20 Beurteilung umgangssprachlicher Sätze und Argumente mit prädikatenlogischen Mitteln

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1 20 Beurteilung umgangssprachlicher Sätze und Argumente mit prädikatenlogischen Mitteln Erinnerung Man kann die logischen Eigenschaften von Sätzen der Sprache PL in dem Maße zur Beurteilung der logischen Eigenschaften umgangssprachlicher deutscher Sätze verwenden, in dem man dazu in der Lage ist, diese umgangssprachlichen Sätze adäquat in die Sprache PL zu übersetzen. Grundsätzliches 1 Falls sich die logische Wahrheit eines umgangssprachlichen Satzes A dadurch nachweisen lässt, dass man zeigt, dass es für A eine angemessene Übersetzung A in PL gibt, für die gilt:! PL A, spricht man von der prädikatenlogischen Wahrheit des umgangssprachlichen Satzes A. Und entsprechend nennt man ein umgangssprachliches Argument A 1,..., A n, Also: A prädikatenlogisch gültig, wenn sich seine Gültigkeit dadurch nachweisen lässt, dass man zeigt, dass es für die umgangssprachlichen Sätze A 1,..., A n und A angemessene Übersetzungen A 1,..., A n und A in PL gibt, für die gilt: A 1,..., A n! PL A. Grundsätzliches 2

2 Generelles Vorgehen Wenn man prüfen will, ob ein umgangssprachlicher Satz A in diesem Sinne prädikatenlogisch wahr ist, muss man untersuchen, ob es eine angemessene Übersetzung A dieses Satzes in die Sprache PL gibt, von der sich zeigen lässt, dass sie logisch wahr ist. Beim zweiten Schritt gibt es zwei Möglichkeiten: 1. Wir versuchen mit Hilfe der Wahrheitsbaummethode zu zeigen, dass A' logisch wahr ist. 2. Wir versuchen, durch Angabe eines Gegenbeispiels zu zeigen, dass A' nicht logisch wahr ist. Grundsätzliches 3 Frage Welchen Weg soll man zuerst einschlagen? Im allgemeinen ist folgendes Vorgehen sinnvoll: Wenn ein Gegenbeispiel auf der Hand liegt, dann kann man durch Angabe dieses Gegenbeispiels sofort nachweisen, dass A' nicht logisch wahr ist. Wenn jedoch ein Gegenbeispiel nicht auf der Hand liegt, ist es vernünftig, zunächst die Wahrheitsbaummethode anzuwenden. Wenn sich dabei ein in allen Ästen geschlossener Wahrheitsbaum ergibt, ist die logische Wahrheit von A' gezeigt. Grundsätzliches 4

3 Wenn sich aber der Wahrheitsbaum nicht abschließen lässt, hat man entweder einen Fehler gemacht oder A' ist doch nicht logisch wahr. Dies muss dann allerdings durch ein geeignetes Gegenbeispiel gezeigt werden. Grundsätzliches 5 Geeignete Übersetzungen Beim Finden einer angemessene Übersetzung für einen umgangssprachlichen Satz A ist eine gewisse Umsicht geboten. Denn diese Übersetzung sollte so viel Struktur wie möglich aufweisen; d.h., auch die prädikatenlogische Binnenstruktur nicht komplexer Sätze sollte, soweit es geht, mitberücksichtigt werden. Grundsätzliches 6

4 Aus diesem Grunde ist folgendes Vorgehen sinnvoll 1. Man untersucht, welche Namen und Prädikate der zu übersetzende Satz A enthält, und übersetzt diese in geeignete Individuenkonstanten und Prädikatbuchstaben, wobei man auf die Stellenzahl der Prädikate achten muss. 2. Man versucht, auf die im Kapitel 19 dargestellte Weise mit Hilfe von Junktoren und Quantoren aus diesen Individuenkonstanten und Prädikatbuchstaben einen Satz von PL zu bilden, der (in etwa) dieselben Wahrheitsbedingungen hat wie A. Grundsätzliches 7 (1) Wenn Hans einen Bruder hat und alle Brüder Verwandte sind, dann hat Hans einen Verwandten. 1. Frage: Welche Namen und Prädikate enthält dieser Satz? Den Namen Hans und die Prädikate ist ein Bruder von und ist verwandt mit. Diesen Namen und diese Prädikate übersetzen wir in die Individuenkonstante a und die zweistelligen Prädikatbuchstaben F 2 und G 2, wobei wir die folgende Interpretation zugrunde legen: D = die Menge aller Menschen V(a) = Hans V(F 2 ) = {<x, y>; x ist ein Bruder von y} V(G 2 ) = {<x, y>; x ist mit y verwandt} Beispiel 1 1

5 2. Frage Wie kann bzgl. dieser Interpretation eine angemessene Übersetzung von (1) Wenn Hans einen Bruder hat und alle Brüder Verwandte sind, dann hat Hans einen Verwandten in die Sprache PL aussehen? (1 ) xf 2 xa x y(f 2 xy G 2 xy) xg 2 xa 3. Frage Ist (1 ) logisch wahr? Beispiel ( xf 2 xa x y(f 2 xy G 2 xy) xg 2 xa) A 2. xf 2 xa x y(f 2 xy G 2 xy) (1) 3. xg 2 xa (1) 4. xf 2 xa (2) 5. x y(f 2 xy G 2 xy) (2) 6. x G 2 xa (3) 7. F 2 ba (4) 8. G 2 ba (6) 9. y(f 2 by G 2 by) (5) 10. F 2 ba G 2 ba (9) 11. F 2 ba 12. G 2 ba (10) x x Beispiel 1 3

6 (2) Wenn eine gerade natürl. Zahl größer als sie selbst ist, dann ist sie größer als alle ungeraden natürl. Zahlen. 1. Frage: Welche Namen und Prädikate enthält dieser Satz? Nur die beiden einstelligen Prädikate ist eine gerade natürliche Zahl und ist eine ungerade natürliche Zahl sowie das zweistellige Prädikat ist größer als. Beispiel 2 1 Diese Prädikate übersetzen wir in die einstelligen Prädikatbuchstaben F 1 und H 1 sowie den zweistelligen Prädikatbuchstaben G 2, wobei wir dieses Mal von folgender Interpretation ausgehen: D = die Menge der natürlichen Zahlen V(F 1 ) = {x; x ist eine gerade natürliche Zahl} V(G 2 ) = {<x, y>; x ist größer als y} V(H 1 ) = {x; x ist eine ungerade natürliche Zahl} Beispiel 2 2

7 2. Frage Wie kann bzgl. dieser Interpretation eine angemessene Übersetzung von (2) Wenn eine gerade natürl. Zahl größer als sie selbst ist, dann ist sie größer als alle ungeraden natürl. Zahlen in die Sprache PL aussehen? (2 ) x( F 1 x G 2 xx y(h 1 y G 2 xy) ) 3. Frage Ist (2 ) logisch wahr? Beispiel 2 3 Wahrheitsbaum 1. x(f 1 x G 2 xx y(h 1 y G 2 xy)) A 2. x (F 1 x G 2 xx y(h 1 y G 2 xy)) (1) 3. (F 1 a G 2 aa y(h 1 y G 2 ay)) (2) 4. F 1 a G 2 aa (3) 5. y(h 1 y G 2 ay) (3) 6. F 1 a (4) 7. G 2 aa (4) 8. y (H 1 y G 2 ay) (5) 9. (H 1 b G 2 ab) (8) 10. H 1 b (9) 11. G 2 ab (9) Beispiel 2 4

8 Gegenbeispiel (2 ) D = die Menge der natürlichen Zahlen V(F 1 ) = {x; x ist eine gerade natürliche Zahl} V(G 2 ) = {<x, y>; x = y} V(H 1 ) = {x; x ist eine ungerade natürliche Zahl} Beispiel 2 5 Generell Wenn ein Ast eines Wahrheitsbaums nicht schließt, aber auch nicht mehr weiter entwickelt werden kann, dann ist der geprüfte Satz nicht logisch wahr (bzw. das Argument nicht logisch gültig) mit anderen Worten: Es gibt ein Gegenbeispiel. Mit folgendem Trick können Sie aus einem solchen Ast direkt ein Gegenbeispiel I = <D,V> ablesen: D = die Menge der Satzbuchstaben auf dem offen gebliebenen Ast; V(τ) = τ für alle Individuenkonstanten τ auf dem Ast; V(Φ n ) = die Menge der n-tupel <τ 1,...,τ n >, für die der Satz Φ n τ 1,...,τ n auf dem Ast steht. Beispiel 2 6

9 Gegenbeispiel 2 (2 ) D = {a, b} V(F 1 ) = {a} V(G 2 ) = {<a, a>} V(H 1 ) = {b} Beispiel 2 7 Prädikatenlogische Gültigkeit Wenn es darum geht, die prädikatenlogische Gültigkeit eines umgangssprachlichen Arguments A 1,..., A n, Also: A zu überprüfen, ist die Vorgehensweise analog: Erstens Für die umgangssprachlichen Sätze A 1,..., A n und A müssen angemessene Übersetzungen A 1,..., A n und A in die Sprache PL gefunden werden. Zweitens Es muss geprüft werden, ob der Satz A logisch aus den Sätzen A 1,..., A n folgt. Prädikatenlogische Gültigkeit 1

10 Beim zweiten Schritt ist es wieder sinnvoll, folgendermaßen vorzugehen: Wenn ein Gegenbeispiel auf der Hand liegt, kann man durch Angabe dieses Gegenbeispiels sofort nachweisen, dass der Satz A' nicht logisch aus den Sätzen A' 1,..., A' n folgt. Wenn ein Gegenbeispiel nicht auf der Hand liegt, ist es vernünftig, zunächst die Wahrheitsbaummethode anzuwenden. Wenn sich dabei ein in allen Ästen geschlossener Wahrheitsbaum ergibt, ist gezeigt, dass der Satz A' logisch aus den Sätzen A' 1,..., A' n folgt. Prädikatenlogische Gültigkeit 2 Wenn sich aber der Wahrheitsbaum nicht abschließen lässt, hat man entweder einen Fehler gemacht oder die Folgerungsbeziehung besteht doch nicht. Dies muss dann allerdings durch ein geeignetes Gegenbeispiel gezeigt werden. Prädikatenlogische Gültigkeit 3

11 Auch bei der Übersetzung der Prämissen A 1,..., A n und der Konklusion A geht man wieder so vor, wie schon geschildert. 1. Man untersucht, welche Namen und Prädikate die Sätze A 1,..., A n und A enthalten, und übersetzt diese in geeignete Individuenkonstanten und Prädikatbuchstaben von PL. 2. Man versucht, in der im Kapitel 19 dargestellten Weise mit Hilfe von Junktoren und Quantoren aus diesen Individuenkonstanten und Prädikatbuchstaben Sätze A' 1,..., A' n und A' von PL zu bilden, die (in etwa) dieselben Wahrheitsbedingungen haben wie die Sätze A 1,..., A n und A. Prädikatenlogische Gültigkeit 4 (3) Alle Väter sind älter als ihre Kinder. Paul ist nicht älter als Hans. Also: Paul ist nicht der Vater von Hans. 1. Frage: Welche Namen und Prädikate enthält dieses Argument? Beispiel 3 1

12 Die beiden Namen Paul und Hans sowie die beiden zweistelligen Prädikate ist der Vater von und ist älter als. Diese Namen und Prädikate übersetzen wir in die Individuenkonstanten a und b sowie die zweistelligen Prädikatbuchstaben F 2 und G 2, wobei wir die folgende Interpretation zugrunde legen: D = die Menge aller Menschen V(a) = Paul V(b) = Hans V(F 2 ) = {<x, y>; x ist der Vater von y} V(G 2 ) = {<x, y>; x ist älter als y} Beispiel Frage Wie kann bzgl. dieser Interpretation eine angemessene Übersetzung der Prämissen und der Konklusion von (3) in die Sprache PL aussehen? (3.1 ) x y(f 2 xy G 2 xy) (3.2 ) G 2 ab (3.3 ) F 2 ab 3. Frage Folgt (3.3 ) logisch aus (3.1 ) und (3.2 )? Beispiel 3 3

13 Wahrheitsbaum x y(f 2 xy G 2 xy) G 2 ab F 2 ab y(f 2 ay G 2 ay) 5. F 2 ab G 2 ab (4) A A A (1) 6. F 2 ab x 7. G 2 ab x (5) Beispiel 3 4 (4) Kein Hund ist eine Katze Keine Katze ist ein Vogel Also: Kein Hund ist ein Vogel 1. Frage: Welche Namen und Prädikate enthält dieses Argument? Beispiel 4 1

14 Nur die drei einstelligen Prädikate ist ein Hund, ist eine Katze und ist ein Vogel. Diese Prädikate übersetzen wir in die einstelligen Prädikatbuchstaben F 1, G 1 und H 1 zu, wobei wir die folgende Interpretation zugrunde legen: D = die Menge aller Tiere V(F 1 ) = {x; x ist ein Hund} V(G 1 ) = {x; x ist eine Katze} V(H 1 ) = {x; x ist ein Vogel}. Beispiel Frage Wie kann bzgl. dieser Interpretation eine angemessene Übersetzung der Prämissen und der Konklusion von (4) in die Sprache PL aussehen? (4.1 ) x(f 1 x G 1 x) (4.2 ) x(g 1 x H 1 x) (4.3 ) x(f 1 x H 1 x) 3. Frage Folgt (4.3 ) logisch aus (4.1 ) und (4.2 )? Beispiel 4 3

15 Wahrheitsbaum x(f 1 x G 1 x) x(g 1 x H 1 x) x(f 1 x H 1 x) x (F 1 x G 1 x) 5. x (G 1 x H 1 x) (2) 6. x(f 1 x H 1 x) (3) 7. F 1 a H 1 a (6) 8. F 1 a (7) 9. H 1 a A A A (1) (7) Beispiel (F 1 a G 1 a) (4) 11. (G 1 a H 1 a) (5) 12. F 1 a 13. G 1 a (10) x 14. G 1 a 15. H 1 a (11) x Beispiel 4 5

16 Gegenbeispiele (4 ) D = die Menge aller Tiere V(F 1 ) = {x; x ist ein Hund} V(G 1 ) = {x; x ist eine Katze} V(H 1 ) = {x; x ist ein Hund} (4 ) D = {a} V(F 1 ) = {a} V(G 1 ) = V(H 1 ) = {a} Beispiel 4 6