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Anton Braun Grundlagen der Regelungstechnik Kontinuierliche und diskrete Systeme mit 182 Bildern Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag
Der Autor: Professor Dr.-Ing. Anton Braun Fachhochschule Regensburg, Fachbereich Elektro- und Informationstechnik Alle in diesem Buch enthaltenen Programme, Verfahren und elektronischen Schaltungen wurden nach bestem Wissen erstellt und mit Sorgfalt getestet. Dennoch sind Fehler nicht ganz auszuschließen. Aus diesem Grund ist das im vorliegenden Buch enthaltene Programm-Material mit keiner Verpflichtung oder Garantie irgendeiner Art verbunden. Autor und Verlag übernehmen infolgedessen keine Verantwortung und werden keine daraus folgende oder sonstige Haftung übernehmen, die auf irgendeine Art aus der Benutzung dieses Programm- Materials oder Teilen davon entsteht. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar. ISBN 3-446-40305-1 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Buches, oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung mit Ausnahme der in den 53, 54 URG genannten Sonderfälle, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag 2005 Carl Hanser Verlag München Wien Internet: http://www.fachbuch-leipzig.hanser.de Lektorat: Dipl.-Ing. Erika Hotho Herstellung: Dipl.-Ing. Franziska Kaufmann Satz: PTP-Berlin Protago-TeX-Production GmbH Druck und Bindung: Druckhaus Thomas Müntzer GmbH, Bad Langensalza Printed in Germany
Vorwort Dieses Lehrbuch zeichnet sich durch eine umfassende Behandlung der Analyse und Synthese analoger und diskreter Regelsysteme aus. Es ist in seiner Logik so aufgebaut, dass die Behandlung diskreter Regelsysteme als plausible Fortsetzung bekannter Verfahren aus der analogen Regelkreis-Synthese betrachtet werden kann. Konkret heißt dies, dass die Übertragungsfunktion des Reglers mit Hilfe bekannter Syntheseverfahren im kontinuierlichen Zeitbereich dimensioniert und die kontinuierliche Übertragungsfunktion des Reglers mit den in diesem Buch vorgestellten Methoden in den diskreten Zeitbereich übertragen wird. Diese Vorgehensweise hebt sich deutlich von anderen Büchern ab, die sich mit ähnlicher Materie befassen. Die entsprechenden Kapitel sind inhaltlich und logisch so strukturiert, dass dieses Buch als Begleitmaterial zu Vorlesungen der analogen und digitalen Regelungstechnik an Fachhochschulen und Universitäten bestens geeignet ist. An theoretischen Vorkenntnissen werden vom Leser lediglich die Grundlagen der Differenzial- und Integralrechnung sowie eine gewisse Sicherheit im Umgang mit Differenzialgleichungen erwartet. Zum besseren Verständnis des teilweise sehr komplexen mathematischen Hintergrundes sind die Kapitel mit zahlreichen Beispielen ergänzt, die mit der Simulationssoftware MATLAB simuliert wurden und gegebenenfalls leicht nachvollzogen werden können. Das Buch ist in 12 Kapitel eingeteilt. In der Einleitung wird neben dem grundsätzlichen Aufbau von Regelkreisen vor allem die Basis zur Behandlung von Regelkreisen aus mathematischer Sicht geschaffen. Hierzu zählen insbesondere der Begriff der Übertragungsfunktion sowie die Modellierung dynamischer Systeme. Auf Grund der in diesem Zusammenhang maßgeblichen Bedeutung der Laplace-Transformation wurden ihre Definition sowie die für regelungstechnische Anwendungen wichtigsten Rechenregeln im Anhang I konzentriert zusammengestellt. Das 2. Kapitel erläutert die in der Praxis gängigen Regeleinrichtungen, wobei einleitend eine Unterteilung der diversen Grundregler aufgezeigt wird. Das 3. Kapitel definiert die wichtigsten Testsignale zur Analyse technischer Systeme und zeigt die gängigsten Übertragungsglieder bezüglich ihres Übertragungsverhaltens auf. Im Kapitel 4 wird ein zentraler Punkt der Regelungstechnik erschöpfend behandelt: die Beurteilung der Stabilität von Regelkreisen. Hierzu zählen insbesondere das grundlegende Stabilitätskriterium im Zeitbereich, das Stabilitätskriterium von Routh/Hurwitz anhand der charakteristischen Gleichung, das Stabilitätskriterium von Nyquist anhand der Ortskurve des offenen Regelkreises sowie die Behandlung von Wurzelortskurven als Bindeglied zwischen der Beurteilung der Stabilität von Regelkreisen und der Regelkreis-Synthese. Die Kapitel 5 und 6 zeigen schließlich die Regelkreis-Synthese analoger Systeme. Neben typischen Qualitätskriterien bezüglich des Einschwingverhaltens der Regelgröße wird im Kapitel 5 vor allem die Dimensionierung von Reglern auf der Basis von Systemen zweiter Ordnung behandelt. Im Kapitel 6 wird eine Regelkreis-Synthese in vorwiegend drei grundsätzlich unterschiedlichen Strategien aufgezeigt: die Dimensionierung von Reglern im Bode-Diagramm, die Regelkreis-Synthese mit Hilfe von Wurzelortskurven sowie die Verwendung der bekanntesten empirischen Einstellregeln.
6 Vorwort Nachdem die klassische Regelungstechnik bekanntlich auf Eingrößensysteme beschränkt ist, wird im Kapitel 7 in einem angemessenen Rahmen die Analyse technischer Systeme im Zustandsraum behandelt. Dabei werden neben der Aufstellung der Zustandsgleichung vor allem die Themen Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit sowie die diversen Normalformen mit Priorität vorgestellt. Im Kapitel 8 wird im Rahmen der Zustandsbeschreibung technischer Systeme großer Wert auf die Beurteilung der Stabilität gelegt. Hierzu sind insbesondere die Regeln von Sylvester sowie die Vorgehensweise von Liapunov zu erwähnen. Im Kapitel 9 werden die verschiedenen Verfahren der Regelkreis-Synthese im Zustandsraum aufgezeigt. Hierzu zählen insbesondere das Verfahren der Polzuweisung bzw. des Zustands- Beobachters für den Fall, dass nicht sämtliche Zustandsgrößen einer Messung zugänglich sind. Schließlich wird anhand eines einfachen Beispiels zum Ende des 9. Kapitels die Optimierung eines Reglers auf der Basis des Riccatti-Reglers erläutert. In den Kapiteln 10 bis 12 wird schließlich die Analyse und Synthese diskreter Regelkreise ausführlich behandelt. Salopp ausgesprochen kann man sagen, dass die z-transformation diskreter Systeme das Äquivalent zur Laplace-Transformation kontinuierlicher Systeme ist. In Analogie zum kontinuierlichen Regelkreis werden deshalb im Anhang II die z-transformation mit den wichtigsten Rechenregeln und die Rücktransformation vom z- in den diskreten Zeitbereich aufgezeigt. Das Kapitel 11 beinhaltet im Wesentlichen die Stabilität diskreter Systeme und die Bestimmung der diskreten Übertragungsfunktion der klassischen Standard-Regler. Im Kapitel 12 werden schließlich die gängigsten Iterations-Verfahren zur Realisierung diskreter Filter und Regler hergeleitet. Darüber hinaus wird die Regelkreis-Synthese diskreter Systeme auf der Basis von Wurzelortskurven und im Bode-Diagramm vorgestellt. Abschließend werden noch einige praktische Empfehlungen zur Wahl der Abtastperiode gegeben. Die vorliegende Arbeit entstand aus meiner mehrjährigen Tätigkeit als Professor für Regelungstechnik im Rahmen von Pflicht- und Wahl-Vorlesungen an der Fachhochschule Regensburg. Meinen Studenten, vor allem aus dem Studiengang der Mechatronik und der Elektrotechnik, verdanke ich zahlreiche Anregungen bei der Abfassung des Manuskriptes. Der Verfasser möchte es darüber hinaus nicht versäumen, sich bei dieser Gelegenheit in aller Form beim Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, insbesondere bei Frau Dipl.-Ing. E. Hotho sowie bei Frau Dipl.-Ing. F. Kaufmann, für die wertvolle Unterstützung im Zuge der langen Entstehungsphase des Buches und für die bewiesene Geduld zu bedanken. Darüber hinaus gilt mein Dank meinem Sohn Michael für seine wertvolle Mitarbeit bei deraufbereitung des umfangreichen Textes und der entsprechenden Diagramme. Schließlich danke ich an dieser Stelle auch meiner Frau, die mir so viele häusliche Pflichten abgenommen hat, dass mir erst dadurch die entsprechende Zeit zur Abfassung dieser Arbeit möglich geworden ist. Regensburg, im Juli 2005 Prof. Dr. Ing. Anton Braun
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung... 11 1.1 Grundsätzlicher Aufbau von Regelkreisen... 11 1.2 Ein typisches Beispiel einer angewandten Regelung... 12 1.3 Historischer Überblick... 13 1.4 Die Übertragungsfunktion... 13 1.4.1 Definition und Herleitung der Übertragungsfunktion... 13 1.4.2 Pol-Nullstellen-Plan der Übertragungsfunktion... 14 1.4.3 Zusammenschaltung von Übertragungsgliedern... 16 1.4.4 Linearisierung nicht linearer Systeme... 18 1.4.5 Frequenzgang linearer Systeme... 21 1.5 Mathematische Modelle und Blockschaltbilder dynamischer Systeme... 24 1.5.1 Der Weg zum mathematischen Modell... 24 1.5.2 Demonstrationsbeispiele zur Erstellung des mathematischen Modells... 25 2 Regeleinrichtungen... 31 2.1 Einteilung und Bezeichnung... 31 2.1.1 Unstetige Regeleinrichtungen... 33 2.1.2 Stetige Regeleinrichtungen... 35 2.2 Technische Realisierung der Grundregler mit Operationsverstärkern... 44 3 Analyse des transienten und stationären Verhaltens von Systemen... 48 3.1 Typische Testsignale... 48 3.1.1 Die Sprungfunktion... 48 3.1.2 Die Gewichtsfunktion (Impulsantwort)... 48 3.1.3 Die Sinusantwort... 49 3.2 Die wichtigsten Übertragungsglieder... 51 3.2.1 Systeme erster Ordnung... 51 3.2.2 Systeme zweiter Ordnung... 55 3.3 Dynamisches Verhalten des Regelkreises... 60 3.4 Stationäres Verhalten des Regelkreises... 62 4 Stabilität von Regelkreisen... 68 4.1 Einleitung... 68 4.2 Das Stabilitätskriterium von Routh und Hurwitz... 69 4.3 Das Stabilitätskriterium von Nyquist... 73 4.3.1 Vereinfachtes Nyquist-Kriterium... 82 4.3.2 Begriff der relativen Stabilität... 84 4.4 Das Wurzelortskurven-Verfahren... 88 4.4.1 Themenstellung... 88 4.4.2 Regeln zur Konstruktion von Wurzelortskurven... 92 4.4.3 Typische Beispiele zur Konstruktion von Wurzelortskurven...101
8 Inhaltsverzeichnis 5 Qualitätskriterien von Regelkreisen...108 5.1 Entwurfsforderungen...108 5.2 Systeme zweiter Ordnung...109 5.3 Typische Kennwerte des dynamischen Verhaltens...115 5.4 International standardisierte Gütemaßzahlen...117 5.5 Das ITAE-Gütekriterium zur Optimierung des Systemverhaltens...118 6 Entwurf linearer Regelkreise...121 6.1 Regelkreis-Synthese im Bode-Diagramm...121 6.1.1 Frequenzantwort...122 6.1.2 Die Bode-Plot-Technik...123 6.1.3 Bestimmung des stationären Fehlers im Bode-Diagramm...129 6.1.4 Spezifikation der Bandbreite...131 6.1.5 Zusammenhang zwischen Phasenrand und Dämpfung...131 6.1.6 Zusammenhang zwischen Phasengang und Amplitudengang...133 6.1.7 Kompensationsmethode...138 6.2 Regelkreis-Synthese mit Hilfe von Wurzelortskurven...150 6.2.1 Grundgedanke...150 6.2.2 Beispiele für den Reglerentwurf mit Hilfe von Wurzelortskurven... 150 6.3 Empirische Einstellregeln von Ziegler und Nichols...158 7 Mathematische Beschreibung linearer Systeme im Zustandsraum...161 7.1 Einleitung...161 7.1.1 Beschreibung linearer Systeme durch Zustandsvariable...161 7.1.2 Lösung der Vektordifferenzialgleichung im Zeitbereich...167 7.1.3 Lösung der Zustandsgleichungen im Bildbereich...169 7.1.4 Zusammenhang zwischen Übertragungsfunktion und Zustandsdarstellung...171 7.2 Analyse geregelter Systeme im Zustandsraum...172 7.2.1 Mathematisches Rüstzeug zur Systemanalyse im Zustandsraum...172 7.2.2 Steuerbarkeit eines Systems...176 7.2.3 Beobachtbarkeit eines Systems...179 7.3 Normalformen der Zustandsraumdarstellung...180 7.3.1 Regelungsnormalform...180 7.3.2 Beobachtungsnormalform...183 7.3.3 Diagonalform...185 8 Stabilität von Systemen...192 8.1 Einleitung...192 8.2 Das Stabilitätskriterium von Liapunov für lineare Systeme im Zustandsraum 193 8.2.1 Erste Methode von Liapunov...193 8.2.2 Zweite Methode von Liapunov...194
Inhaltsverzeichnis 9 9 Regelkreis-Synthese im Zustandsraum...203 9.1 Einleitung...203 9.2 Das Verfahren der Polzuweisung...203 9.2.1 Bestimmung der Rückführmatrix mit Hilfe der steuerbaren Normalform...205 9.2.2 Bestimmung der Rückführmatrix mit der Ackermann schen Formel. 208 9.3 Regelkreis-Synthese unter Verwendung des Zustands-Beobachters...219 9.3.1 Problemstellung...219 9.3.2 Dimensionierung der Beobachter-Matrix K e...221 9.3.3 Dimensionierung der Beobachter-Matrix K e mit der direkten Methode...226 9.3.4 Zusammenschaltung des Beobachters mit der zu regelnden Strecke. 230 9.3.5 Systeme mit von null verschiedenem Sollwert...234 9.4 Optimale Regelsysteme...252 9.4.1 Parameteroptimierung auf der Basis der zweiten Methode von Liapunov...253 9.4.2 Das quadratische Gütekriterium...257 10 Diskrete Regelung kontinuierlicher Systeme...262 10.1 Signaltypen...262 10.2 Prinzipieller Aufbau digitaler Regelkreise...263 10.3 Signalkonversion...264 11 Übertragungsverhalten diskreter Systeme...268 11.1 Übertragungsfunktion...268 11.2 Idealer Abtaster...270 11.2.1 z-transformierte aus einem Halteglied und einem kontinuierlichen Übertragungsglied...272 11.2.2 Beurteilung der Stabilität diskreter Systeme...274 11.2.3 Numerische Methoden zur Bestimmung der Stabilität...276 11.3 Übertragungsfunktion zusammengesetzter Systeme...282 11.3.1 Kontinuierliche Systeme mit und ohne Abtaster...282 11.3.2 Übertragungsfunktion rückgekoppelter Systeme...285 11.3.3 Übertragungsfunktion des Standard-Regelkreises...286 11.3.4 Übertragungsfunktion des diskretisierten PID-Reglers...288 11.3.5 Realisierung digitaler Regler und digitaler Filter...292 12 Synthese diskreter Regelsysteme...299 12.1 Das diskrete Filter aus einem äquivalenten analogen Filter...299 12.1.1 Rechteckregel in Rückwärtsrichtung...300 12.1.2 Rechteckregel in Vorwärtsrichtung...303 12.1.3 Trapezregel...304
10 Inhaltsverzeichnis 12.1.4 Bilineare Transformation mit Prewarping-Technik...306 12.1.5 Getrennte Abbildung von Pol- und Nullstellen vom s- inden z-bereich...310 12.2 Regelkreis-Synthese mit Hilfe von Wurzelortskurven...315 12.2.1 Dynamisches Verhalten digitaler Regelkreise...315 12.2.2 Allgemeine Regeln zur Konstruktion von Wurzelortskurven...316 12.2.3 Wurzelortskurven digitaler Regelkreise...319 12.3 Regelkreis-Synthese im Frequenzbereich...338 12.3.1 Bilineare Transformation und w-ebene...338 12.3.2 Bode-Diagramme im w-bereich...341 12.3.3 Zur Wahl der Abtastrate...347 12.3.4 Zusammenfassung und Ausblick...349 Anhang I...350 I.1 Die Laplace-Transformation...350 I.1.1 Definition der Laplace-Transformation...350 I.1.2 Wichtige Theoreme der Laplace-Transformation...351 I.1.3 Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen...358 I.2 Inverse Laplace-Transformation...363 I.2.1 Partialbruchzerlegung zur Berechnung der inversen Laplace- Transformierten...363 I.2.2 Lösung linearer Differenzialgleichungen mit Hilfe der Laplace-Transformation...368 Anhang II...371 II.1 Die z-transformation...371 II.1.1 Motivation...371 II.1.2 Bestimmung der z-transformierten...371 II.1.3 z-transformierte typischer Signale...372 II.1.4 Wichtige Eigenschaften und Theoreme der z-transformation...375 II.2 Inverse z-transformierte...384 II.2.1 Verfahren der Polynomdivision...385 II.2.2 Verfahren der Partialbruchzerlegung...386 II.2.3 Rücktransformation mit Hilfe des Inversionsintegrals...392 II.2.4 Lösung von Differenzengleichungen mit Hilfe der z-transformation 398 II.3 Abbildung der s-ebene in die z-ebene...399 II.3.1 Primärstreifen und komplementäre Fortsetzung...400 II.3.2 Linien konstanten Betrags in der z-ebene...401 II.3.3 Linien konstanter Frequenz in der z-ebene...401 II.3.4 Linien konstanter Dämpfung in der z-ebene...403 Literaturverzeichnis...406 Sachwortverzeichnis...409