perfekt für Klassenarbeiten Videos zu jeder Übungsaufgabe alle Themen sehr übersichtlich alle Anforderungsbereiche Unsere Übungshefte sind für alle Schülerinnen und Schüler, die keine Lust auf 300-seitige Mathebücher haben, mit denen sie alleine gelassen werden. Wir sind junge Lehrerinnen und Lehrer, die mathematische Inhalte traditionell auf Papier mit modernen Übungsaufgaben in Videos verbinden. Jugendliche nutzen gerne neue Medien und bekommen so immer Hilfe über den Nachhilfelehrer auf dem Handy. Viel Spaß und Erfolg wünschen Christian, Irina, Conrad, Christina und Vincent StrandMathe GbR Christian Hotop Conrad Zimmermann Vincent Flasbart Michael Hotop Alberto Gómez Irina Schmidt
A Wahrscheinlichkeiten Seite Kombinatorische Zählverfahren... 4 2 Pascal sches Dreieck... 5 3 Binomialkoeffizient... 8 4 Vierfeldertafel... 9 5 Bedingte Wahrscheinlichkeiten... B Potenzfunktionen Quadratische Funktionen... 3 2 Potenzfunktionen... 4 3 Potenzrechengesetze... 5 C Exponential- und Logarithmusfunktionen Wachstumsfunktionen... 6 2 Zerfallsfunktionen... 8 3 Exponentialfunktionen... 9 4 Logarithmusfunktionen... 2 5 Logarithmengesetze... 22 6 Exponentialgleichungen... 23 D Trigonometrie Winkelberechnungen im rechtwinkligen Dreieck... 24 2 Trigonometrie im allgemeinen Dreieck... 25 3 Sinus und Kosinus am Einheitskreis... 26 4 Beschreibung periodischer Vorgänge... 28 5 Allgemeine Sinusfunktion... 29 6 Zusammenhang der Winkelfunktionen... 3 7 Modellieren zeitlich periodischer Vorgänge... 33 E Verhalten ganzrationaler Funktionen Grenzverhalten von Potenzfunktionen... 34 2 Polynome... 36 3 Sekante und Tangente... 38 4 Steigungsverhalten von Funktionen... 40 5 Nullstellenbestimmung... 42
A Wahrscheinlichkeiten Kombinatorische Zählverfahren Einige Zufallsexperimente lassen sich nicht mehr durch Baumdiagramme übersichtlich zeichnen und zählen. Um solche Fälle trotzdem bewerten zu können, gibt es allgemeine Zählprinzipien: Möchte man n Elemente in einer bestimmten Reihenfolge anordnen, bestehen an der ersten Position n Möglichkeiten, an der zweiten Position bestehen n- Möglichkeiten, da ja bereits ein Element an der ersten Position festgelegt wurde, usw. Mathematisch ausgedrückt ergibt das: n (n ) (n 2) = n! (lies: n Fakultät ) Es gibt also n! Permutationen ohne Wiederholung (also keine Elemente gleicher Art treten auf). Für den Fall, dass unter den n Elementen k Elemente gleicher Art sind, verbleiben nur noch n! Permutationsmöglichkeiten (Permutationen mit Wiederholung). k! Eine Vierergruppe, bestehend aus zwei Jungs und 2 Mädels, möchte eine Kanufahrt machen. Sie überlegen in welcher Reihenfolge sie sich hinsetzen. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Die Jugendlichen werden alle in einem Kanu sitzen. Die Möglichkeiten ihrer Sitzreihenfolge bezeichnet man als Permutationen. Diese Anzahl kannst du mit Hilfe der Fakultät bestimmen. Die vier Jugendlichen entsprechen dabei den Elementen n aus der Formel, die vertauscht werden können. 4! = 24 Wenn man die beiden Jungs und die beiden Mädels je als gleiche Elemente ansieht, reduziert sich die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten wie folgt: 4! 2! 2! =6 Überlege zunächst welche Elemente als gleich angesehen werden können. Dann kannst du die Permutationen und die möglichen Varianten bestimmen. Übungen. Notiere die möglichen Anordnungen aus dem zweiten Teil der Beispielaufgabe. 2. Wie viele Möglichkeiten gibt es, um a) die Ziffern bis 5 anzuordnen? b) die Ziffern bis 6 anzuordnen? c) die Ziffern bis 4 und zweimal die 5 anzuordnen? d) die Ziffern bis 3 und dreimal die 4 anzuordnen? e) die Ziffern und 2 und zweimal die 3 sowie zweimal die 4 anzuordnen? 4 3. Sophie möchte beim Shoppen in 0 verschiedene Geschäfte, davon sind drei Schuhgeschäfte, zwei Parfümerien und fünf Kleidungsgeschäfte. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es insgesamt, diese Läden zu besuchen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn zwischen den verschiedenen Geschäften einer Art nicht unterschieden wird?
A Wahrscheinlichkeiten 2 Das Pascal sche Dreieck kann bei Zufallsversuchen mit n Durchführungen und k Erfolgen benutzt werden, um die Anzahl der Möglichkeiten, die zu k Erfolgen führt, zu bestimmen. Dabei wird ein sogenannter Binomialkoeffizient berechnet. Dieser wird als ( n k ) sprich n über k geschrieben. Das Pascal sche Dreieck entsteht dadurch, dass jeweils die zwei übereinanderliegenden Elemente addiert werden. z.b. ( 5 ) = ( 4 + ( 4 ) =+4=5 Das Pascal sche Dreieck ergibt sich dann wie folgt: Pascal sches Dreieck ( ( 0 ( ) ( 3 ( 2 (2 ) (2 2 ) ( 3 ( 3 ( 3 ) 2 ) 3 ) ( 5 ( 4 (4 ) (4 2 ) (4 3 ) (4 4 ) ( 5 ( 5 ( 5 ( 5 ( 5 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) ( 7 ( 6 (6 ) (6 2 ) (6 3 ) (6 4 ) (6 5 ) (6 6 ) ( 7 ( 7 ( 7 ( 7 ( 7 ( 7 ( 7 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) Bzw. 2 3 4 6 3 5 0 0 4 5 6 5 20 5 6 7 2 35 35 2 7 Mit dem Pascal schen Dreieck können die Möglichkeiten dann direkt abgelesen und einzelne Pfade eines Baumdiagramms nachvollzogen werden. Eine Münze wird 6 Mal geworfen. Dabei soll 4 Mal Kopf erscheinen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, sodass dieses Ereignis eintritt und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit? Der Versuch besteht aus 6 Durchführungen mit 4 Erfolgen. Die Wahrscheinlichkeit von Erfolg und Misserfolg sind bei einem Münzwurf genau gleich, also 50%. Du könntest diese Aufgabe mit einem Baumdiagramm lösen, allerdings ist es mühsam ein 6-stufiges Baumdiagramm sorgfältig zu erstellen. Am Baumdiagramm kannst du zwar ablesen, wie viele Möglichkeiten es gibt, bei 6 Würfen 4 Erfolge zu haben, es ist aber einfacher, dies mit einem Pascal schen Dreieck zu bestimmen. ( ( 0 ( ) ( 3 ( 2 (2 ) (2 2 ) ( 3 ( 3 ( 3 ) 2 ) 3 ) ( 5 ( 4 (4 ) (4 2 ) (4 3 ) (4 4 ) ( 5 ( 5 ( 5 ( 5 ( 5 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) ( 7 ( 6 (6 ) (6 2 ) (6 3 ) (6 4 ) (6 5 ) (6 6 ) ( 7 ( 7 ( 7 ( 7 ( 7 ( 7 ( 7 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 5
Du suchst die Anzahl, dass bei einem Versuch mit 6 Durchführungen (n=6) 4 zum Erfolg führen. Jetzt markierst du dir im Pascal schen Dreieck einen der Pfade, der dieses Ereignis beschreibt. Dabei ist es egal, in welcher Reihenfolge die Erfolge E bzw. Misserfolge M geworfen werden: P(E M E M E E) = P(E E E M M E) Dabei geht man folgende Pfade ab. Alle starten bei ( 0 ( 0 ( ) ( 2 ) ( 3 2 ) ( 4 2 ) ( 5 3 ) ( 6 4 ) ( 0 ( ) ( 2 2 ) ( 3 3 ) ( 4 3 ) ( 5 3 ) ( 6 4 ) Die obere Zahl erhöht sich stetig um eins. Die untere erhöht sich nur bei Erfolgen. Ein Pfeil nach rechts entspricht also einem Erfolg und nach links einem Misserfolg. ( ( 0 ( ) ( 3 ( 2 (2 ) (2 2 ) ( 3 ( 3 ( 3 ) 2 ) 3 ) ( 5 ( 4 (4 ) (4 2 ) (4 3 ) (4 4 ) ( 5 ( 5 ( 5 ( 5 ( 5 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) ( 7 ( 6 (6 ) (6 2 ) (6 3 ) (6 4 ) (6 5 ) (6 6 ) ( 7 ( 7 ( 7 ( 7 ( 7 ( 7 ( 7 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) ( 6 4 ) Beide Pfade führen also zu. Wenn man diesen Binomialkoeffizienten an der anderen Darstellung des Pascal schen Dreiecks abliest, sieht man, dass ( 6 ist. Es gibt also 5 verschiedene 4 ) =5 Möglichkeiten, die auftreten können. Bei Versuchen mit gleicher Wahrscheinlichkeit von Erfolg und Misserfolg kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit auch mit Hilfe des Pascal schen Dreiecks bestimmen. Dabei musst du den Binomialkoeffizienten durch die Summe aller Binomialkoeffizienten in dieser Zeile (n = 6) teilen: ( 6 = ( 6 ) =6 ( 6 2 ) =5 ( 6 3 ) =20 ( 6 4 ) =5 ( 6 5 ) =6 ( 6 6 ) = Du berechnest dann: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 23,44%. 5 = 5 =0,2344 =23,44% +6+5+20+5+6+ 64 Mit dem Pascal schen Dreieck kann bei Zufallsversuchen schnell die Anzahl der Pfade, die zum Erfolg führen, bestimmt werden. Dabei ist es egal, welchen Weg man im Pascal schen Dreieck wählt, denn sie führen alle zu demselben Binomialkoeffizienten. 6
Übungen. Eine Münze wird 7 Mal geworfen, dabei soll 4 Mal Zahl eintreten. Zeichne das Pascal sche Dreieck und trage drei Pfade ein, die zum Ziel führen. Berechne dann die Wahrscheinlichkeit. 2. Aus einem Lostopf mit der gleichen Anzahl an roten und blauen Kugeln wird mit Zurücklegen gezogen. Dabei soll bei 8 Ziehungen 2 Mal rot eintreten. Bei einem weiteren Versuch soll 6 Mal rot eintreten. Bestimme die Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse. 3. Das Pascal sche Dreieck bietet dir die Möglichkeit binomische Formeln zu lösen. Dabei stellt das n jeweils den Exponenten dar. n= 0 n= n= 2 n= 3 n= 4 n= 5 2 3 4 6 3 5 0 0 4 5 Wird eine Klammer potenziert, so entsteht ein Term der Form: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ; für n = 3: (a + b) 3 = a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3 Versuche mit diesem Trick den Term der Form (a + b) 5 auszuklammern. 7
A Wahrscheinlichkeiten 3 Binomialkoeffizient Bei Zufallsversuchen mit einer großen Anzahl an Durchführungen ist es mühsam, das Pascal sche Dreieck abzubilden, um eine Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. Um jedoch die Anzahl der Möglichkeiten zu ermitteln, kann der zugehörige Binomialkoeffizient berechnet werden. Bei einem Versuch mit n Durchführungen und k Erfolgen gilt die Formel: ( n k ) = n! (n k)! k! Bei einem Würfelspiel wird 20 Mal nacheinander gewürfelt. Dabei soll exakt 6 Mal eine 6 auftreten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis eintritt? Die Anzahl der Durchführungen ist 20. Dabei sollen 6 Erfolge eintreten. Der Binomialkoeffizient, der nun bestimmt werden muss ist: ( 20 6 ) = 20! (20 6)! 6! = 20! 4! 6! = 38760 Es gibt also 38760 verschiedene Möglichkeiten, die zu diesem Ereignis führen. Bei Versuchen mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit von Erfolg E und Misserfolg M musst du auch die Pfadwahrscheinlichkeit berücksichtigen, um die gesuchte Gesamtwahrscheinlichkeit zu bestimmen. P(E) = 6 und P(M) = 5 6 P(Ereignis) = ( 6 )6 ( 5 6 )4,67 0 6 Diese Wahrscheinlichkeit gilt für einen dieser Pfade. Anhand der Summenregel musst du jetzt alle Pfade mit gleichem Ausgang addieren. Du kannst aber auch die Anzahl der Pfade, die der Binomialkoeffizient darstellt, mit der Pfadwahrscheinlichkeit multiplizieren: P(6 Erfolge aus 20 Versuchen)=,67 0-6 38760 = 0,0647 = 6,47% Mit dem Binomialkoeffizienten bestimmst du die Anzahl der Pfade, die zum Ereignis (hier 6 Erfolge aus 20 Versuchen) führen. Multiplizierst du diese Anzahl mit der Wahrscheinlichkeit eines Pfads, so kannst du die Gesamtwahrscheinlichkeit des Ereignisses bestimmen. Wahrscheinlichkeiten auf diese Art zu berechnen, wird auch als Binomialverteilung bezeichnet. Übungen Eine Münze wird 7 Mal geworfen. Sie ist vorher gezinkt worden, sodass die Wahrscheinlichkeit von Kopf auf 0,55 gestiegen ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit 2 Mal Kopf zu werfen?. Bei einem Glücksspiel werden aus einem Topf mit 25 Kugeln 2. nacheinander Kugeln gezogen. Von den Kugeln im Topf sind 5 blau und 0 rot. Es werden 2 Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 8 blaue Kugeln zu ziehen? Wie groß ist sie bei höchstens 8 blauen Kugeln? 8 Die Wahrscheinlichkeit 6 Richtige aus 49 zu ziehen, kannst du mit der Pfadwahrscheinlichkeit bestimmen: P(6 aus 49) = 6 49 5 48 4 47 3 46 2 45 44 Begründe, warum diese Wahrscheinlichkeit auch über das Pascal sche Dreieck bzw. den Kehrwert des Binomialkoeffizienten ( 49 ) berechnet 6 werden kann. 3.