LIE GRUPPEN EMANUEL SCHEIDEGGER

LIE GRUPPEN EMANUEL SCHEIDEGGER Zusammenfassung. Definition einer Lie-Gruppe, Beispiele, invariante Vektorfelder, Lie-Klammer, Lie-Algebra (einer Lie-Gruppe), 1. Definition und erste Beispiele Wir beginnen mit der Definition des Begriffs einer Lie Gruppe: Definition 1. Eine Lie Gruppe ist eine glatte Mannigfaltigkeit G mit einer glatten Abbildung µ : G G G, so dass (G, µ) eine Gruppe mit Multiplikation µ ist. Ein Lie Gruppen Homomorphismus ist ein glatter Gruppenhomomorphismus zwischen Lie Gruppen. Die beiden einfachsten Beispiele von Lie Gruppen sind folgende: Beispiel 2. Jeder endlich dimensionale reelle Vektorraum ist mit seiner additiven Gruppenstruktur kanonisch eine Lie Gruppe. Bis auf Isomorphie erhalten wir also die Lie Gruppen R n, n N 0. Beispiel 3. Wir fassen S 1 = {z C z =1} als multiplikative Untergruppe von C = C \{0} auf. Mittels des Isomorphismus R/Z = S 1,t e 2πit ist R/Z eine Lie Gruppe. Es seien G, H zwei Lie Gruppen, dann ist die Produktmannigfaltigkeit G H versehen mit der Produkt Gruppenstruktur ebenfalls eine Lie Gruppe. Beispiel 4. Der Torus T n =(R/Z) n ist eine Lie Gruppe. Beispiel 5. Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über R oder C. Dann ist Aut(V ) = {A End(V ) det(a) = 0} eine glatte Mannigfaltigkeit. Nach Einführung von Koordinaten wird die Gruppenoperation mit der Matrixmulplikation identifiziert. Diese ist algebraisch, also glatt, somit Aut(V ) ist eine Lie Gruppe, z. B. GL(n, R n )= Aut R (R n ) und GL(n, C n )=Aut C (C n ). Die Gruppe GL(n, R n )istkanonischisomorphzurgruppederinvertierbaren n n Matrizen. Wir werden also GL(n, R n )undihreklassischen Untergruppen als Matrixgruppen auffassen. Wir werden nun zeigen, dass abgeschlossene Untergruppen von Lie Gruppen wiederum Lie Gruppen sind. 1

2 EMANUEL SCHEIDEGGER 2. Linksinvariante Vektorfelder und Einparametergruppen In diesem Abschnitt beschrieben wir die Eigenschaften des Tangentialraums und von Vektorfeldern von Lie Gruppen. Definition 6. Sei a G. Dann definiert a eine Linkstranslation l a : G G, g ag mit der inversen Abbildung (l a ) 1 = l a 1. Proposition 7. Das Tangentialbündel einer Lie Gruppe ist trivial, d.h. TG = G T e G, wobei e G das neutrale Element ist. Beweis. Zu zeigen: Es gibt einen Vektorbündel Isomorphismus G T e G = TG,(g, v) (Tl g ) e (v). G T e G G pr 1 TG = G Linearität, Injektivität und Surjektivität in der Faser sind leicht zu überprüfen. Definition 8. Der Vektorraum LG = T e G heisst Lie Algebra von G. Ein Lie Gruppen Homomorphismus f : G H induziert einen Homomorphismus von Lie Algebren Lf = Tf : LG LH. Definition 9. Ein Vektorfeld X : G TG heisst links invariant, falls Tl a (X) =X, a G, d.h. falls Tl a (X g )=X ag, a, g G. Proposition 10. {Links invariante Vektorfelder auf G} = LG. Beweis. Für v LG existiert ein konstanter Schnitt g (g, v)vong LG. Wegen G LG = TG erhalten wir ein Vektorfeld g (Tl g ) e (v). Die Abbildung v X g =(Tl g ) e (v) definiertdanneinenkanonischen Isomorphismus von Vektorräumen. Definition 11. Eine Kurve γ : I M heisst Integralkurve von X Γ(TM), falls γ = X γ, d.h. falls γ (t) =X γ(t), t I. In lokalen Koordinaten schreiben wir X(x) = i a i(x) x i und γ(t) = (γ 1 (t),...,γ n (t)) und die Bedingung in Definition 11 lautet dann γ i(t) = a i (γ 1 (t),...,γ n (t)), i =1,...,n, also ist γ eine Lösung eines Systems von DGL 1. Ordnung. Nach dem Existenz und Eindeutigkeitssatz für solche DGL existiert in jedem Punkt von M genau eine maximale Integralkurve. Definition 12. Der Fluss eines Vektorfelds X Γ(TM) ist die Abb. Φ : R M M definiert durch Φ(t, p) =γ p (t), wobei γ p (t) die maximale Integralkurve durch den Punkt p M ist. Proposition 13. (1) Φ(0,p)=p. π

LIE GRUPPEN 3 (2) Φ(s, Φ(t, p)) = Φ(s + t, p). (3) Φ(t, p) 1 = Φ) =t, p. Aus dem Fluss erhalten wir das Vektorfeld zurück: X(p) = t t=0 Φ(t, p) T p M. Sei nun X LG und γ eine Integralkurve von X, dann ist l g γ ebenfalls eine Integralkurve g G, d.h.γ g = l g γ e. Durch Translation kann also das Existenzintervall von γ auf ganz R ausgedehnt werden. Also sind alle Existenzintervalle maximaler Integralkurven gleich R und wir können den Fluss schreiben als Φ(t, g) =gγ X (t), wobei γ X die Integralkurve für X LG mit γ X (0) = e ist. Definition 14. Eine Einparameter Gruppe von G ist ein Lie Gruppen Homomorphismus γ : R G. Proposition 15. {Einparameter Gruppen von G} 1:1 LG, γ γ (0). Beispiel 16. (1) Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum. Dann ist LV = V und γ v (t) =tv, v LV. (2) Sei V wie in (1). Dann ist L(Aut(V )) = End(V ), da Aut(V ) eine offene Untermannigfaltigkeit von End(V ) ist. Die A End(V ) entsprechende Einparameter Gruppe ist γ A : R Aut(V ) t exp(ta) = n 0 1 n! (ta)n Proposition 17. Es seien X, Y LG. Dann ist der Kommutator [X, Y ] wiederum links invariant, also in LG und erfüllt [X, Y ]= [Y,X], [[X, Y ],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z, X],Y]=0. Jacobi Identität Die beiden Relationen definieren ganz allgemein eine Lie Algebra auf Γ(TM). Definition 18. Ein innerer Automorphismus der Form c(g) :G G, a gag 1 heisst Konjugation. Das Differential von c(g) im Ursprung heisst adjungierte Darstellung von G auf LG: Ad: G Aut(LG), g T e c(g). Ad ist ein Lie Gruppen Homomorphismus und induziert einen Lie Algebra Homomorphismus ad = T e Ad : LG L(Aut(LG)) = End(LG). Aus der Definition folgt direkt, dass ad(x)y = s t 0 c(γ X (s))γ Y (t). Proposition 19. ad(x)y =[X, Y ]. Anstelle eines Beweises zeigen wir diese zentrale Eigenschaft anhand des Beispiels 16 (2). 0

4 EMANUEL SCHEIDEGGER Beispiel 20. Die Einparameter Gruppen für X, Y L(Aut(V )) = End(V ) sind Fkt. (R, 0) (Aut(V ), 11) so dass γ X (s) = 11 +sx mod s 2 und γ Y (t) =11+tY mod t 2. Also ist c(γ X (s))γ Y (t) =γ X (s)γ Y (t)γ X ( t) = 11+tY + st(xy YX) mod (s 2,t 2 ) und somit ad(x)y =[X, Y ], hier der Kommutator der Matrixmultiplikation. Dies ist übrigens die Art und Weise wie Lie Algebren in der Physik eingeführt werden: G beschreibt eine Symmetrie z.b. Rotationen im R n und X ist die zugehörige infinitesimale Transformation. 3. Die Exponentialabbildung Hier führen wir die wichtigste Abbildung in der Theorie der Lie Gruppen ein: Definition 21. Die Abbildung exp : LG G, X γ X (1) heisst Proposition 22. Die Exponentialabbildung ist glatt und T 0 exp = id LG. Beweis. Die Einparametergruppen s γ tx (s)unds γ X (ts)gehören zum selben Vektor tx LG, sind also gleich. Damit ist exp(tx) = γ tx (1) = γ X (t). Betrachte nun die Abb. R G LG G LG, (t, g, X) (gγ ( X)(t),X). Das ist gerade der Fluss auf G LG des Vektorfelds (g, X) (X(g), 0) und ist also glatt. Dann ist auch die Einschränkung 1 e LG G ist auch glatt. Schliesslich t t=0 exp(tx) = X. Wir können als eine Einparameter Gruppe γ X einfach durch t exp(tx) beschreiben. Ein Lie Gruppen Homomorphismus f : G H induziert ein kommutatives Diagramm LG Tf LH exp exp X Tf(X) G f H γ X (1) f γ X (1) exp ist ein lokaler Diffeomorphismus, d.h. ist lokal invertierbar in 0 LG. Korollar 23. Ein Homomorphismus zusammenhängender Liegruppen ist durch sein Differential bestimmt. Beispiel 24. Sei G = Aut(V ), dann ist LG = End(V ) und nach Beispiel 16 ist exp(a) = 1 n 0 n! An. Das ist der Ursprung des Begriffs Satz 25. Eine zusammenhängende abelsche Lie Gruppe ist von der Form G = T k R n.

LIE GRUPPEN 5 Korollar 26. Eine kompakte abelsche Lie Gruppe ist von der Form G = T k Γ, wobei Γ eine diskrete Gruppe ist. Definition 27. Eine Lie Untergruppe einer Lie Gruppe G ist ein injektiver Lie Gruppen Homomorphismus f : H G. Proposition 28. Eine Lie Untergruppe ist immer eine Immersion, d. h. T h f ist injektiv für alle h H. Beweis. Es reicht dies für T e f zu zeigen. Da exp ein lokaler Diffeomorphismus in 0 ist, folgt die Behauptung aus obigem kommutativen Diagramm. Definition 29. Eine Abb. f : N M heisst Einbettung, falls f(n) eine Untermannigfaltigkeit von M und f : N f(n) ein Diffeomorphismus ist. Nicht jede Lie Untergruppe ist eine Einbettung von Mannigfaltigkeiten. Ein allgemeines Kriterium ist Proposition 30. Eine injektive Immersion f : N M ist eine Einbettung, falls f : N f(n) ein Homöomorphismus ist. Für eine Lie Untergruppe H ist f : H f(h) nicht notwendigerweise ein Homöomorphismus. Ein wichtiges Gegenbeispiel stellt der Gruppenhomomorphismus Z S 1,n e in dar. Das Bild liegt dicht in S 1. Definition 31. Eine abstrakte Untergruppe H eine Lie Gruppe G ist eine Untergruppe von G aufgefasst ohne ihre glatte Struktur. Satz 32. Eine abstrakte Untergruppe H einer Lie Gruppe G ist genau dann eine Untermannigfaltigkeit von G, wenn H in G abgeschlossen ist. Beispiel 33. (1) Die Gruppe GL(n, R) besitzt zwei Zusammenhangskomponenten auf denen das Vorzeichen der Determinante konstant ist. Automorphismen mit positiver Determinante bilden eine offene und abgeschlossene Untergruppe GL + (n, R). (2) Die spezielle linear Gruppe über R ist SL(n, R) ={A GL(n, R) det(a) = 1}, analog für R statt C. (3) Die orthogonale Gruppe O(n) ={A GL(n, R) A T A = 11}. (4) Die unitäre Gruppe U(n) ={A GL(n, C) A A = 11}. (5) Die spezielle orthogonale Gruppe SO(n) ={A O(n) det A = 1}. (6) Die spezielle unitäre Gruppe SU(n) ={A U(n) det A =1}. Die Gruppen (2) bis (6) sind kompakt, da sie abgeschlossen und beschränkt in einem endlich dimensionalen Vektorraum sind.