Mathematik in der Natur Fibonacci und die Ananas Jan Schneider Hommage an das Oberfeld Atelierhaus Vahle February 25, 207 / 28
Fibonacci-Folge (F n ) n N =,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55,... Divina Proportione φ = 0, 68... 2 / 28
Leonardo da Pisa * etwa 70; etwa 250 3 / 28
Liber Abaci Buch des Rechnens 4 / 28
Fibonacci s Kaninchen Wie viele Nachfahren hat ein Kaninchenpaar nach einem Jahr? Stilisierte Annahmen: Ein Kaninchenpaar bringt pro Monat ein weiteres Paar zur Welt Ein Kaninchen wird nach einem Monat geschlechtsreif 5 / 28
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Fibonacci-Folge F = F 2 = F 3 = + = 2 F 4 = 2 + = 3 F 5 = 3 + 2 = 5 F 6 = 5 + 3 = 8 F 7 = 8 + 5 = 3 7 / 28
Fibonacci-Folge Allgemeines Bildungsgesetz F = F 2 = F n = F n + F n 2, für n = 3, 4, 5,...,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44,... 8 / 28
Waldlilie 9 / 28
Primel 0 / 28
Nelke / 28
Kanadische Blutwurzel 2 / 28
Schwarzäugige Susanne 3 / 28
Gänseblümchen 4 / 28
Aloe Polyphylla 5 / 28
Kiefernzapfen 6 / 28
Sonnenblume 7 / 28
Der goldene Schnitt Idee Eine Strecke so zu teilen, dass das Verhältnis des kleineren zum größeren Streckenabschnitts dem Verhältnis des größeren Streckenabschnitts zur Gesamtstrecke gleich ist 8 / 28
Der goldene Schnitt Idee Eine Strecke so zu teilen, dass das Verhältnis des kleineren zum größeren Streckenabschnitts dem Verhältnis des größeren Streckenabschnitts zur Gesamtstrecke gleich ist 8 / 28
Der goldene Schnitt Idee Eine Strecke so zu teilen, dass das Verhältnis des kleineren zum größeren Streckenabschnitts dem Verhältnis des größeren Streckenabschnitts zur Gesamtstrecke gleich ist 8 / 28
Der goldene Schnitt Idee Eine Strecke so zu teilen, dass das Verhältnis des kleineren zum größeren Streckenabschnitts dem Verhältnis des größeren Streckenabschnitts zur Gesamtstrecke gleich ist x x = x 8 / 28
Der goldene Schnitt Idee Eine Strecke so zu teilen, dass das Verhältnis des kleineren zum größeren Streckenabschnitts dem Verhältnis des größeren Streckenabschnitts zur Gesamtstrecke gleich ist φ = + 5 2 =.680339 = + φ 8 / 28
Der goldene Winkel 9 / 28
Der goldene Winkel 9 / 28
Der goldene Winkel 9 / 28
Der goldene Winkel 9 / 28
Der goldene Winkel ω = 37, 507... 9 / 28
Der goldene Schnitt Definition Eine reelle Zahl a heißt rational, falls es zwei ganze zahlen n und m gibt, so dass gilt Andernfalls heißt a irrational. a = n m. 20 / 28
Der goldene Schnitt Definition Eine reelle Zahl a heißt rational, falls es zwei ganze zahlen n und m gibt, so dass gilt Andernfalls heißt a irrational. Beispiele sind 2, 5, π, φ. a = n m. 20 / 28
Der goldene Schnitt Definition Eine reelle Zahl a heißt rational, falls es zwei ganze zahlen n und m gibt, so dass gilt Andernfalls heißt a irrational. Beispiele sind 2, 5, π, φ. a = n m. Theorem φ ist die irrationalste aller Zahlen 20 / 28
Reguläre Kettenbrüche Jede reelle Zahl a lässt sich durch einen regulären Kettenbruch darstellen, das heißt es existiert eine Folge ganzer Zahlen (a, a 2, a 3,... ) so dass gilt: a = a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 +... 2 / 28
Reguläre Kettenbrüche Jede reelle Zahl a lässt sich durch einen regulären Kettenbruch darstellen, das heißt es existiert eine Folge ganzer Zahlen (a, a 2, a 3,... ) so dass gilt: a = a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 +... Näherungsbrüche K = a K 2 = a + a 2 = p 2 q 2 2 / 28
Reguläre Kettenbrüche Jede reelle Zahl a lässt sich durch einen regulären Kettenbruch darstellen, das heißt es existiert eine Folge ganzer Zahlen (a, a 2, a 3,... ) so dass gilt: a = a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 +... Näherungsbrüche K = a K 2 = a + a 2 = p 2 q 2 Die Näherungsbrüche konvergieren gegen a und sind beste Näherungen für a 2 / 28
Reguläre Kettenbrüche Beispiel π π = 3, 459... = 3 + 7 + 5 + + 292 + + +... K = p q = 3 K 2 = p 2 q 2 = 22 7 = 3, 42857 K 3 = p 3 q 3 = 333 06 = 3, 4509... 22 / 28
Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt φ = + φ 23 / 28
Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt φ = + + φ 23 / 28
Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt φ = + + + + φ 23 / 28
Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt φ = + + + + +... 23 / 28
Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt Näherungsbrüche, φ = + + + + +... 23 / 28
Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt Näherungsbrüche, 2, φ = + + + + +... 23 / 28
Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt Näherungsbrüche 2,, 3 2, φ = + + + + +... 23 / 28
Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt Näherungsbrüche 2,, 3 2, 5 3, φ = + + + + +... 23 / 28
Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt Näherungsbrüche 2,, 3 2, 5 3, 8 5, φ = + + + + +... 23 / 28
Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt Näherungsbrüche 2,, 3 2, 5 3, 8 5, 3 8, φ = + + + + +... 23 / 28
Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt Näherungsbrüche 2,, 3 2, 5 3, 8 5, 3 8, 2 3, φ = + + + + +... 23 / 28
Reguläre Kettenbrüche φ Es gilt φ = + + + + +... Näherungsbrüche 2,, 3 2, 5 3, 8 5, 3 8, 2 3, 34 2, 55 34, 89 55,... 23 / 28
Phyllotaxis 24 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel 0 25 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel 0 25 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel 0 25 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel 0 25 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel 0 25 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel 0 25 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel 37 26 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel 37 26 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel 37 26 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel 37 26 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel 37 26 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel 37 26 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel 37 26 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel φ 27 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel φ 27 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel φ 27 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel φ 27 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel φ 27 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28
Phyllotaxis Divergenzwinkel φ mit Radialwachstum 28 / 28