Hans Walser. Die allgemeine Fibonacci-Folge

Hans Walser Die allgemeine Fibonacci-Folge

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge ii Inhalt Die Rekursion... Heuristischer Hintergrund... 3 Formel von Binet... 4 Übersicht... 5 Sonderfälle...3 6 Beispiele...3 6. Die gewöhnliche Fibonacci-Folge...3 6. Nullfolge...4 6.3 Kreis als Grenzkurve...5 6.4 Regelmäßige Kreisteilung...6 6.5 Logarithmische Spirale als Grenzkurve...7 6.6 Kreisring...8 6.7 Zklische Folge...9 6.8 Divergenz... 0 7 Zklische Fibonacci-Folgen... 7. Reelle Rekursion... 7.. Beispiel m = 5... 7.. Beispiel m = 3... 5 7..3 Beispiel m = 4... 6 7..4 Beispiel m = 6... 7 7..5 Beispiel m = 8... 9 7..6 Sinus statt Kosinus... 7. Rein imaginärer Faktor p... 7.. Beispiel m =... 3 7.. Beispiel m = 3... 3 7..3 Beispiel m = 4... 4 7..4 Beispiel m = 5... 5 last modified: 7. Oktober 007 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung, 405 Basel www.math.unibas.ch/~walser hwalser@bluewin.ch

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge Die Rekursion Wir studieren Folgen mit der Rekursion a n+ = pa n+ + qa n, p,q Der Faktor beim ersten Summanden hat nur ästhetische Gründe. Weiter definieren wir: Heuristischer Hintergrund Aus der Folge a n = p + ( p + q) = p ( p + q) { } bilden wir die Quotientenfolge: Für diese Folge { c n } gilt die Rekursion: c n = a n+ a n c n+ = p + q c n Falls diese Folge { c n } einen Grenzwert hat, gilt: = p + q p q = 0 Es gilt dann (Satz von Vieta): ( ), = p ± p + q p = + q = 3 Formel von Binet Für die Folge { a n } mit Startwerten a 0 und a gilt eplizit die Formel von Binet: a n = n a a 0 ( ) + n ( ( a0 a ) ) Dies kann induktiv bewiesen werden: Für n = 0 und n = erhalten wir a 0 beziehungsweise a. Um die Rekursion a n+ = pa n+ + qa n zu prüfen, setzen wir die Formel von Binet links und rechts ein. Linke Seite:

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge ( ) ( ) a n+ = n+ a a 0 ( ) + n+ ( a0 a ) = a n+ a0 n+ + a 0 n+ a n+ Für die rechte Seite verwenden wir zusätzlich die Beziehungen p = + und q = und erhalten: ( ) ( ) n+ ( + ) ( a a 0 ) + n+ ( a0 a ) pa n+ + qa n = n ( a a 0 ) + n ( a0 a ) = n+ a a0 n+ + a 0 n+ n+ a +a n+ a 0 n+ + n+ a0 n+ a a n+ + a 0 n+ a0 n+ + n+ a ( ) = a n+ a0 n+ + a 0 n+ a n+ Die beiden Seiten stimmen überein, die Rekursion ist erfüllt. Die Folge { a n } ist also die Summe zweier geometrischer Folgen mit den Basen und. Für das Konvergenzverhalten sind die Beträge und entscheidend. Die Funktion at t ()= a a 0 ( ) + t ( ( a0 a ) ), t liefert eine Interpolation der Folge { a n }; der zugehörige Funktionsgraf in der Gaußschen Ebene setzt sich aus logarithmischen Spiralen zusammen. 4 Übersicht Für gilt folgende Übersicht: < = > < Nullfolge Kreis als Grenzkurve Logarithmische Spirale als Grenzkurve = Kreis als Grenzkurve Begrenzung durch Kreisring divergent Logarithmische > Spirale als Grenzkurve divergent divergent

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 3 5 Sonderfälle Für =, < ergibt sich ein Kreis als Grenzkurve. Dieser Kreis hat den Ursprung als Zentrum und den Radius r = a a 0. Falls zusätzlich = e is, s = m, ggt m n,n ( )=, streben die Folgenglieder gegen die Ecken eines regelmäßigen n -Eckes. Für <, = ergibt sich analog ein Kreis als Grenzkurve. Dieser Kreis hat den Radius r = a 0 a. Falls zusätzlich = e is, s = m, ggt m n,n ( )=, streben die Folgenglieder gegen die Ecken eines regelmäßigen n -Eckes. Für = und = sind die Folgenglieder durch einen Kreisring beschränkt. Dieser hat den Außenradius r außen = r + r und den Innenradius r innen = r r. Für = e is, s = m, ggt m n,n ( )= = e is, s = m, ggt m n,n ( )= erhalten wir eine zklische Folge mit der Zklenlänge z = kgv( n,n ). Falls und beide reell und positiv sind, ergibt sich für den Funktionsgrafen von at () in der Gaußschen Ebene eine Gerade. Für =, also für p + q = 0 versagt die Formel von Binet (Division durch Null). 6 Beispiele Die Beispiele werden in der Gaußschen Ebene illustriert. Die Startwerte sind grün eingetragen, die weiteren Folgenglieder rot, der Funktionsgraf von a() t blau. 6. Die gewöhnliche Fibonacci-Folge Mit der Rekursion a n+ = a n+ + a n erhalten wir = + 5.68 (Goldener Schnitt), = 5 Startwerte a 0 = 0 und a = : a[0] = 0 a[] = a[] = a[3] = a[4] = 3 a[5] = 5 0.68 und für die

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 4 Der Funktionsgraf macht merkwürdige Schlenker ins Komplee. Dies ist eine Folge des negativen, was bei nicht ganzzahligen Werten von t zu kompleen Zahlen führt. 0 3 4 5 a n+ = a n+ + a n Wenn wir die Folge auch auf negative Indizes ausdehnen, wird die Figur noch dramatischer. a[-5] = 5 a[-4] = -3 a[-3] = a[-] = - a[-] = a[0] = 0 a[] = a[] = a[3] = a[4] = 3 a[5] = 5 4 3 3 3 4 5 Negative Indizes Der Funktionsgraf von at () nähert sich für t einer logarithmischen Spirale. 6. Nullfolge Für die Rekursion a n+ = 9 0 + i ( )a n+ 8 00 ia n

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 5 gilt = 9 0, = 9 0 i ; es ist = = 9 <. Wir haben daher eine Nullfolge. Mit 0 den Startwerten a 0 = und a = + i erhalten wir: a[0] =.0 a[] = 0.5 +.0*I a[] = - 0.45 + 0.54*I a[3] = - 0.08-0.34*I a[4] = 0.656 a[5] = 0.3805 + 0.656*I a[6] = - 0.9545 + 0.35494*I a[7] = - 0.05344-0.5764*I a[8] = 0.430467 a[9] = 0.533605 + 0.430467*I a[0] = - 0.9370445 + 0.345934*I a[] = - 0.0348678440-0.3947376*I a[] = 0.8495365 a[3] = 0.44768 + 0.8495365*I a[4] = - 0.709394 + 0.559497*I a[5] = - 0.08767945-0.09507698*I a[6] = 0.8530089 a[7] = 0.096500944 + 0.8530089*I a[8] = - 0.0833859085 + 0.00063090*I a[9] = - 0.0500946353-0.060037854*I a[0] = 0.5766546 Nullfolge Wir sehen, dass in diesem Beispiel jedes vierte Folgenglied reell ist. 6.3 Kreis als Grenzkurve Für die Rekursion a n+ = ( 3 + 4 5 i )a n+ + 7 8 ( 50 5 i )a n

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 6 gilt = 3 5 + 4 5 i, = 9 0 ; es ist = und = 9 <. Wir erhalten eine Folge, 0 welche sich einem Kreis annähert. Mit den Startwerten a 0 = und a = + i erhalten wir: Kreis als Grenzkurve Für den Kreisradius erhalten wir in unserem Beispiel r = a a 0.49885803. Da das Argument von = 3 5 + 4 i in keinem rationalen Verhältnis zu steht, gibt es 5 auf dem Grenzkreis keine isolierten Häufungspunkte. 6.4 Regelmäßige Kreisteilung Für = e 3 8 i und = 9 ergibt sich die Rekursion: 0 a n+ = 9 ( )a n ( 0 + ) i a n+ + 9 0 9 0 i Es ist = und = 9 <. Wir erhalten eine Folge, welche sich einem Kreis annähert. 0 Mit den Startwerten a 0 = und a = + i erhalten wir:

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 7 Regelmäßige Kreisteilung als Grenzpunkte Für den Kreisradius erhalten wir in unserem Beispiel r = a a 0 0.79373937. Wegen = e 3 8 i streben die Folgenglieder gegen die Eckpunkte eines regelmäßigen Achteckes. 6.5 Logarithmische Spirale als Grenzkurve Für = 8 0 + 7 0 i und = i ergibt sich die Rekursion: a n+ = 4+6i a 5 n+ + 78i 0 a n Es ist > und <. Wir erhalten eine Folge, welche sich in einer logarithmischen Spirale annähert. Mit den Startwerten a 0 = 4 und a = + i erhalten wir für a bis a 5 :

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 8 6 5 4 3 7 6 5 4 3 3 4 5 3 4 5 6 7 6.6 Kreisring Für = 3 5 + 4 5 i und = 5 Logarithmische Spirale als Grenzkurve 3 + 3 i ergibt sich die Rekursion: a n+ = 64+i 65 a n+ + 3356i a 65 n Es ist = und =. Wir erhalten eine Folge, welche sich in einem Kreisring bewegt. Mit den Startwerten a 0 = und a = + 3 i erhalten wir für a bis a 500 :

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 9 3.0.5.0.5.0 0.5 3.0.5.0.5.0 0.5 0.5.0.5.0.5 3.0 0.5.0.5.0.5 3.0 Im Kreisring Der Kreisring hat den Außenradius r außen.57843880 und den Innenradius r innen 0.775663643. Da die Argumente von = 3 5 + 4 5 i und = 5 3 + i nicht in 3 einem rationalen Verhältnis zu stehen, schließt sich der Funktionsgraf nicht. 6.7 Zklische Folge Für = e 4 i und = e 6 i ergibt sich die Rekursion: ( ) i a n+ = + + 3 a n+ + 3 ( ) i a n Wir erhalten eine zklische Folge der Zklenlänge z =. Mit allgemeinen Startwerten a 0 = f und a = g ergibt sich nämlich: a[0] = f a[] = g a[] = f*(/*3^(/) - /*I) + *g*(/4*i*3^(/) + /4 + /*I) a[3] = (/ + /*I)*f - (3/ - /*I)*g + (/ + /*I)*3^(/)*f - (/ - /\ *I)*3^(/)*g a[4] = - (/ - 3/*I)*f - (3/ + 3/*I)*g - (/ - /*I)*3^(/)*f - (/ + \ /*I)*3^(/)*g a[5] = ( - 3/*I)*g - 3/*f - ( + /*I)*3^(/)*f + (/ - I)*3^(/)*g a[6] = ( + I)*g - *I*f - I*3^(/)*f + 3^(/)*g a[7] = ( - I)*f + *I*g + 3^(/)*f + I*3^(/)*g a[8] = ( + 3/*I)*f - 3/*g + (/ + I)*3^(/)*f - ( -

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 0 /*I)*3^(/)*g a[9] = - (3/ - 3/*I)*f - (/ + 3/*I)*g - (/ - /*I)*3^(/)*f - (/ + \ /*I)*3^(/)*g a[0] = (/ - /*I)*g - (3/ + /*I)*f - (/ + /*I)*3^(/)*f + (/ - /\ *I)*3^(/)*g a[] = (/ - I)*f + /*I*g - /*I*3^(/)*f + /*3^(/)*g a[] = f a[3] = g Es ist also a = a 0 und a = a. Mit den Startwerten a 0 = und a = + i erhalten wir: 4 3 4 3 3 4 3 Zklische Folge Der Funktionsgraf ist eine Überlagerung von zwei Kreisbewegungen. 6.8 Divergenz Für = 6 5 e 4 i und = e 6 i ergibt sich die Rekursion: ( ) i a n+ = + 6 5 + 3 ( ) a n a n+ + 3 3 5 3 5 i Wegen = 6 5 divergiert die Folge. Mit den Startwerten a 0 = und a = + i erhalten wir für a bis a 7 :

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 0 5 0 5 5 0 5 0 5 5 0 5 5 0 5 Divergente Folge 7 Zklische Fibonacci-Folgen Wir diskutieren einige spezielle zklische Fibonacci-Folgen, also Folgen mit: = e is, s = m, ggt m n,n ( )= Die Zklenlänge ist dann z = kgv( n,n ). = e is, s = m, ggt m n,n ( )= 7. Reelle Rekursion Für m, m 3, sei =. Die Rekursion m a n+ = cos( )a n+ a n ist reell und führt zu einer zklischen Folge der Länge m. Wegen p = cos ( ) und q = ist: = p + ( p + q) = cos( )+ cos ( ) = cos( )+ sin ( ) = cos( )+ isin( )= e i = p ( p + q) = cos( ) cos ( ) = cos( ) sin ( ) = cos( ) isin( )= e i

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge Die Bedingung für eine zklische Folge ist erfüllt, die Zklenlänge ist m. Der Funktionsgraf setzt sich aus zwei Kreisbewegungen entgegengesetzt gleicher Frequenz zusammen und ist daher eine Ellipse. Lange und kurze Halbachsen dieser Ellipse sind: Lange Halbachse = r + r = a a 0 + a 0 a Kurze Halbachse = r r = a a 0 a 0 a 7.. Beispiel m = 5 Mit der Rekursion a n+ = cos( 5 )a n+ a n = + 5 a n+ a n und beliebigen Startwerten a 0 = f und a = g erhalten wir: a[0] = f a[] = g a[] = /*g*(5^(/) - ) - f a[3] = -/*(5^(/) - )*(f + g) a[4] = /*5^(/)*f - g - /*f a[5] = f a[6] = g Bei reellen Startwerten sind alle Folgenglieder reell: mit den reellen Startwerten a 0 = und a = erhalten wir: a[0] = =.0 a[] = =.0 a[] = /*5^(/) - 5/ = -.389660 a[3] = 3/ - 3/*5^(/) = -.8540966 a[4] = 5^(/) - = 0.360679775 a[5] = =.0 a[6] = =.0 Reelle Situation Mit den kompleen Startwerten a 0 = und a = + i ergibt sich:

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 3 Affin reguläres Fünfeck Die Folgenglieder beecken ein so genanntes affin reguläres Fünfeck, ein affines Bild eines regulären Fünfeckes. Wie im regulären Fünfeck sind sämtliche Diagonalen parallel zu einer der Seiten. Diese affine Regularität kann so eingesehen werden: Mit den speziellen Startwerten a 0 = e 0 = und a = e = e 5 i (das sind die ersten beiden fünften Einheitswurzeln) erhalten wir, wie mit einiger Rechnung gezeigt werden kann, a n = e n = e n 5 i, also die Ecken des regulären Fünfeckes:

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 4 Reguläres Fünfeck Nun bilden wir die beiden speziellen Startwerte affin auf die aktuellen Startwerte ab; dabei soll der Ursprung ein Fipunkt sein. Da die Fibonacci-Rekursion affin invariant ist, werden auch die übrigen Folgenglieder entsprechend abgebildet. Allgemein erhalten wir mit der Rekursion a n+ = cos( m )a n+ a n ein affin reguläres m-eck. Die Rekursion a n+ = + 5 a n+ a n mit dem Goldenen Schnitt als erstem Faktor kann auch geometrisch nachvollzogen werden: Wir ergänzen die drei Punkte 0, a n, + 5 a n+ zum Parallelogramm. Die vierte Ecke ist dann a n+. a n+ a n+ + 5 a n+ Geometrische Rekurison Das führt dann zu einer Schließungsfigur. 0 a n

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 5 Schließungsfigur Die Schließungsfigur ist ein affines Bild der folgenden regulären Figur. Reguläre Figur 7.. Beispiel m = 3 Mit der Rekursion a n+ = cos( 3 )a n+ a n = a n+ a n und beliebigen Startwerten a 0 = f und a = g erhalten wir: a[0] = f a[] = g a[] = - f - g

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 6 a[3] = f a[4] = g Mit den kompleen Startwerten a 0 = und a = + i ergibt sich: 3 3 Dreieck mit Schwerpunkt im Ursprung Es ergibt sich ein Dreieck mit dem Schwerpunkt im Ursprung. Die Rekursion kann geometrisch interpretiert werden: Die Punkte a n und a n+ werden am Ursprung gespiegelt, die Spiegelpunkte a n zusammen a n+ mit dem Ursprung zum Parallelogramm mit den Ecken a n, 0, a n+, a n+ ergänzt. a n+ a n a n a n+ a n+ Geometrische Rekursion Mit dieser Rekursion entsteht eine Schließungsfigur: a = a 4 a a 0 a 0 = a 3 a a Schließungsfigur 7..3 Beispiel m = 4 Wir erhalten die Rekursion: ( ) a n+ = cos 4 a n+ a n = a n =0 Das ist nicht besonders lustig. Mit beliebigen Startwerten a 0 = f und a = g ergibt sich:

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 7 a[0] = f a[] = g a[] = -f a[3] = -g a[4] = f a[5] = g Mit kompleen Startwerten, zum Beispiel a 0 = und a = + i, erhalten wir ein Parallelogramm, ein affin verzerrtes Quadrat also. Parallelogramm mit Schwerpunkt im Ursprung 7..4 Beispiel m = 6 Wir erhalten die Rekursion: a n+ = cos( 6 )a n+ a n = a n+ a n Mit beliebigen Startwerten a 0 = f und a = g ergibt sich: a[0] = f a[] = g a[] = g - f a[3] = -f a[4] = -g a[5] = f - g a[6] = f a[7] = g Mit kompleen Startwerten, zum Beispiel a 0 = 3 i und a = + i, erhalten wir ein affin reguläres Sechseck.

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 8 3 3 3 3 Affin reguläres Sechseck Auch dieses Beispiel kann geometrisch sehr einfach illustriert werden: Wir bilden das Dreieck 0a n a n+ mit einer Punktspiegelung an a n+ ab. Die neue Ecke ist dann a n+. a n+ a n+ 0 Geometrische Rekursion Es ergibt sich eine Schließungsfigur. a n

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 9 a a 3 a 0 a 4 a 0 a 5 Schließungsfigur 7..5 Beispiel m = 8 Wir erhalten die Rekursion: a n+ = cos( 8 )a n+ a n = a n+ a n Mit beliebigen Startwerten a 0 = f und a = g ergibt sich: a[0] = f a[] = g a[] = ^(/)*g - f a[3] = g - ^(/)*f a[4] = -f a[5] = -g a[6] = f - ^(/)*g a[7] = ^(/)*f - g a[8] = f a[9] = g Mit kompleen Startwerten, zum Beispiel a 0 = und a = + i, erhalten wir ein affin reguläres Achteck.

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 0 Affin reguläres Achteck Die Rekursion a n+ = a n+ a n kann geometrisch nachvollzogen werden: Wir strecken a n+ mit dem Faktor, anschließend ergänzen wir die drei Punkte 0, a n, a n+ zum Parallelogramm. Der vierte Parallelogrammpunkt ist dann a n+. a n+ a n+ a n+ Dies führt zu einer Schließungsfigur. 0 Rekursion a n

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge Schließungsfigur Die Figur ist das affine Bild einer regulären Figur. Reguläre Figur 7..6 Sinus statt Kosinus Wir ersetzen in der Rekursionsformel den Kosinus durch den Sinus: a n+ = sin( m )a n+ a n

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge Damit erhalten wir ebenfalls eine zklische Folge. Die Zklenlänge ist allerdings nicht mehr m, sondern: z( m 4m )= ggt( 4m, m4) Der Grund für diese etwas komplizierte Formel liegt darin, dass wir bei der Berechnung von, eine zusätzlichen Faktor i, geometrisch also eine Vierteldrehung, erhalten. Tabelle: m z 3 4 5 0 6 7 8 8 8 9 36 0 0 44 6 3 5 4 8 5 60 6 6 7 68 8 36 9 76 0 5 Beispiel m = 0. Wir haben die Zklenlänge 0. Für die Startwerte a 0 = und a = + i ergibt sich folgende Figur mit Überspringungen. 7. Rein imaginärer Faktor p Es sei wieder = m. Die Rekursion Überspringungen a n+ = i sin( )a n+ + a n

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 3 führt für m 4 zu einer zklischen Folge. Wegen p = icos ( ) und q = ist: = p + ( p + q) = isin( )+ sin ( )+ = isin( )+ cos( )= e i = p ( p + q) = isin( ) sin ( )+ = isin( ) cos( )= e -i Fallunterscheidung: Für m gerade ergibt sich eine Zklenlänge z = m. Für m ungerade ergibt sich eine Zklenlänge z = m. 7.. Beispiel m = Wir erhalten die Rekursion a n+ = a n. Die Folge besteht alternierend aus a 0 und a. 7.. Beispiel m = 3 Wir erhalten die Rekursion a n+ = i und a = g ergibt sich: a[0] = f a[] = g a[] = f + I*3^(/)*g a[3] = I*3^(/)*f - *g a[4] = - *f - I*3^(/)*g a[5] = g - I*3^(/)*f a[6] = f a[7] = g Wir sehen die Zklenlänge 6. Mit den Startwerten a 0 = 5 + 3i und a = + i ergibt sich: 3 a n+ + a n. Für beliebige Startwerte a 0 = f 6 5 4 3 9 8 7 6 5 4 3 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 0 m = 3

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 4 7..3 Beispiel m = 4 In diesem Fall ist a n+ = i a n+ + a n. Ferner ist = = i ; die Formel von Binet funktioniert also nicht (Division durch Null). Für beliebige Startwerte a 0 = f und a = g ergibt sich: a[0] = f a[] = g a[] = f + *I*g a[3] = *I*f - 3*g a[4] = - 3*f - 4*I*g a[5] = 5*g - 4*I*f a[6] = 5*f + 6*I*g a[7] = 6*I*f - 7*g a[8] = - 7*f - 8*I*g a[9] = 9*g - 8*I*f a[0] = 9*f + 0*I*g a[] = 0*I*f - *g a[] = - *f - *I*g a[3] = 3*g - *I*f a[4] = 3*f + 4*I*g a[5] = 4*I*f - 5*g a[6] = - 5*f - 6*I*g a[7] = 7*g - 6*I*f a[8] = 7*f + 8*I*g a[9] = 8*I*f - 9*g a[0] = - 9*f - 0*I*g a[] = *g - 0*I*f Mit den Startwerten a 0 = 5 + 3i und a = + i ergibt sich: 40 0 40 0 0 40 0 40 Archimedische Spirale? Der Polgonzug ist annähernd eine eckige archimedische Spirale.

Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 5 7..4 Beispiel m = 5 Die Zklenlänge ist 0. 0 0 0 0 Zklenlänge 0