Übungen für Partielle Differentialgleichungen Wintersemester 27/8 1. Leite eine bekannte partielle Differentialgleichung von physikalischen Prinzipien her. 2. Berechne die variationelle Ableitung des folgenden Funktionals, J(u) = 1 u(x) ũ(x) p dx + µ u(x) q dx, p Ω q Ω Ω R n und schreibe die Optimalitätsbedingungen als ein Randwertproblem. Finde die Werte von p und q, für welche die partielle Differentialgleichung der Optimalitätsbedingungen linear, semi-linear oder quasi-linear ist. Für den Fall dass p = q = 2 und n = 1 gelten, (a) schreibe die Frechetsche Ableitung von J : H 1 (Ω) R, und beweise dass sie die Frechetsche Ableitung ist, und (b) beweise für ũ C ( Ω) und u C 2 ( Ω), dass das für J minimierende u notwendigerweise das folgende Randwertproblem löst: µ u + u = ũ, Ω 3. Beweise die Leibnizsche Formel: D α (uv) = β α u/ n =, Ω ( α β ) D β ud α β v wobei u,v : R n R ausreichend glatt sind, D α u = α 1 x 1 α 2 x 2 αn x n u, α! = α 1!α 2! α n!, ( α β) = α!/[β!(α β)!] und β α bedeutet β i α i. 4. Zeige für f Cc(R), dass Φ(x) = 1 2 x die Fundamenatallösung für die 1D Poissonsche Gleichung ist, d.h. erfüllt u (x) = f(x) in R. u(x) = Φ(x y)f(y)dy 5. Für c R und b R n leite eine Formel der Lösung u(x,t) des folgenden Problems her: ut + b u + cu = f(x,t), x R n, t > u(x,) = g(x), x R n. 6. Zeige, dass die schwache Ableitung der Funktion u(x) = x, x R, durch u (x) = sgn(x) gegeben ist, wobei 1, x < sgn(x) =, x = +1, x >. 7. Für eine offene Menge R n beweise, wenn u C 2 () harmonisch ist, dann gilt u(x) = u(y)ds(y) = u(y)dy B(x,r) B(x,r) 1
für jede Kugel B(x,r). (Hinweis: Definiere φ(r) als der Mittelwert von u über B(x,r), stelle φ (r) bezüglich u dar, und zeige dadurch, dass φ (r) = gilt. Dann ist φ(r) = lim t φ(t).) Beweise, wenn u C 2 () erfüllt u(x) = B(x,r) u(y)ds(y) für jede Kugel B(x,r), dann ist u harmonisch in. (Hinweis: Wenn u nicht harmonisch ist, dann erfüllt die obige φ-funktion φ (r) für irgendeine Kugel, ein Widerspruch.) 8. Zeige, G(x,y) = (1 y)x, x y (1 x)y, y x 1 ist die Greensche Funktion für das Poissonsche Problem in 1D: u (x) = f(x), x (,1) u(x) =, x (,1) wobei f C ([,1]) gilt, d.h. die Lösung u(x) ist gegeben durch: u(x) = 1 G(x, y)f(y)dy. 9. Für die Poissonsche Gleichung mit Neumann Randbedingungen: u (x) = f(x), x (,1), u () = u (1) =. zeige, daß die Mittelwertbedingung an f, 1 f(x)dx =, notwendig und hinreichend für die Existenz einer Lösung ist. Weiters beweise, dass die Mittelwertbedingung an u, 1 u(x)dx =, die Eindeutigkeit einer Lösung garantiert. 1. Mit dem Satz von Gauß, 11. Sei bestätige die Greenschen Formeln: F(y)dy = F(y) ˆn(y)dS(y) v(y) 2 u(y)dy + v(y) u(y)dy = v(y) u n (y)ds(y) [u(y) 2 v(y) v(y) 2 u(y)]dy = [u(y) v (y) v(y) u n n (y)]ds(y) g(φ) = a 2 + [a k cos kφ + b k sin kφ] k=1 die Fourier-Reihe der 2π-periodischen Funktion g am B(,ρ) R 2 in der Laplace-Gleichung: u =, B(,ρ) u = g, B(, ρ). (a) Mittels Separations-Ansatz u(r, φ) = R(r)Φ(φ) in Polarkoordinaten bestimme eine (formale) Lösung. Hinweise: 2
i. In Polarkoordinaten (r, φ), u = u rr + 1 r u r + 1 r 2u φφ. ii. Die Lösungen r k,k > und ln r (für λ = ) der Gleichung r 2 R + rr λr = werden wegen der Forderung lim r R(r) < ausgeschlossen. (b) Als Anwendung erstelle eine Graphik der Lösung für g(φ) = sin(3φ). 12. Eine Funktion v wird subharmonisch in genannt, wenn: v in. (a) Beweise die folgende ngleichung, wenn v subharmonisch ist: v(x) v(y)dy B(x, r). B(x,r) (b) Beweise, dass daher max Ū v = max v. (c) Sei φ : R R eine glatte und konvexe Funktion. Nimm an, dass u harmonisch ist, und dass v = φ(u) gilt. Beweise, dass v subharmonisch ist. (d) Beweise, dass v = u 2 subharmonisch ist, wenn u harmonisch ist. 13. Beweise, dass: max u(x) max g(x) + 1 x B(,1) x B(,1) 2n max f(x) x B(,1) wenn u eine glatte Lösung des folgenden Problems ist: u = f, x B(,1) u = g, x B(,1). Hinweise: (a) Nimm an, dass u f, und beweise, dass: max u(x) max x B(,1) x B(,1) g+ (x) + 1 2n max f (x) x B(,1) wobei g + (x) = max,g(x)} und f (x) = min,f(x)}. Dann folgt das Resultat, wenn diese ngleichung mit u und u angewendet wird. (b) m die ngleichung zu beweisen, definiere: v(x) = max y B(,1) g+ (y) + h(x) max f (y) y B(,1) für irgendein h(x), so dass v u auf B(,1) und v max f u auf B(,1). 14. Zeige dass die Funktion erfüllt: K(x,y) = 2x n 1 nα(n) x y n K(x, y)dy = 1. R n + 3
15. Sei f eine glatte Funktion mit einem kompakten Träger in R n + und g eine glatte Funktion mit einem kompakten Träger in R n + = Rn 1. Mit der Fundamentallösung der Laplaceschen Gleichung Φ(x), der obigen Funktion K(x,y) und der Greenschen Funktion G(x,y) = [Φ(y x) Φ(y x)], x = (x 1,...,x n 1, x n ), beweise dass u(x) = G(x,y)f(y)dy + K(x, y)g(y)ds(y) R n + erfüllt lim R n + x x u(x) = g(x ), x R n +. R n + 16. Zeige dass die Fundamentallösung der Wärmegleichung erfüllt: Φ(x,t)dx = 1, t >. n R 17. Sei f eine glatte Funktion mit einem kompakten Träger in R n [, ) und g eine glatte Funktion mit einem kompakten Träger in R n. Mit der Fundamentallösung der Wärmegleichung Φ(x,t), beweise dass u(x,t) = t Φ(x y,t s)f(y,s)dyds + n R erfüllt lim R n x x,<t u(x,t) = g(x ), x R n +. 18. Berechne das Integral über die Wärmekügel E(1), E(1) x 2 t 2 dxdt = 4 Φ(x y,t)g(y)dy n R wobei E(r) = E(,;r), E(x,t;r) = (y,s) : Φ(x y,t s) r n }. Hinweise: Verwende Polarkoordinaten und die Transformation τ = log[1/( 4πt)]. Dann verwende die folgenden: τ λ+1 e λτ dτ = Γ(λ + 2) λ 2+λ, Γ(x + 1) = xγ(x), α(n) = πn/2 Γ( n 2 + 1). 19. Nimm an, n = 1 und u(x,t) = v(x 2 /t). (a) Zeige, u t = u xx gilt, genau dann wenn gilt. 4zv (z) + (2 + z)v (z) =, z > (b) Zeige, die allgemeine Lösung dieser gewöhnlichen Differentialgleichung ist: v(z) = c z e s/4 s 1/2 ds + d. (c) Leite v(x 2 /t) nach x ab, und wähle die Konstante c aus, so dass die Fundamentallösung der Wärmegleichung für n = 1 sich ergibt. 2. Zeige, die Lösung des folgenden Anfangswertproblems: u t = u xx, x R,t > ; u(x,) = 1 [1 + sgn(x)] 2 ist gegeben durch: u(x,t) = 1 2 [ ( )] x 1 + erf 4t. 4
21. Mit dem Separations-Ansatz u(x, t) = X(x)T(t) bestimme eine Lösung des folgenden Anfangswertproblems, u t = u, (,l) (, ) u =, (,l) (, ) u = g, (,l) t = } wobei g L 2 (,l). Als Anwendung erstelle eine Graphik der Lösung für g(x) = sgn(x l/2). 22. Seien u 1,u 2 C 2 (ŪT) Lösungen des Randwertproblems: u t = u, T u = g, [,T]. Beweise wenn u 1 (x,t) = u 2 (x,t), x gilt, dann gilt u 1 u 2 in T. 23. Seien g C 2 (R) und h C 1 (R) und definiere u(x,t) durch d Alembert s Formel: u(x,t) = 1 2 [g(x + t) + g(x t)] + 1 2 x+t Beweise: u C 2 (R [, )), u tt u xx = in R (, ) und x t h(y)dy. lim (x,t) (x,),t> u(x,t) = g(x ), lim u t(x,t) = h(x ), x R. (x,t) (x,),t> 24. Alternative Herleitung der d Alembertschen Formel. (a) Zeige, die allgemeine Lösung der PDG u xy = ist für beliebige Funktionen F und G. u(x,y) = F(x) + G(y) (b) Mit der Transformation der Variablen ξ = x + t und η = x t zeige, u tt = u xx gilt genau dann wenn u ξη = gilt. (c) Verwende diese Ergebnisse, um die d Alembertsche Formel herzuleiten. 25. Sei u C 2 (R [, )) eine Lösung des Anfangswertproblems: u tt = u xx, x R,t > u = g,u t = h, x R,t = wobei g und h glatte Funktionen mit kompakten Träger in R sind. Die kinetische Energie k(t) und die potentielle Energie p(t) sind: Zeige, k(t) = 1 2 (a) k(t) + p(t) ist konstant in t, (b) k(t) = p(t) für alle t groß genug. u 2 t(x,t)dx, p(t) = 1 2 26. Sei u eine Lösung des Anfangswertproblems: u tt = u xx, x R 3,t > u = g,u t = h, x R 3,t = u 2 x(x,t)dx. wobei g und h glatte Funktionen mit kompakten Träger in R 3 sind. Zeige, u erfüllt: für eine Konstante C. u(x,t) C/t, x R 3,t > 5
27. Berechne die Lösung der Wellengleichung: u tt = u xx, x R, t > ; u t (x,) =, u(x,) = 1, x 1, x > 1 28. Bestimme die Charakteristiken für die partielle Differentialgleichung au xx + bu xy + cu yy + du x + eu y = für die drei Fälle: (a) b 2 4ac >, z.b. u xx u yy =, (b) b 2 4ac =, z.b. u x u yy =, und (c) b 2 4ac <, z.b. u xx + u yy =. 29. Vergleich von Wellengleichungen. (a) Schreibe die Wellengleichung p tt = c 2 p xx mit u = p x,p t T in erste Ordnung u t + Au x = um. (b) Berechne die Charakteristiken für u t + Au x =. (c) Löse das Anfangswertproblem mit Charakteristiken: u t + Au x =, u 1 (x,) = g (x), u 2 (x,) = h(x). (d) Vergleiche das Ergebnis mit der d Alembertschen Formel für die Lösung des Anfangswertproblems, p tt = c 2 p xx, p(x,) = g(x), p t (x,) = h(x). 3. Ein Modell für die nicht viscöse quasi-1d Düsenströmung eines idealen Gases ist u t +F x +Q = wobei ρ ρv u = ρv, F = ρv 2 + p, Q = 1 ρv E = A 1 ρv 2 2 ρv2 + ρe, p = ρrt A x E v(e + p) v(e + p) e = c v T ρ Dichte v Geschwindigkeit E totale Energie p Druck e innere Energie T Temperatur c v spezifische Wärme R Gas-Konstante (konstantes Volumen) A Schnittflächeninhalt der Düse Für die folgende Vereinfachung berechne die Charakteristiken: und löse das Anfangswertproblem. v t + (v 2 ) x + cv 2 =, c >, v(x,) = x 31. Nimm an, dass die potentielle Energie in einem Schwerkraftfeld ungefähr durch φ(x) = mgx gegeben ist, d.h. die Schwerkraft F(x) = φ (x) = mg ist ungefähr konstant hinunter in der x-richtung. Für eine gegebene Masse m > die Hamiltonsche Funktion ist H(p,x) = 1 2m p 2 + φ(x) (und die Lagrangesche Funktion ist L(q,x) = m 2 q 2 φ(x)). Verwende die Hamiltonschen Differentialgleichungen, um das Anfangswertproblem zu lösen: u t + H(u x,x) =, u(x,) = µ x, µ R. 6
32. Wenn für x R n, t >, u(x,t) = inf w C 1 ([,t]) t beweise dass u die Hopf-Lax Formel erfüllt: u(x,t) = min y R n } L(ẇ(s))ds + g(y) w() = y, w(t) = x tl ( ) x y t } + g(y) 33. Für den Fall dass g = im vorletzten Beispiel berechne die Hopf-Lax Lösung des Anfangwertsproblems. Zeige dass diese Lösung für jedes t > halbkonkav ist. 34. Für beliebige u l,u r R gib die Entropie-Lösung des Riemannschen Problems an, u t + (u 4 ) x =, x R, t > u(x,) = u l, x <, u(x,) = u r, x > und zeige dass die Entropie-Bedingung erfüllt ist. 35. Zeige dass φ n (x) = x 2 + 1/n und χ(x) = x in W 1,p (Ω), Ω = ( 1,1), für 1 p liegen. n Zeige dass χ φ n W 1,p (Ω) für 1 p <, aber nicht für p =. 36. Zeige dass H k (Ω) = W k,2 (Ω), Ω R n ein Hilbert-Raum ist. 37. Nimm an, dass R n beschränkt ist und N n=1 V n. Zeige, es existieren Funktionen ζ n C (R n ), die erfüllen: ζ n 1, Träger(ζ n ) V n, N n=1 ζ n = 1 in. Die Funktionen ζ n } N n=1 bilden eine Teilung der Eins. 38. Gib ein Beispiel einer offenen Menge R n und eine Funktion u W 1, (), wobei u keine Lipschitz stetige Funktion in ist. (Hinweis: Sei eine Kugel in R 2 mit einem Schlitz entfernt.) 39. Sei R n eine beschränkte Menge mit C 1. Zeige, eine typische Funktion u L p (), (1 p < ) hat keine Spur auf. Das heisst, es gibt keinen linearen, stetigen Operator T : L p () L p ( ), der erfüllt Tu = u wenn u C(Ū) Lp (). 4. Sei Ω = (,1) n. Zeige, dass die Einbettungen (2)-(6) auf Seite 97 in Adams auch für 1 q < p < gelten. (Siehe Bemerkung (6) auf Seite 99.) Verwende die kompakten Einbettungen auf Seite 144 in Adams, um zu zeigen, W l,p (Ω) ist in W k,p (Ω) für jede l > k kompakt eingebettet. 41. Sei R n eine offene, zusammenhängende, beschränkte Menge mit C 1. Sei Γ eine Menge mit einem positiven (n 1)-dimensionalen Maß, µ n 1 (Γ) >. Zeige, es existiert eine Konstant c unabhängig von u, wobei c u 2 dx Du 2 dx, u HΓ 1 () = u H1 () : Tu = auf Γ}. Deswegen ist B(u,v) = Du Dvdx koerziv auf H1 Γ (). 42. Definiere Ω = (,1) und δ x (x) = δ(x x ), x Ω. Stelle das Randwertproblem u = δx, Ω u =, Ω in eine schwache Form um, Finde u H sodass B(u,v) = F(v), v H für einen geeigneten Hilbertraum H. Zeige, es existiert genau eine Lösung u H. 7