Grundkurs Logik - 6. Einheit

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1 18. Januar 2013

2 Prädikatenlogik erster Stufe - Motivation Bis jetzt haben wir uns (bis auf unseren historischen Ausflug in die Syllogistik) hauptsächlich mit aussagenlogischen Argumenten beschäftigt. Dabei haben wir nicht auf die innere Struktur von atomaren Aussagen geachtet. D.h. wir haben bei der Definition der Gültigkeit von Argumenten nur auf deren aussagenlogische Struktur Bezug genommen, i.e. auf die aussagenlogischen Junktoren.

3 Prädikatenlogik erster Stufe - Motivation Wenn wir das Argument (P 1 ) Jeder Philosoph mag Heidegger (P 2 ) Jeder Philosoph, der Heidegger mag, mag auch Aristoteles (C) Also mag jeder Philosoph Aristoteles aussagenlogisch formalisieren wollen, bleibt uns zunächst nur folgende Möglichkeit:

4 Prädikatenlogik erster Stufe - Motivation (P 1 ) p (P 2 ) q (C) r Der Grund dafür liegt im Umstand, dass keiner dieser Sätze eine aussagenlogische Struktur hat - keiner der Sätze ist eine Negation, Konjunktion, Konditional oder Disjunktion. Wir müssen bei der aussagenlogischen Formalisierung also für jeden Satz einen eigenen Satzbuchstaben verwenden. Selbst ohne Wahrheitstafel sieht man aber sofort, dass sich das Argument in dieser Formalisierung als ungültig herausstellt. Dennoch ist intuitiv klar, dass das Argument sich als gültig herausstellen sollte.

5 Prädikatenlogik erster Stufe - Motivation Wir müssen uns also überlegen, wie wir zu einer Notation kommen, die Zugriff auf die innere Struktur dieser Sätze hat und die quantifikatorische Ausdrücke wie alle, jeder, keiner etc. miteinbezieht.

6 Prädikatenlogik erster Stufe - Motivation Die Grundidee bei der Entwicklung der (formalen) Sprache PL der Prädikatenlogik erster Stufe ist, dass man 1 Prädikate und Relationen durch Prädikats- und Relationsbuchstaben repräsentiert 2 konkrete Objekte durch Individuenkonstanten 3 und ausserdem Individuenvariablen und Quantoren - den Allquantor und den Existenzquantor - einführt. Das Zusammenspiel der Quantoren mit den aussagenlogischen Junktoren erlaubt einem dann, sehr komplexe Sätze der Umgangssprache zu repräsentieren.

7 Prädikatenlogik erster Stufe - Motivation Als Beispiel sehen wir uns (P 1 ) von oben an: (P 1 ) Alle Philosophen mögen Heidegger. Etwas umständlich gesprochen, können wir diesen Satz so paraphrasieren: (P 1 ) Für alle Dinge x gilt: Wenn x ein Philosoph ist, dann mag x Heidegger.

8 Prädikatenlogik erster Stufe - Motivation Um zu einer vollständigen prädikatenlogischen Formalisierung zu gelangen, benutzt man nun 1 Prädikats- und Relationsbuchstaben für die beteiligten Prädikate/Relationen - Px für das Prädikat x ist ein Philosoph und Mxy für die Relation x mag y 2 die Individuenkonstante h für den Namen Heidegger 3 und verwendet den Allquantor x für den umgangssprachlichen quantifikatorischen Ausdruck für alle x gilt: und kommt zu: (P 1 ) x(px Mxh)

9 Prädikatenlogik erster Stufe - Motivation Für die zweite Prämisse (P 2 ) würde man wie folgt vorgehen: (P 2 ) Jeder Philosoph, der Heidegger mag, mag auch Aristoteles. (P 2 ) Für jedes x gilt: wenn x ein Philosoph ist und x Heidegger mag, dann mag x auch Aristoteles. (P 2 ) x((px Mxh) Mxa) wobei a für Aristoteles steht.

10 Prädikatenlogik erster Stufe - Motivation Die Konklusion (C) würde man wie folgt formalisieren: (C) Jeder Philosoph mag Aristoteles. (C ) Für all x gilt: wenn x ein Philosoph ist, dann mag x Aristoteles. (C ) x(px Mxa)

11 Prädikatenlogik erster Stufe - Motivation Vollständig formalisiert sieht unser Argument also so aus: (P 1 ) x(px Mxh) (P 2 ) x((px Mxh) Mxa) (C ) x(px Mxa) Das Argument wird sich - so verstanden - als gültig erweisen; sowohl semantisch (bzgl. eines noch zu definierenden semantischen Folgerungsbegriffs) als auch syntaktisch (in einer Erweiterung des Kalküls des natürlichen Schließens).

12 Exkurs - endliche Individuenbereiche Der Gebrauch von Quantoren und Individuenvariablen kann in bestimmten Bereichen vermieden werden - auch bei Sätzen, die ( scheinbare ) quantifikatorische Ausdrücke enthalten; d.h. viele Aussagen können tatsächlich auf die Aussagenlogik zurückgeführt werden. Sehen wir uns dazu noch einmal das Beispiel von früher an: Wenn wir davon ausgehen, dass sich die quantifikatorischen Ausdrücke alle in (P 1 ), (P 2 ) und (C) nur auf Menschen beziehen, so können wir diese Aussagen auch durch Sätze unserer aussagenlogischen Sprache repräsentieren.

13 Exkurs - endliche Individuenbereiche Es sei Mensch 1, Mensch 2, Mensch 3,...Mensch n eine Liste aller Menschen (wir nehmen an, dass es davon nur endlich viele gibt); Weiters stehe 1 p i für Mensch i ist ein Philosoph 2 h i für Mensch i mag Heidegger 3 a i für Mensch i mag Aristoteles

14 Exkurs - endliche Individuenbereiche Wir könnten dann (P 1 ) aussagenlogisch als Konjunktion aller Konditionale der Form Wenn Mensch i ein Philosoph ist, dann mag er Heidegger. formalisieren, i.e. (P 1 ) (p 1 h 1 ) (p 2 h 2 )... (p n h n ) Ähnlich auch für (P 2 ) und (C): (P 2 ) ((p 1 h 1 ) a 1 ) ((p 2 h 2 ) a 2 )... ((p n h n ) a n ) (C ) (p 1 a 1 ) (p 2 a 2 )... (p n a n )

15 Exkurs - endliche Individuenbereiche Tatsächlich lässt sich dann sehr einfach zeigen, dass der Schluss von P 1 und P 2 auf C korrekt ist. (Man überlege sich als Übung, wie ein Beweis von (C ) aus (P 1 ) und (P 2 ) z.b. im Kalkül des natürlichen Schließens aussehen würde - etwa für den Fall n = 2 (d.h. unter der Voraussetzung, dass es nur 2 Menschen gibt).)

16 Exkurs - endliche Individuenbereiche Ähnliches gilt für das (ungültige) Argument: (P 1 ) Es gibt Musiker, die Qotsa mögen. (P 2 ) Es gibt Musiker, die Qotsa nicht mögen. (C) Also gibt es Musiker, die Qotsa sowohl mögen als auch nicht mögen. dessen prädikatenlogische Formalisierung so aussehen würde:

17 Exkurs - endliche Individuenbereiche (P 1 ) x(mx Lxq) (P 2 ) x(mx Lxq) (C ) x(mx Lxq Lxq) wobei Mx für x ist Musiker ; Lxy für x mag y und q für Qotsa resp. stehen.

18 Exkurs - endliche Individuenbereiche Gehen wir wieder davon aus, das sich die quantifikatorischen Ausdrücke es gibt nur auf Menschen beziehen und Mensch 1, Mensch 2,...Mensch n wieder eine Liste aller Menschen sei; Weiters stehe 1 m i für Mensch i ist ein Musiker 2 q i für Mensch i mag Qotsa

19 Exkurs - endliche Individuenbereiche Wir können dann - analog zu oben - alle im Argument beteiligten Sätze aussagenlogisch durch endliche Disjunktionen repräsentieren: (P 1 ) (m 1 q 1 ) (m 2 q 2 )... (m n q n ) (P 1 ) (m 1 q 1 ) (m 2 q 2 )... (m n q n ) (C ) (m 1 q 1 q 1 ) (m 2 q 2 q 2 )... (m n q n q n ) Eine geeignete Wahrheitstabelle wird dann zeigen, dass dieses Argument nicht gültig ist. (Übung: man mache sich diesen Umstand wieder für einen einfachen Fall klar - etwa für n = 2.)

20 Exkurs - endliche Individuenbereiche Kurz: Solange der Individuenbereich, über den wir sprechen wollen (z.b. die Menge aller Menschen), endlich ist, können wir uns die Einführung von Quantoren und Individuenvariablen sparen (auch wenn die Formalisierung extrem umständlich sein kann). Sowohl universelle als auch existenzielle Generalisierungen können als endliche Konjunktionen bzw. Disjunktionen aufgefasst werden. Probleme ergeben sich allerdings immer dort, wo wir über unendliche Individuenbereiche generalisieren wollen!

21 Exkurs - endliche Individuenbereiche Man betrachte etwa folgende Beispiele aus der Mathematik: (1) Jede gerade Zahl größer als 2 ist die Summe von zwei Primzahlen. (2) Es gibt stetige Funktion, die nicht differenzierbar sind. Da es unendlich viele natürliche Zahlen und stetige Funktionen gibt, haben wir keine Möglichkeit, Sätze dieser Art (analog zu oben) als endliche Konjunktionen (oder Disjunktionen) darzustellen.

22 Exkurs - endliche Individuenbereiche Um Beispiele für Sätze zu finden, in denen die quantifikatorischen Ausdrücke nicht eliminierbar sind, braucht man den Bereich der Umgangssprache nicht verlassen: (3) Jeder Satz der deutschen Sprache setzt sich aus Wörtern der deutschen Sprache zusammen. (4) Irgendetwas, das der Papst sagt, ist wahr. Auch hier kann man die Quantoren nicht zugunsten von endlichen Konjunktionen oder Disjunktionen eliminieren.

23 Exkurs - endliche Individuenbereiche D.h. allerspätestens dort, wo man beginnt über unendliche Gesamtheiten zu sprechen, wird die Einführung von Quantoren unvermeidlich.

24 Die Sprache PL So viel zu den Präliminarien - wir wollen auch für die Quantorenlogik eine künstliche Sprache - die Sprache PL - entwicklen. Wieder werden wir genau angeben, wie die Syntax/Grammatik und die Semantik dieser Sprache aussehen.

25 Die Syntax von PL Das Alphabet von PL setzt sich aus folgenden items zusammen: 1 Logische Konstanten: Aussagenlogische Junktoren:,,, Den Allquantor, den Existenzquantor sowie unendlich viele Individuenvariablen: x, y, z, x 1,... 2 Nichtlogische Konstanten: Individuenkonstanten: a, b, c, a 1,... Relationsbuchstaben jeder Stelligkeit Buchstaben für einstellige Relationen: P, Q, R, S, P 1... Buchstaben für zweistellige Relationen: P 2, Q 2, R 2, S 2, P1 2,... Buchstaben für dreistellige Relationen: P 3, Q 3, R 3, S 3, P1 3, Klammern: (, ) Die Individuenvariablen zusammen mit den Individuenkonstanten nennen wir auch Individuenterme.

26 Die Syntax von PL Die (rekursive) Definition der wohlgeformten Formeln von PL (der WFFs) ist ganz analog zur Definition der WFFs für die Sprache der Aussagenlogik AL, nur mit zusätzlichen Klauseln für die atomaren Formeln (die ja in AL als unzerlegbar galten) und die Formeln, die Quantoren enthalten

27 Die Syntax von PL Definition (Wohlgeformte Formeln ( WFFs) von PL) 1 Ist X ein n-stelliger Relationsbuchstabe und t 1,...t n sind Individuenterme, so ist Xt 1...t n eine (atomare) WFF 2 Sind α und β WFFs, so auch 1 α 2 (α β) 3 (α β) 4 (α β) 3 Ist ξ eine Individuenvariable und α eine wohlgeformte Formel, so auch 1 ξα 2 ξα 4 Nichts ist eine wohlgeformte Formel, wenn nicht entstanden durch endlich ofte Anwendung der Klauseln 1-3.

28 Die Syntax von PL Z.B. sind Px xq 2 xb oder x y(s 5 xayxb Px) wohlgeformte Formeln von PL.

29 Die Syntax von PL P 2 xya yq 4 xya und xpx α dagegen nicht.

30 Die Syntax von PL Bemerkungen: Man beachte, dass es sich bei dieser Definition wieder um eine rekursive Defintion handelt Ausserdem erinnere man sich and den Gebrauch der griechischen Buchstaben als metasprachliche Variablen, die nötig sind um über unsere Objektsprache zu sprechen - ähnliches gilt für die Buchstaben X und die t i s in der Definition. Um einigermaßen übersichtlich zu bleiben, werden wir bei der Formalisierung von umgangssprachlichen Sätzen die Indizes bei den Relationsbuchstaben oft weglassen, wenn die Stelligkeit aus dem Kontext klar ist.

31 Die Syntax von PL Bemerkungen: Individuenkonstanten erfüllen in unserer formalen Sprache PL die Funktion von Namen der Umgangssprache - also etwa Jim Raynor oder π oder Qotsa. einstellige Relationsbuchstaben können dazu benutzt werden, Prädikate - also z.b. x ist ein(e) Philosoph(in) oder x ist sterblich - in PL zu repräsentieren zweistellige Relationsbuchstaben können dazu benutzt werden, zweistellige Relationen - also x mag y oder x ist kleiner als y - darzustellen dreistellige Relationsbuchstaben können dazu benutzt werden, dreistellige Relationen - etwa x liegt zwischen y und z oder x legt y auf z - darzustellen

32 Formalisierung von umgangssprachlichen Sätzen Um Sätze der Umgangssprache in unsere künstliche Sprache PL zu übersetzen, ist es günstig, 1 sich zunächst eine Liste aller beteiligten Prädikate, Relationen und Namen zu machen um sich 2 in einem nächsten Schritt die logische Struktur des zu formalisierenden Satzes klarzumachen

33 Formalisierung von umgangssprachlichen Sätzen (1) Joshua spielt Schlagzeug und mag Bree Joanna Wir erstellen zunächst eine Liste der nichtlogischen Konstanten und wählen entsprechende Buchstaben aus PL, die diesen entsprechen sollen: Für den Namen Joshua wählen wir die Individuenkonstante a Für den Namen Bree Joanna wählen wir die Individuenkonstante b Für das einstellige Prädikat x spielt Schlagzeug wählen wir den Relationsbuchstaben S Für die zweistellige Relation x mag y wählen wir den zweistelligen Relationsbuchstaben R und kommen so auf (1 ) (Sa Rab)

34 Formalisierung von umgangssprachlichen Sätzen Kommen auch quantifikatorische Ausdrücke vor, empfiehlt es sich oft den zu formalisierenden Satz zunächst semi-formal anzuschreiben um sich dessen logische Struktur klarzumachen: (2) Peter mag Fridolin oder keiner mag ihn. Peter... a Fridolin... b x mag y... Rxy (2 ) Peter mag Fridolin oder es gibt kein x, sodass x mag Fridolin. (2 ) (Rab xrxb)

35 Formalisierung von umgangssprachlichen Sätzen Sich die logische Struktur eines Satzes klarzumachen ist vor allem dann wichtig, wenn ein Satz mehrere (d.h. verschachtelte ) Quantoren enthält, wie der Satz (3) Keiner mag jeden x mag y... Rxy (3 ) Es gibt kein x, sodass für alle y gilt: x mag y (3 ) x yrxy

36 Formalisierung von umgangssprachlichen Sätzen Man vergleiche (3) mit (4) Nicht jeder mag irgendwen. x mag y... Rxy (4 ) Nicht für alle x gibt es ein y, sodass gilt: x mag y. (4 ) x yrxy

37 Formalisierung von umgangssprachlichen Sätzen Bei verschachtelten Quantoren ist es besonders wichtig auf die Reihenfolge der Quantoren zu achten! Es stehe Rxy wieder für x mag y ; Man vergleiche etwa den PL-Satz (5) x yrxy mit (6) y xrxy Während der erste Satz sagt, dass jeder jemanden mag, sagt der zweite, dass jemand von allen gemocht wird.

38 Formalisierung von umgangssprachlichen Sätzen Andererseits sind die Sätze (5 ) y xryx und (6 ) x yryx äquivalent zu (5) und (6) resp. Hier wurden nur die Variablen vertauscht - was keinen Einfluss auf den Gehalt des Satzes hat. (Sowas nennt man auch gebundene Umbenennung.)

39 Formalisierung von umgangssprachlichen Sätzen Auf der anderen Seite sagen die Sätze (7) x yryx und (8) y xryx wieder etwas von (5) und (6) verschiedenes. (7) und (8) entstehen aus (5) und (6) resp. jeweils durch Ersetzen von Rxy durch Ryx. Dies entspricht in etwa dem Übergang vom Aktiv x mag y zum Passiv x wird von y gemocht. (7) sagt also, dass jeder von jemandem gemocht wird und (8) dass jemand alle mag.

40 Formalisierung von umgangssprachlichen Sätzen (9) Es gibt eine Stadt, die zwischen Wien und Maribor liegt. 1 x ist eine Stadt... Sx 2 x liegt zwischen y und z... Rxyz 3 Wien... a 4 Maribor... b (9 ) Es gibt ein x, sodass gilt: x ist eine Stadt und x liegt zwischen Wien und Maribor. (9 ) x(sx Rxab)

41 Formalisierung von umgangssprachlichen Sätzen (10) Jede Stadt liegt zwischen irgend zwei anderen Städten 1 x ist eine Stadt... Sx 2 x liegt zwischen y und z... Rxyz (10 ) Für alle x gilt: wenn x eine Stadt ist, dann gibt es Städte y und z, sodass x zwischen y und z liegt. (10 ) x(sx y z(sy Sz Rxyz))

42 Formalisierung von umgangssprachlichen Sätzen Ein Tipp für Formalisierungen: Der Allquantor kommt oft gepaart mit dem Konditional vor! Der Existenzquantor kommt oft gepaart mit der Konjunktion vor!

43 Formalisierung von umgangssprachlichen Sätzen wobei φ und ψ auch komplexe Prädikate (d.h. Prädikate, die eine eigene quantifikatorische, oder sonstige Struktur haben) sein können! Sätze der Art (A) Alle φ s sind ψ s werden in der Regel so formalisiert: (A ) x(φ(x) ψ(x)) und Sätze der Form (I) Einige φ s sind ψ s so: (I ) x(φ(x) ψ(x))

44 Formalisierung von umgangssprachlichen Sätzen Wenn etwa Rxy wieder für x mag y steht, dann lässt sich (11) Jeder, der irgendwen mag, mag Anton. so formalisieren: (11 ) x( yrxy }{{} φ(x) Rxa) }{{} ψ(x) φ(x) steht hier also für das komplexe Prädikat jemanden zu mögen und ψ(x) für das Prädikat Anton zu mögen.

45 Formalisierung von umgangssprachlichen Sätzen Ähnlich gelagert ist der folgende Fall hier bzgl. des Existenzquantors: (12) Einige, die alle mögen, mögen sich selbst. der so formalisiert wird: (12 ) x( yrxy }{{}}{{} Rxx ) φ(x) ψ(x) Hier steht φ(x) für die komplexe Eigenschaft jeden zu mögen und ψ(x) für die Eigenschaft sich selbst zu mögen.

46 Formalisierung von umgangssprachlichen Sätzen Analog werden Sätze der Form (O) Nicht alle φ s sind ψ s in der Regel so formalisiert: (O ) x(φ(x) ψ(x)) und Sätze der Form (E) Keine φ s sind ψ s so: (E ) x(φ(x) ψ(x)) wobei φ und ψ wieder komplexe Prädikate sein können!

47 Prädikatenlogik erster Stufe - das logische Quadrat Mit Hilfe der Quantoren können wir also auch sehr einfach die Grundformen der aristotelischen Syllogistik repräsentieren: (a) Alle F sind G x(fx Gx) (e) Kein F ist G x(fx Gx) (i) Einige F sind G x(fx Gx) (o) Einige F nicht nicht G x(fx Gx)

48 Prädikatenlogik erster Stufe - das logische Quadrat Hier noch einmal in moderner Notation:

49 Prädikatenlogik erster Stufe - das logische Quadrat Man beachte auch die Äquivalenzen (a) x(sx Px) x(sx Px) (e) x(sx Px) x(sx Px) (i) x(sx Px) x(sx Px) (o) x(sx Px) x(sx Px)

50 Prädikatenlogik erster Stufe - das logische Quadrat Alle syllogistischen Grundformen sind also in PL repräsentierbar! Wir werden auch sehen, dass sich alle gültigen Syllogismen als PL-gültig - sowohl semantisch als auch syntaktisch (bzgl. geeigneter Kalküle) herausstellen werden - zumindest unter geeigneten Bedingungen.

51 Semantik von PL Soweit zur Syntax von PL - wir kommen nun zur Semantik von PL: Wieder wollen wir jedem Satz unserer künstlichen Sprache einen Wahrheitswert zuordnen, je nachem wie die Welt aussieht. In der Aussagenlogik konnten wir so eine mögliche Welt beschreiben, indem wir jedem atomaren Satzbuchstaben einen Wahrheitswert zugeordnet haben. Danach konnten wir rekursiv definieren, wie die Wahrheitswerte von den komplexeren Sätzen von den Wahrheitswerten ihrer weniger komplexen Bestandteile abhängen. In der Sprache PL unterscheiden wir aber auch noch semantisch signifikante Teile innerhalb einer atomaren Formel (Prädikate, Relationen, Namen,...). PL-Modelle sind also komplizierter als AL-Modelle

52 Semantik von PL Die Grundidee ist die, dass wir eine Interpretation (ein Modell, eine mögliche Welt ) bestimmen, indem wir 1 eine domain angeben (ein universe of discourse, Redebereich, Individuenbereich), auf den sich unsere Quantoren beziehen ( alle heißt dann immer alle Dinge in der domain ) 2 jeder nicht-logischen Konstanten eine Interpretation bzgl. dieser domain zuordnen, d.h. jeder Individuenkonstanten ein bestimmtes Objekt aus der domain jedem einstelligen Relationsbuchstaben eine Menge von Objekten der domain jeder zweistelligen Relation einer Menge von geordneten Paaren von Objekten der domain...

53 Semantik von PL Angenommen wir wollen den PL-Satz x(px Rxa) (Dieser PL-Satz könnte etwa für den umgangssprachlichen Satz Jeder Philosoph mag Aristoteles stehen) interpretieren: Dazu haben wir 1 eine domain, d.h. (irgendeine!) Menge D von (irgendwelchen!) Objekten und 2 Interpretationen für die nichtlogischen Konstanten P, R und a bzgl. dieser domain D anzugeben

54 Semantik von PL Wir wählen etwa D := {Aristoteles, Platon, George Clooney} Weiters bestimmen wir, dass 1 der Name a in unserem Modell für Aristoteles stehen soll, 2 P für die Menge {Aristoteles, Platon} und 3 R für die Menge von Paaren { Aristoteles, Aristoteles, Platon, Aristoteles } (D.h. Aristoteles steht - in diesem Modell - in der R-Beziehung zu sich selbst und Platon steht in der R-Beziehung zu Aristoteles. Achtung: In diesem Modell steht Aristoteles nicht in der R-Beziehung zu Platon - dazu müsste auch das geordnete Paar Aristoteles, Platon in der Interpretation von R sein!)

55 Semantik von PL Graphisch kann man sich das so veranschaulichen: Dies ist also eine Interpretation (ein Modell), in dem der Satz x(px Rxa) wahr ist, weil - in diesem Modell - tatsächlich jedes P in der R-Beziehung zu Aristoteles steht (dies wird durch die Pfeile angedeutet).

56 Semantik von PL Eine andere Interpretation bekommen wir durch folgende Festlegungen: Wir wählen für unsere domain wieder D := {Aristoteles, Platon, George Clooney} Weiters bestimmen wir, dass 1 der Name a in unserem Modell wieder für Aristoteles stehen soll, 2 P für die Menge {Aristoteles, Platon} und 3 R für die Menge von Paaren { George Clooney, Aristoteles, Platon, Aristoteles }

57 Semantik von PL Graphisch kann man sich das wieder so veranschaulichen: In dieser Interpretation ist der Satz x(px Rxa) also falsch, weil nicht jedes P zu Aristoteles in der R-Beziehung steht. (Aristoteles selbst steht ja in diesem Modell nicht in der R-Beziehung zu sich selbst!)

58 Semantik von PL - weitere Beispiele Hier noch ein Beispiel für eine Interpretation des PL-Satzes x(px Qx) Qa: 1 Die domain sei gegeben durch die Menge {1, 2, 3, 4} 2 Die Interpretation von P sei gegeben durch die Menge {1, 2, 3} 3 Die Interpretation von Q durch {3, 4} und 4 Der Name a stehe für die Zahl 1.

59 Semantik von PL - weitere Beispiele Graphisch sieht das so aus: Wie man sieht, ist x(px Qx) Qa in diesem Modell wahr (weil schon das erste Disjunkt x(px Qx) wahr ist - jedes Ding in der domain ist mindestens eines von beiden: P oder Q!).

60 Semantik von PL - weitere Beispiele Andererseits ist x(px Qx) Qa in diesem Modell falsch: weil hier die domain D nicht mehr nur aus den Zahlen 1, 2, 3, 4 besteht, sondern noch ein weiteres Element - nämlich die 5 - dazugekommen ist.

61 Semantik von PL - weitere Beispiele Wir sehen uns die Sätze x yrxy und x yryx in der Interpretation an, die gegeben ist durch die Festlegung, dass 1 die domain D := {Anna, Bert, Caro, Dom} und die Interpretation von R durch 2 { Anna, Bert, Bert, Caro, Caro, Dom, Dom, Bert } gegeben ist. (R könnte - zum Beispiel - für die Relation x mag y stehen; in dieser möglichen Welt würde also Anna Bert mögen, Bert Caro, usw.)

62 Semantik von PL - weitere Beispiele Hier die zugehörige Graphik: Wie man sieht ist x yrxy in diesem Modell wahr (denn in diesem Modell steht jeder zu irgendjemandem in der R-Beziehung), während x yryx falsch ist (weil es in diesem Modell jemanden gibt, zu dem keiner in der R-Beziehung steht - nämlich Anna!).

63 Semantik von PL - formal Formal gilt also: Definition Ein Modell (eine Interpretation) M ist ein geordnetes Paar (D, I ), bestehend aus 1 der domain D, die (irgendeine) nichtleere Menge ist und 2 einer Funktion I (der Interpretationsfunktion), die jeder nicht-logischen Konstanten eine Bedeutung bzgl. D zuordnet, d.h. 1 jeder Individuenkonstanten a ein Objekt I (a) aus der domain D 2 jedem einstelligen Relationsbuchstaben P eine Teilmenge von D, d.h. I (P) D 3 jedem 2-stelligen Relationsbuchstaben R eine Teilmenge von D D (der Menge aller geordneten Paare von Elementen von D), i.e. I (R) D D 4...

64 Semantik von PL - formal Um nun zu einer Definition des Begriffs der Wahrheit in einem Modell für unsere Sprache PL zu gelangen (analog zum Begriff der Wahrheit bzgl. einer Bewertungsfunktion für die Aussagenlogik) benötigen wir aus bestimmten (teils technischen) Gründen (auf die hier nicht näher eingegangen wird) noch folgende Definition Sei M ein beliebiges Modell und D die domain dieses Modells. Dann ist eine M-Belegung eine Funktion s, die jeder Individuenvariablen x, y, z... ein Objekt aus D zuordnet. Weiters nennen wir eine Belegung s eine x-variante der Belegung s, falls s jeder Variablen die gleichen Werte aus D zuordnet wie s - ausser (möglicherweise) für die Variable x; falls sich also s und s höchstens bei den Werten für die Variable x unterscheiden.

65 Semantik von PL - formal Ausserdem benötigen wir noch folgende Definition Falls M = (D, I ) eine Interpretation ist und s eine M-Belegung, so ist die Erweiterung s von s auf alle Individuenterme t (also Variablen { plus Individuenkonstanten) definiert durch: s(t) falls t eine Individuenvariable ist s(t) I (t) if t eine Individuenkonstante ist Mithilfe dieser Definitionen können wir nun, wieder rekursiv, den Begriff der Wahrheit einer Formel α in einem Modell M definieren.

66 Semantik von PL - formal Im folgenden schreiben wir kurz (M, s) α für α ist wahr im Modell M bzgl. der Belegung s oder M erfüllt α bei der Belegung s (Achtung! Das Zeichen bezeichnet einerseits die Beziehung der Wahrheit in einem Modell - also eine Relation zwischen einem Modell und einem Satz; andererseits steht auch für die semantische Folgerungsbeziehung, also einer Beziehung zwischen Sätzen und anderen Sätzen!)

67 Semantik von PL - formal Hier also die rekursive Definition 1 Wenn X ein n-stelliges Relationssymbol ist und t 1,...t n Individuenterme, so gilt: (M, s) Xt 1...t n gdw. s(t 1 ),... x(t n ) I (X ) 2 Wenn α, β wohlgeformte Formeln sind und ξ eine Individuenvariable, so gilt: 1 (M, s) α gdw. (M, s) α 2 (M, s) (α β) gdw. (M, s) α und (M, s) β 3 (M, s) (α β) gdw. (M, s) β oder (M, s) β (oder beides) 4 (M, s) (α β) gdw. (M, s) α oder (M, s) β (oder beides) 3 (M, s) ξα gdw. für alle ξ-varianten s gilt: (M, s ) α 4 (M, s) ξα gdw. es eine ξ-variante s gibt, so dass gilt: (M, s ) α

68 Semantik von PL - formal Mithilfe dieser Defintionen können wir dann wieder den für die Logik zentralen semantischen Folgerungsbegriff und andere semantische Begriffe für PL definieren: Definition β folgt semantisch aus der Satzmenge Σ, kurz Σ β, falls für alle Modelle M und alle Belegungen s gilt: Wenn für alle Formeln α in Σ gilt, dass (M, s) α; dann auch (M, s) β Kurz: β folgt semantisch aus den Prämissen Σ, falls es kein Modell (keine Interpretation) gibt, in der alle Sätze in Σ wahr sind, aber β falsch. (Man beachte auch, dass die Belegung s hier keine Rolle spielt, wenn die Sätze in Σ und β keine freien Variablen (i.e. Variablen, die durch keinen Quantor gebunden werden) enthalten - wir können in solchen Fällen die Belegungen s einfach ignorieren.)

69 Semantik von PL - formal Ein weiterer wichtiger semantischer Begriff ist der der Erfüllbarkeit: Definition Eine Formelmenge Σ heisst erfüllbar, falls es ein Modell M und eine Belegung s gibt, sodass für alle α in Σ gilt: (M, s) α D.h. eine Formelmenge Σ ist erfüllbar wenn es mindestens ein Modell gibt, in dem alle Formeln in Σ wahr sind. Definition Eine PL-Formel α heisst allgemeingültig, falls für alle Modelle M und Belegungen s gilt: (M, s) α Ein Satz ist also allgemeingültig wenn er in jedem Modell wahr ist (was offenbar dem Begriff der aussagenlogischen Tautologie entspricht).

70 Semantik von PL - Beispiele Angenommen wir wollen etwa testen ob aus (1) Jeder mag jemanden. d.h. (1 ) x yrxy semantisch folgt, dass (2) Jeder wird von jemandem gemocht. d.h. (2 ) x yryx

71 Semantik von PL - Beispiele Wir wollen also wissen ob x yrxy x yryx: Wir müssen dazu nachprüfen, ob in jedem Modell in dem (1) (bzw. (1 )) wahr ist, auch (2) (bzw. (2 )) wahr ist. Das Modell von oben zeigt aber, dass dies nicht der Fall ist: D.h. es gilt: x yrxy x yryx

72 Semantik von PL - Beispiele Wir wollen zeigen, dass gilt: x yrxy x yryx. Dazu überlegen wir uns informell, wie ein Modell aussehen muss, in dem x yrxy wahr ist - und kommen auf so etwas: Nach einer Sekunde Überlegen wird man sofort sehen, dass in jedem solchen Modell auch x yryx wahr sein muss. (Wenn jemand (etwa Cornelius) alle liebt, dann wird jeder von jemandem geliebt (nämlich z.b. von Cornelius!).)

73 Semantik von PL - Beispiele Die Überlegung von vorhin zeigt ausserdem, dass der Satz x yrxy x yryx allgemeingültig sein muss. (Ansonsten würde es ja ein Modell geben, in dem er falsch ist - d.h. ein Modell wo das Antezedens wahr, aber das Konsequens falsch wäre; das haben wir aber gerade ausgeschlossen!)

74 Semantik von PL - Beispiele Hier noch ein Beispiel für ein gültiges Argument (das einige vielleicht als Syllogismus barbara wiedererkennen): { x(mx Px), x(sx Mx)} x(sx Px) Wir sehen, dass jedes Modell, in dem die Prämissen dieses Arguments wahr sind, so aussehen muss: Offensichtlich ist in jedem solchen Modell auch die Konklusion x(sx Px) wahr.

75 Semantik von PL - Beispiele Andererseits zeigt folgendes Modell, dass der Syllogismus barbar i nicht gültig ist, d.h. { x(mx Px), x(sx Mx)} x(sx Px) In diesem Modell sind beide Prämissen wahr, aber die Konklusion ist falsch. Der Grund dafür liegt im Umstand, dass die erste Prämisse - in diesem Modell - trivial wahr ist; einfach weil es keine S s gibt! D.h. a fortiori gibt es auch keine Dinge die beides sind - S und P.

76 Semantik von PL - Beispiele Hier noch ein Beispiel zum Begriff der Erfüllbarkeit: Es sei Σ die Satzmenge bestehend aus den PL-Sätzen T := x y z((rxy Ryz) Rxz) ( transitiv) S := x yrxy ( serial) A := xrxx ( irreflexiv) Frage: Ist die Menge Σ erfüllbar? Anwort: Ja, aber...

77 Semantik von PL - Beispiele... nur in unendlichen Modellen (d.h. Modellen, deren Individuenbereich (domain) unendlich ist)!

78 Semantik von PL - Beispiele Angenommen, unsere domain enthält nur ein Individuum, etwa a; wegen der Bedingung S muss dieses Ding zu sich selbst in der Relation R stehen: Das verletzt aber die Bedingung A!

79 Semantik von PL - Beispiele Angenommen, unsere domain enthält nur zwei Individuen, etwa a und b; wegen der Bedingung S muss jedes Ding zu irgendeinem Ding in der Relatin R stehen. Das ist aber nicht möglich, ohne eine der beiden anderen Bedingungen zu verletzten! Steht etwa b zu sich selbst in der Relation R, dann ist offensichtlich A verletzt:

80 Semantik von PL - Beispiele Andererseits kann b auch nicht zu a in der Relation R stehen... sonst würde b - wegen der Transitivitätsbedingung T - auch zu sich selbst in der Beziehung R stehen!

81 Semantik von PL - Beispiele Ähnlich kann man für jedes Modell mit endlicher domain argumentieren! D.h. es gibt kein endliches Modell, in denen die Bedingungen T, S und A gemeinsam erfüllt sind!

82 Semantik von PL - Beispiele Andererseits gibt es sehr einfache unendliche Modelle, in denen alle drei Bedingungen erfüllt sind: etwa das Modell mit Denn: domain D := N und Interpretation von R, I (R) := <, d.e. Rxy x < y (d.h. die strikte Kleiner-Relation bzgl. der natürlichen Zahlen) 1 Wenn eine natürliche Zahl kleiner als eine zweite, und diese kleiner als eine dritte ist, dann ist die erste kleiner als die dritte 2 Für jede natürliche Zahl gibt es eine grössere natürliche Zahl 3 Keine natürliche Zahl ist kleiner als sie selbst

83 Kalkül des natürlichen Schliessens für PL Wie wir gesehen haben, ist es sehr einfach, zu zeigen, dass ein PL-Satz α nicht semantisch aus einer Menge von Prämissen Σ folgt: Dazu müssen wir einfach ein Modell/eine Interpretation angeben, in dem die Prämissen alle wahr sind, aber die Konklusion α falsch. Andererseits ist es oft nicht so einfach zu zeigen, dass eine Konklusion α tatsächlich aus einer Menge von Prämissen Σ folgt, denn dazu müsste man im Prinzip unendlich viele Interpretation durchprobieren und checken, ob in jeder dieser Interpretationen, in denen die Prämissen wahr sind auch die Konklusion wahr ist. (Man beachte, dass im aussagenlogischen Fall - zumindest bei endlich vielen Prämissen - immer nur endlich viele Interpretation zu prüfen waren!)

84 Kalkül des natürlichen Schliessens für PL Für die Prädikatenlogik ist es deshalb umso wichtiger, einen vernünftigen - d.h. korrekten und vollständigen - syntaktischen Beweisbegriff zur Verfügung zu haben. Anstatt direkt zu zeigen, dass ein Argument semantisch gültig ist, kann man dann zeigen, dass es syntaktisch gültig ist, d.h., dass die Konklusion aus den Prämissen ableitbar ist. Die Korrektheit des Kalküls garantiert uns, dass das Argument dann auch semantisch gültig ist, während uns die Vollständigkeit des Kalküls garantiert, dass immer wenn ein Argument semantisch gültig ist, dies auch durch eine Ableitung im Kalkül nachweisbar ist.

85 Kalkül des natürlichen Schliessens für PL Wie für die Aussagenlogik gibt es auch für die Prädikatenlogik unzählige verschiedene vernünftige Kalküle. Einen solchen vernünftigen Kalkül bekommt man, indem man den Kalkül des natürlichen Schliessens für die Aussagenlogik um Einführungs- und Beseitigungsregeln für die Quantoren und erweitert.

86 Kalkül des natürlichen Schliessens für PL Hier zunächst eine zwei einfache Regeln - zunächst die Regel der -Beseitigung:... xφ... φ(a/x) -B... Hier steht φ(a/x), für die Formel, die man aus φ bekommt, indem man alle Vorkommnisse der Variable x in φ durch a ersetzt. Die Regel besagt also: Wenn etwas für alle Dinge gilt, dann gilt es für jedes einzelne Ding a (was intuitiv recht einleuchtend sein sollte - wenn jeder HIMYM mag, dann auch Max Mustermann).

87 Kalkül des natürlichen Schliessens für PL Ähnlich einfach ist die Regel der -Einführung:... φ(a/x)... xφ... -E Intuitiv klar: wenn ich von einem konkreten Ding a zeigen kann dass φ von diesem Ding gilt, dann muss es irgendein Ding (i.e. mindestens eines) mit der Eigenschaft φ ggeben. (Wenn Pete gerne Drogen konsumiert, dann gibt es irgendjemandem, der gerne Drogen konsumiert.)

88 Kalkül des natürlichen Schliessens für PL Etwas schwieriger ist die Regel der -Einführung:... φ(a/x)... xφ... -E Intuitiv sollte es die Regel gestatten, dass ich auf xφ schliessen darf, wenn ich von einem beliebig gewählten Ding a zeigen kann, dass es die Eigenschaft φ hat. Um dieser Beliebigkeits -Forderung Rechnung zu tragen, müssen wir aber bestimmte Einschränkungen bzgl. des Hilfsnamens a treffen! (Sonst könnte man ja aus dem Umstand, dass Heike gern Rosen mag schliessen, dass jeder gerne Rosen mag!)

89 Kalkül des natürlichen Schliessens für PL Hier also die -Einführungsregel inkl. der notwendigen Einschränkungen:... φ(a/x)... xφ -E... FALLS: 1 Der Name a in keiner Annahme vorkommt, von der xφ abhängt und 2 a im quantifizierten Satz xφ nicht mehr vorkommt

90 Kalkül des natürlichen Schliessens für PL Hier ein Beispiel, das zeigt, dass { x(px Qx), x(qx Sx)} x(px Sx): 1 x(px Qx) P 2 x(qx Sx) P 3 Pa A 4 Pa Qa -B 1 5 Qa -B 3, 4 6 Qa Sa -B 2 7 Sa -B 5, 6 8 Pa Sa -E x(px Sx) -E 8 (Man beachte, dass in der letzten Zeile beide Bedingungen bzgl. der Beliebigkeit des Hilfsnamens a erfüllt sind!)

91 Kalkül des natürlichen Schliessens für PL Die -Beseitigungsregel ist ebenfalls etwas schwieriger und lautet wie folgt:... xφ φ(a/x)... γ γ... -B Was die Regel erlauben sollte, ist folgendes:

92 Kalkül des natürlichen Schliessens für PL Wenn ich 1 zeigen kann dass es mindestens ein Ding mit der Eigenschaft φ gibt und ich 2 zeigen kann, dass aus φ(a) (wobei a ein beliebig gewähltes φ ist) irgendein Satz γ folgt so kann ich (mit der -Beseitigungsregel) zeigen, dass γ schon aus der Existenzbehauptung alleine folgt ausser der Tatsache, dass dieses beliebig gewählte a ein φ ist, wurde ja nichts spezielles über a vorausgesetzt. Um auch hier diese Beliebigkeits -Eigenschaft von a sicherzustellen, müssen wir wieder Einschränkungen machen; d.h. wir geben wieder Bedingungen an, wann die Anwendung der -Beseitigung erlaubt ist.

93 Kalkül des natürlichen Schliessens für PL Beispiel: Angenommen ich wüsste aus einer anonymen Umfrage, dass irgendjemand im Hörsaal David Bowie mag; Ausserdem weiss ich (zumindest nehmen wir das an), dass jeder der Bowie mag einen guten Musikgeschmack hat. Dann kann ich daraus schliessen, dass irgendjemand im Hörsaal einen guten Musikgeschmack hat. Um auf diese Folgerung zu kommen, könnte ich so argumentieren: Ich weiss, dass zumindest eine Person im Hörsaal Bowie mag. Nehmen wir uns ein/e davon und nennen wir sie/ihn Jamie; weil Jamie Bowie mag, hat er/sie auch einen guten Musikgeschmack, weil jeder der Bowie mag einen guten Musikgeschmack hat. Aber daraus folgt sofort, dass irgendjemand im Hörsaal einen guten Musikgeschmack hat. Das Beispiel zeigt, dass man aus einer Existenzaussage etwas schliessen kann, ohne eine konkrete Person zu kennen, die Bowie mag. Der Hilfsname Jamie hat in diesem Argument ausserdem exakt dieselbe Funktion wie der Name a bei der Regel der -Beseitigung.

94 Kalkül des natürlichen Schliessens für PL... xφ φ(a/x)... γ γ -B FALLS:... 1 a in keiner Annahme vorkommt (ausser natürlich der Annahme φ(a/x) aus der wir ja etwas folgern wollen) 2 a nicht in xφ vorkommt und 3 a nicht in γ vorkommt

95 Kalkül des natürlichen Schliessens für PL Hier noch ein Beispiel, das zeigt, dass gilt: x yrxy y xrxy: 1 x yrxy P 2 yray A 3 Rab -B 2 4 xrxb -E 3 5 xrxb -B y xrxy -E 5 (Man mache sich klar, wieso in Zeile 5 alle Bedingungen bzgl. -B und in 6 alle Bedingungen bzgl. -E erfüllt sind!)