Quantenchromodynamik: Grundlagen

Quantenchromodynamik: Grundlagen SU(3) Symmetrie und Quarkmodell Quark-Antiquark Zustände MESONEN 3-Quark Zustände BAYONEN Farbe: theoretische Notwendigkeit und experimentelle Evidenz Gluonfeld Lagrangian der QCD enormierung Asymtotische Freiheit und Confinement Fragmentation und Hadronisierung Faktorisierung 1

QuantenChromoDynamik: kurze Geschichte Eichtheorie, beschreibt die WW farbiger Quarks und Gluonen Erster theoretischer Ansatz zur Beschreibung der starken WW: 1935 Yukawa (Nobelpreis 1949): NN-Wechselwirkung, e.g. n+p n+p Austausch eines Klein-Gordon Teilchens (Spin=0, K-G. Gleichung ( µ µ +m 2 )Φ=0 ) Für ein statisches Feld führt dies auf ein Yukawa Potential: m - Masse des Austauschteilchens - eichweite der WW =1/m Grenzfall m 0 : Coulombpotential mit unendlicher eichweite Gemessene eichweite der starken WW (Protonradius ~ 1 fm): Vorhersage: Existenz der Austauschteilchens Meson, m 200 MeV Entdeckung: 1947 π 2

QuantenChromoDynamik: kurze Geschichte 1963: Gell-Mann, Zweig: Quarks u, d, s (Spin ½, Ladung ±⅓) Bausteine der (damals bekannten) Hadronen Vorhersage und Entdeckung neuer Teilchen : z.b. Ω-Baryon (sss - Zustand) 1964: Greenberg: neue Quantenzahl Farbe 1969: Erste e-n Kollisionsexperimente, Auflösung der Nukleonstruktur 3

QuantenChromoDynamik: Grundlagen SU(3) Symmetrie und Quarkmodell Quark-Antiquark Zustände MESONEN 3-Quark Zustände BAYONEN Farbe: theoretische Notwendigkeit und experimentelle Evidenz Gluonfeld Lagrangian der QCD enormierung Asymtotische Freiheit und Confinement Fragmentation und Hadronisierung Faktorisierung 4

QuantenChromoDynamik: Grundlagen SU(3) Symmetrie und Quarkmodell Quark-Antiquark Zustände MESONEN 3-Quark Zustände BAYONEN Farbe: theoretische Notwendigkeit und experimentelle Evidenz Gluonfeld Lagrangian der QCD enormierung Asymtotische Freiheit und Confinement Fragmentation und Hadronisierung Faktorisierung 5

SU(3) Symmetrie und Quarkmodell Betrachte Flavour-SU(3) (Drei-Quark Modell) Ladung: u (+2/3) d(-1/3) s(-1/3) Isospin-Invarianz der starken WW in Kern- und Teilchenphysik: Starke WW unterscheidet nicht zwischen u und d: Isospindublett! up I 3 (u)=+1/2 down I 3 (d)=-1/2 s-quark: I 3 =0, Stranegeness S=-1, Baryonzahl B=1/3 (Quarks), B=-1/3 (Antiquarks) Hyperladung Y=B+S Quark Zustandsvektoren: ohne Zeit-,Orts-, Spin- Komponente 6

SU(3) Symmetrie und Quarkmodell Isospin-Invarianz der starken WW: u- d- Quarks vertauschbar bzw. ihre Wellenfunktion vermischbar: SU(2) Annahme: starke WW invariant gegenüber u s, d s Unitäre Transformationen bilden SU(3) Gruppe: speziell, unitär, in 3-D: unitär: UU + =U + U=1 ; speziell: det U=1 Größe Masse des s-quark: SU(3) exakt erfüllt für E>>m s SU(2) Transformationen: τ - Pauli Matrizen SU(3) Transformationen: λ j -Gell-Mann Matrizen Koeffizienten α j reel Unitär: λ j -hermitesch, speziell: Tr(λ j )=0 7

SU(3) Symmetrie und Quarkmodell Unitär: λ j -hermitesch, speziell: Tr(λ j )=0! 8 linear unabhängige hermitesche 3x3 Matrizen mit Spur=0 Konstruiere die den Isospin-Operatoren entsprechende Matrizen I 3 =1/2 λ 3, I 3 u=1/2 u, I 3 d=-1/2 d, I 3 s=0 8

SU(3) Symmetrie und Quarkmodell Unitär: λ j -hermitesch, speziell: Tr(λ j )=0! 8 linear unabhängige hermitesche 3x3 Matrizen mit Spur=0 λ 1 - λ 7 ermöglichen die Shiebeoperatoren für u s, s d zu konstruieren λ 8 hängt mit Strangeness-Operator zusammen: S = λ 8 / 3 - I/3 9

SU(3) Symmetrie und Quarkmodell Vertauschungsregeln: Strukturkonstanten: total antisymmetrisch f 123 = 1; f 147 = f 246 = f 257 = f 345 = f 516 = f 637 = ½ ; f 458 =f 678 = 3/2 Baryonzahl-Operator: B=1/3 I (I-Einheitsmatrix) 10

SU(3) Symmetrie und Quarkmodell Anti-Quark Zustandsvektoren: additiven Quantenzahlen: Q, S, B = -Q, -S, -B ; Q=I 3 +(B+S)/2 I 3 = -I 3 ; Strangeness-Operator: S=-S, λ Matrizen: λ j =-λ j j=1,..8 Baryonenzahl-Operator B= -B Beispiel: I + u=-d 11

SU(3) Symmetrie und Quarkmodell Triplets der 3 Quarks und Antiquarks d ⅓ Y u ⅔ Y s -½ ½ -½ ½ -⅔ s I 3 u -⅓ d I 3 12

SU(3) Symmetrie und Quarkmodell Quark Antiquark Zustände: Mesonen Produkt 3-dim. Vektorräume {3} {3} Mögliche Basis: 9 Kombinationen ud, us I 3 - Operator im Produktraum (Y,B,S,Q Operatoren analog): wirkt auf Quarks wirkt auf anti-quarks qq -Quantenzahlen : Summe der Quantenzahlen der q und q B=0; Y=B+S; Q=I 3 +Y/2 ; qq -Zustand gegeben durch Y und I 3 13

Mesonen Parallelen Quark-Antiquark Spins: Vektormesonen J P =1 - Antiparallelen Quark-Antiquark Spins: pseudoskalare Mesonen J P =0 - : Y I 3 Zustände uu,dd,ss bilden Linearkombinationen 14

Mesonen Produkt-Vektorraum : 2 Teilraume, die durch SU(3) Transformationen nur in sich abgebildet werden: {3} {3} ={8} {1} Innerhalb des Oktetts kan man aus einem Zustand ausgehend einen anderen Zustand erhalten durch Anwendung der Schiebeoperatoren: Beispiel: Kombination bei beliebigen SU(3) Transformation geht in sich selbst über: Singulett Vektormeson-Oktett: ρ ±, ρ 0, K* +,K* 0,K* -, Oktett-Singulett Mischungen: ω und φ (fast rein ss), 15

Baryonen 9 2-Quarkzustände q i q j : 6 symmetrische und 3 antisymmetrische Kombinationen: 3-Quarks: Dekuplett+ 2 Oktetts+1 Singulett Dekuplett: total symmetrisch in Quarkwellenfunktion, Quark-Spins sind parallel Beispiel: Δ ++ = uuu, Δ + =1/ 3 (uud+udu+duu) Oktetts: symmetrisch bzg. Vertauschung 2 Quarks inkl. Spins. Keine definierte Symmetrie wenn Flavour oder Spins getrennt betrachtet werden: p = 1/ 18 (2 u d u +2u u d +2d u u u u d -u d u -u d u -d u u -d u u -u u d ) 16

Baryonen Dekuplett: total symmetrisch in Quarkwellenfunktion, Quark-Spins sind parallel Beispiel: Δ ++ = uuu, Δ =ddd, Ω =sss Ω (s=3/2), kein leichteres Hadron mit gleichen Quark- und Spin- Struktur: Ω = s s s Problem: Teilchen in Grundzustand, besteht aus identischen Fermionen elative Bahndrehimpuls = 0 Ortswellenfunktion symmetrisch Gesammtwellenfunktion Ψ = Ψ ort Ψ spin Ψ Flavour symmetrisch! 3 identische Quarks befinden sich in im gleichen Quantenzustand Pauli-Prinzip: Fermi-Dirak Statistik fordert totale Antisymmetrie der Wellenfunktion Widerspruch zum Pauli-Prinzip! 17

Farbe: theoretische Notwendigkeit Lösung: zusätzlicher Freiheitsgrad für jeden Quark Neue Quantenzahl Farbe (color), N c =3, Farbindizes a=1,2,3 (rot, grun, blau) Farbwellenfunktion: Drei Quarks im Ω-Baryon sind nicht mehr identisch! total antisymmetrisches Tensor Die Wellenfunktion antisymmetrisch 18

Farbe: theoretische Notwendigkeit Quarks: verschiedene Flavours und verschiedene Farben Die Gruppe der Farb-Transformationen : SU(3) C Beobachtbare Zustände: Farb-Singuletts Color Quarks q a werden transformiert in 3x3 Unitärmatrix-Darstellung Antiquarks q a in einer komplex-konjugierten Darstellung Farb- Grundzustände (Farb-Singuletts) sind Mesonen q a q a Baryonen ε abc q a q b q c, a,b, - Farbindex 19

Beispiel: Δ++ (uuu): Farbe: theoretische Notwendigkeit summiere ueber i,j,k Mesonen: Quark-Antiquark Zustände Farbe der Antiquarks: z.b. rot - antirot Mesonen, Baryonen sind Farbneutral, d.h. Farbe ist NICHT beobachtbar 20

Farbe: theoretische Notwendigkeit Farben Ladungen der starken Wechselwirkung. Anders als in QED, gibt es 3 verschiedene Farbladungen, bzw. Antiladungen u Quark e-ladung +(2/3)e Farbe: r, g, b u Antiquark e-ladung -(2/3)e Farbe: r, g, b Starke Kraft wirkt auf Farbladung Unterscheidet nicht zwischen Quark-Sorten: Flavour-blind Elektromagnetische, schwache Wechselwirkung sind Farb-blind 21

Farbe: experimentelle Evidenz echnung: Messung: Die Daten erfordern einen Faktor Nc=3 vor der Summe: Jede Quarksorte muss dreifach gezählt werden 22

Zerfall des π 0 π 0 Farbe: experimentelle Evidenz q γ q γ Hierfür ist eine Quark-Antiquark Schleife zu berechnen. esultat: Zerfallskonstante (aus π ± Lebensdauer) Vorhersage: Messung: 7.86±0.54 ev NB: die ursprungliche echnung der ate erfolgte mit der Annahme, Proton und Neutron seien fundamentale Teilchen, es ergab: 23

Gluon Felder Lagrangian der QCD 24

Eichtheorie der QCD Bei Vernachlässigung der Massenunterschiede zwischen den Quarks: Starke WW invariant gegenüber einer globalen Flavour-SU(3) Transformation (Vertauschung von Quarks) Experimentelle Beobachtung: Erhaltung von Strangenes, Charm und Beauty Lokale (Ortsabhängige) Flavour-SU(3) Transformationen nicht zulässig! (es wäre die Existenz der Felder erfordert, die Quarksorten ändern) Quantenchromodynamik: Eichtheorie der starken WW, basiert auf lokalen Eichtransformationen bezüglich Farbladungen Annahme der QCD: SU(3) C Transformationen können durchgeführt werden 25

Gluon Felder Quantenchromodynamik: Eichtheorie der starken WW, basiert auf lokalen Eichtransformationen bezüglich Farbladungen Existenz von Feldern, die an die Farbladungen koppeln und Farbe ändern Feldquanten (Eichbosonen) Gluonen 26

Betrachte eine Quarksorte q. Gluon Felder Dirac-Gleichung des Quarks im Vakuum: Gesamtwellenfunktion Ψ schreibe als Produkt Dirac-Wellenfunktion Farb-Spinor Lösungen der Dirac-Gleichung mit positiver/negativer Energie; 1,2 - Helizitaetszustaende Farb-Spinor: 27

Betrachte eine Quarksorte q. Gluon Felder Dirac-Gleichung des Quarks im Vakuum: Gesamtwellenfunktion Ψ schreibe als Produkt Dirac-Wellenfunktion Farb-Spinor Forderung: Dirac-Gleichung invariant gegenüber SU(3) C Transformation Das Quark muss in den drei Farbzuständen exakt die gleiche Masse haben: m r =m g =m b =m 28

Gluon Felder Lokale SU(3) Transformation wird dargestellt in der Form: Kopplungskonstante der starken WW Summierungskonvention: SU(3) Gruppe hat 8=3 3-1 Generatoren Lokale Transformation wirkt nur auf den Farbanteil der Wellenfunktion und ist durch 8 unabhängige Transformations- Winkel gekennzeichnet: β 1 (x), β 2 (x), β 8 (x) 29

Gluon Felder Invarianz der Dirac Gleichung ist gegeben durch Einführung der 8 Vektorfelder und der kovarianten Ableitung: Parallel zu SU(3) Transformation der Dirac Spinoren muss eine Eichtransformation der Felder durchgeführt werden. z.b. für eine Infinitesimale Transformation (β j - klein): Ohne Beweis: Dirac Gleichung invariant unter SU(3) C + Eichtransformation 30

Lagrangedichte der QCD 8 Felder G j µ hängen eng mit den Feldern der 8 Gluonen zusammen. Feldtensor: Lagrangedichte der QCD : Für eine Quarksorte! Für 6 Quarks wird der erste Term über 6 summiert 31

Eichgruppen der QED, EW und QCD In der Eichtransformation SU(3)c tritt ein Term auf, was in der QED nicht gibt U(1) kommutativ Zusatzterme: - Konsequenz der nicht-vertauschbarkeit der SU(2) oder SU(3) Transformationen - Sind proportional zur Kopplung g bzw. g S Teilchen, die an W-Bosonen oder Gluonen koppeln, koppeln mit exakt der gleichen Kopplungsstärke g bzw. g S 32

Transformationen: Eichgruppen der QED, EW und QCD SU(2) L : gleiches g für SU(3) C : gleiches g S für alle Quarksorten: u,d,s,c,b,t und alle Farben,G,B Elektromagnetismus: verschiedene Kopplungen: z. B: q=-e (Elektron), q=2/3 e (Quark), q=+79 (Au-Kern) Symmetriegruppe der Phasentransformationen ist eine Abelsche U(1) Gruppe: Die Kopplung der Teilchen an die Eichbosonen ist nicht festgelegt Nicht-abelsche Eichtheorien: Eichfelder koppeln an alle Teilchen mit gleichen Kopplungskonstanten (falls sie koppeln) 33

Eichgruppen der QED, EW und QCD Lagrangedichte der QCD : QED: Strukturkonstanten f jkl = 0 (da U(1)) Terme ~ G 3, G 4 im kinetischen Term der Lagrangians: 3-, 4-Gluonkopplung: Gluonen können an sich selbst koppeln, Photonen nicht! 8 Gluonen (Farb-Oktett) treten in folgenden Farbkombinationen auf: Einige Kombinationen lassen die Farbe unverändert, bilden aber kein Singulett! 34

Noch etwas zu Gluon-Feldern Es kann noch eins geben: Farb-Singulett, wie Photon Welche Auswirkungen hätte so ein Gluon auf die Kräfte und Materie? 35

Noch etwas zu Gluon-Feldern 1: 9-te Gluon = Photon Vereinheitlichung der Starken und EM Kraft! Problem: Starke der EM Kopplung (Photon) ~Ladung g koppelt an alle Baryonen mit gleicher Stärke. Masse ~ Baryonenzahl in der Nuklearen Materie Solche Kraft würde einen Beitrag zu Gravitation machen 2: 9-te Gluon Austauschteilchen Farb-Singulett, Problem: soll beobachtbar sein Grösseres Problem: es kann zwischen 2 Farb-Singuletts ausgetauscht werden Was wuerde das bewirken? 36

Noch etwas zu Gluon-Feldern 2: 9-te Gluon Austauschteilchen Farb-Singulett, kann zwischen 2 Farb- Singuletts ausgetauscht werden m g =0, Gluonen tragen eine Kraft unendlicher eichweite (wie γ in QED) Ein Farb-Singulett (p) kann nur ein Singulett abstrahlen / absorbieren Kein einzel-gluon- Austausch zwischen p und n! Singulett-Gluon: kann zwischen Singuletts ausgetauscht werden: Unendliche eichweite der Starken WW! 37

Asymtotische Freiheit: Kopplungsstärke Feldstärketensor F j µν : Term g s f jkl G k µ G l ν Kinematischer Term in Lagrangedichte ~G 3, G 4 : 3, 4-Gluonkopplung! QED [U(1)]: f jkl =0, Stärke der EM WW: α s =e 2 /4π, α<< 1: Störungsrechnung möglich QCD [SU(3)]: Starke Kopplung α s =g 2 s /4π, α s << 1 nicht gewährleistet, Störungsrechnung nicht immer möglich Beobachtung: starke Kopplung abhängig von Impulsübetrag : α s =α s (Q 2 ), α s Asymptotische Freiheit : Eigenschaft der nicht-abelschen Theorien 38

Vakuumpolarisation in QED und QCD QED: schwache Abhängigkeit α=α(q 2 ), wachsend α(q 2 Beispiel aus klassischen Physik: Ladung q+ in dielektrischen Öl: Moleküle des Mediums besitzen elektrisches Dipolmoment, - Ausrichtung der Minus -Polen zur q+ - Polarisation des Mediums: - Elektrisches Feld abgeschwächt (Abschirmung): Zweite Ladung q : Coulomb-Kraft zwischen q und q 39

Vakuumpolarisation in QED und QCD QED: schwache Abhängigkeit α=α(q 2 ), wachsend α(q 2 Beispiel aus klassischen Physik: Ladung q+ in dielektrischen Öl: Moleküle des Mediums besitzen elektrisches Dipolmoment, - Elektrisches Feld abgeschwächt (Abschirmung): Zweite Ladung q : Coulomb-Kraft zwischen q und q Öl unsichtbar : q, q effektive Ladungen q eff <q, ε >1 Gedankenexperiment: q,q Atomkerne, möglich zusammenzubringen (r << Dipolgröße) : keine Abschiemung, q eff (r) q, q eff (r) q, r Dielektrisches Medium: Ladung wächst, wenn Abstände <<Moleküldimension 40

Vakuumpolarisation in QED und QCD QED: schwache Abhängigkeit α=α(q 2 ), wachsend α(q 2 Beispiel aus klassischen Physik: Ladung q+ in dielektrischen Öl: Moleküle des Mediums besitzen elektrisches Dipolmoment, - Elektrisches Feld abgeschwächt (Abschirmung): Zweite Ladung q : Coulomb-Kraft zwischen q und q Öl unsichtbar : q, q effektive Ladungen q eff <q, ε >1 QED: Vakuumfluktuationen : γ e + γ e + e Paare schirmen die Testladung ab (wie Dipole des Mediums) e 41

Vakuumpolarisation in QED und QCD QCD: Abhängigkeit g s =g s (Q 2 ) durch 2 gegenläufige Effekte Erzuegung virtueller qq Paare: Abschiermung -Sonde Effektive Ladung wächst an, wenn sich die rotempfindliche Sonde einem roten Quark nähert Gluonemission: Ausshmierung der Ladung Sonde Eine rot -empfindliche Sonde nähert sich einem -Quark 42

Vakuumpolarisation in QED und QCD QCD: Abhängigkeit g s =g s (Q 2 ) durch 2 gegenläufige Effekte Erzuegung virtueller qq Paare: Abschiermung der Ladung -Sonde Effektive Ladung wächst an, wenn sich die rotempfindliche Sonde einem roten Quark nähert Gluonemission: Ausshmierung der Ladung G Emission eines G Gluon: Sonde G Farbübergang G -Sonde registriert keine Ladung bei r < eichweite der starken WW (~1fm) effektive Farbladung kleiner! 43

Vakuumpolarisation in QED und QCD QCD: Abhängigkeit g s =g s (Q 2 ) durch 2 gegenläufige Effekte Erzeugung virtueller qq Paare: Abschirmung effektive Farbladung (r-groß) < Farbladung ( r sehr klein) Gluonemission: Ausshmierung der Ladung bei r < eichweite der starken WW (~1fm) effektive Farbladung kleiner! effektive Farbladung (r-groß) > Farbladung ( r sehr klein) Für N Flavour < 16 Ausschmierungseffekt überwiegt: Asymptotische Freiheit: α s (Q 2 ) NB: QED (Abelsche Theorie): nicht asymptotisch frei, die Feldquanten tragen keine Ladung, Ausschmierung tritt nicht ein 44

enormierung. Laufende Kopplung QED: Streuung in LO: NLO: q q q-k q Vakuumpolarisation (virtuelles e + e Paar) Integration über k Integral divergiert, wenn k 2 > k 2 max = λ, λ willkürlich! enormierungstheorie: Bedeutung der Cuts (Abschneiden) im Schleifenintegral: nackte Ladung e ersetzt durch renormierte Ladung e ~ln (λ 2 /m e 2 ) k Effektive Ladung : Kopplungskonstante: Messung: Ablenkung im Magnetfeld Abhängigkeit sehr schwach: α (M Z ) = 1.06 α (m e ) 45

enormierung. Laufende Kopplung QCD: q q Streuung: Elementarladung g s / 2 qq-schleifen: gg-schleifen: Űber alle Ordnungen Summiert: 46

enormierung. Laufende Kopplung Űber alle Ordnungen Summiert: Definiere: Anwendbar für Q 2 >> Λ 2 Bedeutung: für N F 16 Starke Kopplung wird kleiner mit wachsendem Q 2 Skalenparameter Λ nicht berechenbar! Messungen in en, e + e : Λ~0.3 GeV Messungen am LEP: N Familien =3 NF = 6 47

Confinement r ~1/ Q 2 : kleine Abstände r << Proton bedeuten Grosse Q 2 - Werte Folge: α s (Q 2 ) <<1, 1-Gluonaustausch dominant Annahme der QCD: Gluon Masse = 0, Quark-Quark Potential ~ 1/r (Coulomb) ABE. noch mal Vergleich mit QED Coulombkraft 1/r 2 Gluon-Selbstkopplung Feldlinien verlaufen vom q zum q : Potential: V(r) = - 4πα s /3r + σ r String (~1 fm) Kraft unabhängig vom Abstand! String tension σ 0.9 GeV/fm e + e qq wenn r (q q) > 1 fm Erzeugung eines neuen qq - energetisch günstiger, Trennung des String Confinement : Hadronisierung und Fragmentation 48

Zusammenfassung: Grundlagen der QCD QCD: Eichtheorie mit einer Selbstkopplung der Eichbosonen Ladung: Farbe, Die Gruppe der Farb-Transformationen SU(3) F In 3 Farbzuständen hat ein Quark die gleiche Masse Farbe ist nicht beobachtbar, beobachtbare Zustände sind Farb-Singuletts Starke Kraft wirkt auf Farbladung, ist Flavour-Blind Konsequenzen der NICHT-Vertauschbarkeit der SU(3) - Transformation (nichtabelsche Gruppe): Farbträger koppeln mit gleicher Kopplungsstärke g s Feldstärketensor in QCD: 3-Gluon, 4-Gluon Kopplung weisses Gluon existiert nicht (endliche eichweite starker WW!) Feynman-Graphen: Farbladung an jedem Vertex erhalten Asymptotische Freiheit und Confinement Grosser negativer Beitrag der Anti-Abschirmung 49