für die Schuljahrgänge 7 und 8 unter Berücksichtigung des Kerncurriculums für das Gymnasium die Schuljahrgänge 5-10 (2015) Für die im Kerncurriculum für das Gymnasium die Schuljahrgänge 5-10 (KC) aufgeführten prozessbezogenen und inhaltsbezogenen Kompetenzen werden zum Zwecke der besseren Lesbarkeit die folgenden Abkürzungen eingeführt: Mathematisch argumentieren (P1), Probleme mathematisch lösen (P2), Mathematisch modellieren (P3), Mathematische Darstellungen verwenden (P4), Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen umgehen (P5), Kommunizieren (P6), Zahlen und Operationen (I1), Größen und Messen (I2), Raum und Form (I3), Funktionaler Zusammenhang (I4) und Daten und Zufall (I5). Lernbereiche In den Lernbereichen werden die mit ihnen verbundenen Intentionen kurz dargestellt. Die Beschäftigung mit Mathematik wird von Schülerinnen und Schülern immer dann als sinnvoll angesehen, wenn Probleme zur Auseinandersetzung motivieren. Dieses kann mit Anwendungsorientierung genauso geschehen wie mit innermathematischen Fragestellungen. Ausgehend von konkreten Situationen wird ein grundlegendes Verständnis für Prinzipien, Techniken und Methoden geschaffen. Eine vertiefende, häufig innermathematische Betrachtung führt zu einer zunehmenden Abstraktion und zu einer fachspezifischen Begrifflichkeit. Im Kern werden die inhaltsbezogenen Kompetenzen stichwortartig aufgelistet, konkretisiert und mit prozessbezogenen Kompetenzen sowie unterrichtspraktischen Handlungsschritten verknüpft (siehe Unterrichtseinheiten). Die fakultativen Erweiterungen geben Anregungen für mögliche Vernetzungen und Vertiefungen, die über den Kern hinausgehen und auf ein tieferes und komplexeres Verständnis der Begrifflichkeiten abzielen. Jede einzelne Ergänzung rundet einerseits die Sicht auf die Mathematik zu einem umfassenderen Bild ab, zeigt aber andererseits auch klar die Abgrenzung zu den im Kern thematisierten Kompetenzen. Die Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge weisen auf Gelegenheiten hin, die verpflichtend genannten Kompetenzen im Umgang mit digitalen Mathematikwerkzeugen aufzubauen bzw. anzuwenden. Sie geben Anregungen für einen Unterrichtseinsatz und verzichten auf die Aufzählung von immer verfügbaren Routinen wie beispielsweise die Darstellung von Funktionen oder das Lösen von Gleichungen. Schuljahrgänge und Lernbereiche Schuljahrgang 7 8 Lernbereich Proportionale und antiproportionale Zusammenhänge / Lineare Zusammenhänge / Entdeckungen an Dreiecken Konstruktionen und besondere Linien / Längen, Flächenund Rauminhalte und deren Terme / Umgang mit negativen Zahlen / Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente / Wahrscheinlichkeit Elementare Termumformungen / Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente / Wahrscheinlichkeit / Lineare Zusammenhänge / Längen, Flächen- und Rauminhalte und deren Terme Verwendete Lehrwerke: Klasse 7: Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien - G9, Klett-Verlag, 1. Auflage, ISBN 978-3-12-733521-7 Klasse 8: Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien - G9, Klett-Verlag, 1. Auflage, ISBN 978-3-12-733531-6-1 -
Intentionen Lernbereich: Umgang mit negativen Zahlen Das Alltagswissen der Schülerinnen und Schüler über negative Zahlen (Temperaturen, Schulden) wird aufgegriffen und vertieft. Hieran anknüpfend werden die Rechenregeln erkundet. Dieses erfolgt anhand realitätsbezogener und überschaubarer Zahlenbeispiele. Da sich bei der Multiplikation negativer mit negativen Zahlen keine realitätsnahe Einführung anbietet, nutzen Schülerinnen und Schüler hier das Permanenzprinzip und erfahren dabei den Nutzen der Mustererkennung. Im Doppelschuljahrgang 9/10 wird die hier noch intuitiv vorgenommene Zahlbereichserweiterung zusammen mit der Erweiterung durch rationale und irrationale Zahlen bewusst gemacht. Lernbereich: Wahrscheinlichkeit Relative Häufigkeiten können durch Wahrscheinlichkeiten modelliert werden. Ausgehend vom Verständnis der relativen Häufigkeiten wird als deren theoretisches Modell der Begriff der Wahrscheinlichkeit entwickelt. Um diese beiden Begriffe gegeneinander abgrenzen zu können, eignet sich die Untersuchung teilsymmetrischer Objekte wie Quader. Bei Objekten wie Reißzwecken, bei denen man nicht von der Form auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung schließen kann, wird die Wahrscheinlichkeit als Prognose relativer Häufigkeiten gedeutet. Bei vollsymmetrischen Objekten wie Laplace-Würfeln lassen sich Wurfwahrscheinlichkeiten ohne reale Daten bestimmen. Simulationen werden mit realen Objekten sowie mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge durchgeführt. Das Erleben der Variabilität fördert ein Verständnis für den Unterschied zwischen Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit sowie ein qualitatives Verständnis für das Gesetz der großen Zahlen. Lernbereich: Proportionale und antiproportionale Zusammenhänge Den Schülerinnen und Schülern sind aus dem Alltag vielfältige Beispiele für Zuordnungen bekannt. Die diesen Beispielen zugrunde liegende Struktur wird altersangemessen präzisiert und erfasst. Insbesondere wird das Denken in Proportionen geschult. Zuordnungen werden tabellarisch und grafisch untersucht, ineinander überführt und klassifiziert. Es werden die tabellarischen und grafischen Eigenschaften proportionaler Zusammenhänge untersucht. Problemstellungen werden anschaulich mit dem Dreisatz gelöst. In gleicher Weise erfolgt die Behandlung antiproportionaler Zusammenhänge. Die Eigenschaften der Produkt- bzw. Quotientengleichheit werden nach Festigung der Zuordnungsvorstellung thematisiert. Durch sinnvolle Beispiele erfahren die Schülerinnen und Schüler die Grenzen der Modellbildung. Die Prozent- und Zinsrechnung wird unter dem Aspekt der Proportionalität behandelt. Problemstellungen werden mit dem Dreisatz bearbeitet. - 2 -
Lernbereich: Längen-, Flächen- und Rauminhalte und deren Terme Bei der Berechnung von Figuren und Körpern spielt die Anwendung wesentlicher heuristischer Strategien wie Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Ergänzen zu Bekanntem und Wechsel der Darstellungsebene eine wesentliche Rolle. So schulen die Schülerinnen und Schüler ihre Fähigkeiten und Fertigkeiten im Problemlösen. Bei der Bestimmung von Längen, Flächen- und Rauminhalten von Figuren wird das Zusammenspiel von Geometrie und Arithmetik deutlich. Die Flächen- und Rauminhalte einfacher Figuren werden durch Terme beschrieben und unter Berücksichtigung passender Einheiten berechnet. Werden dabei jeweils unterschiedliche Terme aufgestellt, wird deren Gleichheit begründet. Zum Ausschärfen einer Größenvorstellung ist das Schätzen notwendig, das immer wieder in passenden Sachzusammenhängen geschult wird. Vergleich und Interpretation sowie der Darstellungswechsel von Schrägbildern und Netzen dienen dazu, dass die Schülerinnen und Schüler Körper erfassen und ihr räumliches Vorstellungsvermögen weiterentwickeln. Lernbereich: Elementare Termumformungen Die Typen der umzuformenden Terme werden aus einem Sachkontext gewonnen oder innermathematisch bereitgestellt. Sofern Einstiegskontexte aus Problemstellungen anderer Lernbereiche gewonnen werden, werden die Ergebnisse im Sachkontext interpretiert. Kontextfreie Terme sollten in ihrer Komplexität nicht zu sehr über die Komplexität kontextgebundener Terme hinausgehen. Der Umgang mit Termen gelingt sicherer, wenn Terme nach ihrer Struktur klassifiziert werden. Die Variablen sind im Sinne von Platzhaltern verankert. Der Variablenbegriff und der Zusammen-hang zwischen Termen und Funktionen sowie der Darstellungswechsel zwischen Term, Graph und Tabelle werden hier vorbereitet und in späteren Lernbereichen ausgeschärft. Beim Umgang mit konkreten Zahlen haben die Schülerinnen und Schüler die Rechengesetze bisher intuitiv verwendet. Die Gesetze werden jetzt geometrisch visualisiert und dann auf negative Zahlen übertragen. Grundsätzliche Strategien beim rechnerfreien Umformen von Termen werden an einfachen Beispielen verdeutlicht, dann verallgemeinert und verankert. Dieser Lernbereich ist sehr eng mit vielen Lernbereichen vernetzt. Die erlernten Strategien werden immer wieder an geeigneter Stelle thematisiert, um präsent zu bleiben. Lernbereich: Entdeckungen an Dreiecken Konstruktionen und sebsonder Linien Bei vertieften Untersuchungen an Dreiecken werden heuristische und argumentative Fähigkeiten gefördert. Dazu gehört auch, Zusammenhänge im Hinblick auf ihre Umkehrbarkeit zu untersuchen. Die Idee der Ortslinie beim Kreis wird erweitert auf Parallelen, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden. Die Ortslinieneigenschaften von Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden werden verwendet, um Schnittpunkteigenschaften begründen zu können und um Konstruktionsprobleme zu lösen. Die Kongruenzsätze werden im Sinne der vier Grundkonstruktionen für Dreiecke verwendet. Maßstabsgetreue Zeichnungen dienen der Größenbestimmung und bereiten weitergehende Berechnungen vor. - 3 -
Lernbereich: Ein- und mehrstufige Zufallsversuche Mithilfe von Wahrscheinlichkeiten lassen sich Häufigkeiten auch in komplexeren Situationen prognostizieren. Man arbeitet möglichst lange mit absoluten Häufigkeiten, da das Denken in natürlichen Zahlen weniger fehlerträchtig ist. Es wird darauf geachtet, dass das Bewusstsein für die Variabilität bei Zufalls-versuchen erhalten bleibt: Die Schülerinnen und Schüler erfahren durch Simulationen, dass die vor-hergesagten Häufigkeiten nicht punktgenau eintreffen. Auch die Pfadregeln sind mit absoluten Häufigkeiten besonders gut einsichtig zu machen. Die Zufallsversuche beschränken sich nicht nur auf Laplace-Versuche. Der Unterschied zwischen Ziehen mit und Ziehen ohne Zurücklegen wird verdeutlicht. Simulationen werden mit realen Objekten sowie mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge durchgeführt. Das Erleben der Variabilität fördert ein Verständnis für den Unterschied zwischen Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit sowie für das Gesetz der großen Zahlen. Lernbereich: Lineare Zusammenhänge Die Vorkenntnisse der Schülerinnen und Schüler über Zuordnungen und Terme und deren verschiedene Darstellungsformen werden aufgegriffen, um den Funktionsbegriff vorzubereiten, der erst in den folgenden Jahren ausgeschärft werden kann. Lineare funktionale Zusammenhänge werden erkundet und lineare Funktionen und Gleichungen als mathematische Modelle für bestimmte Zusammenhänge identifiziert. Dabei erfahren die Schülerinnen und Schüler den Übergang von statischen zu dynamischen Variablen und entwickeln ein grund-legendes Verständnis für das funktionale Denken. Ein vertieftes Verständnis wird durch den Darstellungswechsel Gleichung Graph Tabelle gefördert. Die Schülerinnen und Schüler zeichnen Graphen linearer Funktionen auch hilfsmittelfrei. Die Steigung wird als konstante Änderungsrate identifiziert. Digitale Mathematikwerkzeuge werden angemessen zur Visualisierung, zur numerischen Lösung so-wie zur linearen Regression eingesetzt. Einfache lineare Gleichungen und Gleichungssysteme lösen die Schülerinnen und Schüler auch mit Parametern von Hand, wobei das Einsetzungsverfahren fächerübergreifend als universelle Lösungsstrategie betrachtet wird. - 4 -
Jahrgang 7 Kapitel 1: Zuordnungen (Dauer: ca. 7 Wochen) prozessbezogene Kompetenzen stellen Zuordnungen und funktionale Zusammenhänge durch Tabellen, Graphen oder Terme dar, auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge, interpretieren und nutzen solche Darstellungen (P4) zeichnen Graphen linearer Funktionen in einfachen Fällen hilfsmittelfrei (P4) wählen unterschiedliche Darstellungsformen der Situation angemessen aus und wechseln zwischen ihnen (P4) erfassen und beschreiben Zuordnungen mit Variablen und Termen (P5) nutzen den Dreisatz (P5) nutzen Tabellen, Graphen und Gleichungen zur Bearbeitung von Zuordnungen und linearen Zusammenhängen (P5) nutzen Tabellenkalkulation und CAS zur Darstellung und Erkundung mathematischer Zusammenhänge sowie zur Bestimmung von Ergebnissen (P5) teilen ihre Überlegungen anderen verständlich mit, wobei sie zunehmend die Fachsprache benutzen (P6) lösen Grundaufgaben bei prop. und antiprop. Zusammenhängen mit dem Dreisatz (I1) identifizieren, beschreiben und erläutern prop., antiprop. und lineare Zusammenhänge zwischen Zahlen und zwischen Größen in Tabellen, Graphen, Diagrammen und Sachtexten (I4) nutzen prop. und antiprop. Zuordnungen sowie lineare Funktionen zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge (I4) stellen prop. und antiprop. Zuordnungen sowie lineare Funktionen durch Gleichungen dar und wechseln zwischen den Darstellungen Gleichung, Tabelle und Graph (I4) lösen Probleme und modellieren Sachsituationen mit prop. und antiprop. Zuordnungen bzw. linearen Funktionen (I4) beschreiben und begründen Auswirkungen von Parametervariationen bei linearen Funktionen hilfsmittelfrei und auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge (I4) Lineare Zusammenhänge identifizieren und stellen lineare Zusammenhänge durch hilfsmittelfreies Zeichnen von Geraden oder durch Abgrenzung gegen nicht-lineare Zusammenhänge dar Proportionale und antiproportionale Zusammenhänge erfassen prop. Zusammenhänge (Abgrenzung zu anderen Jemehr-desto-mehr -Zusammenhängen; Quotient als Betrag pro Einheit ; Zuordnungsvorschrift) erfassen antiprop. Zusammenhänge (Abgrenzung zu anderen Jemehr-desto-weniger -Zusammenhängen; Produkt als Gesamtgröße ; Zuordnungsvorschrift) An der Obst- und Gemüsewaage Wenn ein Rechteck die Kurve kratzt Nach Diagrammen laufen (Spiel für 3 bis 4 Personen) 1 Zuordnungen 2 Graphen von Zuordnungen 3 Zuordnungsvorschriften 4 Proportionale Zuordnungen 5 Antiproportionale Zuordnungen 6 Drei Werte sind gegeben - Dreisatz Uhren keine Einsatz zur Darstellung und Berechnung - 5 -
Kapitel 2: Prozente und Zinsen (Dauer: ca. 6 Wochen) prozessbezogene Kompetenzen nutzen unterschiedliche Darstellungsformen für rationale Zahlen (P4) wählen unterschiedliche Darstellungsformen der Situation angemessen aus und wechseln zwischen ihnen (P4) nutzen Tabellenkalkulation und CAS zur Erkundung und Darstellung mathematischer Zusammenhänge sowie zur Bestimmung von Ergebnissen (P5) präsentieren Lösungsansätze und Lösungswege, auch unter Verwendung geeigneter Medien (P6) deuten Prozentangaben als Darstellungsform für Brüche und führen Umwandlungen durch (I1) nutzen den Prozentbegriff in Anwendungssituationen (I1) Proportionale und antiproportionale Zusammenhänge bearbeiten Prozent- und Zinsrechnung mithilfe des Dreisatzes Prozentgummi Schnäppchen gesucht Prozente im Straßenverkehr 1 Prozente - Vergleiche werden einfacher 2 Prozentsatz - Prozentwert - Grundwert 3 Grundaufgaben der Prozentrechnung 4 Problemlösen am Beispiel der Prozentrechnung 5 Prozente im Geldwesen - Zinsrechnung *6 Zinseszinsen Von großen und kleinen Tieren * über KC hinausgehend Zinseszinsen Einsatz zur Darstellung und Berechnung - 6 -
Kapitel 3: Dreiecksgeometrie (Dauer: ca. 8 Wochen) prozessbezogene Kompetenzen präzisieren Vermutungen und machen sie einer mathematischen Überprüfung zugänglich, auch unter Verwendung geeigneter Medien (P1) erläutern mathematisch Sachverhalte, Begriffe, Regeln, Verfahren und Zusammenhänge unter Zuhilfenahme formaler Darstellungen (P1) bauen Argumentationsketten auf und/oder analysieren diese (P1) begründen durch Zurückführen auf Bekanntes, Einführen von Hilfsgrößen oder Hilfslinien (P1) ziehen mehrere Lösungsmöglichkeiten in Betracht und überprüfen sie (P2) wenden geometrische Konstruktionen zur Problemlösung an (P2) stellen geometrische Sachverhalte algebraisch dar und umgekehrt (P4) nutzen DGS und CAS zur Darstellung und Erkundung mathematischer Zusammenhänge sowie zur Bestimmung von Ergebnissen (P4) teilen ihre Überlegungen anderen verständlich mit, wobei sie zunehmend die Fachsprache benutzen (P6) begründen Formeln für den Flächeninhalt von Dreiecken durch zerlegen und Ergänzen (I2) begründen den Satz des Thales (I3) konstruieren mit Zirkel, Geodreieck und dynamischer Geometriesoftware, um ebene geometrische Figuren zu erstellen oder zu reproduzieren (I3) nutzen das ebene kartesische Koordinatensystem zur Darstellung geometrischer Objekte (I3) nutzen den Satz des Thales bei Konstruktionen und Begründungen (I3) identifizieren Höhen, Mittelsenkrechten, Seitenhalbierende und Winkelhalbierende als besondere Linien im Dreieck (I3) begründen, dass sich die drei Mittelsenkrechten und die drei Winkelhalbierenden in je einem Punkt schneiden (I3) Entdeckungen an Dreiecken Konstruktionen und besondere Linien erkunden Transversalen, indem sie Mittelsenkrechten, Winkelhalbierende, Seitenhalbierende, Höhen identifizieren und konstruieren; Parallelen, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierende als Ortslinien identifizieren; ausgewählte komplexere Dreieckskonstruktionen durchführen Ein ganz besonderer Kreis Dreiecke sortieren 1 Geometrische Grundkonstruktionen 2 Mittelsenkrechte, Winkel- und Seitenhalbierende im Dreieck 3 Höhen im Dreieck und Flächeninhalt eines Dreiecks 4 Der Satz des Thales 5 Kongruente Dreiecke 6 Weitere Dreieckskonstruktionen 7 Beweisen Besondere Punkte und Linien mit einer DGS entdecken Umkreis; Inkreis; Begründungen mit Kongruenzsätzen DGS zur Exploration - 7 -
Kapitel 4: Rationale Zahlen (Dauer: ca. 7 Wochen) prozessbezogene Kompetenzen erläutern mathematische Sachverhalte, Begriffe, Regeln, Verfahren und Zusammenhänge unter Zuhilfenahme geeigneter Medien (P1) ziehen mehrere Lösungsmöglichkeiten in Betracht und überprüfen sie (P2) reflektieren und nutzen heuristische Strategien: Spezialisieren und Verallgemeinern, Zerlegen in Teilprobleme, Substituieren, Variieren von Bedingungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, Darstellungswechsel (P2) nutzen unterschiedliche Darstellungsformen für rationale Zahlen (P4) wählen unterschiedliche Darstellungsformen der Situation angemessen aus und wechseln zwischen ihnen (P4) teilen ihre Überlegungen anderen verständlich mit, wobei sie zunehmend die Fachsprache benutzen (P6) untersuchen ganze und rationale Zahlen (I1) stellen rationale Zahlen auf verschiedene Weisen und situationsangemessen dar (I1) ordnen und vergleichen rationale Zahlen (I1) lösen einfache Rechenaufgaben mit rationalen Zahlen im Kopf (I1) Umgang mit negativen Zahlen veranschaulichen positive und negative Zahlen an der Zahlengeraden addieren und subtrahieren positive und negative Zahlen anhand realitätsnaher Einführung, etwa am Temperaturmodell oder sie beschreiben und führen Muster in Rechenreihen fort multiplizieren positive und negative Zahlen und umgekehrt anhand realitätsnaher Einführung, etwa am Schuldenmodell oder sie beschreiben und führen Muster in Rechenreihen fort multiplizieren negative Zahlen mit negativen Zahlen beachten die Vorzeichenregeln bei der Division verwenden die Klammerschreibweise und lernen den Umgang mit Vor- und Rechenzeichen verwenden Rechenregeln zum vorteilhaften Rechnen Spiel: Guthaben und Schulden Spiel: Hin und her 1 Negative Zahlen 2 Anordnung 3 Addieren und Subtrahieren einer positiven Zahl 4 Addieren und Subtrahieren einer negativen Zahl 5 Verbinden von Addition und Subtraktion 6 Multiplizieren von rationalen Zahlen 7 Dividieren von rationalen Zahlen 8 Vorteile beim Rechnen. Rechengesetze Rationale Zahlen im Koordinatensystem keine keine - 8 -
Kapitel 5: Relative Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten (Dauer: ca. 4 Wochen) prozessbezogene Kompetenzen vergleichen und bewerten verschiedene Lösungsansätze und Lösungswege (P1) wenden algebraische, numerische und grafische Verfahren zur Problemlösung an (P2) beurteilen ihre Ergebnisse, vergleichen und bewerten Lösungswege und Problemlösestrategien (P2) bewerten mögliche Einflussfaktoren in Realsituationen (P3) verwenden Wahrscheinlichkeiten zur Ermittlung von Lösungen im mathematischen Modell (P3) interpretieren die im Modell gewonnenen Ergebnisse im Hinblick auf die Realsituation, reflektieren die Annahmen und variieren diese gegebenenfalls (P3) stellen Zufallsversuche durch Baumdiagramme dar und interpretieren diese (P4) nutzen Tabellenkalkulation und CAS zur Darstellung und Erkundung mathematischer Zusammenhänge sowie zur Bestimmung von Ergebnissen (P5) verstehen Überlegungen von anderen zu mathematischen Inhalten, überprüfen diese auf Schlüssigkeit und gehen darauf ein (P6) führen Zufallsexperimente sowie Simulationen durch und verbinden deren Ergebnisse mit Wahrscheinlichkeiten (I5) beschreiben Zufallsexperimente mithilfe von Wahrscheinlichkeiten und interpretieren Wahrscheinlichkeiten als Modell bzw. als Prognose relativer Häufigkeiten (I5) Wahrscheinlichkeit führen Versuchsreihen mit teilsymmetrischen Objekten durch (Vermutungen über Häufigkeiten aufstellen; Wahrscheinlichkeit gegen relative Häufigkeit abgrenzen; Gesetz der großen Zahlen qualitativ erfahren; Wahrscheinlichkeit als Prognose) führen eine Versuchsreihe mit unsymmetrischen Objekten durch (Gesetz der großen Zahlen qualitativ erfahren; Wahrscheinlichkeiten als Prognose) führen eine Versuchsreihe mit vollsymmetrischen Objekten durch (Laplace-Wahrscheinlichkeit; Wahrscheinlichkeit gegen relative Häufigkeit abgrenzen; Gesetz der großen Zahlen qualitativ erfahren) begründen Additions- und Komplementärregel und wenden sie an Euro im Gitternetz Würfelentscheidungen Gummibärchen Sind Münzen vergesslich? 1 Zufallsexperimente und ihre Auswertung 2 Wahrscheinlichkeiten 3 Zusammenfassen von Ergebnissen - Summenregel Schokoladentest keine Einsatz zur Simulation - 9 -
Jahrgang 8 Kapitel 1: Terme und Gleichungen (Dauer: ca. 8 Wochen) prozessbezogene Kompetenzen ziehen mehrere Lösungsmöglichkeiten in Betracht und überprüfen sie (P2) nutzen Darstellungsformen wie Terme und Gleichungen zur Problemlösung (P2) formen überschaubare Terme mit Variablen hilfsmittelfrei um (P5) formen Terme mit CAS um (P5) nutzen systematisches Probieren zum Lösen von Gleichungen (P5) nutzen CAS zur Darstellung und Erkundung mathematischer Zusammenhänge sowie zur Bestimmung von Ergebnissen (P5) teilen ihre Überlegungen anderen verständlich mit, wobei sie zunehmend die Fachsprache benutzen (P6) beschreiben Sachverhalte durch Terme und Gleichungen (I1) veranschaulichen und interpretieren Terme (I1) vergleichen die Struktur von Termen (I1) verwenden Variablen zum Aufschreiben von Formeln und Rechengesetze (I1) formen Terme mithilfe des Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetzes um und nutzen binomische Formeln zur Vereinfachung von Termen (I1) lösen lineare Gleichungen in einfachen Fällen hilfsmittelfrei und mit digitalen Mathematikwerkzeugen (I1) nutzen beim Gleichungslösen die Probe zur Kontrolle und beurteilen die Ergebnisse (I1) Elementare Termumformungen führen einfache Termumformungen durch (gleichartige Terme zusammenfassen; ausmultiplizieren; ausklammern) multiplizieren Summen (unterschiedliche Summen ausmultiplizieren; Binomische Formeln als Spezialfall anwenden) lösen einfache Verhältnisgleichungen Rechenregeln erkunden und anwenden Knackt die Box 1 Terme 2 Wertgleiche Terme - Termumformungen 3 Multiplizieren von Summen mit Summen - Binomische Formeln 4 Gleichungen 5 Lösen von Gleichungen durch Äquivalenzumformungen *6 Ungleichungen und Lösen von Ungleichungen Statistik mit dem Computer * über KC hinausgehend keine CAS zur Kontrolle, zur Exploration oder als Tutor - 10 -
prozessbezogene Kompetenzen laut Kerncurriculum wählen Modelle zur Beschreibung überschaubarer Realsituationen und begründen ihre Wahl (P3) bewerten mögliche Einflussfaktoren in Realsituationen (P3) interpretieren die im Modell gewonnenen Ergebnisse im Hinblick auf die Realsituation, reflektieren die Annahmen und variieren diese gegebenenfalls (P3) stellen Zufallsversuche durch Baumdiagramme dar und interpretieren diese (P4) präsentieren Lösungsansätze und Lösungswege, auch unter Verwendung geeigneter Medien (P6) Kapitel 2: Mehrstufige Zufallsexperimente (Dauer: ca. 4 Wochen) führen Zufallsexperimente mit teilsymmetrischen, unsymmetrischen und vollsymmetrischen Objekten sowie Simulationen durch und verbinden deren Ergebnisse mit Wahrscheinlichkeiten (I5) beschreiben Zufallsexperimente mithilfe von Wahrscheinlichkeiten und interpretieren Wahrscheinlichkeiten als Modell bzw. als Prognose relativer Häufigkeiten (I5) leiten aus der Symmetrie von Laplace-Objekten Wahrscheinlichkeitsaussagen ab (I5) identifizieren ein- und mehrstufige Zufallsexperimente, führen eigene durch und stellen sie im Baumdiagramm dar (I5) begründen die Pfadregeln zur Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten und wenden sie an (I5) simulieren Zufallsexperimente, auch mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge (I5) Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente prognostizieren, führen durch und simulieren einstufige Zufallsexperimente mit bekannten Pfad-Wahrscheinlichkeiten (Prognose absoluter Häufigkeiten; die Prognose mit dem Ausgang eines mehrfach durchgeführten Zufallsexperiments vergleichen; qualitative Beurteilung der Prognose in Abhängigkeit von der Anzahl der Versuchsdurchführungen; Zusammenhang zum Gesetz der großen Zahlen) prognostizieren, führen durch und simulieren zwei- und mehrstufige Zufallsexperimente mit bekannten Pfad-Wahrscheinlichkeiten (Darstellung im Baumdiagramm; Prognose absoluter Häufigkeiten; die Prognose mit dem Ausgang eines mehrfach durchgeführten Zufallsexperiments vergleichen; Variabilität der erzielten absoluten Häufigkeiten; die Pfadregeln mithilfe von absoluten Häufigkeiten begründen; die Pfadregeln anwenden) Würfelentscheidungen Hol OTTO aus dem Beutel Schlechte Noten 1 Mehrstufige Zufallsexperimente - Pfadregel 2 Der richtige Blick aufs Baumdiagramm 3 Zufallsexperimente simulieren Das Ziegenproblem Summenverteilung beim zweimaligen Würfeln; Erwartungswerte Einsatz zur Simulation - 11 -
prozessbezogene Kompetenzen laut Kerncurriculum modellieren Punktwolken auch mithilfe des Regressionsmoduls (P3) stellen Zuordnungen und funktionale Zusammenhänge durch Tabellen, Graphen oder Terme dar, auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge, interpretieren und nutzen solche Darstellungen (P4) zeichnen Graphen linearer Funktionen in einfachen Fällen hilfsmittelfrei (P4) stellen geometrische Sachverhalte algebraisch dar und umgekehrt (P4) nutzen Tabellen, Graphen und Gleichungen zur Bearbeitung von Zuordnungen und linearen Zusammenhängen (P5) nutzen DGS und CAS zur Darstellung und Erkundung mathematischer Zusammenhänge sowie zur Bestimmung von Ergebnissen (P5) strukturieren, interpretieren, analysieren und bewerten Daten und Informationen aus Texten und mathematikhaltigen Darstellungen (P6) Kapitel 3: Lineare Funktionen (Dauer: ca. 7 Wochen) identifizieren, beschreiben und erläutern lineare Zusammenhänge zwischen Zahlen und zwischen Größen in Tabellen, Graphen, Diagrammen und Sachtexten (I4) stellen lineare Funktionen durch Gleichungen dar und wechseln zwischen den Darstellungen Gleichung, Tabelle und Graph (I4) lösen Probleme und modellieren Sachsituationen mit linearen Funktionen auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge (I4) nutzen die Quotienten- und Produktgleichheit und interpretieren die Quotienten bzw. Produkte im Sachzusammenhang (I4) interpretieren die Steigung linearer Funktionen im Sachzusammenhang als konstante Änderungsräte (I4) beschreiben und begründen Auswirkungen von Parametervariationen bei linearen Funktionen hilfsmittelfrei und auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge (I4) Lineare Zusammenhänge analysieren und vergleichen lineare Funktionen und lineare Gleichungen (Bezug Funktionsterm, Funktionsgleichung und Funktionsgraph; Steigungsdreieck, y-achsenabschnitt und Nullstelle; Steigung als konstante Änderungsrate; Parametervariationen in Funktionsgleichung und Funktionsgraph; Modellierung von Sachproblemen; Geradengleichungen aus zwei Punkten bestimmen, in einfachen Fällen hilfsmittelfrei; Ausgleichgeraden zeichnerisch finden; Ausgleichsgeraden mithilfe des Regressionsmoduls oder Parametervariation bestimmen) Lagen von Geraden Steigungen überall 1 Eindeutige Zuordnungen - Funktionen 2 Darstellungsformen von Funktionen 3 Lineare Funktionen 4 Bestimmen von Funktionstermen 5 Nullstellen und Schnittpunkte 6 Lineare Regression Von der Messreihe zur Funktion keine Regressionsmodul - 12 -
Kapitel 4: Flächeninhalte und Volumina (Dauer: ca. 7 Wochen) prozessbezogene Kompetenzen laut Kerncurriculum stellen geometrische Sachverhalte algebraisch dar und umgekehrt (P4) zeichnen Schrägbilder von Prismen und entwerfen Netze (P4) teilen ihre Überlegungen anderen verständlich mit, wobei sie zunehmend die Fachsprache benutzen (P6) präsentieren Lösungsansätze und Lösungswege, auch unter Verwendung geeigneter Medien (P6) begründen Formeln für den Flächeninhalt von Parallelogramm und Trapez durch Zerlegen und Ergänzen (I2) begründen die Formeln für den Oberflächeninhalt und das Volumen von Prismen (I2) schätzen und berechnen Oberflächeninhalt und Volumen von Prismen (I2) nutzen das ebene kartesische Koordinatensystem zur Darstellung geometrischer Objekte (I3) zeichnen, vergleichen und interpretieren Schrägbilder und Körpernetze von Prismen (I3) Längen-, Flächen- und Rauminhalte und deren Terme Umfang und Flächeninhalt von Dreieck, Parallelogramm, Trapez (vergleichen, schätzen, berechnen; Formeln begründen, anwenden und interpretieren) Oberflächen- und Rauminhalt des Prismas (vergleichen, schätzen, berechnen; Formeln begründen, anwenden und interpretieren) gehen mit Schrägbildern und Netzen um (vergleichen und interpretieren; zwischen verschiedenen Darstellungen wechseln) Flächeninhalte von Vierecken Bewohnbare Prismen (Projekt) 1 Flächeninhalt eines Parallelogramms 2 Flächeninhalt eines Trapezes *3 Flächeninhalt eines symmetrischen Drachens und einer Raute 4 Flächeninhalt geradlinig begrenzter Figuren 5 Prismen und ihre Eigenschaften 6 Volumen und Oberflächeninhalt von Prismen 7 Aus Prismen zusammengesetzte Körper Flächeninhalt von Gittervierecken durch Abzählen * über KC hinausgehend Raute; Drachenviereck DGS zur Exploration und zur Bestätigung; CAS als Tutor - 13 -
Kapitel 5: Systeme linearer Gleichungen (Dauer: ca. 6 Wochen) prozessbezogene Kompetenzen vergleichen und bewerten verschiedene Lösungsansätze und Lösungswege (P1) ziehen mehrere Lösungsmöglichkeiten in Betracht und überprüfen diese (P2) wenden algebraische, numerische und grafische Verfahren zur Problemlösung an (P2) beurteilen ihre Ergebnisse, vergleichen und bewerten Lösungswege und Problemlösestrategien (P2) erklären Ursachen von Fehlern (P2) wählen Modelle zur Beschreibung überschaubarer Realsituationen und begründen ihre Wahl (P3) verwenden Gleichungen zur Ermittlung von Lösungen im mathematischen Modell (P3) nutzen systematisches Probieren zum Lösen von Gleichungen (P5) nutzen tabellarische, grafische und algebraische Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen sowie linearer Gleichungssysteme (P5) nutzen DGS und CAS zur Darstellung und Erkundung mathematischer Zusammenhänge sowie zur Bestimmung von Ergebnissen (P5) präsentieren Lösungsansätze und Lösungswege, auch unter Verwendung geeigneter Medien (P6) lösen lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen in einfachen Fällen hilfsmittelfrei unter Verwendung des Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahrens (I1) modellieren inner- und außermathematische Problemsituationen mithilfe von Gleichungen (I1) lösen lineare Gleichungssysteme unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge (I1) nutzen beim Gleichungslösen die Probe zur Kontrolle und beurteilen die Ergebnisse (I1) beschreiben den Zusammenhang zwischen der Lage von Graphen und der Lösbarkeit der zugehörigen Gleichungen und Gleichungssysteme (I4) Lineare Zusammenhänge stellen lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen auf und lösen diese ( Sachprobleme modellieren; Bezug LGS und Graph, auch im Hinblick auf die Lösbarkeit; Lösen einfache LGS grafisch und mit Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren; Lösen komplexer LGS mit digitalen Mathematikwerkzeugen) Was gehört zusammen? Knackt die Box 1 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 2 Lineare Gleichungssysteme - grafisches Lösen 3 Gleichsetzungsverfahren und Einsetzungsverfahren 4 Additionsverfahren 5 Eine Lösung, keine Lösung, mehr als eine Lösung Drei Gleichungen, drei Variablen - das geht auch keine CAS zum Lösen von LGS - 14 -