Univ.- Ass. Dr. Helmut Institut für BWL an der Universität Wien Der Käufer einer Option (long position) hat das Recht, einen bestimmten Basiswert (Aktie, Anleihe, Waren, etc.) an (bis) zu einem bestimmten Zeitpunkt zu einem bei Vertragsabschluß festgelegten Preis (zu einer bei Vertragsabschluß festgelegten Regel) zu kaufen (verkaufen). Der Verkäufer einer Option (short posititon) hat die Pflicht, den Wunsch des Käufers zu erfüllen.
Basiswerte Aktien (BA, EVN, etc.) Aktienindizes (ATX, DAX, Dow Jones, etc.) Wechselkurse Zinsinstrumente (Caplets, Floorlets, auf Anleihen) Waren (Gold, Silber, Platin, etc.) Futures (Option auf Indexfutures) 3 Typen von European: nur am Ende der Laufzeit American: während der ganzen Laufzeit Bermudan: an gewissen Tagen während der Laufzeit (z. B: Anleihenoptionen an den Kupontagen) Forward start option: ab einem gewissen Tag bis zum Ende der Laufzeit 4
Typische Call Option: Käufer hat das Recht, das Underlying zu einem bestimmten Preis (Ausübungspreis oder strike) zu kaufen (europ. oder amerik.) Put Option: Käufer hat das Recht, das Underlying zum strike zu verkaufen Cap: Zinsschranke nach oben Floor: Zinsschranke nach unten 5 Call long Gewinn Basispreis Prämie Kurs des Basisobjektes am Verfalltag Verlust Basispreis + Prämie 6 3
Call short Gewinn Basispreis + Prämie Prämie Kurs des Basisobjektes am Verfalltag Basispreis Verlust 7 Innerer Wert des Calls Optionspreis in -themoney out-ofthe-money at-themoney Innerer Wert des Call Basispreis Kurs des Basiswertes 8 4
Put long Gewinn Basispreis - Prämie Basispreis Kurs des Basisobjektes am Verfalltag Prämie Verlust 9 Put short Gewinn Prämie Kurs des Basisobjektes am Verfalltag Basispreis Basispreis - Prämie Verlust 5
Innerer Wert des Put Optionspreis in -themoney Innerer Wert des Put out-ofthe-money at-themoney Basispreis Kurs des Basiswertes Exotische Chooser Option (as you like it): zu einem gewissen Zeitpunkt wird entschieden, ob es sich um einen Call oder einen Put handelt Compound Option: Option auf eine Option (call on a call, call on a put, put on a call, put on a put) Barrier Options: down (up) and out call: durchbricht der Kurs des Underlying während der Laufzeit eine Barriere H von oben (von unten), verfällt die Call Option down (up) and in call: durchbricht der Kurs des Underlying während der Laufzeit eine Barriere H von oben (von unten), entsteht eine Call Option 6
Exotische II binary options: cash or nothing call: der Käufer bekommt nichts, wenn zum Zeitpunkt T der Aktienkurs unter dem strike liegt. Sonst bekommt er einen fixen Betrag. cash or nothing put: analog asset or nothing call: über dem strike, wird der Aktienkurs bezahlt, sonst nichts lookback option: payoff hängt vom maximalen (minimalen) Aktienkurs bis zum Ausübungszeitpunkt ab asian options: payoff hängt vom durchschnittlichen Kurs während der Laufzeit ab 3 Exotische III Shout Option: der Besitzer kann einmal während der Laufzeit aufschreien und den Aktienkurs notieren lassen. Am Ende erhält er das Maximum aus normalem payoff und intrinsischem Wert am Tag seines Aufschreis. Exchange Option: Option ein asset gegen ein anderes zu tauschen Basket Option: der Wert hängt nicht von einem Wertpapier sondern von einer Vielzahl ab 4 7
Faktoren, die auf den Optionspreis wirken Preis des Underlyings: bis auf weiteres Aktien strike Restlaufzeit Volatilität des Underlyings risikoloser Zinssatz Dividenden während der Laufzeit 5 Einflußfaktoren II Variable Eur. Call Eur. Put Am. Call Am. Put Aktienpreis + - + - Strike - + - + RLZ?? + + Volatilität + + + + Zinsen + - + - Dividenden - + - + 6 8
Obere Schranken: Schranken für Optionspreise c S und C...Preis einer am. Call Option auf Aktie c...preis einer eur. Call Option auf Aktie S...aktueller Aktienkurs p Xe rt und P...Preis einer am. Put Option auf Aktie p...preis einer eur. Put Option auf Aktie r...aktueller Zinssatz X...Ausübungspreis T...Restlaufzeit C P S X 7 Schranken für Optionspreise II Untere Schranken (keine Dividenden): c max( S C c p max( Xe P max( X Xe rt S rt S,),),) 8 9
Put-Call Parität für europ. Alternative : Der payoff von einem call long und einem put short mit den gleichen strikes X entspricht genau dem payoff eines forwards, daher muß gelten: c p S Xe rt Alternative : Portfolio A: Call Option mit strike X und Geld im Wert von Xe -rt Portfolio B: Put Option mit strike X und Aktie In T sind beide Portfolios max(s T,X) wert. c + Xe rt p + S 9 Übung Zeigen Sie, daß für amerik. gilt: S X C P S Xe rt Hinweis: Betrachten Sie a) ein Portfolio aus einem europ. Call und Geld im Wert von X und b) ein Portfolio aus einem am. Put und einer Aktie.
Der Effekt von Dividenden Unter Schranken (Dividenden) c C p max( S c max( D + D Xe P p D... Barwert der Dividende Put-Call Parität rt c + D + Xe bzw. S rt Xe p + rt D X C P S S S,),) Xe rt Probleme und Ergebnisse Probleme: zeitgleiche Meßung Abitrage könnte nur kurzfristig möglich gewesen sein Transaktionskosten Put-Call Parität gilt nur für eur. Dividenden müssen prognostiziert werden Ergebnisse: mehrere Studien belegen, daß Optionspreise fast immer in den gegebenen Schranken liegen
Hedge Call 6 4 Profit 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 - -4-6 Aktienkurs Call long Aktie short : Hedge Put 3 Hedge Put 6 Gewinn 4 Aktienkurs 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 - -4-6 Verlust : Hedge Put Aktie Long Put long 4
: Hedge Put 6 Gewinn 4 Aktienkurs 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 - -4-6 Verlust : Hedge Put Aktie long Puts long 5 : Hedge Call 6 Gewinn 4 Aktienkurs 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 - -4-6 Verlust : Hedge Call Aktie long Calls short 6 3
: Reverse Hedge Call 6 Gewinn 4 Aktienkurs 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 - -4-6 Verlust : Reverse Hedge Call Aktie short Calls long 7 Bullspread 6 4 Profit 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 - -4-6 Aktienkurs Call long Call short Bull Spread 8 4
Bear Spread 6 4 Profit 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 - -4-6 Aktienkurs Call long Call short Bear Spread 9 Butterfly Spread 6 4 Profit 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 - -4-6 Aktienkurs Calls short Call long Call long Butterfly Spread 3 5
Butterfly Spread II Ist das möglich? 6 4 Profit 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 - -4-6 Aktienkurs Calls short Call long Call long Butterfly Spread 3 Calendar Spread 6 4 Profit 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 - -4-6 Aktienkurs Call short Call long (längere Laufzeit) Calendar Spread 3 6
Straddle 6 5 4 3 Profit - 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 - Aktienpreis Call long Put long Straddle 33 Strangles 6 5 4 3 Profit 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 - - Aktienpreis Call long Put long Strangle 34 7
Bewertung von Wir haben bereits obere und untere Schranken für den Wert von Call und Put bestimmt. Die Fragen, die sich nun stellen, lauten: Können wir das Intervall zwischen Ober- und Untergrenzeverkleinern? Ist es vielleicht sogar möglich einen exakten Preis zu berechnen? Die Antwort ist JA! Aber: wir müssen die Wirklichkeit sehr stark vereinfachen, damit wir zu diesen Antworten kommen. 35 Modell der Kursentwicklung Wir nehmen an, daß es morgen nur zwei Zustände gibt: gut (g) und schlecht (s). Eine Aktie, die heute wert ist, wird morgen um in g und um 9 in s gehandelt. Die Wahrscheinlichkeit, daß morgen g eintritt, sei 5/6. Aktie: 5/6 Anleihe /6 5/6 9 99 /6 36 8
Payoff eines Calls Nun betrachten wir eine Call Option mit strike und Prämie c. Die Auszahlung morgen hat folgende Gestalt: c 5/6 /6 5/6 /6 9 37 ein Versuch Ein naheliegender Weg den Preis der Option zu berechnen wäre folgender: mit einer Wahrscheinlichkeit von 5/6 erhalten wir und sonst. Wir erwarten einen payoff von /6. Diesen erwarteten Payoff zinsen wir auf heute ab: 99 * 6 5 Wir halten 5 für einen fairen Preis. Bei höheren Preisen würden wir verkaufen, bei niedrigeren kaufen. 38 9
ein Portfolio Gegeben sei nun folgendes Portfolio: /3 Aktien long 6/ Anleihen short Welchen payoff hat dieses Portfolio morgen? In g erhalten wir 8 (*/3) - 6 (-*6/). In s erhalten wir 6 (9*/3) - 6 (-*6/). Das heißt, dieses Portfolio hat den gleichen payoff wie der Call Preis des Portfolios * /3-99 * 6/ /3 39 Portfolio II Vorhin haben wir einen Preis von 5 ausgerechnet. Jetzt haben wir gesehen, daß der Payoff durch ein Portfolio nachgebildet werden kann, das nur /3 kostet. Was bedeutet das? Würden wir für die Option wirklich 5 zahlen, würde irgendjemand uns diese verkaufen und gleichzeitig um /3 ein Portfolio kaufen. Mit jeder Option, die wir ihm abkaufen, verdient er vollkommen risikolos und ohne Einsatz von Kapital 3 /3. Das kann nicht sein! 4
Portfolio III Ist die Bewertung der Option purer Zufall oder steckt System dahinter? Betrachten wir dazu das Problem etwas systematischer. Wir suchen ein Portfolio, das morgen den gleichen payoff erzeugt wie die Option oder anders ausgedrückt: x* + y* x* 9 + y* x ist die Anzahl der Aktien, y die der Anleihen Lösung des Gleichungssystems ergibt: x/3 und y-6/ 4 Binomialmodell Aktie: g*s p S /4 -p s*s Anleihe: p e r /4 -p e r 4
Binomialmodell II Wir betrachten nun Option, die in s Z s und in g Z g auszahlt und versuchen den Preis Z zu berechnen. p Z g Z /4 -p Z s Wie vorher müssen wir dazu ein lineares Gleichungssystem lösen. x*gs o + y*e r Z g x*ss o + y*e r Z s 43 Binomialmodell III Die Lösung lautet: Zg Zs gzs szg x, y r S( g s) e ( g s) Der Preis der Option Z ist daher: Z r r e s g e xs + y Z g + Z r s e g s g s 44
Beispiel Put Option Aktie und Anleihe seien wie weiter vorne. Versuchen Sie nun das Hedge Portfolio und den Preis einer Put Option mit strike auszurechnen. Lösung: g.; s.9; Z g ; Z s ; r,54; x-/3; y4; Z6 /3 45 risikolose Wahrscheinlichkeiten Werfen wir noch einen Blick auf die Formel. Sei r r e s g e qg, qs g s g s dann können wir die Formel auch so schreiben ( q Z q Z ) Z r g g + e Beachten Sie, daß q g + qs Das heißt, wir können diese Gewichte als Wahrscheinlichkeiten interpretieren. s s 46 3
risikolose Wahrscheinlichkeiten II Bezeichnen wir nun den zufälligen Payoff der Option morgen mit Z {Z g, Z s }, so können wir den Wert der Option heute Z als diskontierten Erwartungswert unter Q angeben. Z Q ( q Z + q Z ) E [ Z ] r g g s s r e Der Preis ist nicht der diskontierte Erwartungswert unter den objektiven sondern unter diesen konstruierten Wahrscheinlichkeiten! Die objektive Wahrscheinlichkeit p spielt keine Rolle. e 47 Bemerkungen Die letzte Gleichung gilt auch für die Aktie und die Anleihe. Überprüfen Sie diese Aussage. Q S E r e e Q r [ S ], E [ e ] Versuchung der Wirklichkeit näher zu kommen durch mehr Zustände z. B. Trinomialbaum r 48 4
Trinomialbaum gs S ms ss Beispiel: Call mit strike ; Anleihe wie gehabt; Aktie zahlt in m, berechnen Sie den Preis (Hedge Portfolio). 9 49 Problem! Folgende 3 Gleichungen müssen gelöst werden: x*+y* x*+y* x* 9+y* Die zweite und die dritte Gleichung können nur stimmen, wenn xy ist. Dann ist aber die erste nicht erfüllt!! Es gibt kein Hedgeportfolio! Wir können den Preis nicht exakt bestimmen. Trotzdem kann der Preis selbstverständlich nicht beliebig sein. Der Call darf nicht mehr als wieviel kosten? 5 5
Schranken für den Call Der Call darf nicht mehr als /3 kosten. Hedge Portfolio: /3, -6/ Payoff (, 6 /3, ) Niemand würde bei einem Preis darüber den Call kaufen! Der Call kann aber auch nicht weniger als kosten. Hedge Portfolio:, -/ Payoff (,, -) Niemand würde den Call für weniger als verkaufen! 5 Näher an der Wirklichkeit Wir haben gesehen, daß Multinomialmodelle zu erheblichen Problemen führen. Eine Annäherung an die Realität muß daher anders gewählt werden. Mehrperiodige Bäume! heute morgen übermorgen ggs gs S gss ss sss 5 6
Mehrperiodige Bäume Den Wert einer europ. Option berechnet man nun, indem man am Ende des Baumes beginnt und sich Schritt für Schritt zum Anfang vorarbeitet. Man gelangt dann zu folgender Formel Z e Q ( q Z + q q Z + q Z ) E [ Z ] r g gg g s gs s ss Bei einer amerik. Option ist es nicht möglich so eine einfache Formel anzugeben. Denn wir müssen nach jedem Schritt überprüfen, ob es nicht besser wäre, die Option auszuüben. e r 53 Beispiel Der heutige Aktienkurs sei 5. g., s.8, r.5. Berechnen Sie den Preis eines europ. Put mit strike 5 und einer Laufzeit von Perioden. heute morgen übermorgen 6 5 48 4 7 3 54 7
Beispiel II Payoff des Puts in Perioden? heute morgen übermorgen 7 6 4 5 48 4 3 55 Lösung des Beispiels I Zuerst betrachten wir morgen 6 übermorgen 7 4 48 q Z g g.5 e..5 e.8.63.8 (.63 +.37 4). 447 56 8
Lösung des Beispiels II Wert in Periode : heute morgen übermorgen 7.447 6 4 5 48 9.4636 4 3 57 Lösung des Beispiels III Wert in Periode : morgen übermorgen.447? 9.4636 q g Z.5 e..5 e.8.63.8 (.63.447 +.37 9.4636) 4. 93 58 9
Lösung des Beispiels IV Alternativ zum letzten Lösungsweg können wir auch die folgende Formel verwenden: Z Z e Q ( q Z + q q Z + q Z ) E [ Z ] r g gg g s gs s ss e. 4.93 e r (.63 +.63.37 4 +.37 ) 59 Amer. Put Option Was ändert sich, wenn die Option amerikanisch ist? Dann müssen wir überprüfen, ob vorzeitig ausgeübt werden soll! 7.447 6 4 5 48 9.4636 4 3 6 3
Amer. Put Option II Im Zustand s in Periode, ist die Option bei Nichtausübung 9.4636 wert. Wenn sie ausgeübt wird, erhalten wir 5-4. Das ist mehr! > Ausüben Die Bewertung ändert sich daher in Periode..447? Z e (.63.447 +.37 ) 5. 894.5 6 Beispiel Der heutige Aktienkurs sei. g, s.5, r.5. Berechnen Sie den Preis eines europ. und eines amerik. Call mit strike und einer Laufzeit von Perioden. heute morgen übermorgen 4 5 5 6 3
Wie geht es nun weiter? Es drängt sich nun die Frage auf, ob diese Bäume verwendet werden, um Optionspreise auszurechnen. Ja! Sehr oft! Wie? Man zerteilt die Restlaufzeit in hunderte Perioden! Risikoloser Zinssatz und g und s werden geschätzt und los geht es. Alternative: man wechselt in die Black Scholes Welt, die wir bald kennenlernen werden. 63 Zusammenfassung Sind wir bereit ein paar Annahmen zu treffen, dann können wir beliebige Optionspreise ausrechnen. Die wichtigsten Annahmen sind: die Realität läßt sich durch einen Baum hinreichend genau abbilden Märkte sind effizient und friktionslos (keine Transaktionskosten, keine Marktmacht etc.) Wertpapiere sind teilbar (bei großen Summen unwichtig) Leerverkäufe sind möglich Soll- und Habenzinsen sind gleich 64 3
Die Black-Scholes Welt Die Laufzeit einer Option kann ich durch verschieden feine Bäume abbilden. heute morgen oder heute morgen 65 Black-Scholes Welt II Treibt man diese Verfeinerungen auf die Spitze, so landet man in der Welt von Black-Scholes. Gegenüber dem Biomialmodell kann hier zu jedem Zeitpunkt gehandelt werden und nicht nur zu speziellen Zeitpunkten. Mathematisch landet man bei einer sogenannten Geometrisch Brownschen Bewegung. Wie ist das zu verstehen? 66 33
Wiener Prozeß Ein Wiener Prozeß z ist durch folgende Eigenschaften charakterisiert: die Veränderung z t z(t+ t)-z(t) während eines kleinen Zeitintervalls t ist normalverteilt mit Mittelwert und Varianz t. die Veränderungen z für verschiedene Zeitintervalle sind statistisch unabhängig voneinander Für infinitesimal kleine Intervalle schreiben wir statt z einfach dz Verallgemeinerung: dx a dt + b dz 67 Wiener Prozeß 8 6 4 5 9 3 7 5 9 33 37 4 45 49 53 57 6 65 69 73 77 8 85 89 93 97 - -4-6 -8-68 34
Verallgem. Wiener Prozeß 35 3 5 5 5 5 9 3 7 5 9 33 37 4 45 49 53 57 6 65 69 73 77 8 85 89 93 97-5 69 rt Geometrisch Brownsche Bewegung Kurse von Aktien sind selbstverständlich nicht normalverteilt, aber bei den stetigen Renditen können wir das erhoffen σ ln S ( t + t ) ln S ( t ) ~ N α t, σ t Dies erlaubt zwei Darstellungen σ d ln S α dt ds α Sdt + σsdz + σdz 7 35
Modell des Kursverlaufs Akzeptiert man die Annahme, daß Renditen diesem Prozeß gehorchen, dann ist der Aktienkurs lognormalverteilt. Erwartungswert und Varianz des Kurses sind gegeben durch: E V [ S ] T [ ] ( ) αt σ T S S e e T S e αt 7 Kursmodell 8 6 S ; r.5; σ.; α.5 4 8 6 4 4 6 8 4 6 8 4 6 8 3 3 34 36 38 4 4 44 46 48 5 5 54 56 58 6 6 64 66 68 7 36
Volatilität Wie schätzt man die Volatilität der Kurse? Einfache historische Volatilität: n Kursbeobachtungen alle τ Jahre (z.b. täglich: τ/365). S i u i ln Si Die Standardabweichung σ * wird dann so berechnet n s n i ( u u ) * i, σ s τ Ewma Garch 73 Black-Scholes Annahmen Kurs folgt dem Prozeß von vorher short selling ist erlaubt keine Transaktionskosten, keine Steuern, Wertpapiere sind beliebig teilbar keine Dividenden während der Laufzeit keine risikolosen Arbitragemöglichkeiten Wertpapiere können immer gehandelt werden es existiert ein konstanter risikoloser Zinssatz α und σ sind konstant Manche dieser Annahmen können abgeschwächt werden 74 37
Black-Scholes Unter diesen Annahmen erhalten wir Formeln für europ. Call und Put c p d d S Xe ln d N rt ( d) Xe N( d) rt N( d ) S N( d ) ( S / X ) + ( r + σ / ) σ T σ T T 75 Beispiel Call Option; S 4, X 4, r % p.a., σ. p.a. und T.5 d d Xe ln d rt ( 4 / 4) + (.+. / ). 4e.5 ( ) 38.49N(.678) c 4N.7693..5.5.678 38.49.5.7693 N(.7693).779 und N(.678).7349 76 38
Beispiel II Die Option kostet daher c 4.76. Berechnen Sie den Preis der Put Option. 77 Optionsscheine einer Firma Der Wert der XY AG sei auf N Aktien aufgeteilt. Zusätzlich seien M europ. Optionsscheine im Umlauf, die dem Besitzer erlauben, zum Zeitpunkt T γaktien zum Preis von X pro Stück bei der XY AG zu kaufen. (Es entstehen also neue Aktien und es kommt zu einer Kapitalerhöhung.) Können wir den Preis des Optionsscheins ausrechnen? Ja! Sei V(T) der Wert der Firma in T. Wenn die Optionsscheine ausgeübt werden, dann erhöht sich der Firmenwert zu V(T) + M γx. Dieser muß auf N + M γ Aktien verteilt werden. Wert einer Aktie: V ( T ) + Mγ X N + Mγ 78 39
Optionsscheine II Der payoff an den Besitzer des Optionsscheines ist daher V ( T ) + Mγ X Nγ V ( T ) γ N + Mγ X N + Mγ Der Optionsschein wird natürlich nur dann ausgeübt, wenn der Payoff positiv ist Nγ V ( T ) max N + Mγ N X, Es handelt sich also um eine Call Option auf V/N! N X 79 Optionsscheine III Der Wert V() ist gegeben durch V () V () NS + MW oder S + N Wir müssen daher in B/S S durch S + (M/N)W ersetzen, die gemeinsame Volatilität der Aktien und Optionsscheine verwenden und schließlich die Formel mit Nγ N + Mγ multiplizieren. M N W 8 4
Implizite Volatilität Bei manchen wird nicht der Preis quotiert, sondern die sogenannte implizite Volatilität. c S d d ln d N rt ( d ) Xe N( d ) ( S / X ) + ( r + σ / ) σ T σ Wenn ich S, X, r und c kenne, dann kann ich mir σ ausrechnen. Umgekehrt kann ich mir aus S, X, r und σ c ausrechnen. T T 8 Dividenden Stetiger bekannter Dividendenstrom δ: wenn wir die normale Black-Scholes Formeln mit c (T,S ) bzw. p (T,S ) bezeichnen, so gilt: c p δ δ T ( T, S ) c( T, S e ) δ T ( T, S ) p ( T, S e ) δ Bei n diskreten Dividendenzahlungen gilt: c p δ ( T, S ) c n T,( δ ) ( T, S ) p n T,( δ ) δ ( S ) ( S ) 8 4
Dividenden Approximation von Black Bereinigen des Aktienkurses um Dividenden Berechnung des Optionswertes für Laufzeit T Laufzeit bis Dividendentermin und X-Dividende Vergleich der Ergebnisse Approximation von Barone-Adesi und Whaley siehe OeNB Leitfaden zum Marktrisiko Band 4 Roll, Geske und Whaley siehe Hull: Option, Futures and other derivatives 83 Formeln, Formeln, Formeln auf Fremdwährungen: S...Wechselkurs r f Zinsen in fremder Währung c e p d d r Xe d f ln T S rt rt ( d) Xe N( d) rf T ( d ) e S N( d ) ( S / X ) + ( r r + σ / ) σ N N T σ T f T 84 4
Formeln, Formeln, Formeln auf Futures: F Futurespreis r f Zinsen in fremder Währung c e p d d Xe d rt ln F rt rt ( d) Xe N( d) rt ( d ) e F N( d ) ( F / X ) + ( σ / ) N N σ σ T T T 85 Formeln, Formeln, Formeln Caps und Floors: Zerlege sie in Caplets (Floorlets). Das k-te Caplet (Floorlet) wir wie folgt bewertet: τ in Jahren ausgedrückte Zinszahlungsperiode des k-ten Caplets (Floorlets) F k Forward τ Jahreszinssatz p.a. in [kτ,(k+)τ] τ rkt caplet e [ Fk N( d) XN( d) ] + τf τ floorlet + τf d d ln d ( F / X ) + ( σ / ) k σ σ k k k k kτ e kτ rkt k [ XN( d ) F N( d )] T k 86 43
Numerische Optionsbewertung Binomialmodell Trinomialmodell (bei Zinsoptionen) Methode der finiten Differenzen Monte Carlo Simulation Implied Binomial Trees : p r t e s g s, g e σ t, s e σ t John Hulls Homepage mit gratis Software für eine Reihe von http://www.mgmt.utoronto.ca/~hull/ 87 Hedging Eine Bank hat europ. Call um $3, auf, Aktien (keine Dividenden) verkauft S 49, X 5, r 5%, σ %, T Wochen, µ 3% Der Black-Scholes Wert der Option ist $4, Wie kann sich die Bank gegen dieses Risiko versichern? Naked position: nichts tun Covered position: sofort, Aktien kaufen Beide Strategien bergen große Riskien in sich! 88 44
Stop Loss Strategie Diese besteht aus, Aktien kaufen sobald der Preis auf $5 steigt Fällt der Preis unter $5 werden, Aktien verkauft Diese einfache Strategie funktioniert nicht so wirklich! 89 Delta Delta ( ) beschreibt die Änderung des Optionspreises o, wenn sich der Preis des Underlying S ändert. Options preis o S B Anstieg A Kurs d. Aktie 9 45
Delta Hedging Konstruiere ein Delta neutrales Portfolio Das Delta einer europ. Call Option auf eine Aktie mit Dividendenrate q ist N (d )e qt Das Delta eines europ. Put ist e qt [N (d ) ] Die hedge position muß regelmäßig adjustiert (rebalanced) werden Eine geschriebene Option Delta zu hedgen impliziert eine buy high, sell low Strategie. 9 Delta 5.. 5.. 5.. 8 8 84 86 88 9 9 94 96 98 4 6 8 4 6 8 Call S Call 3 Tage Call 9 Tage Call Tag 9 46
Theta Das Theta (Θ) eines derivativen Produktes (oder eines Portfolio von Derivativen) gibt die Rate der Änderung in Abhängigkeit von der Restlaufzeit wieder. Laufzeit -5 out of the money at the money - Theta -5 - in the money Θ o t -5 93 Gamma Gamma (Γ) beschreibt die Änderung von delta ( ) in Abhängigkeit vom Underlying..4 Gamma.35.3.5. Γ S.5..5 8 8 84 86 88 9 9 94 96 98 4 6 8 4 6 8 S Gamma Tag Gamma 3 Tage Gamma 9 Tage 94 47
Vega Vega (ν ) ist die Änderug des Optionswertes bei Änderung der impliziten Volatilität.4.35.3 υ o σ.5 Vega..5..5 5 54 58 6 66 7 74 78 8 86 9 94 98 6 4 8 6 3 34 38 4 46 5 S Vega 36 Tage Vega 8 Tage Vega 9 Tage Vega 3 Tage Vega Tag 95 Delta, Gamma und Vega kann durch Kauf / Verkauf des Underlyings angepaßt werden Um Γ & ν anzupassen, müssen andere derivative Produkte herangezogen werden. 96 48
Rho Rho ρ gibt an, wie stark sich der Optionspreis verändert, wenn sich der Zinssatz verändert Bei Währungsoptionen gibt es daher Rhos! Rho.9.8.7.6.5.4.3 o ρ r Rho Call 36 Tage Rho 8 Tage Rho 9 Tage Rho 45 Tage Rho Tag.. 8 8 84 86 88 9 9 94 96 98 4 6 8 4 6 8 S 97 Hedging in der Praxis Händler versuchen ihre Portfolios wenigstens einmal täglich delta-neutral zu machen. Bei Gelegenheit wird versucht Gamma und Vega zu verbessern Je größer ein Portfolio ist, umso billiger wird das Hedging 98 49