Bandabstand als f(temperatur) Wiederholung

Bandabstand als f(temperatur) Wiederholung Bandabstand verringert sich mit steigender Temperatur Quelle: F.X. Kärtner

Temperaturabhängigkeit der Beweglichkeit Wiederholung Beweglichkeit wird bestimmt durch die Zeit zwischen zwei Stößen: Stoß mit ionisierten Störstellen: Stoß mit Phononen: 1 τ St 1 τ Ph T N T St 3 2 3 2 1 1 µ + τst τ Ph 1

Fermi-Energie Wiederholung Die Fermi-Energie gibt an, bei welcher Energie ein erlaubter Bandzustand mit 50% Wahrscheinlichkeit besetzt ist. Zwei getrennte Halbleiter können verschiedene Fermi-Energien haben. Bringt man die beiden Halbleiter zusammen, p-hl n-hl W L sind die Fermi-Energien im ersten Moment unverändert. W F W V W L W F W V Im thermischen Gleichgewicht ist die Fermi- Energie in beiden Halbleitern gleich!! Halbleiter werden zusammen gebracht W L p-hl n-hl W L W F in diesem Bereich muss dann eine Potentialdifferenz sein W F W V Gleichgewichtszustand stellt sich ein W V W L W F W V p-hl n-hl W L W F W V

Wiederholung Halbleiter im Nichtgleichgewicht -eine Änderung der Dichte n(x,y,z) kann erfolgen durch - Ströme (Drift- und Diffusion) -durch Vernichtung (Rekombination) -durch Erzeugung von Ladungsträgern (Generation)

Strom #1: Der Driftstrom Wiederholung Driftstrom (Feldstrom) J F infolge eines elektrischen Feldes Strom setzt sich aus einem Elektronen- und einem Löcheranteil zusammen Leitfähigkeit hängt von der Ladungsträgerdichte und der Beweglichkeit ab Source: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/solids/intrin.html

Strom # 2: Diffusionsstrom Wiederholung die Diffusionskonstanten D n und D p geben an, wieviel Strom bei einem gewissen Gradienten der e s bzw. h s fließt eindimensional: J, = J (links rechts) J (rechts links) im Grenzübergang l 0: J, bzw. für die Löcher: J, nd n n nd pd = = dn edn dx dp edp dx (unterschiedliches Vorzeichen für e s und h s!)

Einsteinrelationen Wiederholung Nun kann ausgenutzt werden, dass sich im Gleichgewicht Drift- und Diffussionsströme gegenseitig kompensieren: n Aus JF = JD folgt e n( x) µ ne(x)= edn x Setzt man nun die abgeleitete ortsabhängige Ladungsträgerdichte in diese Beziehung ein, so ergibt sich: e en( x) µ ne(x)=( e Dn)( n( x) E( x)) kt Aus diesem Ausdruck kann das meiste weggekürzt werden, so dass man zur sogenannten Einsteinrelation kommt: kt D n = µ e n Die gleiche Ableitung liesse sich auch für die Löcher machen und man kommt auf diese Weise zu: kt D p = µ e Diese hier am Spezialfall pn-übergang hergeleitete Beziehung ist eine viel allgemeinere Beziehung der statistischen Thermodynamik und gilt z. B. genauso auch bei der Bewegung von Ionen in einer Elektrolytlösung. p

Absorption von Photonen Wiederholung Bei der Absorption von Photonen ist aufgrund der Impulserhaltung nur ein senkrechter Übergang im W-k-Diagramm möglich. Direkte Halbleiter absorbieren Photonen sehr effizient. Indirekte Halbleiter können Photonen mit Energien W G > W G ebenfalls effizient absorbieren. Unterhalb von W G ist Lichtabsorption sehr unwahrscheinlich. Direkter Halbleiter z.b. GaAs Indirekter Halbleiter z.b. Si, Ge W G W G Photodioden, Solarzellen

Emission im HL Wiederholung Quelle: www.leuchtfaktor.de Quelle: britneyspears.ac

Störstellenrekombination LB Störstellenrekombination: Elektron und Loch werden in dieselbe Störstelle eingefangen VB - Shockley-Read-Hall-Rekombination (Betrachtung aller Raten) z.b. Einfangprozeß 1: r = Nσv St, e t th N t : Dichte Trapniveaus σ: Einfangquerschnitt v th : therm. Geschw.

Oberflächenrekombination Oberflächenrekombination über Oberflächenzustände Oberflächenrekombination an der Grenzfläche zum Metall

Rekombination: Auger LB VB Augerrekombination: Elektron und Loch rekombinieren und Energie wird von drittem Teilchen aufgenommen r = r + r = Cn p+ C np Auger Auger, eeh Auger, ehh 2 2 1 2

Dotierungsabhängigkeit der Lebensdauer Lebensdauer eines photoangeregten Elektrons im p-dotierten Si r gesamt 1 = = τ gesamt ropt + rauger + rst +... Kleine Lebensdauer Grosse Rekombinationsrate Quelle: Goetzberger: Photovoltaik

Zusammenfassung: Ladungsträgerprozesse Es gibt in Halbleitern drei unterschiedliche Prozesse, durch die sich die Ladungsträgerdichte räumlich und/oder zeitlich verändern kann: 1. Driftstrom Ladungsträger bewegen sich aufgrund eines äußeren elektrischen Feldes. 2. Diffusionsstrom Ladungsträger bewegen sich aufgrund eines Konzentrationsgradienten. 3. Generations- und Rekombinationsprozesse Die Raten setzen sich aus verschiedenen Einzelprozesse zusammen (z.b. strahlende Übergänge, Übergänge durch Störstellen, Auger-Prozess, Rekombination an Oberflächen). Je nach Situation sind verschiedene Prozesse dominant. In den meisten HL dominiert die Rekombination durch Störstellen. Bei direkten HL spielen auch strahlende Übergänge eine Rolle. Bei hoher Ladungsträgerdichte von Elektronen und Löchern sind Auger- Prozesse wichtig.

Ladungsträgerprozesse in Halbleitern Es gibt in Halbleitern drei unterschiedliche Prozesse, durch die sich die Ladungsträgerdichte räumlich und/oder zeitlich verändern kann: 1. Driftstrom Ladungsträger bewegen sich aufgrund eines äußeren elektrischen Feldes: 2. Diffusionsstrom Ladungsträger bewegen sich aufgrund eines Konzentrationsgradienten (D n und D p sind die Diffusionskonstanten der Elektronen bzw. Löcher): 3. Generations- und Rekombinationsprozesse Ladungsträger werden mit der Generationsrate g generiert und rekombinieren mit der Rekombinationsrate r. Die Raten setzen sich aus verschiedenen Einzelprozesse zusammen:

Halbleitergrundgleichungen (H1) (H2) Jn = enµ ne+ edn n Drift- und Jp = e pµ E - ed p Diffusion p p Wie ändert sich dann die lokale Ladungsdichte ρ = ep ( n)? J ( ) p x W L J ( x+ dx) rp gp W V p (ep) t (e p) t Jp = + e( gp rp) x bzw. in 3D: + J = e( g r ) p p p (Kontinuitätsgleichung)

(H1) Halbleitergrundgleichungen (H2) J J n p = enµ ne+ edn n = epµ E-eD p p p Drift- und Diffusionsgleichung für Elektronen und Löcher (H3) (H4) ( e n) + Jn = e( gn rn) t (e p) + Jp = e( gp rp) t Kontinuitätsgleichungen für Elektronen und Löcher...dann fehlt nur noch die Verkopplung von Ladung und E-Feld... Maxwell-Gleichung: 0 die Poisson-Gleichung: D= εε E = ρ bzw. mit E = ϕ 2 ρ divgradϕ = ϕ = ϕ = εε 0

(H1) (H2) Halbleitergrundgleichungen Jn = enµ ne+ edn n Drift- und Jp = epµ E-eD p Diffusion p p (H3) (H4) ( e n) + Jn = e( gn rn) t (e p) + Jp = e( gp rp) t (H5) e ( + ϕ = p n+ n ) D na ; E = ϕ εε 0 Kontinuitätsgleichungen Poisson- Gleichung

Das elektrochemische Potential Die Trennung von Drift- und Diffusionsströmen ist nur ein Hilfsmittel zur quantitativen Modellierung (ähnlich wie bei der Überlagerung von verschiedenen Kräften)! Woher soll das Elektron wissen, ob es diffundieren oder driften soll?? Gemeinsame Beschreibung durch die elektrochemischen Potentiale η e,h, welche identisch sind mit den (Quasi)-Fermi-Energien W F,e bzw. W F,h. Die Quasi-Fermi-Energie kann für Löcher und Elektronen unterschiedlich sein! (z. B. durch eine von aussen angelegte Spannung oder durch Beleuchtung,...) Dies ist der Grundlage nahezu aller Halbleiterbauelemente!

Diffusion am pn-übergang Werden p- und n-halbleiter zusammengebracht, so diffundieren Elektronen in den p-halbleiter und Löcher in den n-halbleiter. p-hl n-hl W W L W L W F,n W F,i W F,p W V W F,i W V x Löcher im p-bereich: Majoritätsladungsträger Elektronen im p-bereich: Minoritätsladungsträger Elektronen im n-bereich: Majoritätsladungsträger Löcher im n-bereich: Minoritätsladungsträger

Raumladungszone am pn-übergang Diffusionsströme: Elektronen diffundieren aus dem n-hl und hinterlassen positiv geladene Donatoren. Löcher diffundieren aus dem p-hl und hinterlassen negativ geladene Akzeptoren. Es bildet sich eine Raumladungszone (RLZ): In einer RLZ ist ρ 0. Positive Raumladung ρ>0 im n-hl. Negative Raumladung ρ<0 im p-hl. Durch die neue Ladungsverteilung wird ein E-Feld aufgebaut, das einen Driftstrom der Ladungsträger bewirkt, der wiederum dem Diffusionsstrom entgegenwirkt. E

Banddiagramm des pn-übergangs W Energetisch niedriger gelegene Zustände für Elektronen e U D W L W F Energetisch niedriger gelegene Zustände für Löcher W i W V -l p I n Das W(x)-Banddiagramm zeigt die erlaubten Zustände der Ladungsträger als eine Funktion der Energie und des Ortes. Im Gleichgewicht kompensieren sich Drift- und Diffusionsstrom gerade.

Diffusionsspannung? W Wie gross ist U D? e U D W L W F W i W V

Diffusionsspannung U D Die Diffusionsspannung wird ein entscheidender Parameter für die Beschreibung der nichtlinearen Kennlinie einer Diode sein. Ziel ist es nun, die Diffusionsspannung auf die Materialparameter wie Bandlücke und Dotierungsdichten zurückzuführen. Die Diffusionsspannung ergibt sich aus der energetischen Differenz der Leitungsbandunterkanten weit weg vom pn-übergang: e U = W ( ) W ( ) D L L Für die Ladungsträgerdichten weit weg vom pn-übergang gilt bei Störstellenerschöpfung: WF WV( ) (1) p = N exp = n kt p V A WL( ) WF (2) n = N exp = n kt n L D

Diffusionsspannung U D Multiplikation von (1) und (2) ergibt: nn WL( ) WV( ) = NN exp kt A D L V Mit W V =W L -W G folgt: nn WG WL( ) WL( ) = NN exp exp kt kt A D L V = ni 2 (gemäß Massenwirkungsgesetz) eu kt D Auflösen nach U D ergibt: U D kt nn A D = ln 2 e ni Damit ist die Diffusionsspannung auf die intrinsische Ladungsträgerkonzentration und auf die Konzentrationen der Dotieratome (beides Materialparameter) zurückgeführt.

Diffusionsspannungen Die Diffusionsspannung hängt nur schwach von der Temperatur ab. Die Diffusionsspannung hängt nur schwach von den Dotierungen ab. Mit wachsender Dotierung geht

Diffusionsspannung Die Diffusionsspannung ist nicht an den Enden der p- und n-zonen messbar!! Meßbar ist nur die Differenz des elektrochemischen Potentials (des Fermi- Niveaus). Dieses ist links und rechts exakt auf dem gleichen Niveau, daher kann keine Spannung abgegriffen werden. Wenn z.b. Metallkontakte aufgesetzt werden zur Spannungsmessung, so bilden sich wieder eine Diffusionsspannung, die die eingebaute Spannung gerade kompensieren. Abb: Spannungsmessung mit zwei n++-dotierten Bereichen

Die pn-diode Für eine quantitative Modellierung der pn-diode fehlt jetzt nur noch der Potentialverlauf und die Größe der Raumladungszone

Schottky-Modell der pn-diode Annahme: Räumlich abrupter Übergang von neutralen zu vollständig ionisierten Störstellen ρ( x) 0 : x lp en : lp < x 0 A = end : 0 < x ln 0 : x > ln N A(D) : Dichte der Akzeptor- (Donator-) Atome Insgesamt Ladungsneutralität: na lp = ndln l p =w p, l n =w n

Berechnung des Bandverlaufs Berechnung des Bandverlaufs durch Integration der Poission-Glg.: e = p n+ n n ; E = ϕ εε (H5) ( + ϕ ) D A 0 ρ( x) 0 : x lp en : lp < x 0 A = end : 0 < x ln 0 : x > ln 2 ϕ( x) E( x) 1 A = = 2 x x εε0 end 0 : x en : l < x : 0 < x l 0 : x > ln p l p n 0

Schottky-Näherung exakt Schottky-Näherung x 2 ϕ( x) = E( x) dx ϕ x 1 0 en en ( ) ( ) D ϕ x = x l ϕ( x) ( x l ) + U 2εε + = 2 2 A 2 p n D 0 εε0

Berechnung des Bandverlaufs eϕ(x) Für eine quantitative Beschreibung der Kennlinie und für das Ersatzschaltbild (insbesondere Kapazität) ist die Kenntnis der Ausdehnung l p +l n der Raumladungszone von grosser Bedeutung. l p und l n sind allerdings bisher nur im Rahmen der Näherung Schottky-Modell als zusätzliche Parameter ins Spiel gekommen, ohne diese auf schon bekannte Halbleiterparameter zurückzuführen. Die Ausdehnung kann aber nun berechnet werden. Hierzu wird die Ladungsneutralität ausgenutzt, sowie berücksichtigt, dass das elektrische Potential bei x=0 stetig sein muss:

Die Stromdichte ist überall gleich Null!

Ausdehnung der RLZ Ladungsneutralität: n nl nl l l (4) D2 2 2 2 D n= A p p= n na Für den Potentialverlauf im p- bzw. im n- Bereich wurden oben explizite Ausdrücke abgeleitet. Aus der Forderung nach Stetigkeit von ϕ(x) an der Stelle x=0 folgt: en en l = l + U 2εε 2 A 2 D 2 p n D 0 εε0 Durch Ausnutzen der Neutralitätsbedingung (4) kommt man zu: Auflösen nach l n liefert dann: Ebenso kann dann l p bestimmt werden: l n = l 2 n na 2εε0UD nd e n + n 2 ena nd en D + 2 = U 2εε0 na 2εε0 D A l p = nd 2εε0UD na e n + n D A D

Ausdehnung der RLZ Die Gesamtausdehnung der Raumladungszone ergibt sich dann als Summe der einzelnen Breiten der RLZs: Mit ein bisschen Bruchrechnung kommt man zu: 2εε0UD 1 1 l = lp + ln =... = + e n n D A Generell gilt also, dass die RLZ umso dünner ist, je stärker die Dotierung der Halbleitermaterialien ist. Die nachfolgende Tabelle gibt einige konkrete Zahlenwerte für gängige Halbleitermaterialien an.

Ausdehnung der Raumladungszone Die Gesamtausdehnung der RLZ ist: Die Ausdehnung teilt sich wie folgt auf den n-hl und den p-hl auf: Je nach Dotierung betragen die Ausdehnungen wenige Nanometer bis zu Mikrometern. Ist ein HL wesentlich schwächer dotiert als der andere, befindet sich die RLZ fast ausschließlich im schwach dotierten HL.