3. Unternehmenstheorie

3. Unternehmenstheorie Georg Nöldeke WWZ, Universität Basel Intermediate Microeconomics, HS 11 Unternehmenstheorie 1/97

2 / 97 3.1 Einleitung Als Ziel eines Unternehmens wird die Gewinnmaximierung unterstellt. Die (technologischen) Möglichkeiten eines Unternehmens werden durch eine Produktionsfunktion dargestellt. Möglichkeiten und Ziele bestimmen zusammen den optimalen Produktionsplan.

3.1 Einleitung Ein Unternehmen verwendet Inputs, die auch Produktionsfaktoren genannt werden, um Outputs zu erzeugen. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass nur zwei Inputs verwendet werden, um einen Output zu produzieren. Zur Veranschaulichung werden die beiden Inputs als Arbeit (Input 1) und Kapital (Input 2) bezeichnet. Definition (Produktionsplan) Ein Produktionsplan (x 1,x 2,y) besteht aus der Angabe von Mengen der beiden Inputs, x 1 0 und x 2 0, und einer Outputmenge y 0. Die Technologie eines Unternehmens bestimmt, welche Produktionspläne durchführbar sind. Dies wird durch die Angabe einer Produktionsfunktion beschrieben. 3 / 97

4 / 97 3.2 Produktionsfunktion Definition (Produktionsfunktion) Eine Produktionsfunktion f ordnet jeder Inputkombination (x 1,x 2 ) die maximale Outputmenge y = f (x 1,x 2 ) zu, die mit dieser Inputkombination erzeugt werden kann. Im Folgenden ist durchweg unterstellt, dass die betrachteten Produktionsfunktionen differenzierbar sind. Definition (Grenzprodukt) Die partielle Ableitung f (x 1,x 2 ) x i heisst das Grenzprodukt von Input i und wird als MP i (x 1,x 2 ) geschrieben.

5 / 97 3.2 Produktionsfunktion Ökonomische Interpretation des Grenzprodukts von Input i: Zusätzlicher Output der resultiert, wenn eine zusätzliche Einheit von Input i bei unveränderter Menge des anderen Inputs eingesetzt wird. Dies entspricht dem Konzept des Grenznutzens aus der Konsumententheorie mit dem wesentlichen Unterschied, dass das Grenzprodukt eine messbare Grösse ist. Annahme (Streng positive Grenzprodukte) Für alle (x 1,x 2 ) > 0 sind die Grenzprodukte beider Inputs streng positiv: MP 1 (x 1,x 2 ) > 0 und MP 2 (x 1,x 2 ) > 0.

6 / 97 3.2 Produktionsfunktion Änderung des Grenzprodukt von Input i bei einer Änderung der Einsatzmenge von Input j: MP i j (x 1,x 2 ) = 2 f (x 1,x 2 ) x i x j = MP i(x 1,x 2 ) x j für i, j = 1,2. MP ii (x 1,x 2 ) beschreibt, wie sich ausgehend von den Inputmengen (x 1,x 2 ) das Grenzprodukt von Input i bei einer Erhöhung der Einsatzmenge von Input i ändert. Die Einsatzmenge des anderen Inputs wird dabei als fix unterstellt. MP 12 (x 1,x 2 ) = MP 21 (x 1,x 2 ) beschreibt, wie sich das Grenzprodukt eines Inputs bei einer Erhöhung der Menge des anderen Inputs ändert.

7 / 97 3.2 Produktionsfunktion Annahme (Abnehmende Grenzprodukte) Die Produktionsfunktion weist abnehmende Grenzprodukte auf, d.h. das Grenzprodukt eines jeden Inputs ist streng fallend in der Einsatzmenge des betrachteten Inputs: MP 11 (x 1,x 2 ) < 0 und MP 22 (x 1,x 2 ) < 0 gilt für alle (x 1,x 2 ) > 0. Eine plausible Alternative zu der Annahme abnehmender Grenzprodukte ist ein ertragsgesetzlicher Verlauf der Grenzprodukte: Für eine gegebene Einsatzmenge des anderen Inputs ist das Grenzprodukt von Input i für kleine Einsatzmengen zunächst steigend in x i und dann für grosse Einsatzmengen fallend in x i.

8 / 97 3.2 Produktionsfunktion Annahme (Komplementäre Inputs) Die Inputs sind komplementär, d.h. das Grenzprodukt beider Inputs ist steigend (oder konstant) in der Einsatzmenge des anderen Inputs: MP 12 (x 1,x 2 ) = MP 21 (x 1,x 2 ) 0 gilt für alle (x 1,x 2 ) > 0. Gilt in der obigen Annahme strenge Ungleichung für alle (x 1,x 2 ) > 0, so nennen wir die Inputs streng komplementär.

9 / 97 3.2 Produktionsfunktion Zwei Beispiele für Produktionsfunktionen: 1. (Spezialfall der) Cobb-Douglas-Produktionsfunktion: f (x 1,x 2 ) = x α 1 xβ 2 mit α > 0 und β > 0. 2. (Spezialfall der ) CES-Produktionsfunktion: f (x 1,x 2 ) = x ρ 1 + xρ 2 mit ρ > 0. Fragen: Für welche Werte der Parameter sind hier die Grenzprodukte streng positiv und abnehmend? die Inputs (streng) komplementär?

10 / 97 3.3 Kurzfristige Produktion Eine kurzfristige Produktionsfunktion ordnet jeder Menge eines der Inputs bei gegebener Menge des anderen Inputs die maximal mögliche Outputmenge zu. Der Input, dessen Menge gegeben ist, bezeichnet man als fixen Input oder fixen Faktor. Der Input, dessen Menge als veränderlich betrachtet wird, bezeichnet man als variablen Input oder variablen Faktor. In der Betrachtung kurzfristige Produktionsfunktionen gehen wir davon aus, dass Input 1 variabel und Input 2 fix ist. Definition (Kurzfristige Produktionsfunktion) Für gegebenes x 2 > 0 ist die kurzfristige Produktionsfunktion durch f (x 1, x 2 ) gegeben.

3.3 Kurzfristige Produktion Abbildung: Kurzfristige Produktionsfunktionen f (x 1, x 2 ) für unterschiedliche Werte von x 2. Die zu Grunde liegende Produktionsfunktion ist die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = x1 0.6x0.4 2. 11 / 97

12 / 97 3.3 Kurzfristige Produktion Verlauf der kurzfristigen Produktionsfunktion Die kurzfristige Produktionsfunktion ist steigend in der Einsatzmenge des variablen Faktors. Ableitung der kurzfristigen Produktionsfunktion ist MP 1 (x 1, x 2 ) > 0. Die Steigung der kurzfristigen Produktionsfunktion ist fallend. Die zweite Ableitung der kurzfristigen Produktionsfunktion ist MP 11 (x 1, x 2 ) < 0. Ist der variable Faktor unverzichtbar, d.h. f (0, x 2 ) = 0, so beginnt die kurzfristige Produktionsfunktion im Nullpunkt. Für Cobb-Douglas Produktionsfunktion ist der variable Faktor unverzichtbar, für CES ist er es nicht.

13 / 97 3.3 Kurzfristige Produktion Komparative Statik der kurzfristigen Produktionsfunktion Eine Vergrösserung der Einsatzmenge des fixen Faktors verschiebt die kurzfristige Produktionsfunktion nach oben, da das Grenzprodukt des fixen Faktors streng positiv ist. Zudem wird die kurzfristige Produktionsfunktion steiler, da angenommen wurde, dass die Inputs komplementär sind.

3.3 Kurzfristige Produktion Abbildung: Für die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = x1 0.6x0.4 2 aus der vorhergehenden Abbildung ist das Grenzprodukt des variablen Faktors um so grösser, je grösser die Einsatzmenge des fixen Faktors. Hier wird MP 1 (4, x 2 ) für verschiedene Werte von x 2 durch die Steigung der jeweiligen Tangente an die kurzfristige Produktionsfunktion dargestellt. 14 / 97

15 / 97 3.4 Durchschnittsprodukte und Produktionselastizität Definition (Durchschnittsprodukt) Das Verhältnis f (x 1,x 2 )/x i von Outputmenge zur Einsatzmenge von Input i heisst das Durchschnittsprodukt von Input i und wird als AP i (x 1,x 2 ) geschrieben. Durchschnittsprodukte werden in der Praxis oftmals als Mass für die Produktivität eines Inputs verwendet. Siehe das folgende Beispiel zur Automobilindustrie. Fragen: Wie hängen Durchschnittsprodukte von den verwendeten Inputmengen ab? Welcher Zusammenhang besteht zwischen Durchschnittsund Grenzprodukten?

16 / 97 3.4 Durchschnittsprodukte und Produktionselastizität Abbildung: 1/(Durchschnittsprodukt der Arbeit) in verschiedenen Unternehmen der Automobilindustrie (aus Capital 02/2006)

17 / 97 3.4 Durchschnittsprodukte und Produktionselastizität AP i j (x 1,x 2 ): partielle Ableitung des Durchschnittsprodukts von Input i nach der Menge des Input j. Für i j beschreibt AP i j (x 1,x 2 ) also, wie sich das Durchschnittsprodukt des Inputs i bei einer Erhöhung der Einsatzmenge des anderen Inputs j verändert. Der Ausdruck AP ii (x 1,x 2 ) beschreibt hingegen, wie sich das Durchschnittsprodukt des Inputs i bei einer Erhöhung der Menge des gleichen Inputs verändert. Satz Das Durchschnittsprodukt eines Inputs ist steigend in der Einsatzmenge des anderen Inputs. Für alle x > 0 gilt AP i j (x 1,x 2 ) > 0 für i j.

Das vorhergehende Ergebnis gilt, da bei einer Erhöhung der Einsatzmenge des anderen Inputs der Output ansteigt. Damit steigt auch der Output pro Einheit des Inputs, der konstant gehalten wird. Die Annahme abnehmender Grenzprodukte erlaubt es zu bestimmen, wie das Durchschnittsprodukt eines Inputs auf eine Änderung der Einsatzmenge des gleichen Inputs reagiert. Abnehmendes Grenzprodukt Durchschnittsprodukt liegen oberhalb der Grenzprodukte und fallen in der Einsatzmenge. 18 / 97

3.4 Durchschnittsprodukte und Produktionselastizität Satz Bei abnehmenden Grenzprodukten ist das Durchschnittsprodukt eines Inputs ist streng grösser als sein Grenzprodukt, AP i (x 1,x 2 ) > MP i (x 1,x 2 ) für alle (x 1,x 2 ) > 0, woraus folgt, dass das Durchschnittsprodukt streng fallend in der Einsatzmenge des betrachteten Inputs ist. AP ii (x 1,x 2 ) < 0 für alle (x 1,x 2 ) > 0. Diese Zusammenhänge lassen sich am einfachsten durch die Betrachtung von kurzfristigen Produktionsfunktionen illustrieren. 19 / 97

20 / 97 3.4 Durchschnittsprodukte und Produktionselastizität Abbildung: Eine kurzfristige Produktionsfunktion mit abnehmendem Grenzprodukt des variablen Faktors. Das Durchschnittsprodukt liegt oberhalb des Grenzprodukts und ist ebenfalls fallend.

21 / 97 3.4 Durchschnittsprodukte und Produktionselastizität Definition (Produktionselastizität) Die Produktionselastizität eines Inputs i beschreibt das Verhältnis der relativen Änderung der Outputmenge zur relativen Änderung der Einsatzmenge des betrachteten Inputs bei einer Erhöhung der Inputmenge: ε i (x 1,x 2 ) = f (x 1,x 2 ) x i x i f (x 1,x 2 ) = MP i(x 1,x 2 ) AP i (x 1,x 2 ) > 0 Aus ökonomischer Sicht ist die Produktionselastizität von Input i als (approximative) Antwort auf die Frage Um wieviel Prozent steigt der Output, wenn die Einsatzmenge von Input i um 1 Prozent steigt? zu verstehen.

22 / 97 3.4 Durchschnittsprodukte und Produktionselastizität Beachte: Die Produktionselastizität eines Inputs hängt im Allgemeinen von den Einsatzmengen beider Inputs ab. Ausnahme: Für eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion sind die Produktionselastizitäten beider Inputs konstant. Satz (Produktionselastizitäten und abnehmende Grenzprodukte) Bei abnehmenden Grenzprodukten gilt, dass die Produktionselastizitäten beider Inputs stets kleiner als 1 sind: ε i (x 1,x 2 ) < 1 für alle x > 0. Sind die Grenzprodukte nicht abnehmend, so kann die Produktionselastizität eines Inputs ohne weiteres den Wert 1 übersteigen.

23 / 97 3.4 Durchschnittsprodukte und Produktionselastizität Abbildung: Produktionselastizität bei einem ertragsgesetzlichen Verlauf. Die Produktionselastizität des variablen Faktors ist gleich dem Verhältnis Grenzprodukt/Durchschnittsprodukt. Lesebeispiel: Bei x 1 = 2 lässt eine Erhöhung des variablen Inputs um 1 Prozent den Output um 3 Prozent ansteigen.

24 / 97 3.5 Grenzrate der technischen Substitution Definition (Isoquanten) Die Isoquante I(y) einer Technologie gibt alle Kombinationen von Inputmengen an, mit denen maximal die Outputmenge y erzeugt werden kann: I(y) = {(x 1,x 2 ) f (x 1,x 2 ) = y}. Eine Isoquante ist also nichts anderes als eine Niveaulinie der Produktionsfunktion...... und entspricht damit der Konstruktion einer Indifferenzkurve zu einer gegebenen Nutzenfunktion.

25 / 97 3.5 Grenzrate der technischen Substitution Abbildung: Einige Isoquanten der (allgemeinen) Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = 2x 0.7 1 x0.4 2.

26 / 97 3.5 Grenzrate der technischen Substitution Entsprechend zur Grenzrate der Substitution in der Konsumententheorie definiert man: Definition (Grenzrate der technischen Substitution) Die Steigung einer Isoquante heisst Grenzrate der technischen Substitution. Die Grenzrate der Substitution bei den Inputmengen (x 1,x 2 ) wird als GRT (x 1,x 2 ) geschrieben. Die Grenzrate der technischen Substitution beschreibt, in welchem Verhältnis die Inputs ausgetauscht ( substituiert ) werden können, so dass die Outputmenge unverändert bleibt.

27 / 97 3.5 Grenzrate der technischen Substitution Satz Entsprechend zu dem Zusammenhang zwischen Grenzrate der Substitution und Grenznutzen in der Konsumententheorie gilt: Die Grenzrate der technischen Substitution ist gleich dem Negativen des Verhältnisses der beiden Grenzprodukte: GRT (x 1,x 2 ) = MP 1(x 1,x 2 ) MP 2 (x 1,x 2 ) < 0.

28 / 97 3.5 Grenzrate der technischen Substitution Satz Unsere Annahmen an die Produktionsfunktion sichern, dass sie artig ist. Also verlaufen die Isoquanten streng fallend und streng konvex. Die Grenzrate der technischen Substitution ist streng negativ: GRT (x 1,x 2 ) < 0 gilt für alle (x 1,x 2 ) > 0. Der Absolutwert der Grenzrate der technischen Substitution ist streng fallend entlang einer Isoquante: f (x 1,x 2 ) = f ( x 1, x 2 ) und x 1 > x 1 impliziert GRT (x 1,x 2 ) < GRT ( x 1, x 2 ).

29 / 97 3.5 Grenzrate der technischen Substitution Obgleich das vorhergehende Ergebnis besagt, dass der Absolutwert der Grenzrate der technischen Substitution fallend ist, spricht man zur Vereinfachung von einer fallenden Grenzrate der technischen Substitution. Ökonomische Interpretation der fallenden Grenzrate der technischen Substitution: Je mehr von einem Input zur Erzeugung einer bestimmten Outputmenge verwendet wird, desto leichter ist es, diesen Input durch den anderen Input so zu ersetzen, dass die Outputmenge unverändert bleibt.

30 / 97 3.6 Skalenelastizität und Skalenerträge Grenzprodukte, Durchschnittsprodukte und Produktionselastizitäten beziehen sich auf die Auswirkungen einer Veränderung der Einsatzmenge eines der Inputs bei gegebener Einsatzmenge des anderen Inputs. Bei der Betrachtung von Skaleneigenschaften der Produktionsfunktion wird hingegen eine proportionale Veränderung aller Inputs untersucht.

31 / 97 3.6 Skalenelastizität und Skalenerträge Definition (Skalenelastizität) Die Skalenelastizität ist die Summe der Produktionselastizitäten der beiden Inputs: ε S (x 1,x 2 ) = ε 1 (x 1,x 2 ) + ε 2 (x 1,x 2 ). Ökonomische Interpretation der Skalenelastizität: prozentuale Veränderung der Outputmenge wenn beide Inputmengen um ein Prozente erhöht werden. Definition (Lokale Skalenerträge) Gilt ε S (x 1,x 2 ) < 1, so sind die Skalenerträge lokal fallend. Gilt ε S (x 1,x 2 ) = 1, so sind die Skalenerträge lokal konstant. Gilt ε S (x 1,x 2 ) > 1, so sind die Skalenerträge lokal steigend.

3.6 Skalenelastizität und Skalenerträge Definition (Globale Skalenerträge) Sind die Skalenerträge für alle (x 1,x 2 ) > 0 lokal fallend, so weist die Produktionsfunktion global fallende Skalenerträge auf. Sind die Skalenerträge für alle (x 1,x 2 ) > 0 lokal konstant, so weist die Produktionsfunktion global konstante Skalenerträge auf. Sind die Skalenerträge für alle (x 1,x 2 ) > 0 lokal steigend, so weist die Produktionsfunktion global steigende Skalenerträge auf. Die hier definierten Konzepte der globalen Skalenerträge entsprechen der Definition der Skalenerträge aus dem Lehrbuch. 32 / 97

33 / 97 3.6 Skalenelastizität und Skalenerträge Satz (Charakterisierung der globalen Skalenerträge) Eine Produktionsfunktion f besitzt genau dann global fallende Skalenerträge, wenn f (tx 1,tx 2 ) < t f (x 1,x 2 ) global konstante Skalenerträge, wenn f (tx 1,tx 2 ) = t f (x 1,x 2 ) global steigende Skalenerträge, wenn f (tx 1,tx 2 ) > t f (x 1,x 2 ) für alle (x 1,x 2 ) > 0 und t > 1 gilt. Welche dieser Fälle sind plausibel?

34 / 97 3.7 Die Kostenfunktion Definition (Kostenfunktion) Die Kostenfunktion eines Unternehmens gibt die minimalen Ausgaben C(y) an, die zur Produktion einer Outputmenge y 0 erforderlich sind. Bestimmungsfaktoren des Verlaufs der Kostenfunktion sind: Technologische Möglichkeiten - durch die Produktionsfunktion beschrieben. Vorgebene Einsatzmengen allfälliger fixer Inputs. Preise der Inputs (w 1,w 2 ) > 0, zumeist als Faktorpreise bezeichnet. Zunächst betrachten wir den Verlauf der Kostenfunktion als gegeben und führen verschiedene Kostenbegriffe ein.

35 / 97 3.7 Die Kostenfunktion Fixkosten: Die Kosten F = C(0), die selbst dann anfallen, wenn kein Output produziert wird. Sie entsprechen den Ausgaben für fixe Inputs. Variable Kosten: Die Kosten VC(y) = C(y) C(0), die zusätzlich zu den Fixkosten entstehen, wenn statt keinem Output die Menge y produziert wird. Sie entsprechen den Ausgaben für die kostenminimierenden Einsatzmengen der variablen Inputs. Beachte: C(y) = F +VC(y), d.h. die Gesamtkosten sind die Summe von Fixkosten und variablen Kosten.

36 / 97 3.7 Die Kostenfunktion Abbildung: Zerlegung einer Kostenfunktion in Fixkosten und variable Kosten. Die Fixkosten entsprechen dem vertikalen Achsenabschnitt der Kostenfunktion.

37 / 97 3.7 Die Kostenfunktion Grenzkosten:Die Ableitung der Kostenfunktion nach der Outputmenge MC(y) = C (y). Dies wird als die zusätzlichen Kosten einer weiteren Outputeinheit interpretiert. Beachte: MC(y) = VC (y): Die Grenzkosten sind auch die Ableitung der variablen Kosten, da die Fixkosten unabhängig von der produzierten Outputmenge sind.

38 / 97 3.7 Die Kostenfunktion Stückkosten oder Durchschnittskosten: Kosten pro Outputeinheit AC(y) = C(y)/y, welche in die durchschnittlichen Fixkosten AFC(y) = F/y und durchschnittlichen variablen Kosten AVC(y) = VC(y)/y zerlegt werden können: AC(y) = C(y) y = FC y + VC(y) y = AFC(y) + AVC(y). Beachte: AC(y) AVC(y): Die Durchnittskosten liegen stets oberhalb der durchschnittlichen variablen Kosten. AFC (y) 0: Die durchschnittlichen Fixkosten nehmen mit der Outputmenge ab und somit AC (y) AVC (y): Steigung der Durchschnittskosten kleiner als Steigung der durchschnittlichen variablen Kosten.

39 / 97 3.7 Die Kostenfunktion Abbildung: Die Durchschnittskosten liegen oberhalb der durchschnittlichen variablen Kosten und weisen eine niedrigere Steigung auf.

3.7 Die Kostenfunktion Beachte die folgenden Zusammenhänge zwischen (durchschnittlichen) variablen Kosten und Grenzkosten: MC(0) = AVC(0): Die Grenzkosten der ersten Einheit stimmen mit ihren durchschnittlichen variablen Kosten überein. Die Fläche unter den Grenzkosten entspricht den variablen Kosten und damit dem Produkt aus durchschnittlichen variablen Kosten und Outputmenge. y 0 MC(z)dz = C(y) C(0) = VC(y) = AVC(y) y. 40 / 97

41 / 97 3.7 Die Kostenfunktion Abbildung: Die braun schraffierte Fläche unter den Grenzkosten stimmt mit der Fläche des rot markierten Rechtecks überein.

42 / 97 3.7 Die Kostenfunktion Satz Für die Ableitung der Durchschnittskostenfunktion nach der Outputmenge gilt: ( ) C(y) AC MC(y)y C(y) MC(y) AC(y) (y) = = y y 2 =. y Daraus folgt: Die Durchschnittskosten sind genau dann fallend (bzw. steigend), wenn die Grenzkosten unterhalb (bzw. oberhalb) der Durchschnittskosten liegen: MC(y) > AC(y) AC (y) > 0 MC(y) = AC(y) AC (y) = 0 MC(y) < AC(y) AC (y) < 0

43 / 97 3.7 Die Kostenfunktion Beachte die folgenden Konsequenzen: Bei streng steigenden Durchschnittskosten liegen die Grenzkosten stets oberhalb der Durchschnittskosten. Bei konstanten Durchschnittskosten stimmen Grenzkosten und Durchschnittskosten überein. Bei streng fallenden Durchschnittskosten liegen die Grenzkosten stets unterhalb der Durchschnittskosten. Bei u-förmigen Durchschnittskosten gilt: Die Grenzkosten schneiden die Durchschnittskosten im Minimum der Durchschnittskosten. Die Grenzkosten sind in diesem Schnittpunkt streng steigend.

44 / 97 3.7 Die Kostenfunktion Abbildung: Bei einem u-förmigen Verlauf der Durchschnittskosten schneiden sich Grenzkosten und Durchschnittskosten im Minimum der Durchschnittskosten.

45 / 97 3.7 Die Kostenfunktion Satz Entsprechende Zusammenhänge gelten auch für Grenzkosten und durchschnittliche variable Kosten. Aus ( ) C(y) C(0) AVC (y) = = y folgt: MC(y)y VC(y) y 2 = MC(y) AVC(y) y MC(y) > AVC(y) AVC (y) > 0 MC(y) = AVC(y) AVC (y) = 0 MC(y) < AVC(y) AVC (y) < 0

46 / 97 3.7 Die Kostenfunktion Insbesondere gilt bei einem u-förmigen Verlauf der durchschnittlichen variablen Kosten: Die Grenzkosten schneiden die durchschnittlichen variablen Kosten im Minimum der durchschnittlichen variablen Kosten. Die Grenzkosten sind in diesem Schnittpunkt streng steigend. Was heisst u-förmig? Allgemein sagen wir, dass eine differenzierbare Funktion g(y) der Outputmenge y 0 u-förmig ist, wenn es ŷ > 0 gibt, so dass g (y) < 0 für y < ŷ und g (y) > 0 für y > ŷ gilt. Beachte, dass ŷ der eindeutige Minimierer einer u-förmigen Funktion ist.

47 / 97 3.8 Kurzfristige Kostenfunktion Für eine gegebene Einsatzmenge x 2 > 0 des fixen Faktors definiere x 1 (y, x 2) als die minimale Einsatzmenge des variablen Faktors, welche es ermöglicht, die Outputmenge y zu produzieren. x 1 (y, x 2) ist implizit durch die Gleichung y = f (x 1(y, x 2 ), x 2 ) bestimmt es handelt sich um die Umkehrfunktion der kurzfristigen Produktionsfunktion. Für gegebenes x 2 minimiert die Einsatzmenge x 1 (y, x 2) die Kosten der Produktion von y.

48 / 97 3.8 Kurzfristige Kostenfunktion Abbildung: In der kurzen Frist ist die kostenminimierende Einsatzmenge von Input 1 durch die Umkehrfunktion der kurzfristigen Produktionsfunktion gegeben.

49 / 97 3.8 Kurzfristige Kostenfunktion Definition (Kurzfristige Kostenfunktion) Für gegebene Einsatzmenge x 2 > 0 des fixen Faktors und gegebene Faktorpreise (w 1,w 2 ) ist die kurzfristige Kostenfunktion: C(y) = c(w 1,w 2,y, x 2 ) := w 1 x 1(y, x 2 ) + w 2 x 2. F = w 2 x 2 > 0: Fixkosten sind die Ausgaben für den fixen Faktor. VC(y) = w 1 x 1 (y, x 2): Variable Kosten sind die Ausgaben für die kostenminimierende Einsatzmenge des variablen Faktors. Im Folgenden ist x 1 (y, x 2) > 0 für y > 0 unterstellt der variable Input ist unverzichtbar.

50 / 97 3.8 Kurzfristige Kostenfunktion Abbildung: Eine kurzfristige Kostenfunktion zu der kurzfristigen Produktionsfunktion aus der vorhergehenden Abbildung. Die Faktorpreise sind durch (w 1,w 2 ) = (4,2) gegeben.

51 / 97 3.8 Kurzfristige Kostenfunktion Verlauf der kurzfristigen Grenzkosten: Satz Grenzkosten sind das Verhältnis des Preises des variablen Faktors zu seinem Grenzprodukt: MC(y) = c(w 1,w 2,y, x 2 ) y = w 1 MP 1 (x 1 (y, x 2), x 2 ) > 0. Auf Grund der Annahme der abnehmenden Grenzprodukte gilt: In der kurzen Frist sind die Grenzkosten streng steigend: MC (y) > 0.

Beachte: Da die durchschnittlichen Fixkosten in der kurzen Frist streng fallend sind, ergibt sich ein u-förmiger Verlauf der kurzfristigen Durchschnittskosten. 52 / 97 3.8 Kurzfristige Kostenfunktion Verlauf der kurzfristigen durchschnittlichen variablen Kosten: Durchschnittliche variable Kosten sind das Verhältnis des Preises des variablen Faktors zu seinem Durchschnittsprodukt: Satz AVC(y) = w 1x 1 (y, x 2) y = w 1 AP 1 (x 1 (y, x 2), x 2 ). Auf Grund der bereits bekannten Zusammenhänge zwischen AVC und MC folgt: In der kurzen Frist sind die durchschnittlichen variablen Kosten streng steigend: AVC (y) > 0.

3.8 Kurzfristige Kostenfunktion Kurzfristige Kosten und Produktionselastizität: Satz Aus und folgt: MC(y) = w 1 /MP 1 (x 1(y, x 2 ), x 2 ) AVC(y) = w 1 AP 1 (x 1 (y, x 2), x 2 ) Das Verhältnis von durchschnittlichen variablen Kosten zu Grenzkosten entspricht der Produktionselastizität des variablen Faktors: AVC(y) MC(y) = MP 1(x 1 (y, x 2), x 2 ) AP 1 (x 1 (y, x 2), x 2 ) = ε 1(x 1(y, x 2 ), x 2 ). 53 / 97

3.9 Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem Definition (Kostenminimierungsproblem) Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem besteht darin, diejenigen Inputmengen (x1,x 2 ) zu bestimmen, welche das Problem lösen. minw 1 x 1 + w 2 x 2 unter der Nebenbedingung f (x 1,x 2 ) = y x 1,x 2 Beachte: Für y = 0 ist (x1,x 2 ) = (0,0) die eindeutige Lösung des Kostenminimierungsproblems. Wir gehen im Folgenden davon aus, dass das Kostenminimierungsproblems für y > 0 eine innere Lösung hat dieses gilt immer, wenn beide Inputs unverzichtbar sind und es überhaupt möglich ist, y zu produzieren. 54 / 97

55 / 97 3.9 Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem Ein wichtiges Hilfsmittel zur grafischen Darstellung des Kostenminimierungsproblems sind die sogenannten Isokostenlinien w 1 x 1 + w 2 x 2 = c, die für vorgegebene Kosten c > 0, die Inputkombinationen (x 1,x 2 ) darstellen, deren Kosten bei den gegebenen Faktorpreisen gerade c entsprechen. Wie man an Hand der Darstellung x 2 = c w 2 w 1 w 2 x 1 erkennen kann, sind die Isokostenlinien parallele Geraden mit Steigung w 1 /w 2. Die komparative Statik der Isokostenlinien ist analog zu derjenigen der Budgetgeraden.

56 / 97 3.9 Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem Abbildung: Einige Isokostenlinien zu w 1 = 2 und w 2 = 1. Die Steigung ist 2. Die Kosten sind um so niedriger, je näher die Isokostenlinie am Ursprung liegt.

57 / 97 3.9 Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem In der grafischen Darstellung besteht das Kostenminimierungs- problem darin, denjenigen Punkt auf der Isoquante I(y) zu finden, der die niedrigste Isokostenlinie erreicht. Ein solcher Punkt ist dort erreicht, wo die Isokostenlinie tangential zu der Isoquante verläuft. Da die Steigung einer Isokostenlinie w 1 /w 2 ist und die Steigung einer Isoquante GRS(x 1,x 2 ) = MP 1 (x 1,x 2 )/MP 2 (x 1,x 2 ) ist, wird so das folgende Ergebnis plausibel:

58 / 97 3.9 Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem Satz (Lösung des Kostenminimierungsproblems) Für alle (w 1,w 2,y) > 0 ist die eindeutige Lösung (x 1,x 2 ) > 0 des Kostenminimierungsproblems durch die Lösung der folgenden Gleichungen gegeben: MP 1 (x 1,x 2 ) MP 2 (x 1,x 2 ) = w 1 w 2 und f (x 1,x 2) = y. Eindeutigkeit folgt, da wir artige Produktionsfunktionen betrachten. Randlösungen mit x 1 = 0 oder x 2 = 0 wurden per Annahme ausgeschlossen.

59 / 97 3.9 Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem Abbildung: Die kostenminimierenden Inputmengen (x1,x 2 ) zur Produktion der Outputmenge y. Die dazugehörigen minimalen Kosten c = w 1 x1 + w 2x2 können an den Achsenabschnitten der Isokostenlinie abgelesen werden.

60 / 97 3.9 Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem Definition (Bedingte Faktornachfragefunktionen) Die Funktionen x 1 und x 2, die jedem (w 1,w 2,y) die eindeutige Lösung des dazugehörigen Kostenminimierungsproblems zuordnen, heissen bedingte Faktornachfragefunktionen. Bemerke: Das Kostenminimierungsproblem ist formal äquivalent zu dem Ausgabenminimierungsproblem aus der Konsumententheorie. Die bedingten Faktornachfragefunktionen entsprechen den kompensierten Nachfragefunktionen und haben entsprechende Eigenschaften: x i (w 1,w 2,y) ist fallend in w i und steigend in w j. x i (w 1,w 2,y) ist steigend in y (da wir komplementäre Inputs unterstellt haben).

61 / 97 3.10 Langfristige Kostenfunktion Das Gegenstück zur Ausgabenfunktion der Konsumententheorie ist die langfristige Kostenfunktion. Definition (Langfristige Kostenfunktion) Die langfristige Kostenfunktion ordnet jedem (w 1,w 2,y) die aus Verwendung der kostenminimierenden Inputkombination (x 1 (w 1,w 2,y),x 2 (w 1,w 2,y)) resultierenden Kosten zu: C(y) = c(w 1,w 2,y) := w 1 x 1(w 1,w 2,y) + w 2 x 2(w 1,w 2,y)

62 / 97 3.10 Langfristige Kostenfunktion Satz Die langfristigen Grenzkosten sind gleich dem Verhältnis aus Faktorpreis und Grenzprodukt eines jeden Inputs: MC(y) = c(w 1,w 2,y) y = w i MP i (x > 0 für i = 1,2. (w 1,w 2,y)) Ökonomische Intuition: 1. Die Formel entspricht derjenigen aus der kurzfristigen Betrachtung, wenn man sich Input i als variabel und den jeweils anderen Input j als fix vorstellt. 2. Obgleich sich bei einer Erhöhung der Outputmenge auch die Einsatzmenge des soeben als fix unterstellten Input j ändert, ergibt sich hieraus kein zusätzlicher Effekt, da die Faktoreinsatzmengen kostenminimierend gewählt waren.

63 / 97 3.10 Langfristige Kostenfunktion Satz (Langfristige Kosten und Skalenelastizität) Für eine langfristige Kostenfunktion ist das Verhältnis von Durchschnittskosten zu Grenzkosten gleich der Skalenelastizität: AC(y) MC(y) = ε S(x 1(w 1,w 2,y),x 2(w 1,w 2,y)). Wieso gilt das? Für beide Inputs entspricht das Verhältnis der Stückausgaben für diesen Input zu den Grenzkosten der Produktionselastizität des Inputs: w i x i (w 1,w 2,y)/y MC(y) = ε i (x 1(w 1,w 2,y),x 2(w 1,w 2,y)) für i = 1,2. Addiert man diese beiden Gleichungen, erhält man das Ergebnis aus dem Satz.

64 / 97 3.10 Langfristige Kostenfunktion Satz Aus dem Ergebnis des vorhergehenden Satzes und den Ableitungseigenschaften der Durchschnittskostenfunktion erhält man: Seien mit (x1,x 2 ) die Inputmengen bezeichnet, mit denen y > 0 kostenminimierend produziert wird. Dann gilt Die Durchschnittskosten sind bei der Outputmenge y steigend, wenn die lokalen Skalenerträge bei den Inputmengen (x 1,x 2 ) fallend sind: ε S(x 1,x 2 ) < 1 AC (y) > 0. Die Durchschnittskosten sind bei der Outputmenge y konstant, wenn die lokalen Skalenerträge bei den Inputmengen (x 1,x 2 ) konstant sind: ε S(x 1,x 2 ) = 1 AC (y) = 0. Die Durchschnittskosten sind bei der Outputmenge y fallend, wenn die lokalen Skalenerträge bei den Inputmengen (x 1,x 2 ) steigend sind: ε S (x 1,x 2 ) > 1 AC (y) < 0.

65 / 97 3.10 Langfristige Kostenfunktion Intuition für diesen Zusammenhang: Ist die Skalenelastizität z.b. grösser als 1, so müssen die Inputmengen um weniger als ein Prozent gesteigert werden, um ein Prozent mehr Output zu produzieren. Dies bedeutet, dass die Kosten um weniger als ein Prozent steigen, wenn ein Prozent mehr Output produziert wird. Die Kosten der zusätzlichen Outputeinheiten liegen also unterhalb der Stückkosten der bisherigen Outputmenge...... und damit fallen die Stückkosten bei einer Ausweitung der Produktionsmenge.

66 / 97 3.10 Langfristige Kostenfunktion Der im Lehrbuch oftmals betrachtete Fall u-förmiger Durchschnittskosten resultiert in der langen Frist also, wenn die lokalen Skalenerträge bei einer Ausweitung der Produktionsmenge zunächst steigend und dann fallend sind. Ob die lokalen Skalenerträge diese Eigenschaft haben, hängt im Allgemeinen nicht nur von der Technologie, sondern auch von den Faktorpreisen ab. Wieso? Eindeutige Aussagen über den Verlauf der Durchschnittskosten lassen sich auf Grund der vorhergehenden Ergebnisse machen, wenn die Skalenerträge global konstant, steigend oder fallend sind.

67 / 97 3.10 Langfristige Kostenfunktion Satz (Langfristige Kostenfunktion bei global konstanten Skalenerträgen) Weist die Produktionsfunktion global konstante Skalenerträge auf, so ist die langfristige Kostenfunktion linear in y, d.h. es gibt eine Konstante k > 0, so dass C(y) = ky. Insbesondere sind die Durchschnittskosten und Grenzkosten konstant und stimmen überein: AC(y) = MC(y) = k. Der Wert der Konstanten k entspricht den minimalen Kosten eine Einheit Output herzustellen; es gilt also k = c(w 1,w 2,1). Die ökonomische Intuition hinter dem Ergebnis ist, dass bei konstanten Skalenerträgen die kostenminimierenden Inputmengen proportional zur Outputmenge sind und die Kosten daher auch proportional zur Outputmenge sind.

68 / 97 3.10 Langfristige Kostenfunktion Satz (Langfristige Kostenfunktion bei global steigenden Skalenerträgen) Weist die Produktionsfunktion global steigende Skalenerträge auf, so sind die langfristigen Durchschnittskosten AC(y) fallend in y und liegen für alle y > 0 oberhalb der Grenzkostenfunktion: AC (y) < 0 und MC(y) < AC(y). Satz (Langfristige Kostenfunktion bei global fallenden Skalenerträgen) Weist die Produktionsfunktion global fallende Skalenerträge auf, so sind die langfristigen Durchschnittskostenfunktion steigend in y und liegen für alle y > 0 unterhalb der Grenzkostenfunktion: AC (y) > 0 und MC(y) > AC(y).

69 / 97 3.11 Kosten in der langen und der kurzen Frist Frage Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Verlauf der langfristigen und der kurzfristigen Kostenfunktionen? In den folgenden Überlegungen werden die Faktorpreise (w 1,w 2 ) > 0 und die Produktionsfunktion als gegeben betrachtet. Die langfristige Kostenfunktion ist mit C(y) bezeichnet. C s (y, x 2 ) bezeichnet die kurzfristige Kostenfunktion, in der die Einsatzmenge von Input 2 durch x 2 gegeben ist.

70 / 97 3.11 Kosten in der langen und der kurzen Frist Satz Da es in der kurzen Frist weniger Anpassungsmöglichkeiten als in der langen Frist gibt, müssen bei gegebenen Faktorpreisen die kurzfristigen Kosten zur Produktion einer Outputmenge y mindestens zu hoch sein, wie die langfristigen Kosten. Andererseits stimmen langfristige und kurzfristige Kosten bei der Menge y überein, wenn die kurzfristig fixe Einsatzmenge von Input 2 mit der langfristig kostenminimierenden Einsatzmenge von Input 2 übereinstimmt, also x 2 = x 2 (w 1,w 2,y) gilt. Die langfristige Kostenfunktion liegt unterhalb aller kurzfristigen Kostenfunktionen, d.h. C(y) C s (y, x 2 ). Für x 2 = x 2 (w 1,w 2,y) stimmen langfristige und kurzfristige Kosten überein, d.h. C(y) = C s (y,x 2 (w 1,w 2,y)).

3.11 Kosten in der langen und der kurzen Frist Abbildung: Langfristige und einige kurzfristige Kostenfunktionen für die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = x1 0.6x0.4 2 bei den Faktorpreisen (w 1,w 2 ) = (1,1). Die jeweiligen Berührungspunkte sind markiert. 71 / 97

72 / 97 3.11 Kosten in der langen und der kurzen Frist Da die langfristige Kostenfunktion eine kurzfristige Kostenfunktion nicht schneidet, stimmen die Steigungen der beiden Funktionen in ihrem Berührungspunkt überein. Die vorhergehende Abbildung suggeriert zudem, dass die kurzfristigen Kostenfunktionen links von ihrem jeweiligen Berührungspunkt mit der langfristigen Kostenfunktion flacher als diese verlaufen. rechts von ihrem jeweiligen Berührungspunkt mit der langfristigen Kostenfunktion steiler als diese verlaufen. Unter unseren Annahme abnehmender Grenzprodukte und komplementärer Inputs muss das so sein:

73 / 97 3.11 Kosten in der langen und der kurzen Frist Satz Ist die kurzfristige Einsatzmenge des fixen Faktors diejenige, die in der langen Frist kostenminimierend ist, so stimmen langfristige und kurzfristige Grenzkosten überein: Zudem gilt: MC(y) = MC s (y,x 2(w 1,w 2,y)). x 2 > x 2(w 1,w 2,y) MC(y) > MC s (y, x 2 ) x 2 < x 2(w 1,w 2,y) MC(y) < MC s (y, x 2 )

74 / 97 3.11 Kosten in der langen und der kurzen Frist Ökonomische Interpretation: Ist die Einsatzmenge des fixen Faktors zu klein, so liegen die kurzfristigen Grenzkosten oberhalb der langfristigen Grenzkosten. Ist die Einsatzmenge des fixen Faktor hingegen zu gross, so liegen die kurzfristigen Grenzkosten unterhalb der langfristigen Grenzkosten.

75 / 97 3.11 Kosten in der langen und der kurzen Frist Abbildung: Langfristige und eine kurzfristige Grenzkostenfunktion zu dem Beispiel aus der vorhergehenden Abbildung.

76 / 97 3.12 Angebot in Wettbewerbsmärkten Die Angebotsentscheidung eines Unternehmens hängt davon ab, wie die zu verkaufende Menge die Kosten und den Erlös (oder Umsatz) beeinflusst. Wir betrachten in diesem Abschnitt den einfachsten Fall: die einzelnen Unternehmen gehen davon aus, dass ihre Entscheidungen keinen Einfluss auf den Preis p haben, zu dem sie ihren Output verkaufen können. Dies modelliert einen sogenannten Wettbewerbsmarkt. Der Erlös eines Unternehmens, dass in einem Wettbewerbsmarkt die Menge y produziert und verkauft, ist p y, wobei p > 0 eine Konstante ist. Wir unterstellen, dass Unternehmen daran interessiert sind, ihren Gewinn zu maximieren.

77 / 97 3.12 Angebot in Wettbewerbsmärkten Wir betrachten die Kostenfunktion C(y) des Unternehmens als gegeben und nehmen an, dass diese differenzierbar mit streng positiver Ableitung MC(y) = C (y) > 0 ist. Dies kann eine kurzfristige oder eine langfristige Kostenfunktion sein; entsprechend unterscheidet man kurzfristige und langfristige Gewinnmaximierung. Im Folgenden betrachten wir (nur) zwei Fälle: 1. Grenzkosten sind steigend: MC (y) > 0 für alle y. 2. Grenzkosten sind u-förmig.

78 / 97 3.12 Angebot in Wettbewerbsmärkten Das Gewinnmaximierungsproblem eines Unternehmens in einem Wettbewerbsmarkt besteht darin, bei gegebener Kostenfunktion und gegebenem Outputpreis p eine Outputmenge y zu wählen, welche den Gewinn G(y) = p y C(y) maximiert, also löst. max py C(y) y 0

79 / 97 3.12 Angebot in Wettbewerbsmärkten Satz (Bedingungen für Gewinnmaximierung) y > 0 ist genau dann eine Lösung des Gewinnmaximierungsproblems, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: 1. die Grenzkosten bei y stimmen mit dem Preis überein: MC(y ) = p. Bedingung erster Ordnung 2. die Grenzkosten bei y sind steigend: MC (y ) 0. Bedingung zweiter Ordnung 3. die durchschnittlichen variablen Kosten bei y sind geringer als der Preis: AVC(y ) p. Durchschnittskostenbedingung

3.12 Angebot in Wettbewerbsmärkten Gibt es keine Menge, bei der die Durchschnittskostenbedingung erfüllt ist, ist es optimal y = 0 zu produzieren: Satz (Stilllegungsbedingung) Gilt die Stilllegungsbedingung p < min y AVC(y), so ist y = 0 die einzige gewinnmaximierende Menge. In der langen Frist gilt AVC(y) = AC(y) ein Unternehmen sollte in der langen Frist stillgelegt werden, wenn durch Produktion kein Gewinn erzielt werden kann. In der kurzen Frist kann es hingegen gewinnmaximierend sein, die Produktion nicht still zu legen, obgleich dabei ein Verlust entsteht. 80 / 97

81 / 97 3.12 Angebot in Wettbewerbsmärkten Satz (Gewinnmaximierung bei steigenden Grenzkosten) Verlaufen die Grenzkosten steigend und erfüllt y > 0 die Bedingung erster Ordnung MC(y ) = p, so ist y die einzige Lösung des Gewinnmaximierungsproblems. Gilt MC(0) p, so ist y = 0 die einzige Lösung des Gewinnmaximierungsproblems. Da kurzfristige Grenzkosten unter der Annahme abnehmender Grenzprodukte steigend verlaufen, beschreibt dieses Ergebnis insbesondere die Lösung eines kurzfristigen Gewinnmaximierungsproblems.

82 / 97 3.12 Angebot in Wettbewerbsmärkten Abbildung: Steigender Verlauf der Grenzkosten. Die Menge y, bei der die Bedingung erster Ordnung erfüllt ist, ist die Lösung des Gewinnmaximierungsproblems.

83 / 97 3.12 Angebot in Wettbewerbsmärkten Verlaufen die Grenzkosten u-förmig, so gilt dieses auch für die durchschnittlichen variablen Kosten, die daher ein eindeutiges Minimum besitzen. Die Menge, bei der die durchschnittlichen variablen Kosten minimiert werden, wird im folgenden mit ŷ > 0 bezeichnet. Satz (Gewinnmaximierung bei u-förmigen Grenzkosten) Verlaufen die Grenzkosten u-förmig und erfüllt y > ŷ die Bedingung erster Ordnung MC(y ) = p, so ist y die eindeutige Lösung des Gewinnmaximierungsproblems. Für p < AVC(ŷ) ist y = 0 die eindeutige Lösung des Gewinnmaximierungsproblems. Für p = AVC(ŷ) sind y = 0 und y = ŷ die beiden Lösungen des Gewinnmaximierungsproblems.

3.12 Angebot in Wettbewerbsmärkten Abbildung: Die Menge y, bei der die Bedingungen erster und zweiter Ordnung sowie die Durchschnittskostenbedingung erfüllt sind, ist die Lösung des Gewinnmaximierungsproblems. Bei der Menge y ist die Bedingung zweiter Ordnung und die Durchschnittskostenbedingung verletzt. 84 / 97

85 / 97 3.12 Angebot in Wettbewerbsmärkten Abbildung: Die Stilllegungsbedingung ist erfüllt und y = 0 ist die einzige Lösung des Gewinnmaximierungsproblems. Bei der Menge y ist die Durchschnittskostenbedingung verletzt.

86 / 97 3.13 Die Angebotsfunktion eines Unternehmens Für eine gegebene Kostenfunktion ordnet die Angebotsfunktion eines Unternehmens einem Outputpreis p diejenige Outputmenge s(p) zu, welche das Gewinnmaximierungsproblem bei Preis p löst. Satz (Angebotsfunktionen sind steigend) Die Angebotsfunktion eines Unternehmens ist steigend in p: Aus p > p folgt s(p ) s(p). Ökonomische Intuition: Lässt sich der Gewinn bei einem Preis p durch eine Verringerung der Outputmenge steigern, so gilt dieses erst recht für alle p < p. Die Kosteneinsparung ist unabhängig vom Outputpreis. Die Reduktion des Erlöses ist um so kleiner, je kleiner p ist.

3.13 Die Angebotsfunktion eines Unternehmens Abbildung: Angebotsfunktion bei steigenden Grenzkosten. Die Angebotsfunktion ist rot dargestellt. Für p > MC(0) ist die Angebotsfunktion die Umkehrfunktion der Grenzkosten, also dadurch bestimmt, dass man die Gleichung MC(y) = p nach y auflöst. 87 / 97

88 / 97 3.13 Die Angebotsfunktion eines Unternehmens Abbildung: Angebotsfunktion bei u-förmigen Grenzkosten. Die Angebotsfunktion ist rot dargestellt. Für p > AVC(ŷ) ist die Angebotsfunktion die Inverse des steigenden Asts der Grenzkosten, also dadurch bestimmt, dass man die Gleichung MC(y) = p nach y > ŷ auflöst.

89 / 97 3.14 Komparative Statik der Angebotsfunktion Wir betrachten zwei Beispiele. Frage Wie beeinflusst eine Änderung der Faktorpreise das kurzfristige Angebot eines Unternehmens in einem Wettbewerbsmarkt? Ein Anstieg des Preises des fixen Faktors hat keinen Einfluss auf das kurzfristige Angebot. Ein Anstieg des Preises des variablen Faktors verschiebt die Grenzkostenfunktion nach oben....... und führt somit dazu, dass die kurzfristige Angebotsmenge eines Unternehmens bei einem gegebenen Outputpreis fällt.

3.14 Komparative Statik der Angebotsfunktion Abbildung: Veränderung der kurzfristigen Angebotsfunktion bei einem Anstieg des Preises des variablen Faktors. Die Grenzkosten nach Preisanstieg sind MC. Die bei Outputpreis p angebotene Menge fällt auf s(p). 90 / 97

91 / 97 3.14 Komparative Statik der Angebotsfunktion Frage Welcher Zusammenhang besteht zwischen der kurzfristigen und der langfristigen Angebotsfunktion eines Unternehmens? Zur Beantwortung dieser Frage betrachtet man eine Situation, in der ein Unternehmen bei gegebenem Outputpreis p den langfristig gewinnmaximierenden Produktionsplan (x1,x 2,y ) verwendet. Ändert sich nun der Outputpreis, so ist in der kurzen Frist die Einsatzmenge x2 fix und es wird die entsprechende kurzfristige Angebotsfunktion betrachtet. In der langen Frist kann auch x2 angepasst werden. Da die langfristige Grenzkostenfunktion durch y flacher als die relevante kurzfristige Grenzkostenfunktion durch y ist, reagiert das langfristige Angebot stärker auf eine Änderung von p als das kurzfristige Angebot das langfristige Angebot ist elastischer als das kurzfristige Angebot.

92 / 97 3.14 Komparative Statik der Angebotsfunktion Abbildung: Kurzfristige und langfristige Reaktion des Angebots eines Unternehmens auf eine Veränderung des Outputpreises. Der Outputpreis steigt von p auf p. Da die langfristige Grenzkostenfunktion MC l (y) flacher als die kurzfristige Grenzkostenfunktion MC k (y) verläuft, ist das langfristige Angebot s l (p ) grösser als das kurzfristige Angebot s k (p ).

93 / 97 3.15 Produzentenrente Definition (Produzentenrente (im Wettbewerbsmarkt)) Die Differenz zwischen dem Erlös r eines Unternehmens und seinen variablen Kosten VC(y) heisst Produzentenrente: pr = r VC(y). Die Produzentenrente eines gewinnmaximierenden Unternehmens in einem Wettbewerbsmarkt ist pr(p) = p s(p) VC(s(p)). Die Produzentenrente entspricht dem Deckungsbeitrag in der Kosten- und Leistungsrechnung; sie misst den Handelsgewinn des Unternehmens.

3.15 Produzentenrente Da s(p) VC(s(p)) = MC(y)dy 0 gilt, kann die Produzentenrente eines Unternehmens in einem Wettbewerbsmarkt auch wie folgt geschrieben werden: s(p) s(p) pr(p) = p s(p) MC(y)dy = [p MC(y)]dy 0 0 Dies bedeutet, dass die Produzentenrente pr(p) grafisch als die Fläche zwischen den Grenzkosten und dem Preis bis zur angebotenen Menge s(p) dargestellt werden kann. 94 / 97

95 / 97 3.15 Produzentenrente Abbildung: Die Produzentenrente pr(p) entspricht der Fläche zwischen Preis und Grenzkosten bis zur angebotenen Menge s(p).

3.15 Produzentenrente Die Produzentenrente eines Unternehmens in einem Wettbewerbsmarkt kann damit aus Kenntnis der Angebotsfunktion eines Unternehmens bestimmt werden: p pr(p) = s( p)d p. 0 Diese Gleichung gilt selbst dann, wenn die inverse Angebotsfunktion - wie im Fall u-förmiger Grenzkosten - nicht überall mit den Grenzkosten übereinstimmt. 96 / 97

97 / 97 3.15 Produzentenrente Abbildung: Produzentenrente bei u-förmigen Grenzkosten. Die Angebotsfunktion ist rot dargestellt. Da AVC(ŷ)ŷ = ŷ 0 MC(ỹ)dỹ gilt, stimmt die abgebildete Fläche mit der Produzentenrente überein.