12 Wahrheitsbäume zur Beurteilung der logischen Wahrheit von Sätzen der Sprache L Eine zweite Methode Das Wahrheitsbaumverfahren Dieses Verfahren beruht auf der Methode des indirekten Beweises. Wahrheitsbäume (L) 1 Indirekter Beweis Wenn man zeigen will, dass eine bestimmte ussage wahr ist, kann man auch so vorgehen: Man leitet aus der nnahme, dass falsch ist, einen Widerspruch ab. Denn wenn aus der Falschheit von ein Widerspruch folgt, dann muss wahr sein. Wahrheitsbäume (L) 2
Beispiel Betrachten wir den Satz von L: (1 ) p (q r p) nnahme Dieser Satz ist nicht logisch wahr. D.h. es gibt eine Bewertung V, bzgl. deren dieser Satz falsch bzw. der Satz (p (q r p)) wahr ist. Wahrheitsbäume (L) 3 Wenn ' (p (q r p))' wahr ist bzgl. V, dann müssen aber auch p und (q r p) wahr sein bzgl. V. Und wenn wahr ist bzgl. V, dann müssen auch (4) q und (r p) wahr sein bzgl. V. Wahrheitsbäume (L) 4
Und wenn ' (r p)' wahr ist bzgl. V, dann müssen auch (6) r und (7) p wahr sein bzgl. V. Mit anderen Worten: Wenn wahr ist bzgl. einer Bewertung V, dann müssen bzgl. dieser Bewertung sowohl 'p' als auch ' p' wahr sein. Dies ist aber ein Widerspruch. lso kann es eine solche Bewertung nicht geben. lso ist der Satz 'p (q r p)' logisch wahr. Wahrheitsbäume (L) 5 Schematische Zusammenfassung (1*) 1. (p (q r p)) 2. p 3. (q r p) 4. q 5. (r p) 6. r 7. p Wahrheitsbäume (L) 6
Zweites Beispiel (13) (p q) ((q r) (p r)). nnahme (13) ist nicht logisch wahr. D.h., es gibt eine Bewertung V, bzgl. deren dieser Satz falsch ist, bzgl. deren also der Satz (14) ((p q) ((q r) (p r))) wahr ist. Wahrheitsbäume (L) 7 (13*) 1. ((p q) ((q r) (p r))) 2. p q 3. ((q r) (p r)) 4. q r 5. (p r) 6. p 7. r 8. p 9. q 10. q 11. r (4) Wahrheitsbäume (L) 8
Fazit Dass alle Äste des Wahrheitsbaums (13*) mit einem geschlossen werden können, zeigt, dass sich in allen möglichen Fällen aus der nnahme, dass der Satz (13) nicht logisch wahr ist, ein Widerspruch ergibt. Und damit ist gezeigt, dass dieser Satz entgegen dieser nnahme doch logisch wahr ist. Wahrheitsbäume (L) 9 llgemein Wenn im Wahrheitsbaum der Negation eines Satzes von L alle Äste mit einem geschlossen werden können, da in jedem dieser Äste ein Satz von L sowohl in negierter wie in nicht negierter Form vorkommt, dann ist logisch wahr. Wahrheitsbäume (L) 10
nmerkung Bisher hatten wir das Wahrheitsbaumverfahren als eine vereinfachte Methode eingeführt, indirekte Beweise zu notieren, mit deren Hilfe unter Bezugnahme auf die Bestimmungen der Definition 10.3 gezeigt werden soll, dass aus der nnahme, ein bestimmter Satz der Sprache L sei nicht logisch wahr, ein Widerspruch folgt. Wahrheitsbäume (L) 11 Man kann dieses Verfahren jedoch auch als ein rein syntaktisches Verfahren (einen Kalkül) charakterisieren, in dem nach einem festen Satz von Regeln, die nur auf die syntaktischen Eigenschaften von Sätzen Bezug nehmen, Sätze in baumartigen Strukturen an andere Sätze angehängt werden dürfen. Tatsächlich reichen zur Entwicklung von Wahrheitsbäumen nämlich die folgenden neun Regeln völlig aus. Wahrheitsbäume (L) 12
(DN) (S) B B (K) B (B) B B B B () B B Wahrheitsbäume (L) 13 (NK) ( B) (N) ( B) B B (N) ( B) (NB) ( B) B B B Wahrheitsbäume (L) 14
Dass diese neun Regeln ausreichen, bedeutet, dass folgendes gilt: Satz 13.1 Ein Satz der Sprache L ist logisch wahr, wenn jeder st eines Wahrheitsbaums der Negation dieses Satzes, der nur mit Hilfe der zuvor angegebenen Regeln entwickelt wurde, mit einem geschlossen werden kann, da in ihm ein Satz von L sowohl in negierter wie in nicht negierter Form vorkommt. Wahrheitsbäume (L) 15 Ist '( p q) q q p' logisch wahr? 1. (( p q) q q p) 2. ( p q) q 3. (q p) 4. p q 5. q 6. q 7. p 8. p 9. q (4) 10. p (7) Wahrheitsbäume (L) 16
Was folgt daraus, dass im Wahrheitsbaum dieses Satzes nicht alle Äste geschlossen werden können? Es folgt, dass dieser Satz nicht logisch wahr ist. Denn Wenn wir bei der Entwicklung eines Wahrheitsbaums, bei der wir nur die oben angeführten Regeln verwendet haben, zum Ende kommen, ohne alle Äste abschließen zu können, dann dürfen wir aus dieser Tatsache schließen, dass der entsprechende Satz nicht logisch wahr ist Wahrheitsbäume (L) 17 Wir können den Satz 13.1 daher so verschärfen: Satz 13.1* Ein Satz der Sprache L ist genau dann logisch wahr, wenn jeder st eines Wahrheitsbaums der Negation dieses Satzes, der nur mit Hilfe der zuvor angegebenen Regeln entwickelt wurde, mit einem geschlossen werden kann, da in ihm ein Satz von L sowohl in negierter wie in nicht negierter Form vorkommt. Wahrheitsbäume (L) 18
Zwei weitere Beispiele Ist der Satz p q (p q) r logisch wahr? 1. 2. 4. (p q (p q) r) p q 3. ((p q) r) (p q) 5. r Wahrheitsbäume (L) 19 Der einzige st dieses Wahrheitsbaum kann geschlossen werden; denn ihm kommt der Satz p q sowohl negiert als auch nicht negiert vor. Der Satz, der sowohl negiert als auch nicht negiert vorkommt, muss also nicht immer ein Satzbuchstabe (oder ein negierter Satzbuchstabe) sein. Wahrheitsbäume (L) 20
Sind die Sätze (p q) und p q logisch äquivalent? 1. ( (p q) p q) 2. (p q) 4. (p q) 3. ( p q) 5. p q 6. p 10. p q (4) 7. q 11. p (10) 12. q (10) 8. p 9. q 13. p 14. q Wahrheitsbäume (L) 21 1. 2. 3. (((r q) p) (p q r)) ((r q) p) (p q r) 4. p 5. (q r) 6. q 7. r 8. (r q) 9. 10. r (8) 11. q (8) p 12. (r q) 13. 14. r (12) 15. q (12) p Wahrheitsbäume (L) 22
1. 2. 3. (((r q) p) (p q r)) ((r q) p) (p q r) 4. p 5. (q r) 6. 8. 9. (r q) r q (6) (6) 7. p 10. q 11. r Wahrheitsbäume (L) 23 Das Wahrheitsbaumverfahren lässt sich auch zur Beurteilung der Frage verwenden, ob ein Satz logisch aus den Sätzen 1,, n folgt. In diesem Fall bilden jedoch mehrere Sätze den Stamm eines entsprechenden Wahrheitsbaums: die Prämissen 1,, n und die negierte Konklusion. Denn dass ein Satz nicht logisch aus den Sätzen 1,, n folgt, heißt, dass es eine Bewertung V gibt, bzgl. deren die Prämissen 1,, n und die negierte Konklusion alle wahr sind. Ein entsprechender Wahrheitsbaums soll zeigen, dass aus dieser nnahme ein Widerspruch folgt. Wahrheitsbäume (L) 24
uch in diesem Zusammenhang soll das Wahrheitsbaumverfahren jedoch wieder als rein syntaktisches Verfahren aufgefasst werden. Denn auch bei der Beurteilung der Frage, ob ein Satz logisch aus den Sätzen 1,, n folgt, reichen die oben angeführten neun Regeln völlig aus. Denn es gilt: Wahrheitsbäume (L) 25 Satz 13.2 Sind 1,, n und Sätze der Sprache L, dann folgt der Satz genau dann logisch aus den Sätzen 1,, n, wenn jeder st eines Wahrheitsbaums, dessen Stamm aus den Sätzen 1,, n und der Negation des Satzes gebildet wird und der nur mit Hilfe der oben angegebenen Regeln entwickelt wurde, mit einem geschlossen werden kann, da in ihm ein Satz von L sowohl in negierter wie in nicht negierter Form vorkommt. Wahrheitsbäume (L) 26
Frage Folgt der Satz p r logisch aus den Sätzen p (q r) und p q? Wahrheitsbäume (L) 27 1. p (q r) 2. p q 3. (p r) 4. p 5. r 6. p 7. 8. p q 9. q r 10. q 11. r (9) Wahrheitsbäume (L) 28
Die Wahrheitsbaummethode ist besonders dann vorzuziehen, wenn der Satz oder die Sätze 1,, n relativ viele verschiedene Satzbuchstaben enthalten. Beispiel Überprüfung der Behauptung p q, q r, r s, s t u! L p u Wahrheitsbäume (L) 29 1. p q 2. q r 3. r s 4. s t u 5. (p u) 6. p 7. u 8. p 10. 9. q 11. Wahrheitsbäume (L) 30 q r 12. r 13. s 14. (s t) 15. u (4) 16. s (14) 17. t (14)
nhang Wenn wir überprüfen wollen, ob ein Satz der Sprache L logisch wahr ist, können wir so vorgehen: Wir entwickeln mit Hilfe der neun Regeln einen Wahrheitsbaum für die Negation. ist genau dann logisch wahr, wenn in diesem Wahrheitsbaum alle Äste mit einem geschlossen werden können, da in jedem dieser Äste ein Satz von L sowohl in negierter wie in nicht negierter Form vorkommt. nhang 1 Wenn wir überprüfen wollen, ob ein Satz der Sprache L logisch aus den Sätzen 1,, n folgt, können wir so vorgehen: Wir entwickeln mit Hilfe der neun Regeln einen Wahrheitsbaum, dessen Stamm die Prämissen 1,, n und die negierte Konklusion bilden. folgt genau dann logisch aus den Sätzen 1,, n, wenn in diesem Wahrheitsbaum alle Äste mit einem geschlossen werden können, da in jedem dieser Äste ein Satz von L sowohl in negierter wie in nicht negierter Form vorkommt. nhang 2
Merke Die neun Regeln haben folgende Merkmale: 1. ußer für Satzbuchstaben und negierte Satzbuchstaben gibt es für jede Satzform eine Regel. 2. Die Regeln sind abschichtend; d.h. die Sätze, die an die Äste angehängt werden, sind immer kürzer als der Satz, auf den die Regel angewendet wird. Genau deshalb ist die Entwicklung jedes Wahrheitbaums nach endlich vielen Schritten beendet. nhang 3 Tipps 1. Man sollte immer zuerst versuchen, die nichtverzweigenden Regeln anzuwenden. 2. Bei der nwendung von verzweigenden Regeln sollte man schauen, dass man möglichst einen st sofort schließen kann. nhang 4