Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 4. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 1 / 21
Themen heute Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 2 / 21
Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 3 / 21
Wiederholung: Gesetze für logische Aussagen Die folgenden Regeln (die wir schon kennen) werden wir beim Umgang mit Mengen wiedersehen: Kommutativgesetze: a b b a Distributivgesetze: Neutralitätsgesetze: Komplementaritätsgesetze: a b b a a (b c) (a b) (a c) a (b c) (a b) (a c) a f a a w a a a w Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 4 / 21
Gesetze für logische Aussagen Das sind die Voraussetzungen einer Boole'schen Algebra. Als Schlussfolgerungen gelten (in jeder Boole'schen Algebra): Idempotenzgesetze: a a a Assoziativgesetze: a a a (a b) c a (b c) (a b) c a (b c) Gesetz der doppelten Verneinung: a a Gesetze von De Morgan: (a b) a b (a b) a b Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 5 / 21
Mengen: Durchschnitt, Vereinigung, Mengendierenz Für Mengen A und B denieren wir den Durchschnitt A B := {x A x B} = {x B x A}. Wenn A und B beide Teilmengen einer Grundmenge G sind, können wir schreiben: A B = {x G (x A) (x B)}. Beispiel: {1,2,3} {2,3,4} = {2,3} Die Vereinigung ist A B = {x G (x A) (x B)}. Beispiel: {1,2,3} {2,3,4} = {1,2,3,4} Die Mengendierenz ist Beispiel: {1,2,3} \ {2,3,4} = {1} A \ B = {x G (x A) (x B)}. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 6 / 21
Mengen und formale Denition Mengen haben Elemente: x A, gelesen x ist ein Element von A. Beispiel: 1 {1,2,3}. Beispiel: 1 {1}. Es gibt auch ein Symbol für x ist nicht ein Element von A, nämlich x A. Der Begri Menge wird hier so verwendet, dass wir leicht damit umgehen können. Es ist schwer (aber möglich), den Begri Menge präzise zu denieren. Nicht alles ist eine Menge, sonst gibt es Widerspruch. Z.B. das Paradox von Russel: Sei X die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten. Ist X enthalten in X? Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 7 / 21
Komplement Für eine gegebene Grundmenge G ist das Komplement der Menge A die Menge CA := {x G (x A)}. Die Grundmenge kann auch explizit dazugeschrieben werden: C G A := {x G (x A)}. Beispiel: C {1,2,3,4,5} {3,4} = {1,2,5} Es gilt: C G A = G \ A. Die Mengenverknüpfungen,, C (bei gegebener Grundmenge) bilden eine Boole'sche Algebra. Deswegen gelten Gesetze, die analog sind zu denen in der Aussagenlogik. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 8 / 21
Gesetze für Mengen Es gelten folgende Regeln für (mit logischen Verknüpfungen auf Regeln für Aussagen zurückführbar, und somit beweisbar): Kommutativgesetze: Distributivgesetze: A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 9 / 21
Gesetze für Mengen Neutralitätsgesetze: A {} = A A G = A (wobei G die Grundmenge ist) Komplementaritätsgesetze: A CA = G A CA = {} Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 10 / 21
Gesetze für Mengen Das waren wieder die Regeln einer Boole-Algebra. Dann gelten wieder (Schlussfolgerungen über Boole-Algebren): Idempotenzgesetze: A A = A Assoziativgesetze: A A = A (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Gesetz des doppelten Komplements: CCA = A Gesetze von De Morgan: C(A B) = CA CB C(A B) = CA CB. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 11 / 21
Gesetze für Mengen All diese Aussagen über Mengen lassen sich mittels Aussagenlogik beweisen. Beispiel: Beweis der Behauptung A (B C) = (A B) (A C). Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 12 / 21
Gesetze für Mengen Satz Für alle Mengen A, B, C gilt A (B C) = (A B) (A C). Beweis. Es gilt A (B C) = {x G (x A) ((x B) (x C)). Wegen der Regel a (b c) = (a b) (a c) gilt dann A (B C) = {x G [(x A) (x B)] [(x A) (x C)]}. Umschreiben der rechten Seite ergibt A (B C) = (A B) (A C). Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 13 / 21
Teilmengen Wenn A und B Mengen sind, dann heiÿt A eine Teilmenge von B genau dann, wenn gilt: Jedes Element von A ist ein Element von B. Wir schreiben A B. Formale Denition: Beispiele: {1} {1,2,3}. {1} {1}. A B : x A : x B. Dagegen ist {1,2,3} nicht eine Teilmenge von {1}, denn 2 {1}. N N 0 Z Q R. (Dies sind 4 Aussagen.) Für jede Menge A gilt A A. Die leere Menge {} ist Teilmenge von jeder Menge. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 14 / 21
Teilmengen Es gibt auch ein Symbol für echte Teilmenge: Beispiel: {1} {1,2} ist wahr, aber {1} {1} ist falsch. Das Symbol bedeutet bei manchen Autoren und bei manchen Autoren. Schreiben Sie deshalb besser oder. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 15 / 21
Gleichheit von Mengen Zwei Mengen A und B sind gleich, geschrieben A = B, wenn gilt: Äquivalent: (A B) (B A). ( x A : x B) ( x B : x A). Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 16 / 21
Produkt von Mengen Für Mengen A, B ist das kartesische Produkt deniert durch A B := {(x, y) x A y B}. Dies sind alle geordneten Paare, deren erster Eintrag ein Element aus A und deren zweiter Eintrag ein Element aus B ist. Beispiel: {1,2} {gelb,grün} = {(1,gelb),(1,grün),(2,gelb),(2,grün)} Die Reihenfolge ist wichtig: Es gilt (2,gelb) {1,2} {gelb,grün}, aber (gelb,2) {1,2} {gelb,grün}. Es gibt auch (für jedes n N) das Produkt von n Mengen A 1, A 2,...,A n : A 1 A 2 A n := {(a 1, a 2,...,a n ) i {1,2,...,n} : a i A i } Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 17 / 21
Mächtigkeit Wenn A eine endliche Menge ist, bezeichnen wir mit der Mächtigkeit von A (auch genannt die Kardinalität von A) die Zahl der Elemente in A. Dafür schreiben wir A (in der Literatur manchmal auch #A). Für unendliche Mengen wird gesagt, sie enthalten unendlich viele Elemente bzw. haben unendliche Kardinalität. In Formeln: A =. (Aber: unendlich ist keine Zahl, mit der sich rechnen läÿt.) Wenn zwei Mengen paarweise zueinander zugeordnet werden können, heiÿen sie gleichmächtig. Dann gilt M = N. Beispiele: Die Mengen {1,2,3} und {a, b, c} sind gleichmächtig. Die Mengen {1,2,3,4} und {a, b} {c, d} sind gleichmächtig. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 18 / 21
Regeln für die Mächtigkeit Wenn A endlich ist, dann gilt für jede Teilmenge B A, dass B A. Wenn G endlich ist, dann gilt für das jede Teilmenge A G, dass das Komplement CA (= G \ A) die Mächtigkeit hat. Es gilt die Summenformel: Es gibt auch eine Produktformel: Bei mehreren Faktoren gilt CA = G \ A = G A A B = A + B A B. A B = A B. A 1 A 2 A n = A 1 A 2 A n. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 19 / 21
Regeln für Produkte Folgende Aussagen sind wahr. Beweis: Übungsaufgabe. 1 A (B C) = (A B) (A C) 2 A (B C) = (A B) (A C) 3 A (B \ C) = (A B) \ (A C) Auÿerdem gilt (Übungsaufgabe): 1 (A B) (C D) = (A C) (B D) 2 (A B) (C D) (A C) (B D) 3 Es gibt Mengen A, B, C,D mit (A B) (C D) (A C) (B D). Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 20 / 21
Paarweise Zuordnung Je zwei endliche Mengen mit gleichvielen Elementen lassen sich paarweise zuordnen. Zwei endliche Mengen mit verschieden vielen Elementen lassen sich nicht paarweise zuordnen. Zwei unendliche Mengen lassen sich manchmal paarweise zuordnen, auch wenn eine eine echte Teilmenge der anderen ist. Beispiele: Die Mengen N und N 0 sind gleichmächtig. Die Mengen N und Z sind gleichmächtig. Es gibt genausoviele ganze Zahlen wie gerade ganze Zahlen. Die Mengen N und Q sind gleichmächtig (Diagonalverfahren von Cantor). Nicht alle unendlichen Mengen können paarweise zugeordnet werden. Deswegen sind nicht alle unendlichen Mengen gleichmächtig. Beispiel: Die Mengen N und R sind nicht gleichmächtig. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 21 / 21