Strukturerhaltende Integrationsverfahren für stochastische Differentialgleichungen in der Modellierung von Zinsderivaten

Strukturerhaltende Integrationsverfahren für stochastische Differentialgleichungen in der Modellierung von Zinsderivaten Michael Günther, Christian Kahl und Thilo Roßberg Bergische Universität Wuppertal Lehrstuhl für Angewandte Mathematik / Numerische Analysis & ABN AMRO Financial Markets Quantitative Analysis Group, London

Inhalt Modellierung von Zinsderivaten Ein Beispiel: Zinsänderungsrisiko beim Hauskauf Libor-Market Modelle Positivitätserhaltende stochastische Integration Numerische Ergebnisse Ausblick

Modellierung von Zinsderivaten I

Modellierung von Zinsderivaten II ( Nullkouponanleihen: B(t, T ) =E exp [ T t ]) r τ dτ

Modellierung von Zinsderivaten II ( Nullkouponanleihen: B(t, T ) =E exp [ T t ]) r τ dτ Spotrate (EURIBOR, LIBOR,...): (1 + (T t)l(t, T ))B(t, T ) = 1 L(t, T ) = 1 B(t, T ) (T t)b(t, T )

Modellierung von Zinsderivaten II ( Nullkouponanleihen: B(t, T ) =E exp [ T t ]) r τ dτ Spotrate (EURIBOR, LIBOR,...): (1 + (T t)l(t, T ))B(t, T ) = 1 L(t, T ) = 1 B(t, T ) (T t)b(t, T ) Laufzeiten T 0 < T 1 <... < T N < T N+1 = T, δ k = T k+1 T k

Modellierung von Zinsderivaten II ( Nullkouponanleihen: B(t, T ) =E exp [ T t ]) r τ dτ Spotrate (EURIBOR, LIBOR,...): (1 + (T t)l(t, T ))B(t, T ) = 1 L(t, T ) = 1 B(t, T ) (T t)b(t, T ) Laufzeiten T 0 < T 1 <... < T N < T N+1 = T, δ k = T k+1 T k Forward-Zinssätze: (1 + δ k F k (t))/b(t, T k ) = 1/B(t, T k+1 ) F k (t) = 1 ( ) B(t, Tk ) δ k B(t, T k+1 ) 1, insb. F k (T k ) = L(T k, T k+1 )

Modellierung von Zinsderivaten II ( Nullkouponanleihen: B(t, T ) =E exp [ T t ]) r τ dτ Spotrate (EURIBOR, LIBOR,...): (1 + (T t)l(t, T ))B(t, T ) = 1 L(t, T ) = 1 B(t, T ) (T t)b(t, T ) Laufzeiten T 0 < T 1 <... < T N < T N+1 = T, δ k = T k+1 T k Forward-Zinssätze: (1 + δ k F k (t))/b(t, T k ) = 1/B(t, T k+1 ) F k (t) = 1 ( ) B(t, Tk ) δ k B(t, T k+1 ) 1, insb. F k (T k ) = L(T k, T k+1 ) Caplet Europäische Option auf Spotraten (EURIBOR) mit Auszahlungsfunktion C(T k ) = (L(T k, T k+1 ) K) + = (F k (T k ) K) +.

Ein Beispiel Zinsänderungsrisiko beim Hauskauf I Das Szenario Festdarlehen über EUR 600.000, ; Laufzeit: 30 Jahre; 360 nachschüssige Zinsraten K i zum Zeitpunkt T i = 1,..., 360 Monaten: K i = 50000 min(4.5%, 1.5% + F i 1 (T i 1 ) ); }{{} (1+δ i F i (t))=1/b(t i,t i+1 )

Ein Beispiel Zinsänderungsrisiko beim Hauskauf I Das Szenario Festdarlehen über EUR 500.000, ; Laufzeit: 30 Jahre; 360 nachschüssige Zinsraten K i zum Zeitpunkt T i = 1,..., 360 Monaten: K i = 50000 min(4.5%, 1.5% + F i 1 (T i 1 ) ); }{{} (1+δ i F i (t))=1/b(t i,t i+1 ) Absicherung gegen Zinsänderungsrisiko der maximale Zinssatz K i für die Zahlung im i-ten Monat soll 7 % betragen oder der maximale Zinssatz K i soll durch den rollierenden Durchschnitt der bisherigen Euribor-Zinssätze F i 1 (T i 1 ) begrenzt sein, d.h. durch ( { K i = 50000 min 4.5%, 1.5% + min F i 1 (T i 1 ), 1 i i j=1 }) F j 1 (T j 1 ).

Ein Beispiel Zinsänderungsrisiko beim Hauskauf II Absicherung gegen Zinsänderungsrisiko der maximale Zinssatz K i für die Zahlung im i-ten Monat soll 7 % betragen oder der maximale Zinssatz K i soll durch den rollierenden Durchschnitt der bisherigen Euribor-Zinssätze F i 1 (T i 1 ) begrenzt sein, d.h. durch ( { K i = 50000 min 4.5%, 1.5% + min F i 1 (T i 1 ), 1 i i j=1 }) F j 1 (T j 1 ).

Ein Beispiel Zinsänderungsrisiko beim Hauskauf II Absicherung gegen Zinsänderungsrisiko der maximale Zinssatz K i für die Zahlung im i-ten Monat soll 7 % betragen oder der maximale Zinssatz K i soll durch den rollierenden Durchschnitt der bisherigen Euribor-Zinssätze F i 1 (T i 1 ) begrenzt sein, d.h. durch ( { K i = 50000 min 4.5%, 1.5% + min F i 1 (T i 1 ), 1 i Fairer Preis für eine Zinsoption ( V (t, r, N, τ) = E Nτ = Nτ 360 i=1 360 i=1 i j=1 }) F j 1 (T j 1 ). B(t, T i ) (F i 1 (T i 1 ) K i ) + ) E ( B(t, T i ) (F i 1 (T i 1 ) K i ) +)

Libor-Market Modelle für Forward Rates Forderung an Modelle für Forward-Zinssätze: Arbitragefreiheit & Fit mit gemessenen Daten! Eine Möglichkeit: Libor-Market-Modelle mit stochastischer Volatilität df k (t) = σ k (t) V (t)f k (t) α k db T k+1 mit t < T k dv (t) = κ(ϑ V (t))dt + ɛv (t) β dz SDE nicht geschlossen lösbar Numerische Approximation nötig Ziel: Approximation soll Positivität erhalten!

Libor-Market Modelle für Forward Rates Forderung an Modelle für Forward-Zinssätze: Arbitragefreiheit & Fit mit gemessenen Daten! Eine Möglichkeit: Libor-Market-Modelle mit stochastischer Volatilität df k (t) = σ k (t) V (t)f k (t) α k db T k+1 mit t < T k dv (t) = κ(ϑ V (t))dt + ɛv (t) β dz SDE nicht geschlossen lösbar Numerische Approximation nötig Ziel: Approximation soll Positivität erhalten! { β > 1/2 F k > 0 für α k 1/2 V > 0 für β = 1/2 und κϑ > ε 2 /2 F k 0 für 0 < α k < 1/2 V 0 für β = 1/2 und κϑ ε 2 /2

Positivitätserhaltende stochastische Integration I dx t = a(x t )dt + b(x t )db t, X(0) = X 0 Numerische Approximation: X i X ti mit Schrittweiten h i :=: t i+1 t i Forderung: ( ) P ({X t > 0 t 0}) = 1 P ({X i+1 > 0 X i > 0}) = 1

Positivitätserhaltende stochastische Integration I dx t = a(x t )dt + b(x t )db t, X(0) = X 0 Numerische Approximation: X i X ti mit Schrittweiten h i :=: t i+1 t i Forderung: ( ) P ({X t > 0 t 0}) = 1 P ({X i+1 > 0 X i > 0}) = 1 Abschwächung: Fordere ( ) für Klasse von SDEs, etwa (positive) Mean-Reverting-Prozesse dx t = (α βx t )dt + σx p t db t, α, β, σ > 0 geometrische Brownsche Bewegung: α = 0, p = 1

Positivitätserhaltende stochastische Integration II Stochastisches Euler-Verfahren: / X i+1 = X i + h i a(x i ) + b(x i ) B i

Positivitätserhaltende stochastische Integration II Stochastisches Euler-Verfahren: / X i+1 = X i + h i a(x i ) + b(x i ) B i Balanced Implizites-(Euler)-Verfahren [Schurz 1996]: +/(+ ε ) X i+1 = X i + h i a(x i ) + b(x i ) B i + (X i X i+1 )C i (X i ) C i (X i ) = c 0 (X i )h i + c 1 (X i ) B i.

Positivitätserhaltende stochastische Integration II Stochastisches Euler-Verfahren: / X i+1 = X i + h i a(x i ) + b(x i ) B i Balanced Implizites-(Euler)-Verfahren [Schurz 1996]: +/(+ ε ) X i+1 = X i + h i a(x i ) + b(x i ) B i + (X i X i+1 )C i (X i ) C i (X i ) = c 0 (X i )h i + c 1 (X i ) B i. Milstein-Verfahren: (+ h )/ X i+1 = X i + h i a(x i ) + b(x i ) B i + 1 2 b(x i)b (X i )(( B i ) 2 h i )

Positivitätserhaltende stochastische Integration II Stochastisches Euler-Verfahren: / X i+1 = X i + h i a(x i ) + b(x i ) B i Balanced Implizites-(Euler)-Verfahren [Schurz 1996]: +/(+ ε ) X i+1 = X i + h i a(x i ) + b(x i ) B i + (X i X i+1 )C i (X i ) C i (X i ) = c 0 (X i )h i + c 1 (X i ) B i. Milstein-Verfahren: (+ h )/ X i+1 = X i + h i a(x i ) + b(x i ) B i + 1 2 b(x i)b (X i )(( B i ) 2 h i ) Drift-implizites Milstein-Verfahren: +/(+ h ) X i+1 = X i + h i a(x i+1 ) + b(x i ) B i + 1 2 b(x i)b (X i )(( B i ) 2 h i )

Numerische Testergebnisse: Preisen von Caplets Libor-Market Modell für Forward Rates (α = 1/2 bzw. α = 3/2) df k (t) = σ k (t) V (t)f k (t) α k db T k+1 mit t < T k Test auf schwache Konvergenz δk B(t, T k+1 )E [ (F k (T k ) K) +] δ }{{} k B(t, T k+1 )E [ (Fk N (T k ) K) +] C(t) Error vs. Computational time Error vs. Computational time Euler Milstein Log Euler Euler Milstein Log Euler 10 0 Error Error 10 0 10 1 10 1 10 2 10 3 Time (seconds) 10 1 10 1 10 2 10 3 Time (seconds)

Mean Reverting: dx t = (1 X t )dt + 1.4 X t db t, X 0 = 1 Euler BIM Milstein impl. Milstein Zeit Schrittweite Fehler Negativ Fehler Negativ Fehler Negativ Fehler Negativ t = 1 2 0.2754 27.29 % 0.5187 0 % 0.2464 23.14 % 0.1503 0 % T = 1 t = 1 4 0.1926 25.82 % 0.4339 0 % 0.1166 7.45 % 0.0677 0 % t = 1 8 0.1370 21.59 % 0.3426 0 % 0.0558 0.65 % 0.0333 0 % t = 1 2 0.3290 45.54 % 0.7118 0 % 0.2639 34.72 % 0.2080 0 % T = 2 t = 1 4 0.2241 43.39 % 0.5832 0 % 0.1269 12.12 % 0.0849 0 % t = 1 8 0.1563 38.88 % 0.4499 0 % 0.0607 1.18 % 0.0397 0 % t = 1 2 0.3435 69.18 % 1.2734 0 % 0.2767 53.12 % 0.3174 0 % T = 4 t = 1 4 0.2333 67.21 % 1.0188 0 % 0.1305 20.63 % 0.1019 0 % t = 1 8 0.1610 62.44 % 0.7415 0 % 0.0633 2.22 % 0.0435 0 %

Ausblick Mean-Reverting Prozesse & Balanced Milstein-Verfahren (BMM) dv (t) = κ(ϑ V (t))dt + ɛv (t) β dz BMM Milstein + Term: +d 0 (V i )h i + d 1 (V i )(( B i ) 2 h i ) mit d 0 (x) = ακ + 1 2 ɛ2 p x 2p 2, d 1 (x) = 0 und Schrittweitenbegrenzung h i < 2p 1 2pκ(1 α) Zwei-Faktoren Modelle (korreliert: db t dz t = ρdt): ds t = µ(t)s t dt + V p t db t dv t = a(v t )dt + b(v t )dz t Ziel: schnelles (hohe Ordnung) und strukturerhaltendes Verfahren aber: nur eine Simulation von db t und dz t, keine Doppelintegrale!