Fortgeschrittenen - Praktikum. Hall - Eekt

Fortgeschrittenen - Praktikum Hall - Eekt Versuchsleiter: Herr Weisemöller Autor: Daniel Bruns Gruppe: 10, Dienstag Daniel Bruns, Simon Berning Versuchsdatum: 14.11.2006

Hall - Eekt; Gruppe 10 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Theorie 2 2.1 Bändermodell............................. 2 2.1.1 Bändermodell eines Leiters................. 2 2.1.2 Bändermodell eines Isolators................ 2 2.1.3 Bändermodell eines undotierten Halbleiters........ 2 2.1.4 Bändermodell eines dotierten Halbleiters.......... 3 2.2 Der Hall Eekt............................ 3 2.2.1 Herleitung der Hall-Spannung................ 4 3 Auswertung 5 3.1 Versuchsaufbau............................ 5 3.2 Vorversuche.............................. 6 3.2.1 Ausgeschaltetes Magnetfeld................. 6 3.2.2 Eingeschaltetes Magnetfeld................. 7 3.3 Temperaturabhängige Untersuchungen an den Ge Proben.... 10 3.4 Hallwiderstand und Donatoren- bzw. Akzeptorendichte...... 13 3.4.1 Eektive Bandlücke..................... 14 3.5 Hallbeweglichkeit........................... 17 3.6 Zusatzaufgaben............................ 18 3.6.1 Vergleich der Bandlücken.................. 18 3.6.2 Intrinsisches Verhalten.................... 18 3.6.3 Vergleich des spezischen Widerstands........... 18 3.6.4 Vergleich der Hallbeweglichkeiten.............. 18 3.6.5 Strom in Kupferprobe.................... 19 3.6.6 Dicke einer Kupferprobe................... 19

Hall - Eekt; Gruppe 10 2 1 Einleitung Im folgenden Versuch werden zwei Ge-Proben mit Hilfe des Hall Eekts untersucht, um auf temperaturabhängigkeiten des Halbleiters Germanium zu schlieÿen. Dafür werden unter anderem die Hallspannung und die Leitfähigkeit (bzw. der Widerstand) gemessen. Daraus lässt sich die Beweglichkeit und Dichte der Ladungsträger bestimmen. 2 Theorie 2.1 Bändermodell Besonders Festkörper lassen sich gut mit dem Bändermodell beschreiben. Hierbei sind allerdings besonders solche Festkörper gemeint, deren Atome bzw. Moleküle eine dreidimensionale Gitterstruktur besitzen. Die Atome liegen sehr dicht beieinander. Daraus resultiert, dass die äuÿeren Elektronen nicht mehr diskrete Werte, sondern gewisse Energiebereiche annehmen. Wichtig bei dem Bändermodell ist zum einen das Valenzband, in dem sich die Auÿenelektronen benden und zum anderen das Leitungsband, in dem sich unbesetzte Zustände benden. Die Elektronen höherer Valenzbänder und im Leitungsband werden Kristallelektronen genannt, da diese nicht mehr einzelnen Atomen bzw. Molekülen zugeordnet werden können, sondern sich wie freie Elektronen verhalten. 2.1.1 Bändermodell eines Leiters Bei Leitern überschneiden sich entweder das Leitungs- und Valenzband, oder es benden sich im Valenzband noch unbesetzte Zustände, die leicht durch geringe Energiezufuhr erreicht werden können. Die Ladungsträgerdichte ist nahezu unabhängig von der Temperatur und daher meisten zu vernachlässigen. 2.1.2 Bändermodell eines Isolators Beim Isolator ist der Energieunterschied zwischen dem Valenz- und Leitungsband sehr groÿ. Es gibt kaum Kristallelektronen, wobei das Leitungsband sowieso nur bei sehr tiefen Temperaturen minimal besetzt ist. 2.1.3 Bändermodell eines undotierten Halbleiters Undotierte Halbleiter sind zwar schlechte Leiter, ihre Bandlücke zwischen Valenzund Leitungsband ist klein, jedoch entsteht durch Anregung vom Valenzband ins Leitungsband ein so genanntes Loch im Valenzband, welches die Leitfähigkeit weiter verbessert. Die Beweglichkeit der Elektronen im Leitungsband ist im allgemeinen höher als die der Löcher. Die temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit wird sowohl über die Beweglichkeiten, als auch über die Dichte der Löcher und Elektronen bestimmt.

Hall - Eekt; Gruppe 10 3 2.1.4 Bändermodell eines dotierten Halbleiters Abbildung 1: Bändermodell von Leitern, Halbleitern und Nichtleitern Halbleiter können gezielt dotiert werden, indem Stoe aus benachbarten Gruppen des Periodensystems hinzugefügt werden. Dadurch ändert sich die Bandstruktur des Halbleiters. Entsteht unterhalb des Leitungsbands ein weiteres Niveau, das so genannte Dotierniveau, so kann dieses weitere Elektronen an das Leitungsband abgeben ohne das weitere Löcher im Valenzband entstehen. Solche Halbleiter werden n(egativ)-dotierte Halbleiter genannt. Entsteht stattdessen ein nicht besetztes Band nahe des Valenzbandes, das so genannte Akzeptorniveau, so können Elektronen aus dem Valenzband leicht in dieses übergehen. Solche Halbleiter werden p(ositiv)-dotierte Halbleiter genannt. Gehen wir noch kurz aud die verschiedenen Temperaturbereiche ein, in denen sich die Ladungsträgerdichte ändert. Im Bereich der Reserve werden Elektronen bzw. Löcher aus den Dotierniveaus angeregt. Im Bereich der Erschöpfung sind alle Dotieratome ionisiert, sodass die Dichte der Elektronen und Löcher gleich ist mit der Donator- und Akzeptordichte. Im intrinsichen Bereich werden Elektronen durch thermische Anregung vom Valenz- ins Leitungsband angehoben. 2.2 Der Hall Eekt Auf die Elektronen in einem stromdurchossenen Leiter, der sich in einem äuÿeren Magnetfeld bendet, wirkt die Lorenzkraft. Es spielt hierbei lediglich die Magnetfeldkomponente senkrecht zum Leiter eine Rolle. Man kann bei den weiteren Auswertungen also davon Ausgehen, dass unser Leiter stets senkrecht zum Magnetfeld ausgerichtet ist. Der Hall-Eekt bezeichnet dann das Auftreten einer Spannung, die durch die abgelenkten Ladungsträger zwischen den Punkten A und B der, in Abbildung 2 dargestellten Hall-Sonde, entsteht. Diese Spannung wird Hall-Spannung genannt.

Hall - Eekt; Gruppe 10 4 Abbildung 2: Aufbau einer Hall-Sonde 2.2.1 Herleitung der Hall-Spannung Die durch die Lorenz-Kraft erzeugte Ladungsverteilung erzeugt ein elektrisches Feld, welches der Ladungsträgerverschiebung entgegenwirkt. Im Gleichgewicht gilt also: Die Feldstärke E entlang der Breite der Sonde ist: F L = F E ee = evb (1) Durch Einsetzen von (2) in (1) folgt: E = U H b (2) eu H = ebvb (3) Nun führt man die Ladungsträgerdichte n als Quotient aus Teilchenzahl und Volumen ein n = N V = N lbd Wir benötigen weiter die Geschwindigkeit der Ladungsträger (4) v = l t (5) Wenn man aus (4) und (5) nun l eliminiert, folgt: v = N tnbd (6)

Hall - Eekt; Gruppe 10 5 Daraus folgt für die Hallspannung: U H = NeB tend (7) Da nun aber Ne t = I ist, folgt zu guter Letzt: U H = IB end (8) 3 Auswertung 3.1 Versuchsaufbau Die verschiedenen Ge-Proben werden zunächst in den Probenhalter eingebaut. Dieser enthält mehrere elektrische Kontakte. Mit Hilfe eines Konstantstromgerätes wird ein, wie sollte es auch anders sein, konstanter Strom eingestellt, die Spannung wird bei Bedarf nachgeregelt. Die Hallspannung wird über die Kontakte U H,+ und U H, gemessen, die Längsspannung über die Kontakte U R,+ und U R,. Der Probenhalter kann in den Probenstab eingelassen werden. Dieser wird wiederum in den Kryostaten abgesenkt. Somit wird die Probe indirekt durch üssigen Sticksto abgekühlt. Das innere des Probenstabes und die Isolierhülle des Kryostaten können mit Hilfe einer Drehschieberpumpe abgepumpt werden. Die Temperatur der Probe lässt sich mit einem Thermoelememt bestimmen, wobei sich die verminderte Temperatur mit einem Heizelement wieder erhöhen

Hall - Eekt; Gruppe 10 6 lässt. Das benötigte Magnetfeld wird mit einem Elektromagneten erzeugt. 3.2 Vorversuche 3.2.1 Ausgeschaltetes Magnetfeld Um einen Eindruck vom Verhalten der Hall- bzw. Längsspannung zu bekommen, haben wir zunächst die Änderung dieser Spannungen beobachtet, wenn man den Probenstrom langsam erhöht und dabei das Magnetfeld zunächst noch ausgeschaltet lässt. Dieser Vorversuch wurde für beide Proben durchgeführt. Die Messergebnisse sind in den Abbildungen 3 und 4 dargestellt: Abbildung 3: Hallspannung / Längsspannung (Probe 3) über Probenstrom bei ausgeschaltetem Magnetfeld Wie man in den beiden Abbildungen gut erkennen kann gibt es trotz abge-

Hall - Eekt; Gruppe 10 7 Abbildung 4: Hallspannung / Längsspannung (Probe 5) über Probenstrom bei ausgeschaltetem Magnetfeld schaltetem Magnetfeld eine Hallspannung U H. Dies ist unter anderem darauf zurückzuführen, dass Teile des Versuchsaufbaus bereits permanent magnetisiert sind und das es zu Querströmen in der Probe kommen kann, die aus der suboptimalen Probengeometrie (Druckstellen und Abschürfungen) herrühren. Um weitere Messfehler in Grenzen zu halten werden daher für die Messungen mit eingeschaltetem Magnetfeld lediglich Spannungsdierenzen für die Hallspannung gemessen, worauf wir aber im entsprechenden Teilversuch nochmal zurückkommen werden. Zu erkennen ist aber auch, dass sich die Längsspannung U R für beide Proben, wie erwartet, proportional zum Probenstrom verhält. 3.2.2 Eingeschaltetes Magnetfeld Im nächsten Vorversuch sollten für beide Proben die Hall- und Längsspannung bei veränderlichem Magnetfeld für drei verschiedene Probenströme gemessen werden. Die Ergebnisse sind in den Abbildungen 5 und 6 grasch aufgetragen.

Hall - Eekt; Gruppe 10 8 Abbildung 5: Hallspannung / Längsspannung (Probe 3) über Magnetfeld für drei Probenströme Als wenn man es vorrausgesehen hätte, bleibt die Längsspannung U R in beiden Proben für einen festen Probenstrom konstant und ist unabhängig vom Magnetfeld. Interessanter ist eher die Frage: Was kann man aus dem Verlauf der Hallspannung U H lernen? Da die Hallspannung bei Probe 3 stets negativ ist, muss Probe 3, ausgehend vom Versuchsaufabu, n-dotiert sein. Man kann dies schön nachvollziehen, wenn man sich Abb.7 ansieht und nach der 'Drei-Finger-Regel' vorgeht. Das Magnetfeld steht senkrecht zur Elektronenussrichtung und der U H+ Kontakt ist auf der rechten Seite.

Hall - Eekt; Gruppe 10 9 Abbildung 6: Hallspannung / Längsspannung (Probe 5) über Magnetfeld für drei Probenströme Aus dem Verlauf und dem positiven Vorzeichen der Hallspannung von Probe 5 geht damit sofort hervor, dass diese Probe p-dotiert ist.

Hall - Eekt; Gruppe 10 10 Abbildung 7: Aufbau mit Bewegungsrichtung der Elektronen 3.3 Temperaturabhängige Untersuchungen an den Ge Proben Der Hauptteil des Versuches bestand darin die beiden Proben mit üssigem Sticksto auf eine möglichst niedrige Temperatur zu bringen und dann die beiden Spannugnen U R und U H in Abhängigkeit von der Temperatur bei konstantem Magnetfeld und konstantem Strom zu messen. Dabei bewegte sich in unserem Fall die Temperatur in einem Intervall von etwa 150 K bis 320 K. An dieser Stelle kommt die erwähnte Dienrenz-Messung aus dem vorherigen Abschnitt in Spiel. Um möglichst gute Messdaten zu erhalten werden die Spannungen jeweils bei ein- und ausgeschaltetem Magnetfeld gemessen und dann für die Hallspannung die Dierenz ermittelt. Für die Längsspannung reicht es den Mittelwert beider Messungen anzunehmen. Die angepassten Messwerte sind in den Abbildungen 8 und 9 zu sehen. Mit Blick auf die beiden Graphen für die Längsspannung U R kann man folgendes sagen: Zunächst steigt die Spannung recht linear mit der Temperatur an, was zu erwarten war und einfach an der besseren Beweglichkeit der Elektronen bei höheren Temperaturen liegt. Bei noch höheren Temperaturen sinkt dann die Spannung wieder ab, was zumindest bei Probe 3 deutlich zu sehen ist. Das liegt hauptsächlich daran, dass auch die übrigen Atome stärker schwingen und öfter mit den Elektronen stoÿen. Auch in diesem Versuchsteil lohnt sich eine kurze Auseinandersetzung mit dem Graphen der Hallspannung. Zwar ist das Vorzeichen der beiden Graphen für die beiden Proben unterschiedlich, was an der zuvor erwähnten Dotierung liegt, aber zudem kann man in beiden Graken erkennen, wie der Betrag der Hallspannung zunächst ansteigt und dann ein Maximum erreicht und danach wieder fällt. Der Anstieg des Betrages ist wieder damit zu erklären, dass die Elektronen

Hall - Eekt; Gruppe 10 11 Abbildung 8: Temperaturverhalten der Hall- bzw. Längsspannung bei(probe 3)

Hall - Eekt; Gruppe 10 12 Abbildung 9: Temperaturverhalten der Hall- bzw. Längsspannung bei(probe 5)

Hall - Eekt; Gruppe 10 13 mit steigender Temperatur eine bessere Beweglichkeit erlangen und ausserdem, weil zu Anfang die Dotieratome bei steigender Temperatur mehr und mehr ionisieren. Das Maximum ist dann erreicht, wenn alle Dotieratome ionisiert sind. Aber warum fällt die Hallspannung bei hohen Temperaturen wieder ab? Dies lässt sich gut an folgender Gleichung nachvollziehen: I = n A v (9) mit: I: Stromstärke, n:anzahl der Ladungsträger, A: Fläche des Leiters, v: Driftgeschwindigkeit Da man die Stromstärke konstant hält und die Zahl der Ladungsträger bei hohen Temperaturen mit der Temperatur steigt, muss die Driftgeschwindigkeit abnehmen. Weil aber wiederrum gilt: F L v sinkt auch die Lorenzkraft, die auf die Ladungsträger wirkt. Damit nimmt natürlich die Hallspannung ab. 3.4 Hallwiderstand und Donatoren- bzw. Akzeptorendichte Nachdem wir nun alle Messergebnisse dargestellt haben, wollen wir mit der Auswertung beginnen. In dieser sollen einige der Hallkonstanten bestimmt werden, die die Ge-Probe näher charakterisieren. Als erstes kann aus den gemessenen Gröÿen der Hallwiderstand R H berechnet werden. Dieser setzt sich wie folgt zusammen: R H = A U H b B I x (10) mit A: Fläche der Probe, b: Breite der Probe, B: Magnetfeld und I x : Längsstrom An dieser Stelle wird es nötig einen Gröÿtfehler einzubeziehen, der sich aus den Genauigkeiten der Messapparaturen ergibt: R H = A U H b 2 B I x b + A U H b B 2 I x B + A U H b B Ix 2 I x + l U H b B I x d + d U H b B I x l + A b B I x U H Die relativen Fehler sind dabei: b = l = d = 1mm, U H = 0.1mV, I x = 0.1mA, B = 0.1mT Die Fehler für die Abmessungen der Probe ergeben sich aus der Qualität der Schieblehre (Geodreieck) und die übrigen Fehler gehen aus der maximalen Genauigkeit des Matlab-Programmes hervor an dem man die Werte abgelesen hat.

Hall - Eekt; Gruppe 10 14 Abbildung 10: Gröÿtfehler des Hallwiderstands (links: Probe 3, rechts: Probe 5) Die Betrag des daraus resultierenden Gröÿtfehlers für beide Proben ist in der Tabelle in Abbildung 10 zu sehen. Als nächstes sollte der Hallwiderstand logarithmisch über der reziproken Temperatur aufgetragen werden. Die Arrheniusplots sind in Abbildung 11 dargestellt. Im Graphen zu Probe 5 lässt sich ein linearer Zusammenhang vermuten. Diese Vermutung wird aber durch den Graphen zu Probe 3 in Frage gestellt. 3.4.1 Eektive Bandlücke Um die Beziehung zwischen Hallwiderstand und Temperatur genauer zu erkennen, haben wir diesen nochmals normal über der reziproken Temperatur aufgetragen (Abbildung 12). Man kann in beiden Graken leicht ersehen, dass der Hallwiderstand bei steigender Temperatur ebenfalls steigt. Im intrinsichen Bereich muss der Hallwiderstand stark abfallen, weil sich jeder Halbleiter dort wie ein Leiter verhält. Für Probe 3 ist dieser Bereich noch gut zu erkennen. Daher werden wir im Folgenden versuchen die eektive Bandlücke für Probe 3 zu bestimmen. Dazu errechnen wir zunächst die Ladungsträgerdichte nach folgender Gleichung:

Hall - Eekt; Gruppe 10 15 Abbildung 11: Arrheniusplots der Hallspannung über die Temperatur (links: Probe 3, rechts: Probe 5 ) Abbildung 12: Hallwiderstand über Temperatur (links: Probe 3, rechts: Probe 5) R H = 1 e n 1 n = e R H (11) Die Ergebnisse sind in Abbildung 13 dargestellt. Um die eektive Bandlücke von Probe 3 zu bestimmen ist lediglich die soeben bestimmte Abhängigkeit des Ladungsträgerdichte von der Temperatur nötig. Die dazu verwendete Formel lautet: n(t ) = T 3 2 e E 2k B T (12)

Hall - Eekt; Gruppe 10 16 Abbildung 13: Ladungsträgerdichte n über Temperatur für Probe 3 Abbildung 14: Eektive Bandlücke der Probe 3 E = 2k BT ln(n(t )) ln(t 3 2 ) Für die Auswertung wurden nur Werte im Temperaturbereich T>300K angenommen, da ungefähr hier der intrinsiche Bereich beginnt (siehe Abb. 13).Um einen möglichst genauen Wert für die eektive Bandlücke zu erhalten, werten wir die Formel für alle intrinischen n(t) aus und mitteln den Wert dann. Die Einzelergebnisse sind in Abbildung 14 zu nden. Es ergibt sich ein Mittelwert von: E = 0.311eV Dieser Wert liegt deutlich unter dem normalen Wert für die Bandlücke in Germanium, der bei 0.64 ev liegt. Das resultiert aus der Dotierung der Probe. Durch diese wird die Bandlücke eektiv kleiner und die Elektronen benötigen nur eine kleinere Energie ( E) um ins Leitungsband zu gelangen.

Hall - Eekt; Gruppe 10 17 3.5 Hallbeweglichkeit Die Hallbeweglchkeit berechnet sich mit der Formel µ H = H Hl (13) U x Bb Durch die Hallbeweglichkeit lässt sich das Verhältnis der Beweglichkeit der Elektronen und Löcher erkennen. Durch ein doppellogarithmisches Auftragen der Hallbeweglichkeit zur Temperatur kann man somit erkennen, mit welchen Faktor α die Beweglichkeit proportional zur Temperatur ist. Abbildung 15: doppellogarithmische Darstellung der Hallbeweglickiet zur Temperatur (Probe 3 links und Probe 5 rechts) Mit einem linearen Fit ergibt sich somit für Probe 3 ein Wert von α = 1, 68 und für Probe5 α = 1, 62. Somit ist also bei unseren Proben die Beweglichkeit stärker von den Kristallschwingungen betroen. Dies war auch theoretisch zu Erwarten. Zudem sind die Werte der Hallbeweglichkeit noch mit einem gewissen Fehler behaftet. Entsprechend folgender Fehlerrechnung ergibt sich dieser. µ H = l U x Bb U H + U H U x Bb l + U H l UxBb 2 U x + l U x B 2 b B + l U x Bb 2 b Hierbei nehmen wir entsprechend der Schwankungen beim Ablesen oder der Genauigkeit der Messgeräte folgende Fehler an: U H = 0, 1mV, l = 0, 1mm, U x = 0, 1mV, B = 0, 1mT, b = 0, 1mm Somit ergibt sich ein Gröÿtfehler von µ P robe3 = ±6, 23T 1 und µ P robe5 = ±5, 03T 1. Dieser doch sehr groÿe Fehler hat einen sehr einfach zu erklärenden Ursprung. Dadurch, dass die Breite der Probe nur 3mm beträgt, der Fehler dieser Messung aber einem Millimeter entspricht, da die Schieblehre leider nur ein Geodreieck ist, kommt alleine durch diesen Fehlerterm der groÿe Wert zustande. Die Überprüfung der Einzelterme bestätigt dieses Ergebnis.

Hall - Eekt; Gruppe 10 18 3.6 Zusatzaufgaben 3.6.1 Vergleich der Bandlücken Die Aufgabe 7.1 wurde bereits im Abschnitt 3.4 des Protokolls behandelt. 3.6.2 Intrinsisches Verhalten Als nächstes sollte die intrinsische Temperatur für die Probe bestimmt werden, bei der wir kein intrinsisches Verhalten feststellen konnten. Dazu haben wir den Mittwelwert der Dotierkonzentration von Probe 5 nach folgender Formel berechnet: R H = 1 e p (14) Der Wert beträgt n(t ) = 1.78 10 17 1 1 = 1.78 1014 m3 cm 3 An der Grak aus der Versuchsbeschreibung lässt sich damit ein Wert von etwa 50 C ablesen. Da aber unsere letzten Messungen bei etwa 60 C stattfanden, haben wir den intrisischen Bereich dieser Probe leider nicht ausreichend beobeachten können. 3.6.3 Vergleich des spezischen Widerstands Mit der im vorigen Aufgabenteil errechneten Dotierkonzentration lässt sich aus der Grak 8 der Versuchsanleitung ein spezischer Widerstand von etwa ρ = 200Ωcm ablesen. Errechnen lässt sich der spezische Widerstand auch. Mit ρ = 1 σ = AU R li x = 0, 126Ωcm (15) sieht man also sofort, dass doch ein groÿer Unterschied zwischen Literaturwert und berechnetem Wert liegt. 3.6.4 Vergleich der Hallbeweglichkeiten Im Gegensatz zum vorigen Aufgabenteil, liegen hier der Literaturwert und der Messwert sehr nahe beieinander. Der Literaturwert für die Hallbeweglichkeit ergibt sich aus der Grak 9 der Versuchsanleitung mit der zuvor berechneten Dotierkonzentration und dem Wissen, dass Probe 5 p-dotiert ist, zu µ = 2 10 3 cm2 V s. Aus unseren Berechnungen der Hallbeweglichkeit bei 300K ergibt sich ein Wert von µ = 3 10 3 cm2 V s.

Hall - Eekt; Gruppe 10 19 3.6.5 Strom in Kupferprobe Die bewegten Elektronen werden im elektrischen Feld abgelenkt. Diese Ladungsverteilung, bewirkt durch die Lorentz Kraft, erzeugt ein zusätzliches elektrische Feld, welches der Lorentz-Kraft entgenwirkt. Das entstandene Gleichgewicht mit der Potentaildierenz U H entlang der Breite b führt zu der Gleichung: F E = F L ee = evb eu H = ebvb Zusammen mit der Ladungsträgerdichte n = N V v = l t ergibt sich: = N lbd und der Geschwindigkeit Daraus folgt: v = N nbdt. eu H = NeB tnd eu H = I B nd I = eu Hnd B. Und mit n = 1 R H e ergibt sich: I = U Hd BR H. (16) Wir haben bei Probe 5 ein Magnetfeld von B = 157, 5mT verwendet und gemittelt einen Hallwiderstand von R H = 0, 0034 m3 C. Mit der bekannten Probengeometrie ergibt sich somit ein Probenstrom I = 18, 7mA. 3.6.6 Dicke einer Kupferprobe Umstellen der Formel aus dem vorigen Aufgabenteil ergibt: d = IBR H U H (17) = 0, 54mm.