Elektrodynamik eines Plasmas

Elektrodynamik eines Plasmas Klassifikation von Plasmen Klassisches Plasma / Quantenplasma nicht-relativistisches / relativistisches Plasma Schwach / stark wechselwirkendes Plasma Elektrostatik eines Plasmas Debye-Abschirmung Plasmaschwingungen Plasmafrequenz Longitudinale und transversale Wellen

Elektrodynamik eines Plasmas Plasma? Zustand der Materie, * bestehend aus frei beweglichen Ladungsträgern, der den ganzen zu Verfügung stehenden Raum besetzen kann. z.b.: teilweise oder völlig ionisiertes Gas. * der häufigste Zustand von,,üblicher Materie!

Elektrodynamik eines Plasmas Plasma? Zustand der Materie, * bestehend aus frei beweglichen Ladungsträgern, der den ganzen zu Verfügung stehenden Raum besetzen kann. z.b.: teilweise oder völlig ionisiertes Gas. Frei bewegliche Ladungsträger vorhanden elektrischer Leiter. ~E = ~0 im inneren des Plasmas im elektrostatischen Gleichgewicht; (11. Juni) dielektrische Funktion r (!)!!0 1+ X a>1 2 a! 2 a 2 1!(! +i 1) r,0 + i 2 1!( 1 i!) (Lorentz Drude-Modell mit niedrigster Resonanz bei ω 1 = 0) * der häufigste Zustand von,,üblicher Materie! (26. Juni)

Elektrodynamik eines Plasmas Plasma? Hiernach, nur zwei Arten von Ladungen: Elektronen (el. Ladung -e, Masse m e, Dichte n e ) völlig ionisierte Ionen * (el. Ladung +Ze, Masse MZ m e, Dichte nz) im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T. Im,,Gleichgewichtszustand : lokale Neutralität nz in Abhängigkeit von n e. % 0 (~r) = en e (~r)+zen Z (~r) =0 * Hoch-T-Limes, sonst muss man alle Spezies {Ion Z+, Ion (Z-1)+,..., Ion +, Atom} in,,chemischem Gleichgewicht berücksichtigen.

Klassifikation von Plasmen Ob ein Plasma,,klassisch oder,,quantenmechanisch ist, hängt von der relativen Größen von dem typischen Abstand ne 1/3 zwischen zwei benachbarten Elektronen und von deren thermischen (de Broglie-) Wellenlänge th ~/ p m e k B T ab. Äquivalent kann man die thermische Bewegungsenergie kbt mit der Nullpunktenergie (~n 1/3 e ) 2 /2m e vergleichen. Diese Energien sind noch mit der Massenenergie m e c 2 zu vergleichen: für für ~n 1/3 e 2 k B T m e c 2 : klassisches nichtrelativistisches Plasma 2m e k B T ~n1/3 e 2 m e c 2 : nichtrelativistisches entartetes Plasma 2m e für kbt m e c 2 ist das Plasma relativistisch... und daher automatisch quantenmechanisch.

Klassifikation von Plasmen Für ~n 1/3 e 2 k B T m e c 2, klassische nichtrelativistische Plasmen: 2m e Intergalaktisches / interstellares Plasma: n e 1-10 5 m -3, T 10 6-10 4 K Magneto- / Ionosphäre von Planeten: n e 10 7-10 12 m -3, T 10 7-10 3 K für die Erde Plasma erzeugt in Gasentladungen (z.b. Blitze): n e 10 16 m -3, T 10 4 K In Fusionsexperimenten: n e 10 20 m -3, T 10 8 K in Tokamaks (ITER...); n e 10 27 m -3, T 10 7 K in Trägheitsfusionsexperimenten Für das Plasma im Zentrum unserer Sonne (n e 10 32 m -3, T 10 7 K, entsprechend th ne 1/3 ) spielen Quanteneffekte eine Rolle.

Klassifikation von Plasmen ~n1/3 e Entartete nichtrelativistische Plasmen mit k B T m e c 2 : 2m e Plasma in weißen Zwergen: * n e 10 36 m -3, T 10 8 K,,Elektronengas in (Halb)Leitern 2 modelliert als Fermi-Gase bei T = 0 (Theoretische Physik III) * die düstere Zukunft unserer Sonne...

Klassifikation von Plasmen ~n1/3 e Entartete nichtrelativistische Plasmen mit k B T m e c 2 : 2m e Plasma in weißen Zwergen: * n e 10 36 m -3, T 10 8 K,,Elektronengas in (Halb)Leitern 2 modelliert als Fermi-Gase bei T = 0 (Theoretische Physik III) Es gab ein relativistisches Plasma mit kbt m e c 2 im frühen Universum * die düstere Zukunft unserer Sonne...

Klassifikation von Plasmen Wechselwirkungen in einem Plasma sind,,klein (d.h. in erster Näherung vernachlässigbar, in einem zweiten Schritt behandelt mit Störungsrechnung) wenn die typische potentielle Energie he pot i. e 2 /(4 0 ne 1/3 ) viel kleiner als die kinetische Energie he kin i ist. schwach ( stark) wechselwirkendes Plasma e 2 n 1/3 e In einem klassischen Plasma he kin i kbt soll sein: n e soll klein 4 0 sein... offensichtlich? ~n 1/3 e In einem entarteten QM-Plasma he kin i : n e soll groß sein! 2m e In einem (ultra)relativistischen Plasma he kin i k B T ~n 1/3 c : das Kriterium für ein schwach wechselwirkendes Plasma lautet e 2 ~c, e.m. 1 4 0 unabhängig von n e. 2 e

Elektrostatik eines Plasmas Die Ladungsdichte % e (~r) der Elektronen in einem Plasma im thermischen Gleichgewicht ist gleich (2x) * dem Integral der Fermi Dirac-Verteilung f 0 (E ~p )= exp E~p 1 µ e k B T +1 über den Phasenraum. Diese Ladungsdichte % e (~r) Potential. führt zu einem konstanten elektrostatischen * 2 ist der Entartungsgrad der Elektronen (Spin 1/2).

Elektrostatik eines Plasmas Führt man eine punktförmige Testladung q ein, so verschieben sich die Ladungsträger, was zu einer induzierten Polarisation bzw. Ladungsdichte führt, sowie zur Entstehung eines nicht-konstanten Potentials. Die neue Ladungsdichte lässt sich mit f (E ~p )= exp 1 E~p e (~r) µ e k B T +1 berechnen, so dass die Differenz zwischen der induzierten und der ursprünglichen Ladungsdichte durch gegeben ist.

Elektrostatik eines Plasmas Mit komt kommt wobei die Debye-Länge rd, Funktion von T, µ e, m e und n e, gegeben ist durch

Elektrostatik eines Plasmas Mit komt kommt wobei die Debye-Länge rd, Funktion von T, µ e, m e und n e, gegeben ist durch Für ein klassisches Plasma, f 0 ist die Boltzmann-Verteilung, und man findet einfach

Elektrostatik eines Plasmas Die Poisson-Gleichung für das elektrostatische Potential lautet d.h., unter Verwendung von % ind. (~r) = 0 r 2 D (~r)

Elektrostatik eines Plasmas Die Poisson-Gleichung für das elektrostatische Potential lautet d.h., unter Verwendung von % ind. (~r) = 0 r 2 D (~r) Die physikalisch sinvolle Lösung dieser Gleichung (Übung 39!) ist entsprechend einem abgeschirmten Potential (auch Yukawa-Potential)

Debye-Abschirmung Für ~r r D ist das Potential exponentiell klein E ~ = ~0 Für kleine Abstände zur Testladung : keine Abschirmung Dagegen ist das magnetische Feld in einem Plasma nicht abgeschirmt!

Debye-Abschirmung Die Herleitung beruht implizit (Nutzung der statistischen Physik) auf der Annahme r D ne 1/3 (= viele Teilchen in einem Debye-Volumen). Da gilt d.h. die Herleitung gilt, wenn das Plasma schwach wechselwirkend ist.

Plasmaschwingungen Plasma im Gleichgewichtszustand mit % 0 (~r) = en e,0 (~r)+zen Z (~r) =0, keiner Stromdichte ( ~J 0 = ~0 ) und keinem elektrischen Feld ( ~E 0 = ~0 ). Dazu wird ~B 0 = ~0 angenommen. Externe Störung die Elektronen werden verschoben gegenüber die Ionen: %(t, ~r) = e[n e,0 (~r)+n e,1 (t, ~r)] + Zen Z (~r) = en e,1 (t, ~r) Dies führt zur Entstehung eines elektrischen Feldes ~E 1 (t, ~r), das dazu neigt, die Elektronen zurück zu deren Gleichgewichtsstelle zu bringen: Plasmaschwingungen (Langmuir-Schwingungen) Es entsteht eine Stromdichte ~J 1 (t, ~r) ' en e,0 ~v 1 (t, ~r) mit ~v 1 (t, ~r) der mittleren Geschwindigkeit der Elektronen. Annahme: n e,1 (t, ~r) n e,0 (man wird die Gleichungen linearisieren)

Plasmafrequenz Mit und %(t, ~r) = e[n e,0 (~r)+n e,1 (t, ~r)] + Zen Z (~r) = en e,1 (t, ~r) lautet die Kontinuitätsgleichung e @n e,1(t, ~r) @t ~J 1 (t, ~r) ' en e,0 ~v 1 (t, ~r) en e,0 ~ r ~v1 (t, ~r) =0.

Plasmafrequenz Mit und %(t, ~r) = e[n e,0 (~r)+n e,1 (t, ~r)] + Zen Z (~r) = en e,1 (t, ~r) lautet die Kontinuitätsgleichung e @n e,1(t, ~r) @t ~J 1 (t, ~r) ' en e,0 ~v 1 (t, ~r) en e,0 ~ r ~v1 (t, ~r) =0. Ableitung nach der Zeit, unter Verwendung des Newtonschen Gesetzes (der magnetische Anteil der Lorentz-Kraft wird vernachlässigt): @ 2 n e,1 (t, ~r) @t 2 en e,0 m e ~ r ~ E1 (t, ~r) =0

Plasmafrequenz Mit und %(t, ~r) = e[n e,0 (~r)+n e,1 (t, ~r)] + Zen Z (~r) = en e,1 (t, ~r) lautet die Kontinuitätsgleichung e @n e,1(t, ~r) @t ~J 1 (t, ~r) ' en e,0 ~v 1 (t, ~r) en e,0 ~ r ~v1 (t, ~r) =0. Ableitung nach der Zeit, unter Verwendung des Newtonschen Gesetzes (der magnetische Anteil der Lorentz-Kraft wird vernachlässigt): @ 2 n e,1 (t, ~r) @t 2 en e,0 m e ~ r ~ E1 (t, ~r) =0 @ 2 n e,1 (t, ~r) Maxwell-Gauß @t 2 +! Pn 2 e,1 (t, ~r) =0 s e mit der Plasmafrequenz! P 2 n e,0 m e 0

Plasmafrequenz @ 2 n e,1 (t, ~r) mit @t 2 +! Pn 2 e,1 (t, ~r) =0! P s e 2 n e,0 m e 0 Mit der klassischen Debye-Länge r D = p 0 k B T/n e e 2 und der mittleren Geschwindigkeit ~v 1 p k B T/m e von Elektronen bei der Temperatur T gilt ~v 1 /r D! 1 P entsprechend der Zeitdauer der Durchquerung der Länge rd.

Plasmafrequenz @ 2 n e,1 (t, ~r) mit @t 2 +! Pn 2 e,1 (t, ~r) =0! P s e 2 n e,0 m e 0 Fourier-Transformation nach der Zeit gibt (! 2 +! 2 P)ñ e,1 (!, ~r) =0 Vergleicht man mit der Bewegungsgleichung für Wellen in Materie 4 ~ E(!, ~r)+! 2 r (!)µ r (!) c 2 ~E(!, ~r) = ~0 so hat man keine Propagation ( ~ k(!) = ~0 ) und r (!) µ r (!) =1! 2 P! 2 Dies entspricht * einem Leiter mit µ r (ω) = 1, Γ 1 = 0 und Ω 1 = ωp. * vgl. r (!)!!0 1+ X a>1 2 a! 2 a 2 1!(! +i 1) r,0 + i 2 1!( 1 i!)

Plasmafrequenz @ 2 n e,1 (t, ~r) mit @t 2 +! Pn 2 e,1 (t, ~r) =0! P s e 2 n e,0 m e 0 Fourier-Transformation nach der Zeit gibt (! 2 +! 2 P)ñ e,1 (!, ~r) =0 Vergleicht man mit der Bewegungsgleichung für Wellen in Materie 4 ~ E(!, ~r)+! 2 r (!)µ r (!) c 2 ~E(!, ~r) = ~0 so hat man keine Propagation ( ~ k(!) = ~0 ) und r (!) µ r (!) =1! 2 P! 2 Für ω < ωp ist der Brechungsindex rein imaginär: elektromagnetische Wellen solcher Frequenzen werden reflektiert... wie Radiowellen an der unteren Ionosphäre

Longitudinale & transversale Wellen In der Tat gibt es (mindestens * ) zwei Arten von Plasmaschwingungen, mit unterschiedlichen Dispersionsrelationen * In Anwesenheit eines äußeren ~B -Feldes gibt es noch mehr!

Longitudinale & transversale Wellen In der Tat gibt es (mindestens * ) zwei Arten von Plasmaschwingungen, mit unterschiedlichen Dispersionsrelationen Zwei-Fluid-Modell: Das Zweikomponenten-Plasma wird beschrieben als Mischung von einem ruhenden Ionenfluid einem bewegten Elektronenfluid, mit Geschwindigkeit ~v 1 (t, ~r) * In Anwesenheit eines äußeren ~B -Feldes gibt es noch mehr!

Longitudinale & transversale Wellen In der Tat gibt es (mindestens * ) zwei Arten von Plasmaschwingungen, mit unterschiedlichen Dispersionsrelationen Zwei-Fluid-Modell: Das Zweikomponenten-Plasma wird beschrieben als Mischung von einem ruhenden Ionenfluid einem bewegten Elektronenfluid, mit Geschwindigkeit ~v 1 (t, ~r) Bewegungsgleichungen: Maxwell-Gleichungen Euler- (bzw. Navier Stokes-)Gleichung für die Strömung des Fluids Hydrodynamik schlägt zurück! * In Anwesenheit eines äußeren ~B -Feldes gibt es noch mehr!

Bewegungsgleichungen Fourier-transformierte (nach Zeit und Ort) Maxwell-Gleichungen: (i) (ii) (iii) (iv)

Bewegungsgleichungen Fourier-transformierte (nach Zeit und Ort) Maxwell-Gleichungen: (i) (ii) (iii) (iv) Euler-Gleichung: m e n e apple @~v1 @t + ~v 1 ~r ~v 1 = ~ rp en e ~ E + ~v1 ~ B

Bewegungsgleichungen Fourier-transformierte (nach Zeit und Ort) Maxwell-Gleichungen: (i) (ii) (iii) (iv) Euler-Gleichung: m e n e apple @~v1 @t + ~v 1 ~r ~v 1 = ~ rp en e ~ E + ~v1 ~ B Linearisierung: n e ersetzt durch n e,0 ; konvektiver Term weggelassen; magnetischer Anteil vernachlässigt.

Bewegungsgleichungen Fourier-transformierte (nach Zeit und Ort) Maxwell-Gleichungen: (i) (ii) (iii) (iv) Linearisierte Euler-Gleichung: m e n e,0 @~v 1 (t, ~r) @t = ~ rp(t, ~r) en e,0 ~ E(t, ~r)

Bewegungsgleichungen Fourier-transformierte (nach Zeit und Ort) Maxwell-Gleichungen: (i) (ii) (iii) (iv) @~v 1 (t, ~r) Linearisierte Euler-Gleichung: m e n e,0 @t Schallgeschwindigkeit c 2 s = @P : @ = ~ rp(t, ~r) en e,0 ~ E(t, ~r) ~rp(t, ~r) =c 2 s ~ r[m e n e (t, ~r)] ' m e c 2 s ~ rn e,1 (t, ~r)

Bewegungsgleichungen Fourier-transformierte (nach Zeit und Ort) Maxwell-Gleichungen: (i) (ii) (iii) (iv) Linearisierte Euler-Gleichung: m e n e,0 @~v 1 (t, ~r) @t = m e c 2 s ~ rn e,1 (t, ~r) en e,0 ~ E(t, ~r)

Bewegungsgleichungen Fourier-transformierte (nach Zeit und Ort) Maxwell-Gleichungen: (i) (ii) (iii) (iv) Linearisierte Euler-Gleichung: m e n e,0 @~v 1 (t, ~r) @t = m e c 2 s ~ rn e,1 (t, ~r) en e,0 ~ E(t, ~r) Fourier-Transformation: @ @t! i!, ~ r!i ~ k

Bewegungsgleichungen Fourier-transformierte (nach Zeit und Ort) Maxwell-Gleichungen: (i) (ii) (iii) (iv) Fourier-transformierte linearisierte Euler-Gleichung: (v) Jetzt geht s los!

Wellengleichung (i) (ii) (iii) (iv) (v)

Wellengleichung (i) (ii) (iii) (iv) (v) (iii) ist äquivalent zu ~ B(!, ~ k)= 1! ~ k ~ E (!, ~ k)

Wellengleichung (i) (ii) (iii) (iv) (v) (iii) ist äquivalent zu ~ B(!, ~ k)= 1! ~ k ~ E (!, ~ k) Die Multiplikation (Kreuzprodukt) links mit i ~ k gibt i ~ k B ~ = i! ~ k ~ k E ~ = i h ~k E ~ ~ k! ~ k 2 ~ E i gut für die linke Seite von (iv)

Wellengleichung (i) (ii) (iii ) i ~ k ~ B = i! ~ k ~ k ~ E = i! h ~k ~ E ~ k ~ k 2 ~ E i (iv) (v) Die rechte Seite von (iv) lässt sich mithilfe von (v) ausdrücken. Unter Berücksichtigung von (iii ) kommt

Wellengleichung (i) (ii) (iii ) i ~ k ~ B = i! ~ k ~ k ~ E = i! h ~k ~ E ~ k ~ k 2 ~ E i (iv) (v) Die rechte Seite von (iv) lässt sich mithilfe von (v) ausdrücken. Unter Berücksichtigung von (iii ) kommt! 2 P

Wellengleichung (i) (ii) (iii) (iv) (v) führen zur Wellengleichung (im Fourier-Raum)

Longitudinale und transversale Schwingungsmoden Die longitudinale (parallel zu k ) bzw. transversale Komponente des Feldes wird definiert durch

Longitudinale und transversale Schwingungsmoden Die longitudinale (parallel zu k ) bzw. transversale Komponente des Feldes wird definiert durch Diese Komponenten sind natürlich orthogonal zueinander:

Longitudinale und transversale Schwingungsmoden lässt sich noch schreiben als ~E?

Longitudinale und transversale Schwingungsmoden lässt sich noch schreiben als d.h. für die transversale Komponente ~E? (!, ~ k) Gleichung mit der Dispersionsrelation!( ~ k) 2 =! P 2 + c 2 ~ k 2 nur möglich für ω > ωp. Dies gibt (2 Polarisationszustände), Dazu ist das magnetische Feld auch transversal und senkrecht zu ~E?.

Longitudinale und transversale Schwingungsmoden lässt sich noch schreiben als d.h. für die longitudinale Komponente ~E k (!, ~ k) Gleichung mit der Dispersionsrelation!( ~ k) 2 =! P 2 + c 2~ s k 2 nur möglich für ω > ωp. (ein Polarisationszustand), Phasen- und Gruppengeschwindigkeit sind vergleichbar mit cs.