Ringe. Kapitel Einheiten

Kapitel 8 Ringe Die zahlreichen Analogien zwischen Matrizenringen und Endomorphismenringen (beides sind zugleich auch Vektorräume) legen es nahe, allgemeinere ringtheoretische Grundlagen bereitzustellen, die dann im Spezialfall Anwendungen auf Polynome, Matrizen und Endomorphismen zulassen. Wir befassen uns in diesem Kapitel vorrangig mit kommutativen Ringen, beachten aber, dass Matrizen- und Endomorphismenringe nur selten diese Eigenschaft haben. 8.1 Einheiten R sei stets ein (zunächst nicht notwendig kommutativer) Ring mit Einselement e, Nullelement 0 und R = R \ {0}. In Verallgemeinerung der Situation bei Matrizen und Endomorphismen vereinbaren wir: 8.1.1 Definition. u R heißt Einheit oder invertierbar, falls ein w mit uw = wu = e existiert. a, b R heißen (zueinander) konjugiert, falls eine Einheit u mit au = ub existiert. E(R) sei die Menge der Einheiten von R. 8.1.2 Bemerkung. In kommutativen Ringen bedeutet Konjugiertheit bereits Gleichheit, und die Gleichung E(R) = R charakteristiert Körper. 8.1.3 Satz. (Einheitengruppe) E(R) ist bezüglich der Multiplikation von R eine Gruppe. Insbesondere gibt es zu u E(R) genau ein w = u 1 aus E(R) mit uw = wu = e. Für u, v E(R) gilt: (uv) 1 = v 1 u 1, (u 1 ) 1 = u. 8.1.4 Beispiele. Einheitengruppen (1) R Körper: E(R) = R. (2) R = Z: E(Z) = { 1, 1}. (3) R = K[x]: E(K[x]) = {p K[x] grad p = 0}. (4) R = K n n : E(K n n ) = GL (n, K). (5) R = End K (V ): E(R) = GL K (V ). 92

KAPITEL 8. RINGE 93 8.2 Teilbarkeit und Ideale Im Folgenden sei R ein kommutativer Ring mit Einselement e. 8.2.1 Definition. Eine nichtleere Teilmenge A von R heißt Ideal, falls für alle a, b A und r R auch a + b A und ra A gilt, kurz: A + A = A, RA = A. Mit I(R) bezeichnen wir das System aller Ideale von R. 8.2.2 Bemerkungen. (1) Jedes Ideal ist ein Unterring, d.h. eine additive Untergruppe, die zusätzlich unter Multiplikation abgeschlossen ist. (2) Jede Teilmenge der Form Ra = {ra r R} ist ein Ideal, das von a erzeugte Hauptideal. Das kleinste Ideal R0 besteht nur aus dem Nullelement, das größte ist der ganze Ring R = Re. (3) Der Idealbegriff lässt sich auch auf den nichtkommutativen Fall erweitern, doch muss man dann zwischen Linksidealen (RA = A), Rechtsidealen (AR = A) und zweiseitigen Idealen (RA AR = A) unterscheiden. 8.2.3 Definition. Für I, J, I 1,..., I k I(R) sei I + J := { a + b a I, b J }, I 1 + + I k := { a 1 + + a k a j I j, j k }. 8.2.4 Satz. (Summe und Durchschnitt von Idealen) Die Ideale des Ringes R bilden ein Hüllensystem, d.h. beliebige Durchschnitte von Idealen sind wieder solche. Somit existiert zu jeder Menge Y R ein kleinstes Y umfassendes Ideal I(Y ), das von Y erzeugte Ideal. Für Ideale I 1,..., I k I(R) ist I 1 I k das größte in jedem I j (j k) enthaltene Ideal und I 1 + + I k das kleinste jedes I j (j k) umfassende Ideal. Insbesondere gilt I(a 1,..., a k ) := I({a 1,..., a k }) = Ra 1 +... + Ra k 8.2.5 Lemma. u E(R) Ru = R. (k N, a j R). 8.2.6 Definition. Ein Element a R heißt Nullteiler, wenn ein b R mit ab = 0 existiert. Ist außerdem a 0, so heißt a echter Nullteiler. Ein Integritätsring ist ein kommutativer Ring R mit Eins und ohne echte Nullteiler, d. h. für a, b R gilt auch ab R. Ein Hauptidealring ist ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist. 8.2.7 Beispiele. (1) Z ist ein Hauptidealring: I(Z) = {nz n N 0 } (Beweis später). (2) Für jeden Körper K ist der Polynomring K[x] ein Hauptidealring: I(K) = {{0}, K}. (3) R := Z[x] ist ein Integritätsring, aber kein Hauptidealring: R2 + Rx ist kein Hauptideal. (4) Für jeden (kommutativen) Ring R und jede Menge X ist auch R X, die Menge der Funktionen von X nach R mit elementweiser Addition und Multiplikation wieder ein (kommutativer) Ring. Aber R X wird nur dann ein Integritätsring, wenn R einer ist und X höchstens ein Element hat. (5) Jede Potenzmenge P(X) ist mit A + B := (A B) \ (A B) und A B := A B ein

KAPITEL 8. RINGE 94 kommutativer Ring mit Eins, aber für #X > 1 kein Integritätsring: Jede von Ø und X verschiedene Teilmenge ist echter Nullteiler! P(X) ist dann erst recht kein Hauptidealring, obwohl für endliches X jedes Ideal von P(X) ein Hauptideal ist. Hingegen ist für unendliches X das System aller endlichen Teilmengen eine Ideal, aber kein Hauptideal. { } (6) Die Abbildung C : P(X) Z X 1, x Y 2, Y C Y mit C Y (x) = ist ein 0, x / Y Ring Isomorphismus. Die Aussagen aus (5) gelten daher entsprechend für Z X 2. 8.2.8 Lemma. (Kürzungsregel) In Integritätsringen folgt aus ac = bc und c 0 schon a = b. 8.2.9 Definition. Es seien a, b R. (1) Gibt es ein c R mit ac = b, so schreibt man a b und sagt, a sei ein Teiler von b oder b sei durch a teilbar, und b sei ein Vielfaches von a. (2) a und b heißen (zueinander) assoziiert, in Zeichen a b, falls b sowohl Teiler als auch Vielfaches von a ist, d. h. a b a b und b a. (3) Man nennt a 1,..., a k R teilerfremd, in Zeichen (a 1,..., a k ) = 1, falls die einzigen gemeinsamen Teiler von a 1,..., a k die Einheiten sind. Hingegen heißen a 1,..., a k paarweise teilerfremd, falls (a i, a j ) = 1 für i j gilt. 8.2.10 Bemerkungen. (1) Jedes Ringelement ist durch jede Einheit teilbar. (2) Das Nullelement ist durch jedes Ringelement teilbar. (3) Die Teilbarkeitsrelation ist eine Quasiordnung, aber im allgemeinen keine Ordnung (z. B. gilt 2 2 und 2 2 in Z). (4) Die Assoziiertheitsrelation ist eine Äquivalenzrelation. (5) Die zum Einselement e assoziierten Elemente sind die Teiler von e, d.h. die Einheiten. (6) In Z sind zum Beispiel 6, 10 und 15 teilerfremd, aber nicht paarweise teilerfremd. 8.2.11 Satz. (Teilerfremdheit) R sei ein Hauptidealring. Für a 1,..., a k R sind äquivalent: (a) (a 1,..., a k ) = 1. (b) Ra 1 + + Ra k = R. (c) Es existieren r 1,..., r k R mit r 1 a 1 + + r k a k = e. 8.2.12 Lemma. Es seien a, b Elemente des (kommutativen) Ringes R. (1) a b Ra Rb. (2) a b Ra = Rb. (3) Ist R ein Integritätsring, so gilt: a b es gibt ein u E(R) mit ua = b.

KAPITEL 8. RINGE 95 8.2.13 Definition. Für Elemente a 1,..., a k, d R nennt man d einen größten gemeinsamen Teiler (ggt) von a 1,..., a k, in Zeichen d ggt (a 1,..., a k ), falls d ein gemeinsamer Teiler aller a j ist und jeder weitere gemeinsame Teiler von a 1,..., a k auch ein Teiler von d ist. Analog: Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgv). 8.2.14 Bemerkungen. (1) Oft schreibt man d = ggt (a 1,..., a k ) statt d ggt (a 1,..., a k ) und v = kgv (a 1,..., a k ) statt v kgv (a 1,..., a k ), muss aber beachten, dass dies keine Gleichungen im eigentlichen Sinn sind. (2) ggt und kgv sind bis auf Assoziiertheit eindeutig, d. h. von den drei Aussagen d 1 ggt (a 1,..., a k ), d 2 ggt (a 1,..., a k ), d 1 d 2 implizieren je zwei die dritte (analog für kgv). (3) (a 1,..., a k ) = 1 bedeutet ggt (a 1,..., a k ) e. 8.2.15 Satz. (ggt und kgv) In einem Hauptidealring besitzen je endlich viele Elemente einen größten gemeinsamen Teiler und ein kleinstes gemeinsames Vielfaches, und es gilt: d ggt (a 1,..., a k ) Rd = Ra 1 + + Ra k, v kgv (a 1,..., a k ) Rv = Ra 1 Ra k. 8.2.16 Lemma. In einem Hauptidealring gilt: c ab und (a, c) = 1 = c b. 8.2.17 Lemma. Für ein Element p 0 eines Integritätsringes R sind folgende Aussagen äquivalent: (a) p = ab = a p oder b p. (b) p = ab = a 1 oder b 1. (c) a p = a 1 oder a p. (d) p a = (a, p) = 1. 8.2.18 Definition. Ein Element p R heißt irreduzibel, falls p keine Einheit ist und aus p = ab stets p a oder p b folgt. p heißt prim (oder Primelement), falls p keine Einheit ist und aus p ab stets p a oder p b folgt. 8.2.19 Folgerung. Jedes Primelement ist irreduzibel, und in Haupidealringen gilt auch die Umkehrung. 8.2.20 Bemerkung. Gilt p q, so ist p genau dann prim (irreduzibel), wenn q prim (irreduzibel) ist. Multiplikation mit einer Einheit ändert nichts an Teilbarkeitsbeziehungen. 8.2.21 Definition. Ein Integritätsring R heißt faktoriell oder ZPE Ring, falls jedes a R \ E(R) eine Darstellung a = p 1... p r als Produkt von Primelementen besitzt. Diese ist dann bis auf Assoziiertheit und Reihenfolge eindeutig.

KAPITEL 8. RINGE 96 8.2.22 Satz. (1) In einem faktoriellen Ring sind Produktzerlegungen in Primelemente bis auf Assoziiertheit und Reihenfolge eindeutig. (2) Jeder Hauptidealring ist faktoriell. 8.2.23 Beispiele. (1) Der Ring Z der ganzen Zahlen ist ein Hauptidealring, in dem die von 0 verschiedenen Primelemente genau die Primzahlen und ihre Negativen sind. (2) Jeder Polynomring K[x] ist ein Hauptidealring, in dem die Primelemente 0 genau diejenigen nicht konstanten Polynome sind, die keine Zerlegung in Polynome kleineren Grades zulassen. (3) Der Polynomring Z[x] ist faktoriell, aber kein Hauptidealring. (4) Mit 5 bezeichnen wir eine komplexe Zahl, deren Quadrat 5 ist (es gibt zwei solche Zahlen). Im Ring Z[ 5] = {a + b 5 a, b Z} ist 2 irreduzibel, aber nicht prim: 2 teilt 6 = (1 + 5)(1 5), aber weder 1 + 5 noch 1 5. 8.3 Euklidische Ringe Besonders bequem läßt sich in Hauptidealringen rechnen, wenn man eine Größenfunktion für die Elemente zur Verfügung hat, die eine Division mit Rest wie in Z ermöglicht. 8.3.1 Definition. Eine Abbildung ν von einem Integritätsring R nach N 0 heißt euklidische Normfunktion, falls ν(0) = 0 gilt und zu a, b R mit a 0 Elemente q, r R mit b = qa + r und ν(r) < ν(a) existieren. Gilt zusätzlich ν(ab) = ν(a)ν(b), so nennen wir ν multiplikativ. Gilt zumindest a b = ν(a) ν(b) für b 0, so heißt ν monoton. Ein Integritätsring, der eine euklidische Normfunktion besitzt, heißt euklidischer Ring. (Manchmal wird Multiplikativität oder Monotonie der Normfunktion gefordert.) 8.3.2 Beispiele. (1) Z ist ein euklidischer Ring mit multiplikativer Normfunktion ν(a) = a. (2) Jeder Körper K ist ein euklidischer Ring mit multiplikativer Normfunktion { 0, a = 0 ν(a) = 1, a 0, denn für a 0 gilt b = qa mit q = ba 1. (3) Jeder Polynomring K[x] ist ein euklidischer Ring mit monotoner, aber nicht multiplikativer Normfunktion ν(f) = 1 + grad f für f 0, ν(0) = 0. Im Gegensatz zu ν liefert µ(f) = 2 grad f eine multiplikative Normfunktion. (4) Der Gaußsche Ring Z[ı] = {a + ıb a, b Z} ist ein euklidischer Ring mit multiplikativer Normfunktion ν(c) = c 2 = a 2 + b 2 für c = a + ıb.

KAPITEL 8. RINGE 97 8.3.3 Satz. (Euklidische Ringe) Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring. 8.3.4 Folgerung. Euklidischer Ring = Hauptidealring = ZPE Ring = Integritätsring. 8.3.5 Lemma. Für eine multiplikative euklidische Normfunktion ν gilt: (1) ν(e) = 1. (2) a b = ν(a) ν(b) = ν(a) ν(b) oder b = 0. ν ist also monoton. (3) a b ν(a) = ν(b) und a b. (4) u E(R) ν(u) = 1. 8.3.6 Definition. R[x] bezeichnet den Ring der Polynome mit Koeffizienten aus dem Ring R. Ein Polynom f(x) = f 0 + +f n 1 x n 1 +f n x n R[x] heißt normiert, falls f n das Einselement von R ist. 8.3.7 Bemerkung. Jedes Polynom g(x) K[x] hat eindeutig die Form g(x) = αf(x), wobei f(x) ein normiertes Polynom ist und α in K liegt. 8.3.8 Folgerungen. Im Polynomring K[x] über einem Körper K gilt: (1) Zwei normierte Polynome sind nur dann assoziiert, wenn sie gleich sind. (2) Zu jedem Ideal A {0} von K[x] existiert ein eindeutiges normiertes Polynom f(x) aus K[x] mit A = K[x] f(x). Insbesondere besitzen je endlich viele Polynome einen eindeutigen normierten ggt. (3) Jedes Polynom f(x) von Grad 1 besitzt eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Produktdarstellung r f(x) = α p j (x) n j, j=1 wobei α aus K ist und die p j (x) paarweise verschiedene normierte irreduzible, d. h. prime Polynome sind. 8.3.9 Bemerkungen. (1) Über C sind die einzigen irreduziblen normierten Polynome die Polynome der Form q(x) = x + q 0, q 0 C. (2) Über R sind die einzigen irreduziblen normierten Polynome: q(x) = x + q 0, q 0 R, und q(x) = x 2 + q 1 x + q 0 = (x + q 1 2 )2 + q 0 q2 1 4 mit q 0 q2 1 4 > 0, q 0, q 1 R. 8.3.10 Algorithmus. (Bestimmung des ggt durch den euklidischen Algorithmus) Zu gegebenen Elementen a 1, a 2 0 eines euklidischen Ringes bestimmt man rekursiv Elemente a j und q j mit ( j ) a j = q j a j+1 + a j+2, ν(a j+2 ) < ν(a j+1 ), bis man bei a n+1 = 0 ankommt. Dann ist a n = ggt (a 1, a 2 ) = a 1 b 1 + a 2 b 2, wobei sich b 1 und b 2 durch rückwärtiges Einsetzen der Gleichungen ( j ) ineinander ergeben.