkonto Es bedeutet also z. B. (x, y )=( 6 5, 15), dasswirzum Zeitunkt t = die Menge von 6 5 Aktien kaufen uns (dafür) 15 Euro von der Bank leihen, die wir natürlich in t =1wieder zurückzahlen müssen. (x t, y t) dürfen MDMV 1 / 13 18 FOUS 19
vom Pfad abhängen, d. h. wir können in S 1 = 15 anders handeln als in S 1 = 1; allerdings dürfen wir in t für die Festlegung von (x t, y t) immer nur auf die Information zurückgreifen, die wir zu diesem Zeitunkt besitzen. Dies ist automatisch gegeben, wenn z. B. x 1 die Form hat x 1 = a 1 1 {S1=15} + a 1 {S1=1} mit a 1, a beliebige reelle Zahlen; für y 1 analog. Zur durch x =(x, x 1, x ) y =(y, y 1, y ) definierten Strategie ist ein Vermögensrozess V t, t =, 1,, 3 erklärt: t = Startvermögen (Startkosten) V = x S + y t =1,..., T 1 Zwischenvermögen V t = x t 1 S t + y t 1 = x ts t + y t t = T Endvermögen V T = x T 1 S T + y T 1 Die Gleichung x t 1 S t + y t 1 = x ts t + y t für t = 1,..., T 1 beschreibt eine Bedingung an die Strategie, nämlich selbstfinanzierend zu sein. Dies bedeutet, dass sich das Vermögen ohne Zu- Abflüsse entwickelt: Alles, was wir in t besitzen, wird wieder investiert wir schießen von außen kein aital zu. Pricing durch Hedging: No Arbitrage Die Idee zur Auffindung eines fairen Otionsreises π C ist nun: Suche eine selbstfinanzierende Strategie (x, y), die als Endvermögen V 3 genau die Auszahlung der Otion hat (sog. Hedge-Strategie für C), also V 3 = C =(S 3 ) +. Aus dem Vermögensrozess dieser Strategie leiten wir dann den Otionsreis ab. Die Bestimmung der Hedge-Strategie geschieht durch Rückwärtsinduktion mittels Lösen von linearen Gleichungssystemen. Dazu betrachten den Binomialbaum stellen uns die Frage: Welchen Wert (a, b) muss unsere Strategie (x, y) im noten S = 18 haben, damit wir in t =3genau das Vermögen V 3 = 1 (im Fall, dass der urs steigt) V 3 =48(im Fall, dass der urs sinkt) erzielen? Für ω = ω 1,ω (das sind die beiden Pfade, die über den noten S = 18 laufen) ist also a = x (ω) b = y (ω), es muss gelten d. h. as 3 (ω 1 )+b = C(ω 1 ) as 3 (ω )+b = C(ω ) a 16 + b = 1 a + b = 48 Damit ist a =1 b = 96, d.h. wir müssen im noten S = 18 genau eine Aktie kaufen uns 96 Euro von der Bank leihen. Da die Aktie in diesem noten 18 Euro kostet, benötigen wir dort ein Vermögen von V (ω) =1 18 96 1=84(Euro) Analog verfährt man mit den 5 restlichen noten: Zunächst liefern die linearen Gleichungssysteme a + b = 48 a 96 + b = a 96 + b = a + b = jeweils den Wert (a, b) der Strategie in den noten S = 1 S =8, nämlich (a, b) =(1, 96) bzw. (a, b) =(, ), damit V (ω) =1 1 96 1=4 V (ω) = 8 + 1= dasindiesennoten(ω = ω 3,...,ω 6 bzw. ω = ω 7,ω 8 ) benötigte Vermögen. Von dort rechnet man durch den Ansatz a 18 + b = 84 a 1 + b = 4 a 1 + b = 4 a 8 + b = auf x 1 V 1 schließlich auf x V zurück. Trägt man diese Ergebnisse in den Binomialbaum ein, so ergibt sich: 1 16 84 18 54 15 48 (1, 96) 33 4 (1, 96) 15 1 1 (1, 96) 1 96 ( 3 5, 48) 8 (, ) ( 1 5, 7) 1 3 Die oben konstruierte Strategie ist durch Zahlenaare unter den noten gegeben; die Zahlen darüber kennzeichnen den zugehörigen Vermögensrozess. Sie ist nach onstruktion selbstfinanzierend eine Hedge- Strategie für C, denn es gilt V 3 = C (die Zahlen über den ursständen S 3 entsrechen genau der jeweiligen Auszahlung der Otion). FOUS MDMV 1 / 13 18
Man kann also bei einem Startkaital von 33 Euro mit obiger Strategie (in t =müsste man dann sich noch 7 Euro von der Bank leihen um damit den 1 5 -Teil der Aktie kaufen zu können, u. s. w.) dieselbe Auszahlung erreichen wie die Otion. Damit muss V =33(Euro) der gesuchte faire Preis π C der Otion sein, also π C = V = 33 Euro, ansonsten gäbe es im Markt die Möglichkeit eines risikofreien Gewinns: (a) Zahlen Sie für die Otion mehr als 33 Euro, so sichert Ihre Bank die Otion mit obiger Strategie (x, y) ab; dazu benötigt sie ein Startkaital von nur 33 Euro, die Differenz, <π C 33 Euro, streicht sie als risikofreien Gewinn ein. (b) Zahlen Sie für die Otion weniger als 33 Euro, so handeln Sie mit der Strategie ( x, y) verschaffen sich so selbst einen risikofreien Gewinn von < 33 π C Euro. Eine Möglichkeit (Strategie), einen risikofreien Gewinn zu erzielen, nennt man Arbitrage. In einem effektiven Finanzmarkt darf es keine Arbitrage geben, der Markt ist arbitragefrei ( you can t make money out of nothing, there is no free lunch ). Das Prinzi No Arbitrage bestimmt dann den Preis der Otion, der faire Preis ist also ein arbitragefreier Preis beträgt in unserem Modell genau 33 Euro. Pricing mit dem Martingalmaß Im letzten Abschnitt wurde der arbitragefreie Preis der Otion als Startkaital V einer Hedge-Strategie rekursiv ermittelt. Es ist aber auch eine direkte Berechnung von V ( auch V t) möglich: Dazu betrachten wir zunächst im Binomialbaum aus vorigem Abschnitt den noten S = 18 die von ihm ausgehenden Bewegungen der Aktie sowie des Vermögensrozesses 1 16 84 18 48 Man erkennt folgenden Zusammenhang: Die beiden Gleichungen q 16 + (1 q) = 18 q 1 +(1 q) 48 = 84 haben dieselbe Lösung, nämlich q = 1. Dasselbe stellen wir auch für alle anderen noten fest; z. B. haben bei 84 18 54 15 4 1 q 18 + (1 q) 1 = 15 q 84 +(1 q) 4 = 54 wiederum dieselbe Lösung q = 1. Damit ist eine Wahrscheinlichkeit Q auf Ω definiert: ( 1 ) 3,ω Q({ω}) = Ω, für die insbesondere gilt In der Tat ist E Q (S 3 )=S E Q (C) =V. [ E Q (S3 ) +] = 1 ( 1) 3 ( 1) 3 +48 3 = 33. Damit ist der Otionsreis π C = V in der Tat der Erwartungswert der Auszahlung C =(S 3 ) +, allerdings bzgl. Q nicht bzgl. der ursrünglichen Wahrscheinlichkeit P. Q heißt das zu P äquivalente Martingalmaß, manchmal auch risikoneutrales Maß, weil sich unter Q der Aktienkurs als ein faires Siel entwickelt: Der ursstand von heute ist der unter Q erwartete ursstand von morgen. Zusammenfassung Wir fassen nun unsere Erkenntnisse über Otionsricing in einem effizienten Finanzmarkt zusammen. Der faire Otionsreis basiert auf dem No Arbitrage Prinzi hängt nicht von der Wahrscheinlichkeit P ab, die die Bewegung des Aktienkurses steuert. Die Arbitragefreiheit des Marktes ist äquivalent zur Existenz eines risikoneutralen Maßes Q (dies ist die Aussage des berühmten 1. Famentaltheorems der Finanzmathematik). Der arbitragefreie Preis der Otion ist der Erwartungswert der Auszahlung unter Q, bzw. das benötigte Startvermögen einer Hedge-Strategie für die Auszahlung, falls man eine solche konstruieren kann. MDMV 1 / 13 18 FOUS 1
Ausblick auf das Black Scholes-Modell Unser Binomialmodell mit nur 3 Handelszeitunkten im Zeitintervall [, 1] (Zeithorizont = 1 Jahr) beschreibt die reale Aktienkursbewegung natürlich nur sehr unzureichend. Näher an die Realität kommt man, wenn man ein Binomialmodell mit n äquidistanten Handelszeitunkten k n, k =, 1,..., n 1, im Zeitintervall [, 1] aufstellt, in welchem natürlich auch die Größen in (3) an die Tatsache immer kleinerer Handelssannen angeasst sind. Für n führt dies streng mathematisch zum berühmten, nach (den Nobelreisträgern) Fischer Black Myron Scholes benannten Black-Scholes-Modell, das den Aktienkurs S t, t [, 1], durch eine geometrische Brownsche Bewegung modelliert σ σbt S t = S e +(μ )t, t [, 1]. B t, t [, 1], bezeichnet dabei die (standard) Brownsche Bewegung ist für die tyische Zitterbewegung des urses verantwortlich. Die e-funktion garantiert, dass der urs stets ositiv ist μ R σ > sind Parameter, die individuell auf die Linde-Aktie angeasst werden können. μ heißt Drift gibt an, ob sich der urs tendenziell nach oben (μ >) oder nach unten (μ <) bewegt. Der Parameter σ heißt Volatilität beeinflußt die Stärke der Zitterbewegung des urses. In diesem (arbitragefreien) Modell läßt sich eine geschlossene Formel für den arbitragefreien Preis einer Call- Otion C =(S 1 ) + angeben, nämlich ) + σ ) σ ( ( ln S ) ( ( π C ln S ) = S Φ Φ, σ σ wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standard- Normalverteilung bezeichnet wir wieder angenommen haben, dass wir für Geldgeschäfte bei der Bank weder Zinsen bekommen noch welche entrichten müssen. Dies ist die berühmte Black Scholes-Formel, deren Herleitung denselben Prinziien Überlegungen folgt wie wir sie im Binomialmodell vorgestellt haben. Man sieht, dass von den beiden Parametern μ σ nur letzterer in die Preisformel eingeht; der arbitragefreie Preis ist unabhängig von μ, was im Binomialmodell der Tatsache entsricht, dass dort der Preis nicht von abhängt. Literatur Föllmer, H., Schied, A. (11). Stochastic Finance: An Introduction in Discrete Time, WalterdeGruyter,Berlin. Irle, A. (1998). Finanzmathematik, Teubner Studienbücher Mathematik. Jarrow, R., Turnbull, S. (). Derivative Securities,. Auflage, South- Western College Publishing. Ross, S.M. (1999). An Introduction to Mathematical Finance (Otions and other toics), Cambridge University Press. Der Artikel ist eine Ausarbeitung eines Vortrags, den Francesca Biagini auf der Münchener GDM-Tagung 1 gehalten hat. Er findet sich in fast identischer Form auch in dem Tagungsband zu obiger GDM-Tagung (Beiträge zum Mathematikunterricht 1, WTM Verlag, Münster, 41 48). Prof. Dr. Francesca Biagini Prof. Dr. Daniel Rost Mathematisches Institut der Universität München, Theresienstraße 39, 8333 München. francesca.biagini@math.lmu.de daniel.rost@mathematik.uni-muenchen.de F. Biagini wurde 1 an der Scuola Normale Sueriore in Pisa romoviert, wo sie auch das Dilom in Mathematik erhielt. Sie war Assistenzrofessorin an der Universität Bologna, bevor 5 sie eine W-Professur an der LMU in München antrat. Seit 9 hat sie den Lehrstuhl für Finanz- Versicherungsmatehmatik an der LMU inne. Dort ist sie derzeit auch Direktorin des Mathematischen Instituts. Außerdem ist sie Professor II am Centre of Mathematics for Alications (CMA) der Universität Oslo. Ihre Forschungsinteressen liegen in der stochastischen Analysis Anwendungen zur finanz- versicherungsmathematischen Modellierung. Derzeit ist sie Mitglied im Beirat der Bachelier Finance Society sowie im Executive Board des Munich Risk and Insurance Center. Daniel Rost, geb. 196 in München, Studium der Mathematik an der Ludwig-Maximilians- Universität München. Promotion Habilitation über Themen aus der angewandten mathematischen Statistik; als Professor am Mathematischen Institut der LMU München in der Finanzmathematik, seit 9 im Bereich der Lehramtsstudiengänge tätig. Schlussbemerkung Die finanzmathematische Modellierung hat sich in den letzten Jahren rasant entwickelt; statt des Black Scholes- Modells betrachtet man etwa stochastische Volatilitätsmodelle, beidenenσ nicht nur von der Zeit, sondern auch vom Zufall abhängen darf. Eine weitere Verallgemeinerung sind sogenannte Jum-Diffusion-Modelle, dieurssrünge in die Modellbildung mit einbeziehen. FOUS MDMV 1 / 13 18