Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen Modul Mathematik Art der Leistung Studienleistung Klausur-Kennzeichen WB-WMT-S 868 Datum 8.6.8 Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich: Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden. Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite / ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht. Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet. Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist. Die Klausur-Aufgaben können einbehalten werden. Dies bezieht sich nicht auf ausgeteilte Arbeitsblätter, auf denen Lösungen einzutragen sind. Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden. Bearbeitungszeit: 9 Minuten Hilfsmittel: Anzahl Aufgaben: 6 HFH-Taschenrechner Höchstpunktzahl: Formelsammlung Mathematik Vorläufiges Bewertungsschema: von Punktzahl bis einschl. Ergebnis 5 bestanden 9,5 nicht bestanden Viel Erfolg! Klausuraufgaben, Studienleistung 6/8, Mathematik, WB WB-WMT-S 868
Klausuraufgaben, Studienleistung 6/8, Mathematik, WB Aufgabe 5 Punkte Bestimmen Sie alle Lösungen der Wurzelgleichung x ( mit { x } ) x + = x R. Überprüfen Sie die Lösungen mit Hilfe einer Probe. Aufgabe Punkte Ein Brückenträger in Form einer Parabel besitzt eine Spannweite von m. Die Fahrbahn liegt m über den Auflegern und m unterhalb des Scheitelpunktes des Brückenträgers (vgl. Bild). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f (x) des Brückenträgers und die Schnittpunkte von Fahrbahn und Brückenträger. Fassen Sie hierzu die Linie zwischen den Auflagepunkten auf den Auflegern als x-achse auf und legen Sie die y-achse durch den Scheitelpunkt des Brückenträgers (vgl. Bild). Hinweis: Gehen Sie bei der Aufgabenbearbeitung von der allgemeinen Form (quadratischen Gleichung) aus. = ax + bx + c einer Parabel Aufgabe Punkte Bestimmen Sie die Nullstellen und die Extremwerte der Funktion ( ) ( e ) x = f, D = R. Welche Art von Extremwerten liegt vor? WB-WMT-S 868 Seite /
Klausuraufgaben, Studienleistung 6/8, Mathematik, WB Aufgabe 5 Punkte Mit Hilfe des NEWTONschen Näherungsverfahrens kann die Nullstelle der Funktion = e,x ln x, D = { x R x > } bestimmt werden. Weisen Sie nach, dass x = 5 ein geeigneter Startwert für die Iterationen des NEWTON-Verfahrens ist. Führen Sie Ihre Berechnungen mit Nachkommastellen aus. Aufgabe 5 5 Punkte Berechnen Sie das folgende bestimmte Integral mittels Integration durch Substitution,9,9 +. + x x Aufgabe 6 5 Punkte Welches Volumen besitzt der Körper, der durch Rotation des vom Graphen der Funktion ( x ) x =, D = { x R x } und der x-achse im Intervall I [ a, b] = berandeten Flächenstücks um die x-achse entsteht? Als Intervallgrenzen a und b sollen die Nullstellen der Funktion f (x) angenommen werden. WB-WMT-S 868 Seite /
Korrekturrichtlinie zur Studienleistung Mathematik am 8.6.8 Wirtschaftsingenieurwesen WB-WMT-S 868 Für die Bewertung und Abgabe der Studienleistung sind folgende Hinweise verbindlich: Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet. Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen. Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor. Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug. Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor. Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular Klausurergebnis (Ergebnisliste) ein. Bitte legen Sie Ihrer Bewertung das folgende Bewertungsschema zugrunde: von Punktzahl bis einschl. Ergebnis 5 bestanden 9,5 nicht bestanden Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum 6. Juli 8 in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (Tel. / 59- bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de). Korrekturrichtlinie, Studienleistung 6/8, Mathematik, WB WB-WMT-S 868
Korrekturrichtlinie, Studienleistung 6/8, Mathematik, WB Bitte beachten Sie: Die jeweils im Lösungstext angeführten Punkte ( ) geben an, für welche Antwort die einzelnen Teilpunkte für die Aufgabe zu vergeben sind. Lösung vgl. SB, Abschn...5 5 Punkte x x + = x + = x x + ) = ( ) ( x + = 6x 9x x + 9x 7x = 7 x x = 9 9 Anwendung der p-q-formel (Formelsammlung 7.): p x, = ± p q 7 7 7 9 7 7 7 x, = ± + = ± + = ± = ± 8 8 9 8 8 8 8 x =, Probe: x = 9 Für x = folgt + = = (wahr). Für 5 7 x = folgt ( ) + = = (Widerspruch). 9 9 9 9 Also gibt es nur die eine Lösung x =. WB-WMT-S 868 Seite /6
Korrekturrichtlinie, Studienleistung 6/8, Mathematik, WB Lösung vgl. SB, Abschn.. Punkte Gleichung des Brückenträgers: Allgemeine Gleichung einer Parabel (quadratische Gleichung) nach Formelsammlung 7.: = ax + bx + c. Gemäß der Festlegung zu den Koordinatenachsen folgt: f ( ) = () c = () f ( ) = () a + b + = () (I) f ( ) = () a b + = () (II) Subtraktion der beiden Gleichungen (I) und (II) liefert: b = () b = () Einsetzen von b = in (I) oder (II) liefert a + = a = =.. Damit lautet die Gleichung der Parabel f ( x ) = x +. Schnittpunkte von Fahrbahn und Brückenträger: Es sind die x-werte zu ermitteln, für die = (Höhe der Fahrbahn) gilt. = x +.. = x +. x =.. x =. x = 8,65. x = 8,65 WB-WMT-S 868 Seite /6
Korrekturrichtlinie, Studienleistung 6/8, Mathematik, WB Lösung vgl. SB, Abschn..5 und SB 5, Abschn.. Punkte Nullstellen: ( e ) + e = e = x = x + = (folgt aus e = ) Also ist x = Nullstelle der Funktion. Extremwerte: Bestimmung der Ableitungen: = ( e ) = e + e (Anwendung binomische Formel) x f ( ) = e ( ) + e ( ) = e e (Kettenregel) f x (Kettenregel) ( ) = e ( ) e ( ) = e + e Alternativ kann auch direkt die Kettenregel auf die Funktion f (x) angewendet werden, was zum gleichen Ergebnis führt. Hier sind dann insgesamt 6 Punkte zu vergeben. Notwendige Bedingung für Extremum ist f ( x) = (Formelsammlung 9.). f x e e ( ) = e e e = = e x + = x + x = (mögliches Extremum) Hinreichende Bedingung für Extremum f ( x) = und f ( x) (Formelsammlung 9.). f x ( ) = e + e f () = e + e = > Da f ( ) > liegt bei x = ein lokales Minimum vor. WB-WMT-S 868 Seite /6
Korrekturrichtlinie, Studienleistung 6/8, Mathematik, WB Lösung vgl. SB 5, Abschn..7 5 Punkte,x = e ln x Ein x ist als Startwert geeignet, falls f ( x ) f ( x ( f ( x )) Bestimmung der Ableitungen:,x ) < (Formelsammlung 9.).,x = e ln x = e ln x Anwendung der Kettenregel liefert: x x x x f,, ( x) e (,), = =,e =,e x x x,, f x x ( x) =,e (,) x ( ) =,6e + x Bestimmung der Funktionswerte:,x = e ln x x,5 f (5) = e ln 5 =,878 x f, ( x) =,e x,5 f (5) =,e, =,677, f ( x) = x,6e + x,5 f (5) =,6e + =, 5 Überprüfung der Bedingung für Startwert: f ( x ) f ( x ) ( f ( x )),878, = (,677) =,65< Damit ist x = 5 als Startwert geeignet. WB-WMT-S 868 Seite /6
Korrekturrichtlinie, Studienleistung 6/8, Mathematik, WB Lösung 5 vgl. SB 7, Abschn.. und Kap. 5 Punkte,9,9,9 + = x x + x + + x,9,9,9 Integral : Setze + x = z, dann ist d x = dz = + x dz = ln z = ln( + x) z Integral : Setze x = z, dann ist = dz = x dz = ln z = ln( x) z,9 + = + x x,9 [ ln( + x) ln( x) ], 9, 9 = ln 7,9 ln, (ln, ln 7,9) = ln 7,9 ln, =, + 6,5 = 87,9 WB-WMT-S 868 Seite 5/6
Korrekturrichtlinie, Studienleistung 6/8, Mathematik, WB Lösung 6 vgl. SB 7, Abschn.. 5 Punkte Bestimmung der Nullstellen: = ( x ) x Bestimmung der Nullstellen der einzelnen Faktoren ( x ) = x = x = x = x = Volumen eines Rotationskörpers (Rotation um x-achse) nach Formelsammlung.5: Vx b = π [ ] a, a < b Mit = ( x ) x und den Integrationsgrenzen (Nullstellen) a = und b = folgt [ x ) x ] Vx = π ( V x = π ( x) x x + )x = π (x x + x V x = π (x x + x) = π x + 6x ( + ) = π Vx = π WB-WMT-S 868 Seite 6/6