Vom Einfachen zum Komplexen

Mutfried Hartmann Vom Einfachen zum Komplexen Mit Übungsformaten arbeiten - von der Grundschule bis zur Oberstufe

Vom Übungsformat Klimbim? Klimbim?

zum Aufgabenformat Mathematische Reichhaltigkeit Bezüge zu Standardstoff über Rechentraining hinaus Eignung zur Realisierung von Bildungszielen Die Schüler lernen zu beobachten und nach Gesetzmäßigkeiten zu suchen, zu ordnen, zu klassifizieren und zu strukturieren, zu verallgemeinern und zu spezifizieren, zu kombinieren und zu variieren. Dadurch wird auch kreatives und intuitives Denken als ein wesentliches Merkmal der Mathematik gefördert. (Bayerischer LP Mathematik RS) Beim Aufstellen und Begründen von Vermutungen entwickeln sich Kreativität und Phantasie. (Bayerischer LP Mathematik Gy)

Das Zauberdreieck alle Seitensummen haben denselben Wert Z ( Zauberzahl ) 2 12 = + + 3 7 1 + + = 12 + 6 + 4 = 12

Mathematische Reichhaltigkeit des Zauberdreiecks Phänomene entdecken Operativ vorgehen Algebraisieren

Analyse von Formaten / Phänomene erkunden 1 Schenkelsummen 3 5 8 4 7 1 3 5 8 4 7 1 3 5 8 4 7 1

Analyse von Formaten / Phänomene erkunden 2 Eck-Gegenmitten-Differenz 5-1 = 4 5 3 8 8-4 = 4 4 7 1 7-3 = 4

Analyse von Formaten / Phänomene erkunden 3 Teildreieckssummen T 3 5 8 4 7 1 3+5+8 = 16 3 5 8 4 7 1 4 3 5 8 7 1 3 5 8 4 7 1 5+4+7 = 16 8+7+1 = 16

Analyse von Formaten / Phänomene erkunden 4 Bruderdreieck + + = 16 16 = + + 3 5 8 4 7 1 7 + 1 + 8 = 16 5 4 3

Analyse von Formaten / Phänomene erkunden 5 Zahlenkette M-T-Z-E +4 +4 +4 M = 2 T = 16 Z = 12 E = 8 3 5 8 4 7 1

Analyse von Formaten / Operativ vorgehen 1 Was bewirkt die Veränderung einer Zahl bei einem Zauberdreieck? +c +c Veränderung einer Eckzahl Veränderung einer Mittenzahl Zaubereigenschaft geht verloren!

Analyse von Formaten / Operativ vorgehen 2 Gibt es zauberinvariante Operationen? Eckzahl und Mittenzahl +c alle Zahlen +c +c +c +c +c +c +c alle Eckzahlen alle Mittenzahlen +c +c +c +c +c +c

Analyse von Formaten / Algebraisieren 1 Entwicklung einer algebraischen Darstellung Erzeugen von Zauberdreiecken durch zauberinvariante Operationen: b a c+k b+k a+k c Gibt es noch andere Zauberdreiecke? c+k = f a d = b+k b e = a+k c

Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 a c+k b+k b a+k c Satz: Jedes Dreieck obiger Form ist ein Zauberdreieck und jedes Zauberdreieck ist von obiger Form.

Analyse von Formaten / Algebraisieren 3 Phänomene im Licht der Analyse Kette M-T-Z-E M=a+b+c+3k T=a+b+c+2k Z=a+b+c+1k E=a+b+c+k a Eck-Gegenmitten-Differenz k c+k b+k b a+k c c+k Teildreieckswert T=a+b+c+2k Bruderdreieck Z=a+b+c+2k a+k b c a b+k

Zwischenbilanz Die Schüler lernen zu beobachten und nach Gesetzmäßigkeiten zu suchen, zu ordnen, zu klassifizieren und zu strukturieren, zu verallgemeinern und zu spezifizieren, zu kombinieren und zu variieren. Dadurch wird auch kreatives und intuitives Denken als ein wesentliches Merkmal der Mathematik gefördert. (Bayerischer LP Mathematik)

Wie variieren? nur bestimmte Zahlen unterschiedliche Zauberzahlen... Regel Dimension Verkettung Art der Belegung Form Anzahl Operation Multiplikation kgv ggt Mittelwert...

Didaktisches Modell zu Übungsformaten Variieren Phänomene entdecken Analogisieren Phänomene entdecken Operativ vorgehen Analogisieren Operativ vorgehen Algebraisieren Analogisieren Algebraisieren Ausgangssystem Benachbartes System

Wie variieren? nur bestimmte Zahlen unterschiedliche Zauberzahlen... Regel Dimension Verkettung Art der Belegung Form Anzahl Operation Multiplikation kgv ggt Mittelwert...

Das Zauberviereck + 8 + 2 = 1 6 7 + + = 1 4 5 1 1 = + + + + = 1

Phänomene entdecken Analogisieren Phänomene entdecken Operativ vorgehen Analogisieren Operativ vorgehen Algebraisieren Analogisieren Algebraisieren Zauerdreieck Zauberviereck

Phänomene des Zaubervierecks Gleiche Phänomene Entdeckung durch Identifizieren Analoge Phänomene Entdeckung durch Analogisieren Neue Phänomene Entdeckung durch Probieren

Phänomene im Zauberviereck: Identifizieren Phänomene entdecken durch Identifizieren 3 5 8 99 99 4 7 1 Schenkelsummen

Phänomene im Zauberviereck: Identifizieren Identisches Phänomen im Zauberviereck 66 1 88 1 8 2 6 7 4 5 1 99 66 Schenkelsummen 99 88

Phänomene im Zauberviereck: Analogisieren 5-1 = 4 5 3 8 8-4 = 4 4 7 1 7-3 = 4 Eck-Gegenmitten-Differenz

Phänomene im Zauberviereck: Analogisieren Erster Analogisierungsversuch 8 2 6 7 4 5 1 13

Phänomene im Zauberviereck: Analogisieren Erster Analogisierungsversuch 13 13 8 2 6 7 4 5 1 13 13 Eck-Gegendreiecks-Differenz

Phänomene im Zauberviereck: Analogisieren Zweiter Analogisierungsversuch 8 2 6 7 4 5 1

Phänomene im Zauberviereck: Analogisieren Zweiter Analogisierungsversuch 8 --(4+1) = 3 8 2 6-(2+1) = 3 6 7 7-(4+) = 3 4 5 1 5-(+2) = 3 Mitte-Gegenecken-Differenz

Phänomene im Zauberviereck: Probieren Neues Phänomen 13 8 2 6 7 13 4 5 1 Gegenmitten

Phänomene entdecken Analogisieren Phänomene entdecken Operativ vorgehen Analogisieren Operativ vorgehen Algebraisieren Analogisieren Algebraisieren Zauberdreieck Zauberviereck

Analyse von Formaten / Operativ vorgehen 1 Was bewirkt die Veränderung einer Zahl bei einem Zauberviereck? +c Veränderung einer Mittenzahl +c Veränderung einer Eckzahl Zaubereigenschaft geht verloren!

Analyse von Formaten / Operativ vorgehen 2 Zauberinvariante Operationen Zwei Eckzahlen +c Eckzahl und zwei Mittenzahlen +c +c +c Alle Mittenzahlen +c +c +c +c Kombinationen solcher Operationen -c +c -c +c

Analyse von Formaten / Operativ vorgehen 2 Propädeutik des Vektorraumbegriffs 8 2 7 6 4 7 14 6 6 7 + 9 8 = 1 17 27 15 15 4 5 1 1 11 5 5 16 6 8 2 24 6 3 6 7 1 3 4 5 1 = 18 21 12 15 3

Phänomene entdecken Analogisieren Phänomene entdecken Operativ vorgehen Analogisieren Operativ vorgehen Algebraisieren Analogisieren Algebraisieren Zauberdreieck Zauberviereck

Analyse von Formaten / Algebraisieren 1 Entwicklung einer algebraischen Darstellung d a+ b a+b +k a c c+b b+c +k b a+d a+d +k a a d+c c+d +k c b Ist jedes Zauberviereck von dieser Form?

Analyse von Formaten / Algebraisieren 1 Entwicklung einer algebraischen Darstellung d a+ b a+b +k a c = a+b+k d g c c+b b+c +k b a+d a+d +k a b+c+k = h Zauberzahl = a+b+c+d+k f = a+d+k a d+c c+d +k c b a e b = c+d+k Satz: Jedes Viereck obiger Form ist ein Zauberviereck und jedes Zauberviereck ist von obiger Form.

Das Zaubertetraeder 4 5 7 8 3 2 4 6 1 Zauberzahl = 9

Verbindung zwischen Geometrie und Arithmetik Phänomene entdecken Operativ vorgehen Geometrie/ Symmetrie Algebraisieren

nur bestimmte Zahlen unterschiedliche Zauberzahlen... Regel Dimension Verkettung Art der Belegung Form Anzahl Operation Multiplikation kgv ggt Mittelwert...

Zauberwürfel 7 8 3 2 1 9 6 4 Zauberwert = 2

Phänomene im Zauberwürfel 7 8 3 2 1 9 6 4 Zauberwert = 2

Phänomen 1: Raumdiagonalen 7-6 7 8 3 2 2-1 1 9 9-8 6 4-3 4

Phänomen 2: Gegenkanten 15 15 1 1 5 5 1 1 8 8 1 1 12 12 12 12 15 15 8 8 5 5 1 1

Phänomen 3: Gegenflächendiagonalen --2 3 2 2-3 -2

Phänomen 4: Dreibeinsumme 21 21 7 8 3 2 21 21 21 21 1 4 9 6 21 21

1 2 8 7 3 4 6 9 1 4 6 8 19 19 1 3 6 9 19 2 8 3 6 19 19 1 8 7 3 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 21 21 21 21 21 21 21 21 Phänomen 4: Dreibeinsumme

Phänomen 4: Dreibeinsumme 19 19 7 8 3 21 21 2 19 19 21 21 1 19 19 4 9 19 19 6 21 21

Zauberinvariante Operation 1

Zauberinvariante Operation 2

Struktur des Zauberwürfels b+k b c-k c a-k a d+k d d c b a Jeder Würfel obigen Typs ist ein Zauberwürfel! Ist jeder Zauberwürfel aber auch von diesem Typ?

Struktur des Zauberwürfels Operativ erzeugter Zauberwürfel Beliebiger Zauberwürfel b+k c-k a-k d+k h= b+k e= c-k g= a-k f = d+k d a c b c d b a Zauberwert = a+b+c+d Satz: Jeder Würfel obigen Typs ist ein Zauberwürfel und jeder Zauberwürfel ist von diesem Typ!

Zauberdodekaeder Zauberwert = 33

Zahlenpaare 3 8 5 17 9 14 8 7 8 12 1 6 6 2 4 2 13 3 11

Drei Summanden 25 25 5 3 8 17 9 14 7 8 12 1 8 6 6 4 2 2 3 13 11 25 25

5 3 17 8 14 14 9 14 7 8 12 1 8 6 6 2 3 14 14 4 13 11

Fünf Summanden 33 33 33 33 33 33 33 33

Zauberinvariante Operation

Operative Erzeugung einer Lösung d b e c b a d e e c a b d a c a d c e b

Zweite operative Lösung

Zweite operative Lösung e d b a e c d c b e a b d c a d e a b c d c e a b a d c d c e a b e b d c e a b

Zweite spezielle Lösung

Struktur des gesamten Innentetraeder-Raums d+c b+e e+d c+a a+b d+d c+c e+a a+d c+b b+c e+e b+b a+a d+e d+b c+d e+c a+e b+a

Lassen sich mit den Innentetraedern alle Zauberdodekaeder erzeugen? Vektorraum der Zahlendodekaeder k k f f Zauberdodekaederraum p t = Innentetraederraum q p Untervektorraum der Zauberdodekaeder... z p.. z t z q p+p t+t z r q+q z s p Innentetraederraum. r+r s+s q t r sq t p+p r s r s. z. z p o.. t+t o q+q z. z. t o+o o z n k no z k n j k i n z j.. j + = q p p r+r s+s q t p t z. r q n+n k+k r s q t l j r m s i i j+j z i. l Z. m f l h m. z l o+o z m i+i o o z. n h g z f.. f h l+l m+m k n j g + = o Z. z. s Hat r s der Innentetraederraum o n+n k+k A n z h d cj Bg A+B z. i dieselbe n k z. i j+j h+h l d c k j A Dimension m i = e lb d c m z. j. f+f A z g e b h a e b. i+i l m g+g f h l+l z. i m+m ga f h z. l g a. z d z c z d+d... wie m der gzauberdodekaederraum? c+c h+h d c d c f+f z. f z b z. h d c b b z e g+g e be b+b e+e a e z. a z g a a d+d a+a c+c Z. = z. e z. d e+e z. a z. c z. b a+a b+b

Dimension des Zauberdodekaeder-Raums a + b + c + d + e = z a + b + g + h + m = z M M p + q + r + s + t = z 21 Variable 12 Gleichungen

a z b z c z d z 1 1 1 1 1 e z 1 1 1 1 1 f z 1 1 1 1 1 g z 1 1 1 1 1 h z 1 1 1 1 1 i z 1 1 1 1 1 j z 1 1 1 1 1 k = z 1 1 1 1 1 l z 1 1 1 1 1 m z 1 1 1 1 1 n z 1 1 1 1 1 o z 1 1 1 1 1 p z q z r z s z t z Zauberbedingung als Matrizengleichung

Rang 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 1 1 1 1 1 2 3 3 1 1 1 1 1 2 3 3 1 1 2 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 = 12 12 unabhängige Gleichungen

Dimension des Zauberdodekaeder-Raums Gleichungssystem mit 21 Variablen 12 unabhängige Gleichungen Dimension des Lösungsraumes: D = 21 12 = 9

Innentetraeder-Raum 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Die 1 1 Innentetraeder sind linear abhängig! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Je Je 9 der Innentetraeder sind linear unabhängig! 1 1 1 1

Der von den Innentetraedern aufgespannte Zauberraum hat die Dimension 9 Der Vektorraum der Zauberdodekaeder hat die Dimension 9 Satz: Der Vektorraum der Zauberdodekaeder ist ist der von den Innentetraedern aufgespannte Zauberraum.

Analyse von Formaten / Algebraisieren 2 d+c b+e e+d c+a a+b d+d c+c e+a a+d c+b b+c e+e b+b a+a d+e a+e d+b c+d e+c b+a Jedes Jedes Dodekaeder Dodekaeder entsprechend entsprechend obiger obiger Belegung Belegung ist ist ein ein Zauberdodekaeder Zauberdodekaeder und und jedes jedes Zauberdodekaeder Zauberdodekaeder ist ist von von obiger obiger Form. Form.

Zusammenfassung Übungsformate aus der Grundschule können aufgrund ihrer mathematischen Reichhaltigkeit in der Sekundarstufe eingesetzt werden zum Erreichen mathematischer Lernziele in verschiedenen Bereichen (Algebra, Gleichungslehre, Vektorraumbegriff, ) und allgemeiner Bildungsziele ( beobachten lernen, nach Gesetzmäßigkeiten suchen, strukturieren, variieren) Als fruchtbar erweist sich dabei das Methodentripel: Phänomene entdecken Operativ vorgehen Algebraisieren Systematisches Variieren und Analogisieren zeigen sich als schlagkräftiges Instrument kreativen Arbeitens in der Mathematik