Seite von Unterlagen für die Lehrkraft Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 06 Mathematik. Aufgabenart Analysis, Stochastik. Aufgabenstellung Teil I: Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe : Analysis Aufgabe : Stochastik (6 Punkte) (6 Punkte) Teil II: Innermathematische und kontextbezogene Aufgaben mit Hilfsmitteln Aufgabe : Analysis (innermathematische Aufgabe) Aufgabe : Analysis (kontextbezogene Aufgabe) ( Punkte) ( Punkte). Materialgrundlage entfällt. Bezug zu den Vorgaben 06 Teil I: Hilfsmittelfreier Teil Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) Grundlegende Eigenschaften von Potenz-, Exponential- und Sinusfunktionen Grundverständnis des Ableitungsbegriffs Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen (Untersuchung ganzrationaler Funktionen bis zum Grad drei) Inhaltsfeld Stochastik (S) Mehrstufige Zufallsexperimente Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Seite von Teil II: Innermathematische und kontextbezogene Aufgaben mit Hilfsmitteln Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) Grundverständnis des Ableitungsbegriffs Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen 5. Zugelassene Hilfsmittel Teil I: Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Teil II: Graphikfähiger Taschenrechner (GTR) oder Computeralgebrasystem (CAS) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender bewertet (Bewertungsbogen: Zeile Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung ).
Seite von Aufgabe : Analysis Modelllösung ( ) f ' x = x 0 x+ 6 Mit der notwendigen Bedingung '( ) 0 Lösungen x = 5 5 6 = und f x = ergeben sich aus x 0 x+ 6 = 0 die beiden x = 5+ 5 6 = 8. Zusätzlich gilt f '( 0) = 6> 0, f '5 ( ) = 9< 0und ( ) f '0 = 6> 0. Daher liegt an der Stelle x = ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von f ' von + nach und an der Stelle x = ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von f ' von nach + vor. 8 ist also eine lokale Maximalstelle und 8 eine lokale Minimalstelle von f. Aufgabe : Stochastik Modelllösung a) 0 8 0 8 0 8 Modelllösung b) 9 () P( Summe 0 ) = = 6 6 P( Summe 8 ) = = = 6 8 P( Summe 6 ) = = 6
Seite von () Erwartungswert der Auszahlung (ohne Berücksichtigung des Einsatzes): 9 6 0 + 8 + 80 = 8 6 6 6 Auf lange Sicht werden durchschnittlich 8 pro Spiel ausgezahlt, d. h. ein Spieler erhält seinen Einsatz zurück. Das Spiel ist also fair. Oder: Erwartungswert des Gewinns (unter Berücksichtigung des Einsatzes): 9 6 8 + 0 + 7 = 0 6 6 6 Auf lange Sicht macht ein Spieler weder Gewinn noch Verlust. Das Spiel ist also fair. Aufgabe : Analysis (innermathematische Aufgabe) Modelllösung a) () Ansatz: s : y = m x+ b m = = = 0,75 9 8 Einsetzen der Koordinaten des Punktes T ( 9 ) liefert: 5 9 + b= b= =,75. 8 8 Damit ist die Gleichung der Geraden 5 s: y = x+. 8 8 f ' x = x x+ 7 6 6 Aus der Bedingung f '( x ) = ergeben sich die beiden Lösungen x = 6,7 8 und x = 6 + 7,7. () ( )
Seite 5 von Modelllösung b) () () Der Graph von g geht durch eine Verschiebung um Einheiten nach links aus dem Graphen von f hervor. () g( x) = f ( x+ ) Modelllösung c) f () Zum Differenzenquotienten ( ) f ( 0,8) 0,8 gehört die Abbildung.. () f ' ( ) ist die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt P f ( ). ( ) In den Abbildungen. bis.5 ist jeweils die Steigung einer Sekante durch den Punkt ( ( ) ) P f und einen Nachbarpunkt N dargestellt. Der Punkt N läuft auf dem Graphen von f auf den Punkt P zu, die Sekante durch die Punkte N und P nähert sich der Tangente im Punkt P an. Die Steigung der Sekante durch die Punkte N und P entspricht dadurch immer genauer der Steigung der Tangente im Punkt P und somit dem Wert f ' ( ).
Seite 6 von Aufgabe : Analysis (kontextbezogene Aufgabe) Modelllösung a) () Um 7:00 Uhr morgens ( t = 5 ) misst Heinz den Sonnenhöhenwinkel 0 Grad. () Heinz misst im Zeitraum von 9:00 Uhr bis 5:00 Uhr ( t = bis t = ) Sonnenhöhenwinkel, die mindestens 0 Grad betragen. Modelllösung b) f ( 5) 0 =,65 Die Abweichung zwischen dem um 7:00 Uhr morgens gemessenen Wert und dem entsprechenden Funktionswert beträgt ungefähr, Grad. Modelllösung c) () f ' t = 0,0 t, t Aus der notwendigen Bedingung f '() t = 0 für lokale Extremstellen ergeben sich die Lösungen t 0,, t = 0 und t 0,. t und t befinden sich nicht im betrachteten Intervall [ 0;0]. f ' =,96 < 0 liegt an der Stelle t ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von f ' von + nach und damit ein lokales Maximum von f vor. Wegen f '( ) =,96 > 0 und ( ) Wegen ( 0) 0 f =, f ( 0) = 6, und ( ) f 0 = 0 handelt es sich auch um das absolute Maximum von f im Intervall [ 0;0]. Auch bei der Modellierung mit der Funktion f erreicht die Sonne um :00 Uhr mittags ihren höchsten Stand. Modelllösung d) () f '( 9) =,08 >,588 = f '( ) () Die positive lokale Änderungsrate f '( 9) ist größer als die positive lokale Änderungsrate f '( ), der Sonnenhöhenwinkel nimmt also um :00 Uhr morgens schneller zu als um 0:00 Uhr morgens.
Seite 7 von Modelllösung e) () () 9 90 a = 0,80 f 0 = 6 ( ) 0 0 b = = =,5 (Verhältnis der Nullstellen) 8 8 [Aufgrund der Symmetrie des Graphen von f ist auch b =,5 eine richtige Lösung.]
Seite 8 von 7. Bewertungsbogen zur Klausur Name des Prüflings: Kursbezeichnung: Schule: Aufgabe : Analysis gibt f '( x ) an. untersucht die Funktion f rechnerisch auf lokale Minimal- und Maximalstellen. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (6) Summe insgesamt 6 Aufgabe : Stochastik Teilaufgabe a) erstellt für das Zufallsexperiment ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm mit allen Pfadwahrscheinlichkeiten. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: () Summe Teilaufgabe a)
Seite 9 von Teilaufgabe b) () berechnet die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass sich die Summe 0 ergibt, die Summe 8 ergibt und die Summe 6 ergibt. () untersucht, ob es sich wirklich um ein faires Spiel handelt. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: () Summe Teilaufgabe b) Summe insgesamt 6 Aufgabe : Analysis (innermathematische Aufgabe) Teilaufgabe a) () ermittelt rechnerisch eine Gleichung der Geraden s durch die Punkte H und T. 5 () ermittelt auf zwei Nachkommastellen genau die Stellen, an denen der Graph von f Tangenten hat, die parallel zur Geraden s verlaufen. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (9) Summe Teilaufgabe a) 9
Seite 0 von Teilaufgabe b) () zeichnet den Graphen von g in die Abbildung ein. () gibt die Transformation an, durch die der Graph von g aus dem Graphen von f hervorgeht. () gibt eine Funktionsgleichung von g an, aus der die Transformation deutlich wird, durch die der Graph von g aus dem Graphen von f hervorgeht. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (8) Summe Teilaufgabe b) 8 Teilaufgabe c) () gibt an, welche Abbildung zum Differenzenquotienten f ( ) f ( 0,8) 0,8 gehört. () gibt an, welche geometrische Bedeutung der Wert f ' ( ) hat. () erklärt, warum in den Abbildungen. bis.5 veranschaulicht wird, wie dieser Wert immer genauer ermittelt werden kann. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (7) Summe Teilaufgabe c) 7 Summe insgesamt
Seite von Aufgabe : Analysis (kontextbezogene Aufgabe) Teilaufgabe a) () gibt den Sonnenhöhenwinkel an, den Heinz um 7:00 Uhr morgens misst. () gibt an, in welchem Zeitraum Heinz Sonnenhöhenwinkel misst, die mindestens 0 Grad betragen. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: () Summe Teilaufgabe a) Teilaufgabe b) berechnet die Abweichung zwischen dem um 7:00 Uhr morgens gemessenen Wert und dem entsprechenden Funktionswert. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: () Summe Teilaufgabe b) Teilaufgabe c) gibt f' ( t ) an. weist rechnerisch nach, dass auch bei der Modellierung mit der Funktion f die Sonne um :00 Uhr mittags ihren höchsten Stand erreicht. 5 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (7) Summe Teilaufgabe c) 7
Seite von Teilaufgabe d) () weist nach, dass gilt: f '( 9 ) f '( ) >. () interpretiert diese Ungleichung im Sachzusammenhang. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: () Summe Teilaufgabe d) Teilaufgabe e) () skizziert in der Abbildung den Verlauf eines möglichen Graphen von g. () ermittelt für a einen zur Messung passenden Wert. () ermittelt für b einen zur Messung passenden Wert. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (7) Summe Teilaufgabe e) 7 Summe insgesamt
Seite von Festlegung der Gesamtnote Übertrag der Punktsumme aus der ersten Aufgabe 6 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten Aufgabe 6 Übertrag der Punktsumme aus der dritten Aufgabe Übertrag der Punktsumme aus der vierten Aufgabe Gesamtpunktzahl 60 Note Unterschrift, Datum Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Noten zu den Punktsummen ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Erreichte Punktsummen sehr gut 5 60 gut 5 befriedigend ausreichend 5 mangelhaft ungenügend 0