Reihe 16 S 1 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Die Einkommensteuer 1 Beschreibung und Berechnung des Steuertarifs Praktische Anwendung im Analysisunterricht, insbesondere bei der Differenzialrechnung Prof. Dr. Andreas Pfeifer, Darmstadt Das Finanzamt in Dieburg Klassen: 11 13 (G 9) und 11/12 (G 8), Leistungskurs Dauer: Inhalt: Ihr Plus: 6 8 Einzelstunden für das Gesamtmaterial, Material auch teilweise einsetzbar Verstehen eines Gesetzestextes aus dem Einkommensteuergesetz und Übertragung in einen funktionalen Zusammenhang; Untersuchung abschnittsweise deinierter Funktionen, Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Ableitungen und deren Bedeutung, Monotonie und Verhalten im Unendlichen Thema, an das sich Ihre Schüler auch noch im Berufsleben erinnern Jede Berechnung hat auch einen praktischen Nutzen. Einsatz eines Kalkulationsprogramms wie beispielsweise Microsoft Excel Foto: M. Pfeifer Anhand des deutschen Einkommensteuergesetzes (EStG) untersuchen wir den Einkommensteuertarif, der sich aus Polynomen zusammensetzt. Dabei tauchen viele wichtige Begriffe der Analysis wie Funktion, Polynom, Stetigkeit und Differenzierbarkeit, Monotonie und Verhalten im Unendlichen auf. Anhand des Praxisbeispiels wird Ihren Schülern deren praktische Bedeutung verständlich. 1 In der Behörden- oder Fachsprache und im Gesetzestext wird bei den Zusammensetzungen mit -steuer das Fugen-s weggelassen. Es heißt also beispielsweise Einkommensteuer. Neben diesem Gebrauch ist laut Duden auch die Schreibweise mit Fugen-s korrekt, z. B. Einkommenssteuer oder Abgeltungssteuer. In diesem Beitrag wird immer die Fachsprache verwendet und das Fugen-s weggelassen.
Reihe 16 S 2 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Didaktisch-methodische Hinweise In den Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 18.10.2012) wird auf Seite 62 als Anwendungsbeispiel für den Analysisunterricht die Einkommensteuer und dabei insbesondere die Rekonstruktion des Einkommens aus den Grenzsteuersätzen erwähnt, allerdings ohne weitere oder präzisere Angaben. Dieser Beitrag zeigt, wie Sie dies auf einfache Weise realisieren. Außerdem wenden Sie die vielfältigen Verfahren des Analysisunterrichts auf eine praxisrelevante Fragestellung an. Bezug zu den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz Allg. mathematische Kompetenz K 2, K 3, K 4, K 5 Leitidee L 1, L 2, L 4 Inhaltsbezogene Kompetenzen Die Schüler entnehmen relevante Informationen aus einem Steuergesetz und stellen diese durch einen funktionalen Zusammenhang dar (M 1, M 2 und M 7), K 2, K 4, K 5 L 2, L 4 gehen mit Variablen und stückweise deinierten Funktionen um, einschließlich der Erstellung einer Graik (M 2 bis M 7), K 1, K 2, K 5, K 6 L 1, L 4 K 2, K 4, K 6 L 1, L 2, L 4 bilden Ableitungen und erkennen deren Bedeutung (M 3 bis M 5), gehen mit Fallunterscheidungen und Runden von Zahlenwerten sicher um (M 2, M 3), Anforderungsbereich K 2, K 4 L 1, L 4 lernen einen sicheren Umgang mit Formeln aus der Mittelstufe (Umformungen, Lösen von Gleichungen) (M 3, M 6), K 1, K 2, K 4 L 1, L 4 übertragen erworbene Kenntnisse auf eine neue Aufgabenstellung (Berechnung des Steuertarifs) (M 6, M 7). I II II, III II, III I, III I, II II, III Abkürzungen Kompetenzen K 1 (Mathematisch argumentieren); K 2 (Probleme mathematisch lösen); K 3 (Mathematisch modellieren); K 4 (Mathematische Darstellungen verwenden); K 5 (Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen) Leitideen L 1 (Zahl und Zahlbereich); L 2 (Messen und Größen); L 3 (Raum und Form); L 4 (Funktionaler Zusammenhang) Anforderungsbereiche I Reproduzieren; II Zusammenhänge herstellen; III Verallgemeinern und Relektieren
Reihe 16 S 3 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Auf einen Blick Material Thema Stunde M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 Der Einkommensteuertarif Polynome verstehen Die Modellierung der tarilichen Einkommensteuer mithilfe von Polynomen nachvollziehen Die Berechnung der Einkommensteuer Teil I Die Einkommensteuerfunktion als stückweise deinierte Funktion aufstellen und anhand einer Wertetabelle in ein Koordinatensystem einzeichnen Die Berechnung der Einkommensteuer Teil II Die Einkommensteuerfunktion auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit untersuchen; in Intervallen die erste Ableitung bilden und ihren Verlauf insbesondere im Hinblick auf Sprungstellen untersuchen Die Einkommensteuer ohne Rundung Wertetabelle für die ungerundete Einkommensteuerfunktion und für den Durchschnittssteuersatz aufstellen Die erste Ableitung bilden und den Grenzsteuersatz kennenlernen die ökonomische Bedeutung einer linearen Näherung Die zweite Ableitung bilden und das Krümmungsverhalten der Funktion untersuchen Der Grenzsteuersatz M 6 M 7 Das Verhalten des Grenzsteuersatzes im Unendlichen untersuchen sowie einseitige Grenzwerte berechnen Den Grenzsteuersatz und den Durchschnittssteuersatz graisch darstellen Das Monotonieverhalten des Grenzsteuersatzes untersuchen Die Berechnung des Steuertarifs Herleitung der Formel Polynome für die jeweiligen Tarifbereiche herleiten Das Splittingverfahren Das Splittingverfahren verstehen und anhand einer Wertetabelle in ein Koordinatensystem zeichnen Den maximalen Vorteil des Splittingverfahrens durch die Berechnung der Extrempunkte ermitteln 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Minimalplan Zusammen gehören jeweils: M 1 M 3 und M 4 M 6, M 7 M 1 M 3: ca. 2 3 Stunden M 4 M 6, M 7: jeweils 1 Stunde Bei Zeitnot beschränken Sie sich auf den ersten Block.
Reihe 16 Verlauf Material S 1 LEK Glossar Lösungen M 1 Der Einkommensteuertarif Polynome verstehen Die Einkommensteuer ist eine Steuer, die vom Staat auf das Einkommen erhoben wird. Dieser Steuer unterliegen Einkünfte unter anderem aus Arbeitseinkommen und aus Vermietung und Verpachtung. Die Berechnung erfolgt pro Kalenderjahr. Aus der Summe aller Einkünfte, vermindert um verschiedene Beträge wie beispielsweise Werbungskosten, ergibt sich das zu versteuernde Einkommen. Werbungskosten sind Aufwendungen zum Erwerb, zur Sicherung und Erhaltung der Einnahmen 2. Die Bearbeitung und Verwaltung der Steuern wird vom Finanzamt durchgeführt. Die Ermittlung der Einkommensteuer in Deutschland ist im Einkommensteuergesetz (EStG) geregelt. In 32a heißt es: 32a Einkommensteuertarif, gültig 2013: (1) Die tariliche Einkommensteuer bemisst sich nach dem zu versteuernden Einkommen. Sie beträgt... jeweils in Euro für das zu versteuernde Einkommen: 1. bis 8130 (Grundfreibetrag( siehe Glossar auf CD-ROM 53)): 0; 2. von 8131 bis 13 469 : (933,70 y + 1400) y; 3. von 13 470 bis 52 881 : (228,74 z + 2397) z + 1014; 4. von 52 882 bis 250 730 : 0,42 x 8196; 5. von 250 731 an: 0,45 x 15 718. Das Finanzamt in Dieburg y ist ein Zehntausendstel des den Grundfreibetrag übersteigenden Teils des auf einen vollen Euro-Betrag abgerundeten zu versteuernden Einkommens. z ist ein Zehntausendstel des 13 469 Euro übersteigenden Teils des auf einen vollen Euro-Betrag abgerundeten zu versteuernden Einkommens. x ist das auf einen vollen Euro-Betrag abgerundete zu versteuernde Einkommen. Der sich ergebende Steuerbetrag ist auf den nächsten vollen Euro-Betrag abzurunden. Bei Ehegatten, die [...] zusammen zur Einkommensteuer veranlagt werden, beträgt die tariliche Einkommensteuer [...] das Zweifache des Steuerbetrags, der sich für die Hälfte ihres gemeinsam zu versteuernden Einkommens [...] ergibt (Splitting-Verfahren). 3 Foto: M. Pfeifer 2 www.gesetze-im-internet.de/estg/ 9.html 3 Die Regelungen des Einkommensteuergesetzes zu Ehegatten und Ehen sind auch auf Lebenspartner und Lebenspartnerschaften anzuwenden.
Reihe 16 Verlauf Material S 2 LEK Glossar Lösungen M 2 Beispiel Die Berechnung der Einkommensteuer Teil I Frau Müller ist alleinstehend, und ihr jährliches Bruttoeinkommen beträgt 42 000,92. Somit ist 42 000,00 das auf einen vollen Euro-Betrag abgerundete zu versteuernde Einkommen, und ihre Einkommensteuer wird nach dem dritten Tarifbereich berechnet: 42 000 13 469 z = = 2,8531 (228,74 z + 2397) z + 1014 9714,87 Frau Müller muss eine Einkommensteuer von 9714 zahlen. Aufgabe a) Stellen Sie die Einkommensteuerfunktion ESt in Abhängigkeit des zu versteuernden Einkommens x formelmäßig als stückweise deinierte Funktion dar. ( ) ESt x = Die Funktion besteht aus fünf Tarifbereichen. Verwenden Sie die Bezeichnung [x] für das auf volle Euro abgerundete Einkommen x. für 0 [x] 8130 für 8130 < [x] für 13 469 wobei y = und z =. b) Vervollständigen Sie die folgende Wertetabelle: Rechnen Sie die jeweilige Einkommensteuer ESt(x) für die angegebenen zu versteuernden Einkommen x aus. < x [in ] 0 4500 9000 18 000 36 000 72 000 144 000 288 000 ESt(x) [in ] c) Zeichnen Sie die in b) berechneten Wertepaare in die folgende Graik ein und verbinden Sie die Punkte geeignet: Die nebenstehende Diagrammvorlage inden Sie in voller Größe auf der CD-ROM 53. 120.000 100.000 80.000 60.000 40.000 20.000 Einkommensteuer 0 0 50.000 100.000 150.000 200.000 250.000 zu versteuerndes Einkommen
Reihe 16 Verlauf Material S 4 LEK Glossar Lösungen M 4 Merke Die Einkommensteuer ohne Rundung Wird bei der Einkommensteuerfunktion auf die Rundung verzichtet, so gilt: 0 für x [0; 8130] (933,7 y + 1400) y für x (8130;13 469] EStu(x) = (228,74 z + 2397) z + 1014 für x (13 469; 52 881] 0,42 x 8196 für x (52 881; 250 730] 0,45 x 15 718 für x (250 730; ) wobei das u für nicht gerundet/ungerundet steht und y = x 8130 und z = Aufgabe x 13 469 a) Ermitteln Sie für die folgenden x-werte/einkommen die ungerundete Einkommensteuer EStu und den Durchschnittssteuersatz ( ) EStu(x) DStu x = 100 % : x x [in ] 0 4500 9000 18 000 36 000 72 000 144 000 288 000 EStu(x) [in ] DStu(x) [in %] b) Bilden Sie die ersten beiden Ableitungen der ungerundeten Einkommensteuerfunktion. EStu (x) =. EStu (x) = c) Welche Bedeutung hat die erste Ableitung der Einkommensteuerfunktion EStu? Recherchieren Sie im Internet zum Begriff Grenzsteuersatz. d) Welche Bedeutung hat die zweite Ableitung der Einkommensteuerfunktion EStu?
Reihe 16 Verlauf Material S 6 LEK Glossar Lösungen M 6 Die Berechnung des Steuertarifs Herleitung der Formel Wiederholen Sie Ihr Wissen! 32a Einkommensteuertarif, gültig 2013: (1) Die tarifliche Einkommensteuer bemisst sich nach dem zu versteuernden Einkommen. Sie beträgt... jeweils in Euro für zu versteuernde Einkommen: 1. bis 8130 (Grundfreibetrag): 0; 2. von 8131 bis 13 469 : (933,70 y + 1400) y; 3. von 13 470 bis 52 881 : (228,74 z + 2397) z + 1014; 4. von 52 882 bis 250 730 : 0,42 x 8196; 5. von 250 731 an: 0,45 x 15 718. y ist ein Zehntausendstel des den Grundfreibetrag übersteigenden Teils des auf einen vollen Euro-Betrag abgerundeten zu versteuernden Einkommens. z ist ein Zehntausendstel des 13 469 Euro übersteigenden Teils des auf einen vollen Euro-Betrag abgerundeten zu versteuernden Einkommens. x ist das auf einen vollen Euro-Betrag abgerundete zu versteuernde Einkommen. Der sich ergebende Steuerbetrag ist auf den nächsten vollen Euro-Betrag abzurunden. Bei Ehegatten, die [...] zusammen zur Einkommensteuer veranlagt werden, beträgt die tarifliche Einkommensteuer [...] das Zweifache des Steuerbetrags, der sich für die Hälfte ihres gemeinsam zu versteuernden Einkommens [...] ergibt (Splitting- Verfahren). Wenn auf eine Rundung der Werte verzichtet wird, ergibt sich folgende Steuerfunktion: 0 für x [0; 8130] (933,7 y + 1400) y für x (8130;13 469] f(x) = (228,74 z + 2397) z + 1014 für x (13 469; 52 881] 0,42 x 8196 für x (52 881; 250 730] 0,45 x 15 718 für x (250 730; ) wobei y x 8130 = und z x 13 469 =. Diese Funktion soll nun hergeleitet werden. Dabei wurden die Grenzsteuersätze von der Politik festgelegt.
Reihe 16 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen S 1 Lösungen und M 1 Tipps zum Einsatz Der Einkommensteuertarif Polynome verstehen Der Steuertarif ist dem 32a des Einkommensteuergesetzes entnommen. Dieses Gesetz kann auch im Internet unter www.gesetze-im-internet.de gefunden werden. Aufgabe der Schüler ist es, den Steuertarif im Internet zu inden und den Gesetzestext nachzuvollziehen. M 2 Die Berechnung der Einkommensteuer Teil 1 a) Ist x das zu versteuernde Einkommen, so gilt: () ESt x 0 für 0 [x] 8130 [(933,70 y + 1400) y] für 8130 < [x] 13 469 = [(228,74 z + 2397) z + 1014] für 13 469 < [x] 52 881 [0,42 [x] 8196] für 52 881 < [x] 250 730 [0,45 [x] 15 718] für 250 730 < [x] [x] 8130 [x] 13 469 wobei y =, z = und [x] das auf ganze Euro abgerundete zu ver- steuernde Einkommen ist. Auf die Angabe Euro wurde der Übersichtlichkeit wegen verzichtet. Dass die Grenzen bei 8130 Euro, 13 469 Euro usw. zu wählen sind, ergibt sich aus der Vorgabe auf dem Material M 2, aber auch aus dem Gesetzestext. Welcher Formel die Bereichsgrenzen zugeordnet werden müssen, ist erst später (in M 5, b) verständlich, wenn gezeigt wird, dass der Eingangssteuersatz 14 % beträgt. b) Zur Berechnung der Zahlenwerte in dieser Tabelle ist ein Taschenrechner notwendig. Falls Computer vorhanden sind, kann auch ein Tabellenkalkulationsprogramm wie Microsoft Excel oder Open-Source-Software wie OpenOficeTM (www.openofice. org/de) oder LibreOfice (www.libreofice.org/de) benutzt werden. Es ergibt sich: x [in ] 0 4500 9000 18 000 36 000 72 000 144 000 288 000 ESt(x) [in ] 0 0 128 2147 7575 22 044 52 284 113 882 Verwenden Sie zur Berechnung die Datei Einkommensteuer.xls auf CD-ROM 53. c) In den folgenden Abbildungen ist die Steuer für den Grundtarif und den Splittingtarif (gestrichelte Linie) eingezeichnet. Der Splittingtarif wird erst später (in M 7) benötigt.