Extremwertstatistik und und ihre in der Meteorologie Petra Friederichs Meteorologisches Institut, Universität Bonn Fortbildungsveranstaltung der ÖGM und DMG Salzburg, 16. November 2012 P.Friederichs Extremwertanalyse 1 / 23
Il est impossible que l improbable n arrive jamais Emil Julius Gumbel (1891-1966) Extremindizes 95% Quantil für tägliche Niederschlagswerte: 9mm im Winter, 15mm Sommer Nicht wirklich extrem! Extrem: HQ100 Going beyond the range of the data P. Naveau P.Friederichs Extremwertanalyse 2 / 23
Extreme value theory Going beyond the range of the data Probabilistisches Konzept über asymptotisches Verhalten von Extremen Abschätzung und Vorhersage von Extremen Statistische Modellierung von Extremen Abschätzung von Unsicherheiten Goodness-Of-Fit und Modellselektion P.Friederichs Extremwertanalyse 3 / 23
Extreme value theory Going beyond the range of the data Grenzwertsatz für Stichprobenmaxima asymptotische Verteilung von Extremen Bedingung der Max-Stabilität (de Haan, 1984) Maxima folgen einer generalisierten Extremwertverteilung Garantiert universales Verhalten von Extreme ermöglicht Extrapolation! In der Praxis of nicht genug Daten Nicht im asymptotischen Limit Insbesondere weil oft Konvergenz schlecht P.Friederichs Extremwertanalyse 4 / 23
Zentraler Grenzwertsatz der Statistik: Asymptotisches Verhalten von Mitteln Fisher-Tippett Theorem (Fisher and Tippett, 1928; Gnedenko, 1943): Asymptotisches Verhalten von Maxima P.Friederichs Extremwertanalyse 5 / 23
Gauss distribution N=50 N=10000 Gumbel distribution 1.0 0.8 0.8 Gumbel type: Density 0.6 0.4 0.2 Density 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 3 2 1 0 1 2 3 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 Maxima 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 1 2 3 4 5 Maxima Maxima Uniform distribution N=50 N=10000 Weibull distribution 30 30 25 20 Weibull type: Density 20 10 Density 15 10 5 0 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.90 0.95 1.00 Maxima 0.85 0.90 0.95 1.00 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 Maxima Maxima Cauchy distribution N=50 N=10000 Frechet distribution 0.35 0.3 0.30 0.25 Fréchet type: Density 0.2 0.1 Density 0.20 0.15 0.10 0.05 0.0 0.00 4 2 0 2 4 10 100 1000 10000 10 100 1000 10000 1e+05 0 200 400 600 800 1000 Maxima Maxima Maxima P.Friederichs Extremwertanalyse 6 / 23
Generalisierte Extremwertverteilung () Maxima großer Stichproben X N = max{z (1),..., z (N) } folgen asymptotisch N der generalisierten Extremwertverteilung exp( (1 + ξ x µ σ G X (x) = ) 1/ξ ) +, ξ 0, exp( exp( x µ σ )), ξ = 0 Gumbel (..., shape=0.0) Frechet (..., shape=0.6) Weibull (..., shape= 0.3) PDF 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 2 0 2 4 6 PDF 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 2 0 2 4 6 PDF 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 2 0 2 4 6 P.Friederichs Extremwertanalyse 7 / 23
Generalisierte Paretoverteilung Analog zur, aber für Peaks-over-threshold (POT) Y = X u H Y (y; u) = 1 ( 1 + ξ y σ u ) 1/ξ, ξ 0 1 exp( y σ u ), ξ = 0, Years 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 P.Friederichs Extremwertanalyse 8 / 23
dgpd(..., shape=0.0) PDF 0.0 0.1 0.2 0.3 Generalisierte Paretoverteilung -Klassen: ξ = 0 Exponential-Verteilung (entspr. Gumbel) ξ > 0 Pareto-Ausläufer (entspr. Fréchet) ξ < 0 Beta (entspr. Weibull) PDF 0.0 0.1 0.2 0.3 1 2 3 4 5 dgpd(..., shape=0.6) 1 2 3 4 5 dgpd(..., shape= 0.3) PDF 0.0 0.1 0.2 0.3 1 2 3 4 5 P.Friederichs Extremwertanalyse 9 / 23
Poisson Für hohe Schwellwerte u, ist X i > u asymptotisch ein Poisson auf der Region [0, 1] (u, ) mit Intensität Λ(A) = (t 2 t 1 ) ( 1 + ξ ( y µ σ )) 1/ξ. for A = [t 1, t 2 ] (u, z) µ, σ and ξ Parameter entspr. Years 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 P.Friederichs Extremwertanalyse 10 / 23
Typische Darstellung Wiederkehrwert (return level) Wiederkehrzeit (return period) Return level/return period Sei die WiederkehrzeitT = 1/p Jahre, dann Probability density 1-p p ist der Wiederkehrwert x p der Schwellenwert mit Überschreitungswahrscheinlichkeit p Return level x(p) Pr(X > x p ) = 1 F X (x p ) = p x p = F 1 X (1 p) = µ σ ξ (1 ( log(1 p)) ξ ) Durchschnittliche Wartezeit bis zum nächsten Ereignis größer x p ist T P.Friederichs Extremwertanalyse 11 / 23
Täglicher Niederschlag von 1948-2004 Formparameter lat 48 49 50 51 52 53 54 55 DWD Stations 1948 2004, Winter, PP(u= 5.0 mm) 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 lat 48 49 50 51 52 53 54 55 DWD Stations 1948 2004, Summer, PP(u=10.0 mm) 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 8 10 12 14 8 10 12 14 lon lon P.Friederichs Extremwertanalyse 12 / 23
Täglicher Niederschlag von 1948-2004 20y Wiederkehrwert lat 48 49 50 51 52 53 54 55 DWD Stations 1948 2004, Q20 (1948), Winter, PP(u=5.00 mm) 150 100 50 lat 48 49 50 51 52 53 54 55 DWD Stations 1948 2004, Q20 (1948), Summer, PP(u=10.00 mm) 150 100 50 0 0 8 10 12 14 8 10 12 14 lon lon P.Friederichs Extremwertanalyse 13 / 23
Multivariate Extremwertstatistik Randverteilungen: Standard-Fréchet Abhängigkeitsstruktur: Die Definition von Maxima erfolgt komponentenweise Grenzwertsatz über asymptotisches Verhalten multivariater Stichprobenmaxima Es existiert keine eindeutige parametrische Beschreibung P.Friederichs Extremwertanalyse 14 / 23
Multivariate Extremwertstatistik Prob(Y 1 y 1,..., Y d y d ) = exp{ V (y 1,..., y d )} Multivariate Extremwerttheorie befasst sich dann mit der Beschreibung der Abhängigkeitsstruktur χ = lim y Prob(Y i > y Y j > y) (1) χ 0 asymptotische Abhängigkeit χ = 0 asymptotische Unabhängigkeit P.Friederichs Extremwertanalyse 15 / 23
Hydrology Climate Downscaling Weather prediction Risks of extreme hydrological hazards in the Caribbean S. A. Sisson, L. R. Pericchi, S. G. Coles (2006) P.Friederichs Extremwertanalyse 16 / 23
Hydrology Climate Downscaling Weather prediction Risks of extreme hydrological hazards in the Caribbean Nicaragua Venezuela Puerto Rico S. A. Sisson, L. R. Pericchi, S. G. Coles (2006) P.Friederichs Extremwertanalyse 17 / 23
Hydrology Climate Downscaling Weather prediction 25 Jahr für tägliche Niederschlagsmengen in cm D. Cooley, D. Nychka, and P. Naveau (2007) P.Friederichs Extremwertanalyse 18 / 23
Hydrology Climate Downscaling Weather prediction Elbe Flood P. Friederichs (2009) P.Friederichs Extremwertanalyse 19 / 23
Hydrology Climate Downscaling Weather prediction Windböen Vorhersage COSMO-DE-EPS Prob Böe > 18m/s 99% Quantil P. Friederichs. S. Memmel (2012) P.Friederichs Extremwertanalyse 20 / 23
Going beyond the range of the data Standardverfahren für univariate Probleme Aussagen/Vorhersagen muss mit Unsicherheit verknüpft sein! Bayes sche Verfahren Nicht-stationarität und Abhängigkeiten berücksichtigen Räumliche und raum-zeitliche Verfahren aktuelle Forschung P.Friederichs Extremwertanalyse 21 / 23
Beirlant, J., Y. Goegebeur, J. Segers, and J. Teugels, 2004: Statistics of Extremes. Wiley, Chichester, 490 pp. Coles, S., 2001: An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer Series in Statistics. Springer-Verlag, London, 208 pp. Cooley, D., D. Nychka, and P. Naveau, 2007: Bayesian spatial modeling of extreme precipitation return levels. J. The Amer. Stat. Association, 102, 824 840. Friederichs, P., 2010: Statistical downscaling of extreme precipitation using extreme value theory. Extremes, 13, 109 132. R Development Core Team, 2010: R: A Language and Environment for Statistical Computing. Vienna, Austria, R Foundation for Statistical Computing, URL http://www.r-project.org, ISBN 3-900051-07-0. Sisson, S. A., L. R. Pericchi, and S. G. Coles, 2006: A case for a reassessment of the risks of extreme hydrological hazards in the caribbean. Stoch. Environ. Res. Risk. Assess., 20, 296 306, doi:10.1007/s00477-005-0246-4. Pakete evd, evdbayes und ismev von Alec Stephenson und Stuard Coles P.Friederichs Extremwertanalyse 22 / 23
Danke für Ihre Aufmerksamkeit! P.Friederichs Extremwertanalyse 23 / 23