Untersucht wird ein Körper, der kontinuierlich Masse ausstößt. Es sollen zunächst keine äußeren Kräfte auf den Körper wirken. Bezeichnungen: Masse des ausstoßenden Körpers: m(t) Pro Zeiteinheit ausgestoßene Masse: Massenstrom μ(t) Geschwindigkeit der ausgestoßenen Masse relativ zum ausstoßenden Körper: Ausstoßgeschwindigkeit w Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.2-1
Impulserhaltungssatz für das Zeitintervall dt : Impuls zum Zeitpunkt t : p t =m t v t Impuls zum Zeitpunkt t + dt : p t dt =m t dt v t dt t dt v t dt w t ausstoßender Körper ausgestoßene Masse Größen zum Zeitpunkt t + dt : m t dt =m t t dt, v t dt =v t d v Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.2-2
Damit: 2. Kontinuierliche Massenänderung p t dt = m t t dt v t d v t dt v t d v w t =m t v t m t d v t w t dt Glieder höherer Ordnung Impulserhaltung (keine äußeren Kräfte): m t v t =m t v t m t d v t w t dt m t d v t t w t =0 dt m t d v t dt t = t w t p t = p t dt Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.2-3
Mit der Schubkraft folgt schließlich S= w m t d v dt =S Die Schubkraft ist proportional zum Massenstrom und zur Ausstoßgeschwindigkeit. Sie wirkt entgegengesetzt zu w auf den ausstoßenden Körper. Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.2-4
Beispiel: 2. Kontinuierliche Massenänderung Zur Bahnkorrektur eines Satelliten wird vom Zeitpunkt t 1 bis zum Zeitpunkt t 2 ein Triebwerk eingeschaltet. Das Triebwerk hat eine konstante Ausstoßgeschwindigkeit w = c S (Strahlgeschwindigkeit ) und einen konstanten Massenstrom μ. Gesucht ist die Geschwindigkeitsänderung Δv = v 2 v 1. Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.2-5
Für die Masse des Satelliten gilt m t =m t 1 t t 1 =m 1 t t 1 Aus dem Impulssatz folgt: m t d v dt = m 1 t t 1 d v dt = c S Trennung der Veränderlichen führt auf d v= c S dt m 1 t t 1 Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.2-6
Integration ergibt: v 2 v 1 t d v= c 2 S t 1 dt m 1 t t 1 v 2 v 1 =c S [ln m 1 t t 1 ] t1 Mit m 2 =m 1 t 2 t 1 folgt daraus: v=v 2 v 1 = c S ln m 1 m 2 t 2 =c S ln m 1 t 2 t 1 Diese Gleichung wird als Raketenformel von Ziolkowsky bezeichnet. m 1 Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.2-7
Zusätzliche äußere Kraft: Wenn zusätzlich eine äußere Kraft F auf den Körper wirkt, dann gilt für die Änderung des Impulses p t dt p t =F dt m t d v dt t t w t =F Daraus folgt: m t d v dt =F S Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.2-8
Systeme mit mehreren Massenströmen: Einströmen: Ausströmen: S E = E w E S A = A w A F 2 v μ 3, w 3 Die Massenströme μ E und μ A sind immer positiv. μ 2, w 2 K, m F 1 Die Geschwindigkeiten w E und w A sind Geschwindigkeiten relativ zur Geschwindigkeit v des Körpers. μ 1, w 1 Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.2-9
Mit diesen Vereinbarungen gilt: m v= S F In Komponenten: m v x = S x F x m v y = S y F y m v z = S z F z Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.2-10
Beispiel: Förderband L H α Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.2-11
Auf das dargestellte Förderband, das mit der Geschwindigkeit v B umläuft, fällt Sand frei aus der Höhe H. Die wirksame Bandlänge ist L, der Steigungswinkel α. Zu bestimmen ist die für den Transport notwendige Zugkraft im Band. Daten: Bandlänge L = 10m Höhe H = 1m Winkel α = 20 Bandgeschwindigkeit v B = 1,20m/s Massenstrom des Sandes: μ = 300kg/s Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.2-12
Sand auf Band freigeschnitten: y x S E α mg N R S A Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.2-13
Der Schwerpunkt des auf dem Band befindlichen Sandes bleibt in Ruhe. Schubkräfte durch Massenströme: Einströmend: Die Schubkraft wirkt in Richtung der Einströmgeschwindigkeit und hat die Größe S E = v S mit v S = 2 g H Ausströmend: Die Schubkraft wirkt entgegen der Ausströmgeschwindigkeit und hat die Größe S A = v B Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.2-14
Kräfte: Gewichtskraft mg Reibkraft R, die das Band auf den Sand ausübt Normalkraft N, die das Band auf den Sand ausübt Da sich die Geschwindigkeit des Schwerpunktes nicht ändert, müssen die Kräfte im Gleichgewicht sein: F x =0: v S sin m g sin R v B =0 R= v S sin v B m g sin Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.2-15
Masse des Sandes: Im Zeitintervall Δt bewegt sich das Band um die Strecke Δx = v B Δt weiter. In diesem Streckenintervall befindet sich die Masse m= m/ L x Diese Masse fällt im betrachteten Zeitintervall vom Band. Also gilt: m L x= m L v B t= t m= L v B Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.2-16
Band freigeschnitten: y N F B x R N 2 α N 1 Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.2-17
Die gesuchte Zugkraft F B folgt aus dem Gleichgewicht in x- Richtung: Zahlenwerte: F x =0: R F B =0 F B =R Einströmgeschwindigkeit: v S = 2 g H = 2 9,81m/s 2 1,0m=4,43m/s Masse des Sandes auf dem Band: m= L 300kg /s 10 m = =2500 kg v B 1,2m/s Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.2-18
Zugkraft im Band: F B =R= v S sin v B m g sin F B =300 kg/s 4,43 sin 20 1,2 m/s 2500kg 9,81m/s 2 sin 20 =815 N 8388 N =9203 N Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.2-19