Kapitel 5 GRENZWERTE

Kapitel 5 GRENZWERTE Fassung vom 3. Februar 2006 Mathematik für Humanbiologen und Biologen 69

5. Der Begri des Grenzwertes 5. Der Begri des Grenzwertes An den Messungen der Hefevermehrung (vgl. Beispiel 2..) und dem Michaelis-Menten- Modell der Enzymeaktion (vgl. Beispiel 2.2.3 mit R = 0 ) läßt sich folgendes beobachten : Für große Werte von t bzw. x nähern sich die Funktionswerte V (t) bzw. v (x) einer festen Zahl, dem Grenzwert. Entspechendes gilt auch für das Di usionsmodell.6. Die Untersuchung von Grenzwerten, durch die z.b. Gleichgewichtszustände, Sättigung, aber auch, wie wir noch sehen werden, aktuelle Wachstumsraten beschrieben werden, ist für konkrete Anwendungen und als mathematische Begri sbildung unentbehrlich. Für die mathematische Beschreibung ist folgende Bezeichnung hilfreich; sie faßt die Fälle, daßx sich einer reellen Zahl nähert oder großbzw. klein wird, in einer Sprechweise zusammen : DEFINITION Sei r > 0 gegeben. Wir sagen, daßx liegt r-nahe bei (a) (b) (c) a 2 R, falls +, falls, falls a r 6 x 6 a + r, r 6 x, x 6 r. Wir kommen damit zu der zentralen DEFINITION 2 Es seien f : D f! R eine Funktion und a 2 R [ fg, so daßes für jedes r > 0 ein x 2 D f existiert, der r-nahe bei a liegt. Eine Zahl b 2 R [ fg heißt Grenzwert von f (x) für x gegen a (oder f (x) strebt gegen b für x gegen a ), wenn gilt: Zu jeder Zahl r > 0 (die gewünschte Genauigkeit für die Funktionswerte) existiert eine Zahl r > 0 (die notwendige Genauigkeit für die Variable) mit folgender Eigenschaft : Für jedes x 2 D f, das r -nahe bei a ist, ist f (x) r-nahe bei b. oder Wir schreiben dann oder noch f (x)! b für x! a lim x!a f (x) = b, lim x2df ;x!a f (x) = b, wenn man präzisieren muß. Will man nicht so genau sein, kann man dies einfach folgendermaßen formulieren : Ist x nahe genug bei a, so ist f (x) nahe genug bei b. 70 GRENZWERTE

Der Begri des Grenzwertes 5. Wir lassen es aber bei einer bildlichen Vorstellung des Grenzwertes bewenden. Die Berechnung von Grenzwerten mittels der strengen De nition ist etwas kni ig. Daher werden wir Grenzwerte ausschließlich aufgrund von Standard Beispielen, der Stetigkeit von Funktionen und Rechenregeln bestimmen. BEISPIEL 2.5 0.5 0 5 0 5 20 25 30 f (x) konvergiert gegen für x gegen BEISPIEL 2 f (x) konvergiert nicht für x gegen a GRENZWERTE 7

5.2 Standardbeispiele für Grenzwerte 5.2 Standardbeispiele für Grenzwerte Anhand des Graphen der Funktion R r f0g! R : x 7! x 4 2 4 2 2 4 2 4 sind die vier folgenden Beispiele einsichtig. BEISPIEL lim x! x = 0 BEISPIEL 2 lim x>0;x!0 x = BEISPIEL 3 lim x<0;x!0 x = BEISPIEL 4 Sei p > 0 gegeben. Für die Funktion [0; [ 5 lim x! x = 0! R : x 7! x p 4 3 2 0 0 2 3 4 5 72 GRENZWERTE

Standardbeispiele für Grenzwerte 5.2 sind die folgende zwei Beispiele auch klar. BEISPIEL 5 Für p > 0 gilt lim x! x p = BEISPIEL 6 Für p > 0 gilt lim x!0 x p = 0 Die vier nächsten Beispiele sind mit dem folgenden Bild 4 2 4 2 2 4 2 4 wiederum einsichtig. BEISPIEL 7 lim x! e x = BEISPIEL 8 lim x! e x = 0 BEISPIEL 9 lim x! ln x = BEISPIEL 0 lim x>0;x!0 ln x = Die Exponential-Funktion wächst viel rascher, die Logarithmus-Funktion viel langsamer als jede Potenzfunktion, d.h. BEISPIEL Für p > 0 gilt lim x! e x x p = GRENZWERTE 73

5.2 Standardbeispiele für Grenzwerte BEISPIEL 2 Für p > 0 gilt lim x! ln x x p = 0 0 0 20 30 40 74 GRENZWERTE

Rechenregeln für Grenzwerte 5.3 5.3 Rechenregeln für Grenzwerte SATZ Es seien f; g Funktionen mit D f = D g R, so daßlim x!a f (x) und lim x!a g (x) existieren und 2 R. Dann gilt: (i) (ii) (iii) (iv) Faktorregel Summenregel Produktregel Quotientenregel lim x!a ( f (x)) = lim x!a f (x). lim x!a (f (x) + g (x)) = lim x!a f (x) + lim x!a g (x). lim x!a (f (x) g (x)) = lim x!a f (x) lim x!a g (x). f (x) lim x!a g (x) = lim x!a f (x) lim x!a g (x), falls lim x!a g (x) 6= 0 (v) Einsetzungsregel Sei h eine Funktion, so daßh f de niert ist. Falls so existiert lim x!a h (f (x)) und es gilt lim x!a f (x) =: b und lim y!b h (y) existieren, lim x!a h (f (x)) = lim y!b h (y). BEMERKUNG Dabei ist auch a = + oder a =, sowie uneigentliche Grenzwerte zugelassen, solange in den Regeln (i)-(iv) die rechte Seite noch sinnvoll zu erklären ist : Dabei sei c + = falls c 6=, c = falls c 6=, c = falls c > 0, c = falls c < 0, Die Fälle sind nicht de niert. c = 0 falls c 6=. = + ( ) ; 0 ; c 0 ; BEISPIEL Man könnte ho en, daß 0 = lim x! 0 = lim x! (x x) = lim x! x + lim x! ( x) =, aber = lim x! = lim x! ( + x x) = lim x! ( + x) lim x! x =. Dies zeigt, daßdie Summenregel nicht gilt, falls lim x!a f (x) = und lim x!a g (x) =. GRENZWERTE 75

5.3 Rechenregeln für Grenzwerte BEMERKUNG 2 Die Einsetzungsregel kann man folgendermaßen deuten : Um lim x!a h (f (x)) zu berechnen macht man die Variablenänderung y = f (x). Falls für x! a gilt y = f (x)! b, so folgt wenn die rechte Seite existiert. lim x!a h (f (x)) = lim y!b h (y), y=f(x) BEISPIEL 2 Für p > 0 gilt lim x! x p e x = 0. Es gilt lim x! e x x p = nach Beispiel 5.2., also lim x! x p e x = lim x! e x mit Hilfe der Einsetzungsregel und Beispiel 5.2.. = x p y= ex lim y! y = 0 x p BEISPIEL 3 Für p > 0 gilt lim x!0+ x p ln x = 0. Es gilt lim x>0;x!0 x = nach Beispiel 5.2.2, also! lim x!0+ x p ln x ln x = lim x!0+ p mit Hilfe der Einsetzungsregel und Beispiel 5.2.2. x = y= x lim y! ln y y p = 0 0 2 3 4 5 x 7! x e e x und x 7! p x 3 ln x 5 76 GRENZWERTE

Stetige Funktionen 5.4 5.4 Stetige Funktionen DEFINITION Eine Funktion f : D f! R heißt stetig, falls für alle a 2 D f gilt: lim x!a f (x) = f (lim x!a x) = f (a), d.h. bei stetigen Funktionen kann man das Limes-Symbol und das Funktionszeichen vertauschen. BEMERKUNG Etwas vereinfacht läßt sich das so interpretieren, dass sich der Graph von f in einer ununterbrochenen Linie durchziehen läßt, solange man D f nicht verlassen muß. Alle bisher beschriebenen Funktionen sind stetig : SATZ Polynome, rationale Funktionen, die allgemeinen Potenzen, die Exponential- und die Logarithmusfunktion zur Basis a, die trigonometrischen Funktionen cos ; sin ; tan und ihre Umkehrfunktionen arccos ; arcsin ; arctan sind stetig. Stetige Abhängigkeiten einer Größe von einer anderen sind bei Naturvorgängen fast immer gegeben; nur im molekularen Bereich des Mikrokosmos gilt das nicht mehr (natura non facit saltis). BEISPIEL Die Funktion aus Beispiel 5..2 ist in a unstetig. Man beachte in diesem Fall, daßlim x!a f (x) nicht existiert, da lim x>a;x!a f (x) = f (a) 6= lim x<a;x!a f (x). Aus den Grenzwertsätzen läßt sich leicht den folgenden Satz über Stetigkeit folgern: HAUPTSATZ Sind die Funktionen f, g und h stetig, so sind die Funktionen f : D f! R ; f + g : D f \ D g! R ; f g : D f \ D g! R, und f g : fx 2 D f \ D g j g (x) 6= 0g! R stetig. h f : D f! R, falls W f D h Der Begri der verketteten Funktion (vgl. De nition 2.4.2) macht viele Probleme sehr viel übersichtlicher. BEISPIEL Die Funktion R! R : x 7! e x2 GRENZWERTE 77

5.4 Stetige Funktionen ist stetig als Verkettung von h : y 7! e y und f : x 7! x 2, da h f (x) = h (f (x)) = h x 2 = e x2. 7 7 7 BEISPIEL 2 Die Funktion R! R : x! p + x 2 ist stetig als Verkettung von h : y! p y und f : x! + x 2, da h f (x) = h (f (x)) = h + x 2 = p + x 2. 78 GRENZWERTE

Weitere Beispiele für Grenzwerte 5.5 5.5 Weitere Beispiele für Grenzwerte BEISPIEL Für p < 0 schreiben wir x p =. Es ist ( p) > 0 und damit x p lim x! x p S. 5.3.iv Bsp. 5.2.5 = lim x! = = x p lim x! x p = 0. BEISPIEL 2 lim x! Durch Ausklammern der höchsten Potenz erhalten wir Ax k + x = lim A x! = S. 5.3, iv, ii und i k + x S. 5.4 und Bsp. 5.2. = = lim x! A k lim x! x + lim x! = A k 0 + = A. BEISPIEL 3 S. 5.3, iv, ii, i und iii = Falls R > 0 erhalten wir analog lim x! Ax k + x + Rx 2 = lim x! A lim x! x Bsp. 5.2. k (lim x! x )2 + lim x! + R = x A x k + + R = x 2 x A 0 k 0 2 + 0 + R = 0 R = 0. BEISPIEL 4 Da lim x! x 2 = (lim x! x) 2 = 2 =, folgt mit der Variablenänderung y = x 2 : lim x! e x2 S. 5.3.v y Bsp. 5.2.8 = lim y! e = 0. BEISPIEL 5 Es sei a >. Da nach Satz 5.4 das Polynom x! + x stetig ist, folgt lim x!a ( + x) = ( + a). Mit der Variablenänderung y = + x erhält man p p p lim x!a + x = limy!+a y = + a da y! p y = y 2 als allgemeine Potenz stetig ist. Man hätte auch folgendermaßen argumentieren können. Die Funktion x! p + x, als Verkettung der stetigen Funktionen x! + x und y! p y = y 2, ist stetig nach Hauptsatz 5.4 und somit gilt die Behauptung nach De nition der Stetigkeit. BEISPIEL 6 lim x! exp Es ist! r + x 2 r! S. 5.4 = exp lim x! + S. 5.4 = exp x 2 slim x! + x 2! = GRENZWERTE 79

5.5 Weitere Beispiele für Grenzwerte = exp @ S. 5.3, ii und iii da exp und p stetig sind. 0s + 2 Bsp. 5.2. p lim x! A = exp + 0 = e = e, x 80 GRENZWERTE

Folgen und Reihen 5.6 5.6 Folgen und Reihen DEFINITION Eine Folge ist eine auf N = f0; ; 2; : : :g de nierte Funktion, also f : N! R : n 7! f(n) = f n. Statt n 7! f (n) wird oft (f n ) n2n geschrieben. BEISPIEL Folgen. Z.B. sind n 7! n! (oder (n!) n2n ) und n 7! q n (oder (q n ) n2n ) für q 2 R fest DEFINITION 2 Eine Folge (f n ) n2n heißt gegen b konvergent, falls lim n! f n = b gilt. Die Rechenregeln für Grenzwerte gelten natürlich auch für diese speziellen Funktionen. BEISPIEL 2 Es gilt 8 < lim n! q n = : q > falls q = 0 < q <. mit In der Tat gilt für q > 0 a := lim n! (n ln q) lim n! q n = lim n! e nln q S. 5.3.v = lim y!a e y 8 < S. 5.3.i = ln q lim n! n = : q > 0 falls q = 0 < q < also folgt das Resultat mit den Beispielen 5.2, 7 und 8. Im Fall q = ist die Folge konstant. Die Aussage für < q 6 0 mußman extra beweisen; für q = 0 ist sie konstant 0 und man beachte, daßim Fall q = p mit 0 < p < gilt und q n = ( ) n p n lim n! p n = 0., SATZ Eine Funktion f : D f! R ist genau dann stetig, wenn für alle a 2 D f und alle Folgen (a k ) k2n D f mit a = lim k! a k gilt: Die folgt aus der Einsetzungsregel. lim k! f (a k ) = f (lim k! a k ) = f (a). GRENZWERTE 8

5.6 Folgen und Reihen BEISPIEL 3 Jede reelle Zahl ist Limes einer Folge von rationalen Zahlen. Z.B. liefert die Dezimalbruchzerlegung eine solche Folge. BEISPIEL 4 Spezielle Folgen haben wir im Di usionsmodell.6 und bei der Einführung der Exponentialfunktion kennengelernt, nämlich die Folgen nx n 7! q k = + q + q 2 + : : : + q n und n 7! p n (x) = nx x k k!. DEFINITION 3 Allgemein nennt man eine Folge der Gestalt n 7! P n P a k eine Reihe. Man sagt: die Reihe konvergiert, wenn lim n n! a k einen Grenzwert b besitzt. Man schreibt dann X a k = b. Z.B. e x = X x k k! Geometrische Reihe Für < q < gilt X q k = q denn nach der geometrischen Summenformel.6 gilt nx q k = q also X q k = lim n! nx qn+ q k = lim n! q n+ q, = 0 q = q. Im Falle des Di usionsmodell.6 ist das Gleichgewicht gegeben durch X lim n! N n = N q k = N q = 5N, da q = 0:8. 82 GRENZWERTE