Stochastische Finanzmärkte

Stochastische Finanzmärkte Thorsten Schmidt 7. November 2014 Chemnitz University of Technology, Reichenhainer Str. 41, 09126 Chemnitz, Germany. Email: thorsten.schmidt@mathematik.tu-chemnitz.de. Web: www.tu-chemnitz.de/mathematik/fima. Dieses Skript basiert teilweise auf dem gemeinsam mit Prof. Dr. Rüdiger Frey (Universität Wien) entwickelten Vorlesungsskriptum Finanzmathematik I

Inhaltsverzeichnis 1. Grundlagen 6 1.1 Einführung in die moderne Finanzmathematik... 6 1.2 Derivative Finanzinstrumente... 7 1.2.1 Zinsen und Anleihen... 7 1.2.2 Terminverträge... 9 1.2.3 Devisen.................................. 11 1.3 Optionen...................................... 13 1.3.1 Wertgrenzen für Optionen (ohne Dividenden).............. 14 1.3.2 Wertgrenzen für Optionen (mit bekannten Dividenden)......... 19 1.3.3 Optionsstrategien............................. 20 2. Einperiodenmodell 23 2.1 Das Modell mit endlichen Zustandsraum..................... 23 2.2 Arbitragefreiheit.................................. 25 2.2.1 Arbitragefreiheit und Martingalmaße................... 26 2.3 Vollständigkeit................................... 29 2.4 Unvollständige Märkte.............................. 29 2.4.1 Preisschranken.............................. 30 2.4.2 Superreplikation............................. 32 2.4.3 Kostenminimale Superreplikationsportfolios............... 32 3. Mehrperiodenmodelle 36 3.1 Modell und grundlegende Begriffe........................ 36 3.1.1 Diskontierte Größen........................... 38 3.2 Der erste Hauptsatz................................ 39 3.2.1 Die risikoneutrale Bewertungsformel................... 42 3.3 Der zweite Hauptsatz............................... 43 3.4 Das Cox-Ross-Rubinstein Modell........................ 44 3.4.1 Arbitragefreiheit............................. 45 3.4.2 Hedging in vollständigen Märkten.................... 46 3

Inhaltsverzeichnis 3.4.3 Europäische Optionen.......................... 48 3.4.4 Das Spiegelungsprinzip.......................... 49 3.5 Amerikanische Optionen............................. 53 3.5.1 Optimales Stoppen............................ 53 3.5.2 Amerikanische Optionen......................... 58 4. Stochastische Integration 64 4.1 Einführung.................................... 64 4.2 Die Definition des Itô-Integrals.......................... 64 4.3 Die Erweiterung des Itô-Integrals auf Hloc 2 4.4 Lokale Martingale................................. 73 4.5 Die Itô -Formel.................................. 74 4.6 Weitere Itô -Formeln............................... 77 4.7 Ein erster Blick auf das Black-Scholes Modell.................. 78 4.8 Das Girsanov-Theorem.............................. 80 4.9 Repräsentation von Brownschen Martingalen................... 83 4.10 Stochastische Differentialgleichungen...................... 84 4.11 Der Ornstein-Uhlenbeck Prozess......................... 87 4.12 Lösungsmethoden für SDEs............................ 88 4.12.1 Koeffizientenvergleich.......................... 89 4.12.2 Multiplikativer Ansatz.......................... 89 5. Finanzmärkte in stetiger Zeit 91 5.1 Der Finanzmarkt................................. 91 5.1.1 Ein kleiner Exkurs zur Arbitrage..................... 93 5.2 Das einfache Black-Scholes Modell....................... 95 5.2.1 Das äquivalente Martingalmaß...................... 95 5.2.2 Pricing von europäischen Optionen.................... 96 5.3 Delta-Gamma Hedging.............................. 104 5.4 Die Greeks..................................... 107 5.5 Schätzen der Volatilität, Implizite Volatilität................... 107 5.6 Homogenität der Black-Scholes Formel..................... 111 5.7 Chooser Optionen................................. 111 5.8 Optionspreisbewertung mit PDEs......................... 112 6. Optionspreisbewertung mit partiellen Differentialgleichungen 114 6.2 Die Wärmeleitungsgleichung........................... 115 6.2.1 Fourier-Transformation von partiellen Dgls............... 116 6.3 Die Lösung der BS-Differentialgleichung.................... 119 4

Inhaltsverzeichnis 6.3.1 Die Transformation auf die Wärmeleitungsgleichung.......... 120 6.3.2 Zurückführen auf einen Erwartungswert................. 121 6.4 Ein Modell mit Transaktionskosten........................ 122 7. Unvollständige Märkte 125 7.1 Einleitung..................................... 125 7.2 Das verallgemeinerte Black-Scholes Modell................... 125 7.3 Pricing in unvollständigen Märkten........................ 127 7.4 Hedging in unvollständigen Märkten....................... 130 8. Der Zinsmarkt 135 8.1 Einführung.................................... 135 8.1.1 Das Bankkonto.............................. 138 8.1.2 Floating Rate Notes............................ 138 8.1.3 Swaps................................... 139 8.1.4 Das Konzept der Duration........................ 140 Literaturverzeichnis 143 5

1. Grundlagen 1.1 Einführung in die moderne Finanzmathematik In der modernen Finanzmathematik, wie sie seit der grundlegenden Arbeit von Black and Scholes (1973) und Delbaen and Schachermayer (1994) verstanden wird, sind die folgenden Fragestellungen von zentraler Bedeutung: Bewertung und Absicherung von Derivaten. Derivate sind Wertpapiere, deren Wert bei Fälligkeit sich vom Preis eines Basisgutes ableitet. Ein gehandeltes Basisgut kann ein anderes Wertpapiere (wie Aktien, Devisen, Anleihen) oder ein Rohstoff (Erdöl, Energiepreise, etc.) sein. Es ist aber auch möglich, dass das Basisgut nicht gehandelt wird, wie im im Fall von Zinsen, Indizes oder von Wetter- oder Versicherungsderivaten. Portfoliooptimierung. In diesem Gebiet sucht man eine optimale Zusammenstellung von Portfolios. Es gibt verschiedene Kriterien für Optimalität, etwa ein Portfolio mit geringstem Risiko, oder maximalen Gewinn. Neben diesen zentralen Fragestellung gibt es eine Vielzahl von weiteren, wichtigen Aspekten. An der TU Chemnitz werden unter anderem noch folgende Punkte in unseren Vorlesungen behandelt: Risikomanagement. Im quantitativen Risikomanagement geht es um Messung und geeignete Steuerung von Finanzrisiken. Es gibt enge Bezüge zur Finanzmathematik, jedoch stehen im Risikomanagement vorrangig statistische Fragen und die Betrachtung von aggregierten Portfolios aus sehr vielen Finanzinstrumenten im Vordergrund. Statistik der Finanzmärkte. In dieser Vorlesung geht es um die Analyse von Finanzdaten und die Schätzung von Modellen zur Beschreibung von Finanzdaten. Dieser Aspekt ist zentral in der Anwendung der Finanzmathematischen Modellen und hat damit eine besonders hohe praktische Relevanz. Versicherungsmathematik. Es gibt zahlreiche Berührungspunkte zwischen der Finanzmathematik und der Verischerungsmathematik. So verwenden beide verwandte Methoden der Stochastik, und die Bewertung von Anlagerisiken ist in der Versicherungsbranche von hoher Bedeutung. 6

1.2 Derivative Finanzinstrumente Die in dieser Vorlesung verwendeten mathematischen Techniken entstammen der Stochastik (Wahrscheinlichkeitstheorie, stochastische Prozesse, Statistik); daneben kommen auch Techniken aus Optimierung, Analysis (etwa partielle Differentialgleichungen) und Numerik zum Einsatz. Literatur Es gibt mittlerweile eine Vielzahl von guten Einführungen in das Fachgebiet Finanzmathematik, eine Vielzahl ist in Englisch. Das vorliegende Skript orientiert sich an Bingham and Kiesel (2004), Shreve (2004a), Shreve (2004b) und Pliska (1997). Eine hervorragende Einführung in deutscher Sprache ist Albrecher et al. (2009). Ausgezeichnete weiterführende Text sind Föllmer and Schied (2004), Delbaen and Schachermayer (2006). Die benötigten Hilfsmittel aus der konvexen Analysis und linearen bzw. konvexen Optimierung findet man etwa in Bertsimas and Tsitsiklis (1997) und Bertsekas (1999). 1.2 Derivative Finanzinstrumente Ein derivatives Finanzinstrument ist ein Vertrag zwischen zwei Parteien, dessen Zahlungsströme sich von gewissen Referenzgrößen ableitet. Die Referenzgröße wird Basisgut (Underlying) genannt und kann gehandelt (Aktie) oder nicht gehandelt (Wetterdaten) sein. Es gibt im wesentlichen drei Typen: 1 (i) Terminverträge (ii) Swaps (iii) Optionen Im folgenden werden wir verschieden Beispiele kennenlernen. Wir beginnen mit dem Studium von Zins und Zinseszins. 1.2.1 Zinsen und Anleihen Wir betrachten zwei Zeitpunkte t und T mit 0 apple t apple T. Eine Nullkuponanleihe ist ein Festgeschäft, welches an Maturität T die Auszahlung von einer Geldeinheit verspricht. Der Wert 1 Im September 2013 wurden an der EUREX 61,8 Millionen Aktienindexderivate gehandelt allein der Future auf den EURO STOXX 50 wurde 28,1 Millionen mal gehandelt. Aktienbasierte Derivate (Aktienoptionen und Single Stock Futures) wurden 31,2 Mio. mal gehandelt, davon 18,9 Mio. Aktienoptionen. Auf dem Segment Zins- Derivate wurden 45,8 Mio. Kontrakte gehandelt. Quelle: deutsche-boerse.com. 7

1. Grundlagen der Nullkuponanleihe (Zero-Cupon Bond) an t apple T wird mit B(t,T ), 0 apple t apple T bezeichnet. Der Preis B(t,T ) hat die folgende Eigenschaft: positive Zinsen ) B(t,T ) apple 1 kein Konkursrisiko (default risk) ) B(T,T )=1. Im folgenden werden wir B(t, T ) als eine allgemeine Form nutzen, eine Diskontierung von zukünftigen Zahlungen durchzuführen. Nullkuponanleihen werden an Finanzmärkten gehandelt, speziell für relativ kleine Restlaufzeiten T t. Darüber hinaus sind Nullkuponanleihen aber auch ein wichtiges Gedankenkonstrukt etwa bei der Analyse von Zinsmärkten; so lassen sich die Preise der meisten gehandelten Anleihen als Linearkombination der Preise von Nullkuponanleihen darstellen. Die Annahme dass kein Konkursrisiko besteht ist hingegen theoretischer Natur und vereinfacht uns zunächst die Rechnung. Es gibt durchaus negative Zinsen 2. Auf Zins- und Anleihemärkten werden Preise von Nullkuponanleihen häufig nicht direkt angegeben sondern es werden Zinssätze quotiert und dabei unterscheidet man verschiedene Arten von Zinssätzen. Diskrete Verzinsung. Jährliche Verzinsung: Das an t = 0 eingesetzte Kapitel N wird mit dem Zinssatz r verzinst und hat an T 2 N den Wert N (1 + r) T. Der zur Nullkuponanleihe B(t,T ) mit T B(t,T )= t 2 N gehörige Zinssatz r = r(t,t ) erfüllt 1 (1 + r) T t. (1.1) Unterjährige Verzinsung. Die n-fache Verzinsung pro Jahr (n 2 N), etwa halb- oder vierteljährlich, wird wieder auf Jahresbasis skaliert. Das an t = 0 eingesetzte Kapital hat an T 2 N bei n-facher unterjähriger Verzinsung mit dem (annualisierten) Zins r n den Wert N 1 + r n n nt. Der zur Nullkuponanleihe B(t,T ) mit T t 2 N zugehörige Zinssatz r n = r n (t,t ) erfüllt B(t,T )= 1 + r n n(t t). (1.2) n 2 Deutschland leiht sich Geld zu negativen Zinsen, FAZ 9.1.2012. 8

1.2 Derivative Finanzinstrumente Example 1.2.1 (LIBOR-rates). Ein Spezialfall ist die London Interbank Offered Rate oder der EURIBOR (Euro Interbank Offered Rate) mit Laufzeit t = 1 n (etwa t = 1/2 oder t = 1/4). Eine solche Rate L(t,t + t) erfüllt B(t,t + t)= 1 1 + t L(t,t + t). (1.3) In Abbildung 1.2.1 wird der Verlauf des EURIBOR für verschiedene Laufzeiten seit 1999 dargestellt. Kontinuierliche Verzinsung. Die stetige Verzinsung ergibt sich als Grenzfall immer feiner werdender Verzinsungen und erleichtert die Zinsrechnung zu beliebigen Zeiten erheblich. Da gilt, 1 + n r n! n! er, erfüllt die stetige Zinsrate y = y(t,t ) die Gleichung Das bedeutet umgekehrt y(t,t )= 1 T heißt Zinsstrukturkurve im Zeitpunkt t. 1.2.2 Terminverträge B(t,T )=exp( y (T t)). (1.4) t lnb(t,t ). Die Kurve T! y(t,t ), T t So genannte Terminverträge (Forward Contracts) sind die einfachsten Beispiele für derivative Finanzinstrumente. Definition 1.2.1. Ein an t 0 geschlossener Terminvertrag verpflichtet den Käufer das Basisgut am Fälligkeitszeitpunkt T > t zum Basispreis K zu kaufen (zu verkaufen). Eine Kaufverpflichtung heißt eine Long Position und eine Verkaufverpflichtung eine Short Position. Der Basispreis wird bei Vertragslegung, also bereits an t, festgelegt. Typischerweise wird er so festgelegt, dass das Eingehen der Kaufverpflichtung im Zeitpunkt t kostenlos ist; in diesem Fall nennt man den Basispreis auch Terminpreis. Den Terminpreis für ein Basisgut G im Zeitpunkt t bezeichnen wir mit F G (t,t ), 0 apple t apple T. Der Preis zur Zeit s G(s), s 0. 0 des Basisguts heißt auch Spot Preis und wir bezeichnen ihn mit 9

1. Grundlagen 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Abbildung 1.1: Tägliche 1 Wochen- (grün), 3-Monats- (blau), 1 Jahres- (rot) Euribor-Kurse von Einführung am 1. Januar 1999 bis April 2012. Quelle: Wikipedia Der Wert bei Fälligkeit eines Terminvertrages (Long Position) ist G(T ) K, bei einer Short Position (G(T ) K) =K G(T ). Ist der Basispreis als K = F G (t,t ) festgelegt, so macht man bei einem Kaufvertrag einen Gewinn, falls G(T ) > F G (t,t ). In der Praxis werden Terminverträge auf Wertpapiere und Devisen, aber auch auf Rohstoffe wie Edelmetalle, Rohöl oder Strom abgeschlossen. Terminverträge dienen meist der Risikokontrolle, etwa indem sie Unternehmen helfen, Wechselkursrisiken auszuschließen oder zukünftige Preisschwankungen fixieren. Die Bewertung von Terminverträgen. Ist das Basisgut ein gehandeltes Wertpapier, so lässt sich der Terminpreis wie folgt ermitteln. Man sucht hierbei eine Bewertung welche keine Arbitragemöglichkeiten zulässt. Eine Arbitrage ist ein risikofreier Gewinn welche von Investoren ausgenutzt werden können und sollten sinnvollerweise nicht in einer Bewertung vorhanden sein. Lemma 1.2.1. Sei 0 apple t apple T und S(t) der Preis eines gehandelten Wertpapiers an t welches in [t, T ] keine Dividenden oder Zinsen auszahlt. Der arbitragefreie Wert des Terminvertrages an t auf das Basisgut S mit Fälligkeit T und Basispreis K ist S(t) B(t, T )K. 10

1.2 Derivative Finanzinstrumente Der Terminpreis errechnet sich demnach zu F S (t,t )= S(t) B(t,T ). Haben wir nicht-negative Zinsen, ist also B(t,T ) apple 1, so gilt F S (t,t ) S(t). Beweis. Zum Beweis bilden wir die Auszahlung des Terminvertrages durch ein Portfolio aus Wertpapieren und Nullkuponanleihen ab. Den zunächst unbekannten Wert einer long Position im Terminvertrag sei mit x bezeichnet. Portfolio Wert in t Wert in T Kaufe eine Einheit von S S(t) S(T ) Verkaufe K Nullkuponanleihen B(, T ) KB(t, T ) K Short Position in Terminvertrag x S(T ) K S(t) K(B(t, T ) x 0 Das betrachtete Portfolio hat in T den Wert 0, und hat, da wir Zins- und Dividendenzahlungen ausgeschlossen haben, auch keine Zahlungen zu anderen zukünftigen Zeitpunkten (oder zumindest nicht in [t,t ). In einem arbitragefreien Markt muss also auch der heutige Wert des Portfolios gleich Null sein. Es folgt x = S(t) KB(t,T ). Das im Beweis von Lemma 1.2.1 verwendete Portfolioargument wird auch als Cash-and- Carry Arbitrage bezeichnet: Ist der Terminpreis zu hoch, so verkauft der Arbitrageur den Terminvertrag (und erhält Cash) und kauft gleichzeitig das Basisgut, welches er bis zum Laufzeitende hält (Carry). In der Praxis ist diese Strategie nicht ganz risikofrei: Es könnte sein dass die Gegenseite des Vertrages seinen Verpflichtungen nicht nachkommen kann. Wird der Terminvertrag an der Börse gehandelt, so entfällt dieses Risiko, der Käufer muss allerdings täglich Verluste in seinen Positionen ausgleichen und es entsteht ein Liquiditätsrisiko. Ganz genau werden diese Blickpunkte in unserer späteren Diskussion über Arbitrage und Handelsstrategien erläutert. 1.2.3 Devisen Betrachtet man einen Markt mit unterschiedlichen Währungen, so kann man Anleihen in verschiedenen Devisen handeln und es gibt einen Wechselkurs. Als Beispiel betrachten wir Euro und Dollarmärkte. Mit E(t) bezeichnen wir den Wechselkurs an t (Betrag in Euro für einen 11

1. Grundlagen Dollar). Weiterhin sei B d (t,t ) der Preis einer Nullkuponanleihe im inländischen Markt (Domestic, also in EUR) und B f (t,t ) sei der Preis einer Nullkuponanleihe im ausländischen Markt (Foreign, also in Dollar). Erwartet man an T ein Zahlung N in Dollar und möchte diesen in EUR tauschen, so erhält man N E(T ). Da E(T ) noch nicht bekannt ist, hat man ein Wechselkursrisiko, welches man mit einem Terminvertrag absichern kann: Wir suchen den Terminpreis eines Terminvertrages, der E(T ) auszahlt, welcher in folgendem Lemma berechnet wird. Lemma 1.2.2. Für jedes 0 apple t apple T ist der arbitragefreie Terminpreis auf das Basisgut E (Wechselkurs) F E (t,t )=E(t) B f (t,t ) B d (t,t ). (1.5) Beweis. Zunächst einmal ist B d (t,t ) > 0, da ansonsten eine Arbitragemöglichkeit existierte (Kaufe B d (t,t ) für 0 und erhalte einen Dollar an T ). Wir verwenden wieder ein Portfolioargument 3 : Portfolio Wert in t (in e) Wert in T (in e) Kaufe B f (t,t ) E(t)B f (t,t ) E(T ) Verkaufe E(t) B f (t,t ) B d (t,t ) Nullkuponanleihen E(t)B f (t,t ) E(t)B f (t,t ) B d (t,t ) Short Position im Terminvertrag 0 E(T ) F E (t,t ) 0 F E (t,t ) E(t) B f (t,t ) B d (t,t ) Der Wert des Portfolios an t ist Null, und muss also auch an T Null sein, um Arbitragemöglichkeiten auszuschließen. Die Behauptung folgt. Darüber hinaus ist F E (t,t ) auch der einzige Preis, der Arbitragemöglichkeiten ausschließt: Ist etwa F E (t,t )(w) E(t)(w) B f (t,t )(w) B d (t,t )(w) größer Null, so ist dies zum Zeitpunkt t bereits bekannt. Der Arbitrageur kauft das obige Portfolio und erhält an T einen positiven Gewinn. Ist der Wert kleiner Null, so verkauft der Arbitrageur das Portfolio und erhält ebenso einen positiven Gewinn. 3 Das Short-Selling von Anleihen bedeutet, dass man sich E(t)B f (t,t ) Geldeinheiten (Inland) leiht. Diese verzinsen sich zu E(t)B f (t,t ). B d (t,t ) 12

1.3 Optionen 1.3 Optionen In diesem Abschnitt betrachten wir ein Finanzgut (etwa eine Aktie, einen Zinssatz oder einen Wechselkurs) und lernen Calls und Puts kennen. Definition 1.3.1. Eine europäische Call (Put) Option ist das Recht, das Basisgut an T t zum Preis K zu kaufen (zu verkaufen). Eine amerikanische Call (Put) Option ist das Recht, das Basisgut an jedem Zeitpunkt bis T zum Preis K zu kaufen (zu verkaufen). Wir nennen K den Ausübungspreis (Strike) und T t Restlaufzeit. Man beachte, dass im Gegensatz zu einem Termingeschäft nicht Verpflichtung besteht, das Basisgut zu kaufen oder zu verkaufen. Den Preisprozess des Basisgutes bezeichnen wir mit S(t), t 0. Wir betrachten zunächst die Call Option. Ein rationaler Investor wird das Optionsrecht nur ausüben, falls S(T ) > K (anderenfalls kann er die Aktie billiger am Markt kaufen); in diesem Fall erzielt er einen Gewinn in Höhe von S(T ) K. So ergibt sich der Wert der Call Option an T als C(T )=max{s(t ) K,0} =: (S(T ) K) +. (1.6) Ganz analog ergibt sich für den Endwert der Put Option P(T )=max{k S(T ),0} =: (K S(T )) +. Beide Funktionen werden in Abbildung 1.2 illustriert. B 1.1 Absichern eines Aktiendepots mit Put Optionen: Eine Anlegerin hält (an t = 0) 10 Akien im Depot mit Kurs S(0). Sie möchte vermeiden, dass der Wert der Aktienposition an T = 1 unter den Ausganswert A := 10S(0) fällt. Hierzu geht sie wie folgt vor: Sie kauft 10 europäische Put Optionen auf die Aktie mit Ausübungspreis K = S(0). Dies ergibt an T = 1 den Wert 10(S(1)+0) falls S(1) > S(0) 10(S(1)+(S(0) S(1))) = 10 S(0) falls S(1) < S(0). Somit hat das Portfolio mindestens den Wert A. Allerdings ist zu Beginn die Zahlung der Optionsprämie erforderlich. B 1.2 Absichern eines Wechselkursrisikos: Eine Firma erhält auf ihre Lieferung in einem Monat eine Zahlung von 1 Mio USD. Wie kann sie das Wechselkursrisiko absichern. Sei dazu E(0)=0.75 der heutige Wechselkurs USD/EUR und E(T ) derjenige in einem Monat. Zur Vereinfachung seien die USD und EUR-Zinsen gleich Null (dann ist der Terminpreis F E (0,T )=E(0)=0.75 nach Lemma 1.2.2). Betrachte nun die folgenden Strategien: Str. 0: Mache gar nichts, Str. 1: Kaufe 1 Mio. USD auf Termin mit Basispreis E(0)=0.75, 13

1. Grundlagen C T P T K K S T K S T Abbildung 1.2: Auszahlungsschemata von Call (links) und Put (rechts). Str. 2: Kaufe 1 Mio. Puts zum Preis P(0) auf USD mit Fälligkeit T und Basispeis K = 0.75. Werte der Strategien in EUR in einem Monat: E(1)=0.8 (USD steigt) E(1)=0.7 (USD fällt) Str. 0 0.8 Mio. 0.7 Mio. Str. 1 0.75 Mio. 0.75 Mio. Str. 2 (0.8 P(0)) 1 Mio. (0.7 + 0.05 P(0)) 1 Mio. Das Termingeschäft bietet Schutz bei fallendem Dollar, ist aber riskant bei steigendem Dollarkurs. Die Option bietet immer Schutz gegen Verluste, dafür ist aber heute eine Prämienzahlung fällig. Eine Antwort darauf, welches die beste Absicherungsstrategie ist, hängt ganz stark von der Situation der Firma ab. 1.3.1 Wertgrenzen für Optionen (ohne Dividenden) Zunächst kann man lediglich unter der Annahme der Arbitragefreiheit 4 ganz allgemein obere und untere Grenzen für den Wert von Optionen auf Aktien bestimmen. In diesem Abschnitt 4 In diesem Abschnitt verwenden wir einfache Portfolioargumente um die praktische Anwendbarkeit zu unterstreichen und Intuition aufzubauen. Genaue Definitionen und mathematisch exakte Beweise folgen. 14

1.3 Optionen Abbildung 1.3: EUR-USD Wechselkurs. Quelle: www.ecb.europa.eu machen wir zunächst die Annahme, dass die Aktie im beobachteten Zeitraum keine Dividenden zahlt, was wir im nächsten Abschnitt verallgemeinern werden. Die Auszahlung eines europäischen Calls auf eine Aktie mit Preisprozess S(t), t 0 am Fälligkeitszeitpunkt T ist (S(T ) K) +, und für die eines europäischen Puts (K S(T )) +, was den exakten Wert der Option unter Arbitragefreiheit festlegt. Folgendes Resultat bestimmt allgemeine Schranken für den Preis des Calls. Die Grenzen sind in Abbildung 1.4 illustriert. Lemma 1.3.1. Sei 0 apple t apple T.Für den Wert des europäischen Calls C(t) mit Ausübungspreis K auf eine Aktie S, welche in [t,t ] keine Dividende zahlt, gilt S(t) KB(t,T ) + apple C(t) apple S(t). (1.7) Beweis. Wir zeigen zunächst C(t) apple S(t) und danach C(t) S(t) KB(t, T ). (i) C(t) apple S(t). Wir nehmen an, dass C(t) > S(t) und erhalten eine Arbitrage: 15

1. Grundlagen Portfolio Wert in t Wert in T, falls: S(T ) apple K S(T ) > K Verkaufe Call C(t) 0 (S(T ) K) Kaufe Aktie S(t) S(T ) S(T ) S(t) C(t) < 0 S(T ) > 0 K > 0 Investiert man in diese Strategie, so erhält man also zu Beginn den positiven Betrag C(t) S(t) und an T ebenfalls einen positiven Betrag, so dass dies eine Arbitragestrategie ist. Es folgt, dass C(t) > S(t) nicht gelten kann. (ii) C(t) S(t) KB(t,T ). Zunächst ist C(t) 0. Wir nehmen an, dass C(t) < S(t) KB(t,T ) und erhalten wieder eine Arbitrage: Portfolio Wert in t Wert in T, falls: S(T ) apple K S(T ) > K Kaufe Call C(t) 0 S(T ) K Kaufe K Nullkuponanleihen KB(t, T ) K K Verkaufe Aktie S(t) S(T ) S(T ) < 0 K S(T ) 0 0 Diese Strategie offeriert also zur Zeit t einen positiven Betrag und zur Zeit T keine Ausgabe, ist also eine Arbitrage. Es folgt die Behauptung. Es ist interessant, sich die untere Grenze genauer anzusehen. heißt, dass man den Call- Preis in zwei Teile zerlegen kann: C(t)=S(t) KB(t, T )+x, x 0. Das folgende Lemma zeigt, dass x gerade durch die Prämie für einen Put gegeben ist. Lemma 1.3.2 (Put-Call Parität). Für den Preis eines europäischen Calls und eines europäischen Puts mit gleichen Merkmalen auf eine Aktie ohne Dividendenzahlung gilt unter Arbitragefreiheit, dass C(t)=S(t) KB(t,T )+P(t), 0 apple t apple T. (1.8) 16

1.3 Optionen S Ke r(t t) S Ke r(t t) 0 20 40 60 80 100 0 2 4 6 8 10 t 0 20 40 60 80 100 0 2 4 6 8 10 t Abbildung 1.4: Die Wertgrenzen S und S Ke r(t t) für S = 50 (links) und S = 100 (rechts) mit festem T = 10, K = 100 und r = 0.2. Beweis. Die Idee ist, zwei Portfolios zu bestimmen, die in T den gleichen Wert haben und im Zeitintervall (t, T ) keine Auszahlungen haben. Unter Arbitragefreiheit müssen sie dann auch zu jedem anderen Zeitpunkt den gleichen Wert haben. Portfolio 1 Wert in t Wert in T S(T ) apple K S(T ) > K Kaufe Call C(t) C(T )=0 C(T )=S(T ) K Kaufe K Nullkuponanleihen KB(t, T ) K K C(t)+KB(t,T ) max{s(t ),K} Portfolio 2 Kaufe Put P(t) P T = K S(T ) P T = 0 Kaufe Aktie S(t) S(T ) S(T ) P(t)+S(t) max{s(t ), K} Da beide Portfolios den gleichen Endwert haben, müssen auch ihre Anfangswerte übereinstim- 17

1. Grundlagen men und die Behauptung folgt. Es ist überraschend, welche weitreichende Konsequenzen Lemma 1.3.1 hat: Wir erhalten eine direkte Bewertung für den amerikanischen Call. Mit C A (t), P A (t) bezeichnen wir den Wert eines amerikanischen Calls bzw. Puts. Satz 1.3.3 (Satz von Merton). Die Zinsen seien nicht negativ, d.h. B(t,T ) apple 1für alle 0 apple t apple T. Zahlt eine Aktie in [t,t ] keine Dividenden, so ist es nie optimal, einen amerikanischen Call vorzeitig auszuüben und es gilt C A (t)=c(t), 0 apple t apple T. (1.9) Beweis. Zunächst einmal ist klar, dass C A (t) C(t). Angenommen, der amerikanische Call wird vorzeitig ausgeübt, etwa zum Zeitpunkt t < T. Der Inhaber erhält (S(t) K) +. Allerdings gilt für den Wert der europäischen Option C(t) S(t) KB(t,T ) und C(t) ist damit strikt größer als der Ausübungswert des amerikanischen Calls. Wir erhalten C(t) A C(t) S(t) KB(t,T ) S(t) K. Also hat der Ausübende weniger Geld erhalten, als sein Call zu dieser Zeit am Markt wert war. Demnach lohnt es sich nicht, ihn vorzeitig auszuüben. Im wesentlichen beruht der Satz von Merton darauf, dass der Ausübungswert K weiter verzinst wird, und man bei vorzeitigem Ausüben diesen (unter unseren Annahmen positiven) Zins verlieren würde. Bemerkenswerterweise ist das beim amerikanischen Put genau umgekehrt, so dass sich vorzeitiges Ausüben lohnen kann. Ebenso verhält es sich im Fall, wenn die Aktie eine Dividende zahlt. Zunächst leiten wir die Put-Call Relation für amerikanische Optionen her. Im Gegensatz zur Put-Call Parität für europäische Optionen erhalten wir nun eine Ungleichung. Für t = T erhalten wir eine Gleichung, und mit immer größer werdender Restlaufzeit werden die Ungleichungen unschärfer. Das ist zu erwarten, denn die Möglichkeit, vorzeitig auszuüben ergibt für kleine Restlaufzeiten wenig Gewinnpotential, während für große Restlaufzeiten ein großer Unterschied möglich ist. Bemerkenswert ist ebenso, dass man für verschwindende Zinsen, also B(t,T )=1, die Put-Call Parität (1.8) als Spezialfall erhält. Lemma 1.3.4 (Put-Call Relation). Die Zinsen seien nicht negativ, d.h. B(t,T ) apple 1 für alle 0 apple t apple T. Für den Preis eines amerikanischen Calls und eines amerikanischen Puts mit gleichen Merkmalen auf eine Aktie ohne Dividendenzahlung gilt unter Arbitragefreiheit, dass S(t) K apple C A (t) P A (t) apple S(t) KB(t,T ), 0 apple t apple T. (1.10) 18

1.3 Optionen Beweis. Offensichtlich ist P A (t) P(t). Aus der Put-Call Parität für europäische Optionen erhalten wir C(t) P(t)=S(t) KB(t,T ) und mit Satz 1.3.3 C A (t) P A (t)=c(t) P A (t) apple C(t) P(t). Damit folgt die rechte Seite von (1.10) aus Gleichung (1.8). Für die linke Seite zeigen wir S(t)+P A (t) apple C A (t)+k. Hierbei ist C A (t)=c(t). Wir wählen eine beliebigen, aber festen Zeitpunkt t 2 (t,t ]. Für t = T erhalten wir Ausübung an Maturität, also das Auszahlungsprofil eines europäischen Puts. In der Handelsstrategie von Portfolio 1 wird man den Betrag K auf ein Bankkonto einzahlen. Dieses Bankkonto wird mit einem risikolosen aber möglicherweise zufälligem Zinssatz verzinst. Unter unserer Annahme von nichtnegativen Zinsen hat der Betrag K hat an einem späteren Zeitpunkt t > t einen gestiegenen Wert, den wir mit Kb K bezeichnen. Wir betrachten die folgenden beiden Portfolios Portfolio 1 Wert in t Wert in t 2 (t, T ] Kaufe am. Call C A (t)=c(t) C A (t)=c(t) Zahle K auf Bankkonto K Kb C(t)+K C(t)+Kb Portfolio 2 Kaufe am. Put und P A (t) (K S(t)) + übe ihn in t aus Kaufe Aktie S(t) S(t) Für den Wert von Portfolio 1 gilt im Zeitpunkt t 2 (t,t ] P A (t)+s(t) S(t)+(K S(t)) + = max{s(t),k} C(t)+Kb C(t)+K (S(t) KB(t,T )) + + K (S(t) K) + + K = max(s(t),k). Somit ist der Wert von Portfolio 1 an jedem Ausübungszeitpunkt (inklusive Maturität T ) größer oder gleich dem Wert von Portfolio 2 und somit aus Arbitragegründen auch an t. 1.3.2 Wertgrenzen für Optionen (mit bekannten Dividenden) Für eine kurze Laufzeit kann man die Dividenden recht präzise vorhersagen. Wir studieren in diesem Abschnitt den vereinfachten Fall, dass der Wert der zukünftig auszuzahlenden Dividen- 19

1. Grundlagen den (bis Maturität) bekannt ist. Eine Bewertung allgemeinerer Zahlungsströme ist Standard in der Literatur über Zinsmärkte und wir verweisen auf das tolle Buch Filipović (2009). Die Zeitpunkte an welchen Dividenden gezahlt werden seien T 1,...,T n und die zu zahlenden Dividenden D 1,...,D n. Die Summe der auf t abdiskontierten Dividendenauszahlungen ist Man erhält unmittelbar D(t,T ) := n  i=1 1 {tappleti applet }D i B(t,T i ). C(t) S(t) D(t, T ) KB(t, T ), (1.11) indem man die vorigen Ergebnisse auf S(t) D(t,T ) anwendet. Für den amerikanischen Call wird es möglicherweise optimal sein, an Dividendenzeitpunkten auszuüben, vgl. Hull (1993), Kapitel 10. Betrachten wir eine mögliche Ausübung an einem Dividendenzeitpunkt T i. Ausüben wird man nur, falls S(T i ) > K. Genau genommen, wird man direkt vor der Dividendenzahlung ausüben. Den Wert der Aktie bezeichnet man dann mit S(T i ), wobei diese Notation noch einmal explizit auf den linken Grenzwert hinweist, S(T i ) := lim t"ti S(t). Die Auszahlung durch Ausüben ist dann gerade S(T i ) K. Allerdings gilt ebenso für den Preis des Calls an T i, also nach Auszahlung der Dividende: C A (T i ) C(T i ) S(T i ) D i KB(T i,t ). Ist der Preis höher als die Auszahlung durch Ausüben, so ist es natürlich nicht optimal auszuüben. D.h. es ist nicht optimal auszuüben, falls D i apple K 1 B(T i,t ). Es lässt sich zeigen, dass im Fall D i > K 1 B(T i,t ) Ausüben immer optimal ist. 1.3.3 Optionsstrategien Aus Kombinationen von Optionen lassen sich reichhaltige Auszahlungsprofile erstellen, welche in Finanzprodukten vielfach zum Einsatz kommen. Wir stellen einige einfache Beispiele vor. Der Preis einer europäischen Option hängt von einer Reihe von Einflußgrößen ab, wie im späteren Teil der Vorlesung (Black-Scholes Modell) noch gezeigt wird. Die Abbildung 1.5 illustriert die Abhängigkeit von der Restlaufzeit und dem aktuellen Kurs der zugrunde liegenden Aktie. 20

1.3 Optionen Preis einer Call Option in t im Black Scholes Modell (K=80, r=0.03, sigma=0.2) T t=0 T t=0.25 20 T t=0.5 T t=0.75 T t=1 15 10 5 0 80 85 90 95 100 105 110 115 120 S_t Abbildung 1.5: Calls im Black-Scholes Modell mit unterschiedlichen Restlaufzeiten. Kombinationen Ein Portfolio aus europäischen Calls und Puts mit gleichen oder unterschiedlichen Merkmalen wird durch sein Auszahlungsprofil beschrieben. Es entstehen eine Vielzahl von möglichen Profilen und die Kombination aus jeweils ± Call ± Put ± Asset oder Vielfachen der genannten Positionen. Bull-Call-Spread + Call(K 1 ) Call(K 2 ) mit K 1 < K 2 Bear-Call-Spread vertausche K 1 und K 2. Straddle + Call und + Put mit gleichem K Strangle + Call(K 2 ) + Put(K 1 ) mit K 1 < K 2 Butterfly + Call(K 1 ) 2 Call(K 2 ) + Call(K 3 ). 21

1. Grundlagen C C K 1 K 2 K 1 S S C C K 1 K 2 K 1 K 2 K 3 S S Abbildung 1.6: Bull-Call-Spread, Straddle, Strangle und Butterfly. 22

2. Einperiodenmodelle zur Wertpapierbewertung Die Analyse von Finanzmärkten beginnen wir zunächst in einem Modell mit nur einer Zeitperiode. Durch rekursives Zusammensetzen erhält man im Folgenden die wichtigen Mehrperiodenmodelle. 2.1 Das Modell mit endlichen Zustandsraum Für unser Modell betrachten wir einen Wahrscheinlichkeitsraum (W, F, P). Wir gehen von zwei Zeitpunkten aus, welche wir mit 0 und T bezeichnen. Der Handel von Wertpapieren findet zu Beginn der Periode, also an t = 0 statt. Die Wertpapiere werden bis zum Zeipunkt T gehalten und dann verkauft. Die entstehenden Gewinne bzw. Verluste sind zufällig. Wir werden vektorwertige Zufallsvariablen an den Zeitpunkten 0 und T betrachten und schreiben deswegen S =(S 1,...,S N ) > für einen Vektor S; S 0 und S T sind die Werte eines stochastischen Prozesses an 0 und T, so dass S 0 =(S 1 0,...,SN 0 )> gilt. Für Vektoren, die nicht die Werte von stochastischen Prozessen sind schreiben klassisch (x 1,...,x k ) >. Wir nehmen an, dass es nur endliche viele Zustände gibt und W = {w 1,...,w K }. Obwohl dies eine starke Vereinfachung ist, werden wir in der Lage sein, alle wichtigen Resultate in ausreichender Tiefe, allerdings ohne hohen technischen Aufwand, zu diskutieren. Wir nehmen darüber hinaus an, dass P({w k }) > 0für alle k 2{1,...,K}. Wir können jede Zufallsvariable auf einem endlichen Grundraum mit dem Vektor der angenommenen Werte X k := X(w k ),1apple k apple K identifizieren. Somit ist diese Zufallsvariable durch einen K-dimensionalen Vektor Xgegeben, was wir im Folgenden manchmal nutzen werden. Marktteilnehmer können zur Zeit 0 Wertpapiere kaufen und an T verkaufen. Eine andere Möglichkeit, Geld zu transferieren gibt es nicht. Wir nehmen an, dass N Wertpapiere gehandelt werden. Die Auszahlung des n-ten Wertpapiers ist eine Zufallsvariable, welche wir mit S n T bezeichnen. Ihr Wert im Zustand w k ist S n T (w k ), 1 apple n apple N,1 apple k apple K. 23

2. Einperiodenmodell Die Auszahlungsmatrix fasst die Auszahlungen aller Wertpapiere in allen möglichen Zuständen zusammen und ist eine K N Matrix, welche wir mit D bezeichnen, gegeben durch 0 ST 1 B (w 1) ST N(w 1 1) D = @.... C. A. ST 1 (w K) ST N(w K) Die Matrix D ist eindeutig durch die Zufallsvariable S T beschrieben und umgekehrt, so dass wir beide synonym verwenden. Zur Zeit 0 entscheidet der Investor, welche Wertpapiere sie kaufen will. Auch negative Positionen sind erlaubt, sogenannte Leerverkäufe (short-selling), d.h. ein Marktteilnehmer hat die Möglichkeit in Wertpapieren negative Positionen zu beziehen. Ebenso kann er beliebig stückeln und beispielsweise 1/3 Aktien kaufen. Formal beschreiben wir die Position eines Investors durch einen Vektor q =(q 1,...,q N ) > 2 R N. Dabei ist q n die Anzahl der n-ten Wertpapiere im Portfolio. Ist q n < 0 spricht man von einer Short Position in Wertpapier n, im Fall q n > 0 entsprechend von einer Long Position. Erreichbare Auszahlungen und Marktvollständigkeit. Die Auszahlung oder der Wert des Portfolios q ist wieder eine Zufallsvariable, welche wir mit V q T bezeichnen. Der Wert des Portfolios an T ist gegeben durch die Summe der einzelnen Auszahlungen, also V q N T = Â q n ST n = hq, Ai. n=1 Definition 2.1.1. Ein bedingter Anspruch ist eine Zufallsvariable X. Sie heißt erreichbar, falls ein Portfolio q existiert, so dass X = V q T. Das Portfolio q heißt Replikationsportfolio von X. Im Englischen spricht man bei einer bedingten Auszahlung von einem Contingent Claim. Ein erreichbarer bedingter Anspruch lässt sich also exakt durch ein Portfolio von Wertpapieren nachbilden. Das ist zum Beispiel für jedes gehandelte Wertpapier selbst der Fall. B 2.1 Binomialmodell: Wir betrachten ein Modell mit zwei Wertpapieren, Nullkuponanleihe und Aktie. Es gebe zwei Möglichkeiten für den Aktienkurs in T, und zwar 120 und 180. Die Auszahlungsmatrix ist somit gegeben durch D = 1 180, 1 120 24

2.2 Arbitragefreiheit wobei die erste Spalte der Auszahlung der Nullkuponanleihe und die zweite Spalte der Auszahlung der Aktie entspricht. Es soll eine Call Option auf die Aktie mit Ausübungspreis K = 150 und Fälligkeit T bewertet werden. Der zugehörige Auszahlungsvektor ist C =(30,0) >. Die Auszahlung des Calls ist erreichbar, falls das lineare Gleichungssystem Dq = C eine Lösung hat, d.h. falls es q 1,q 2 gibt, die das Gleichungssystem q 1 + 180q 2 = 30 q 1 + 120q 2 = 0 lösen. Dies ist der Fall für q 1 = 60, q 2 = 1/2. Wir erhalten in der Tat ein Replikationsportfolio durch eine Short Position von 60 Nullkuponanleihen und eine Long Position von 0.5 Aktien. B 2.2 Trinomialmodell: Nun betrachten wir drei Möglichkeiten für den Wert der Aktie an T : 120, 150 und 180. Die Auszahlungsmatrix hat in diesem Fall folgende Form: 0 1 1 180 D = @ 1 150A 1 120 und der Call hat in T die Auszahlung C =(30,0,0) >. Das Gleichungssystem Dq = C hat in diesem Fall keine Lösung: q 1 + 180q 2 = 30 (2.1) q 1 + 150q 2 = 0 (2.2) q 1 + 120q 2 = 0. (2.3) Aus dem vorigen Beispiel wissen wir, dass (2.1) und (2.3) auf q 1 = 60,q 2 = 1/2 führen. Setzen wir diese Werte in (2.2) ein, so erhalten wir 60 + 1/2 150 = 60 + 75 6= 0. Der Call ist also nicht erreichbar. Definition 2.1.2. Ein Markt heißt vollständig, falls jede bedingte Auszahlung erreichbar ist. Remark 2.1.1. Da der Rang einer Matrix gleich der Dimension des Bildraums ist, ist ein Modell mit Auszahlungsmatrix D genau dann vollständig, wenn der Rang von D gleich K ist. Insbesondere muss also N K gelten, d.h. es gibt mindestens so viele handelbare Wertpapiere wie Zustände (Elementarereignisse). 2.2 Arbitragefreiheit In diesem Abschnitt wird der Begriff Arbitrage präzise definiert und Kriterien bestimmt, die einen arbitragefreien Markt charakterisieren. 25

2. Einperiodenmodell 2.2.1 Arbitragefreiheit und Martingalmaße Für den Kauf von Wertpapieren zur Zeit 0 ist ein jeweils ein Preis zu zahlen. Wir bezeichnen den Preis des n-ten Wertpapiers mit S n 0,1apple n apple N. Der Vekor S 0 =(S 1 0,...,SN 0 )> fasst diese zusammen. Der Preis eines Portfolios q bzw. sein Wert im Zeitpunkt 0 ist gerade V q N 0 := hs 0, qi = Â S0 n q n. (2.4) n=1 In dieser Modellstruktur ist ein Markt vollständig durch das Paar (S 0, S T ) oder durch den stochastischen Prozess S =(S 0, S T ) beschrieben. Uns interessiert nun die Frage, welche Preisvektoren bei gegebener Auszahlungsmatrix keine Arbitrage zulassen. Mit h, i bezeichnen wir das Skalarprodukt im R N. Definition 2.2.1. Eine Arbitragemöglichkeit ist ein Portfolio q, so dass (i) V q 0 = hs 0, qiapple0, (ii) V q T = hs T, qi 0, (iii) entweder ist V q 0 < 0, oder es gibt ein k 2{1,...,K} mit V q T (w k ) > 0. Ein Markt heißt arbitragefrei, wenn es keine Arbitragemöglichkeit gibt. Eine Arbitragemöglichkeit ist demnach ein Portfolio, für welches zunächst der Preis Null oder negativ und die Auszahlung Null oder positiv ist. Allerdings ist entweder der Kaufpreis echt verschieden von Null oder der Wert an T mit positiver Wahrscheinlichkeit echt positiv. Risikolose Portfolios. Gibt es auf dem Markt ein Portfolio q welches die Auszahlung 1 erreicht, also V q T = 1, so nennen wir das Portfolio risikolos und normiert (Vielfache hiervon nennen wir einfach risikolos). Existiert ein derartiges Portfolio, so ist der Preis der Nullkuponanleihe in t = 0 durch B(0,T )=hs 0, qi = e rt gegeben, so dass wir einen Einperiodenzinssatz r durch die Gleichung r = 1 T ln(hs 0, qi) erhalten. Ein Markt mit risikolosen Wertpapier ist durch das Paar (S, r) beschrieben und wir betrachten in diesem Abschnitt stets einen solchen Markt. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q heißt äquivalent zu P falls Q(A)=0 genau dann gilt, wenn P(A)=0für alle A 2 F. 26

2.2 Arbitragefreiheit Definition 2.2.2. Ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß Q heißt risikoneutral für den Markt (S,r), falls für jede erreichbare Auszahlung X = V q T gilt, dass 1 V q 0 = e rt E Q [V q T ]. (2.5) Die Bewertungsregel (2.5) heißt risikoneutrale Bewertungsregel. Das risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaß wird oft auch als Martingalmaß bezeichnet, da die abdiskontierten Auszahlungen der gehandelten Wertpapiere unter Q Martingale sind, was wir im Mehrperiodenmodell noch zeigen werden. Die Wahrscheinlichkeiten Q({w k }) sind durch die Marktstruktur (S 0 und S T ) festgelegt und sind typischerweise verschieden von den realen Eintrittswahrscheinlichkeiten der Zustände, P({w k }). Der Name risikoneutral kommt daher, dass diese Wahrscheinlichkeiten gerade den Erwartungen eines risikoneutralen Investors entsprechen, die mit dem Preissystem S in Einklang stehen. Die risikoneutrale Bewertungsregel erlaubt es, Preise erreichbarer Auszahlungen analog zu aktuariellen (versicherungsmathematischen) Bewertungsregeln als Erwartungswert der abdiskontierten Endauszahlung zu berechnen. Im Unterschied zu einer aktuariellen Bewertung wird allerdings mit dem risikoneutralen Maß Q und nicht mit dem realen Maß P gearbeitet. Lemma 2.2.1. Ein zu P äquivalentes Maß Q ist genau dann risikoneutral, falls Beweis. Zunächst folgt aus (2.6), dass V q 0 = S n 0 = e rt E Q [S n T ], 1 apple n apple N. (2.6) N Â n=1q n S0 n N = Â q n e rt E Q [ST n ]=e rt E Q [hq, S T i]=e rt E Q [V q T ] n=1 und Q ist risikoneutrales Maß. Umgekehrt erhalten wir aus (2.5) direkt (2.6) wenn für q die Einheitsvektoren auf dem R n gewählt werden. Das folgende Resultat ist der 1. Hauptsatz der Wertpapierbewertung. Wie zuvor betrachten wir einen Markt mit risikolosem Wertpapier (S,r). Theorem 2.2.2. Der Markt (S,r) ist genau dann arbitragefrei, falls ein risikoneutrales Maß Q existiert. Wir beweisen in dem Kapitel über Mehrperiodenmodelle einen deutlich allgemeineren Satz und verweisen an dieser Stelle darauf. 1 Mit E Q [ ]= R dq bezeichen wir den Erwartungswert unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß Q. 27

2. Einperiodenmodell B 2.3 Arbitragefreiheit: Wir betrachten einen Wertpapiermarkt mit 3 Wertpapieren und 2 Zuständen auf dem 0 1 1 S 0 = @ 1 180 30 150A, D = 1 120 0 15 gilt. Zunächst erhalten wir aus dem ersten Wertpapier r = 0. Wir wollen zeigen, dass der durch (S,r) gegebene Wertpapiermarkt arbitragefrei ist. Nach dem ersten Hauptsatz, Satz 2.2.2 müssen wir zeigen, dass es ein äquivalentes risikoneutrales Maß gibt. Wir verwenden Gleichung (2.6) und erhalten 150 = 180q + 120(1 q) 15 = 30q + 0(1 q) mit den Wahrscheinlichkeiten q = Q({w 1 }) und 1 q = Q({w 2 }). Mit q = 1/2 ist das Gleichungssystem gelöst und der Markt ist demnach frei von Arbitrage. Bemerkenswert ist, dass es nur genau ein risikoneutrales Maß gibt. Bewertung von erreichbaren Auszahlungen. Für eine erreichbare Auszahlung gibt es stets ein Replikationsportfolio q. Der folgende Satz zeigt, dass in einem arbitragefreien Markt der Preis der erreichbaren Auszahlung eindeutig gegeben ist durch den Preis des Replikationsportfolios. Proposition 2.2.3. Sei (S,r) ein arbitragefreier Markt mit N Wertpapieren und ST N+1 := V q T eine erreichbare Auszahlung mit Replikationsportfolio q. Wir definieren S T =(S T,ST N+1 ) und S 0 =(S 0,S0 N+1 ) >. Der Markt ( S 0, S T,r) ist arbitragefrei genau dann, wenn S N+1 0 = V q 0 = hq, S 0 i. Beweis. Ist (S,r) arbitragefrei, so existiert ein risikoneutrales Maß Q. Da S0 N+1 N = hq, S 0 i = Â q n e rt E Q [ST n ] n=1 = e rt E Q hq, S T i = e rt E Q [ST N+1 ], ist Q auch risikoneutrales Maß für den Markt ( S 0, S T,r). Ist umgekehrt ( S 0, S T,r) arbitragefrei, so existiert ein risikoneutrales Maß Q, so dass nach Lemma 2.2.1 S n 0 = e rt E Q [S n T ], 1 apple n apple N + 1, also insbesondere gilt diese Gleichung für 1 apple n apple N und somit ist Q auch risikoneutrales Maß für (S 0,S T,r) und die Behauptung folgt. 28

2.3 Vollständigkeit Zeigen Sie als Übungsaufgabe, dass die Menge der äquivalenten risikoneutralen Maße konvex ist. 2.3 Vollständigkeit Gemäß Definition 2.1.2 heißt ein Markt vollständig, wenn jede bedingte Auszahlung erreichbar ist. Wir werden sehen, dass dies gleichbedeutend mit der Eindeutigkeit des risikoneutralen Maßes ist. Dies ist der 2. Hauptsatz der Wertpapierbewertung. Theorem 2.3.1. Sei (S, r) ein arbitragefreier Markt. Diseser Markt vollständig genau dann, wenn es nur ein risikoneutrales Maß gibt. Den Beweis des Theorems werden wir im nächsten Abschnitt führen. B 2.4 Trinomialmodell: Wir betrachten das Modell aus Beispiel 2.1, 0 1 1 180 S T = @ 1 150A 1 und S 0 =. 150 1 120 Wie gezeigt, handelt es sich um einen unvollständigen Markt und im folgenden bestimmen wir alle Martingalmaße: 180q 1 + 150q 2 + 120(1 q 1 q 2 )=150, q 1, q 2 2 (0,1). Alle Lösungen erfüllen 2q 1 + q 2 = 1, und somit erhalten wir alle Martingalmaße durch Q({w 2 })=1 2Q({w 1 }) mit Q({w 1 }) 2 (0,0.5) und Q({w 3 })=1 Q({w 1 }) Q({w 2 }). Fügen wir einen Call hinzu, etwa mit Preis 15 und Auszahlung (30,0,0) > so ist der Markt vollständig! 2.4 Unvollständige Märkte In diesem Kapitel betrachten wir einen unvollständigen arbitragefreien Markt mit risikolosem Wertpapier. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass das erste Wertpapier eine Nullkuponanleihe ist, d. h. S0 1 = e rt und ST 1 = 1. Für eine nicht erreichbare bedingte Auszahlung X (etwa eine Option) stellen sich zwei Fragen. 29

2. Einperiodenmodell Wie kann ein Verkäufer das mit dem Verkauf von X verbundene Risiko durch Wahl eines geeigneten Portfolios q reduzieren oder ganz absichern? Man spricht von Absicherung eines Derivats (Hedging). Für erreichbare Auszahlungen ist der Preis eindeutig. Können für nicht erreichbare Auszahlungen zumindest Preisschranken angegeben werden? 2.4.1 Preisschranken Wir beginnen mit der zweiten Fragestellung. Hier haben wir folgendes, allgemeines Ergebnis. Mit M := {Q P : Q ist risikoneutral} bezeichnen wir die Menge aller risikoneutralen Maße. Für einen bedingten Anspruch X definieren wir X := sup E Q [X] und X := inf Q2M Q2M EQ [X] und die Menge der arbitragefreien Preise, P(X) := n e rt E Q [X] : Q 2 M o. Wie in Satz 2.2.3 folgt, dass jeder Preis in P(X) zu einem arbitragefreien Markt erweitert um das Wertpapier X führt. Proposition 2.4.1. Sei (S, r) ein arbitragefreier Markt und X eine bedingte Auszahlung. Ist X nicht erreichbar, so gilt X < X und kein Preis in dem offenen Intervall (X,X) ermöglicht eine Arbitrage. Beweis. Zunächst einmal ist die Menge M der risikoneutralen Maße konvex und nicht leer. Damit ist P(X) ebenfalls konvex und nicht leer, also ein Intervall mit den Grenzen X und X. Das Intervall ist offen, falls die Randpunkt nicht in ihm enthalten sind, was wir nun zeigen. Der Markt besitzt ein risikoloses Wertpapier. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass S 1 T 1. Dann ist nach Definition S1 0 = e rt. Wir nutzen einfache Hilfsmittel aus der linearen Algebra und stellen eine Zufallsvariable jeweils als Vektor dar. Ist X nicht erreichbar, so gilt X 6= Dq für alle q 2 R N. Dann existiert aber die Projektion von X auf den von Dq aufgespannten linearen Raum L = {Dq : q 2 R N }, also ein q 0, so dass Y := X Dq 0? L. Damit ist hy,dqi = hd > Y, qi = 0für alle q 2 R N, also D > Y = 0. 30

2.4 Unvollständige Märkte Ziel ist es ein neues risikoneutrales Maß zu konstruieren. Zunächst definieren wir q durch q k := Q({w k }) und wählen b > 0 so klein, dass w k := q k + by k > 0, 1 apple k apple K; da Q({w k }) > 0für alle k 2{1,...,K} ist dies möglich. Dann gilt D > w = D > (q + by )=D > q = S 0. Außerdem gilt, dass S 1 T (w k)=1 und S 1 0 = e rt, so dass K Â ST 1 (w k )w k = Â w k = e rt. k=1 k=1 Wir erhalten, dass durch Q 0 ({w k }) := w k e rt ein von Q verschiedenes risikoneutrales Maß definiert ist. Der Preis von X unter Q 0 ist verschieden vom Preis unter Q, wie man leicht nachrechnet. Nun können wir den Beweis des 2. Hauptsatzes direkt anschließen. von Theorem 2.3.1. Wir zeigen zunächst, dass Vollständigkeit die Eindeutigkeit des risikoneutralen Maßes impliziert. Der Markt ist arbitragefrei, also existiert mindestens ein risikoneutrales Maß Q. Ist das Modell vollständig, so ist 1 F ein erreichbarer Anspruch für alle F 2 F. Es existiert demnach ein q, so dass 1 F = hq,s T i. Nach Satz 2.2.3 is der eindeutige Preis von 1 F gegeben durch e rt Q(F)=hq, S 0 i. Die rechte Seite hängt aber gar nicht von Q ab, und somit muss für jedes risikoneutrales Maß Q 0 gelten, dass Q(F)=Q 0 (F), F 2 F und wir erhalten Q = Q 0, also ist Q eindeutig. Um die Rückrichtung zu zeigen, nehmen wir an, dass es nur ein riskoneutrals Maß Q gibt. Angenommen, es gibt einen nicht erreichbaren bedingten Anspruch X. Nach dem ersten Hauptsatz ist der einzige arbitragefreie Preis von X gegeben durch e rt E Q [X]. Nach Satz 2.4.1 kann X dann aber nicht erreichbar sein und wir sind fertig. Es gibt eine Reihe von sinnvollen und interessanten Ansätzen zur Bestimmung von Absicherungsstrategien, durch die das mit dem Verkauf einer bedingten Auszahlung verbundene Risiko vermindert werden kann. Im folgenden werden wir zwei derartige Ansätze diskutieren, Superreplikation und das sogenannte quadratische Hedging. 31

2. Einperiodenmodell 2.4.2 Superreplikation In der folgenden Definition verallgemeinern wir den Begriff der Erreichbarkeit. Definition 2.4.1. Gegeben sei eine bedingte Auszahlung X. Eine Superreplikation von X ist ein Portfolio q, so dass V q T X. Der Preis der Supperreplikationsstrategie ist hs 0, qi. Bemerkenswert ist, dass für eine nicht erreichbare Option das mit dem Verkauf verbundene Risiko vollständig eliminieren werden kann, wenn man einer Superreplikationsstrategie q folgt. Unter Umständen sind die Kosten hierfür allerdings sehr hoch, sie sind durch den Wert V q 0 gegeben. B 2.5 Superreplikation: Im Kontext von Beispiel 2.4 ist eine mögliche Superreplikation für die Auszahlung X =(30,0,0) 0 (Call-Option auf die Aktie mit K = 150) durch q =( 120,1) mit Preis 120 + 150 = 30 gegeben. Es gilt 0 1 0 1 60 Dq = @ 30A 0 Gibt es eine günstigere Superreplikation? 30 @ 0 A. 0 2.4.3 Kostenminimale Superreplikationsportfolios. In diesem Abschnitt suchen wir ein Superreplikationsportfolio welches minimale Kosten hat. Die Bestimmung eines kostenminimierenden Superreplikationsportfolios für den bedingten Anspruch X ist gegeben durch die Lösung des folgenden linearen Optimierungsproblems: minhs 0, qi für alle q, so dass Dq X (PP) Wir werden im folgenden die Dualitätstheorie der linearen Optimierung auf dieses Problem anwenden. Insbesondere wird sich zeigen, dass das duale Problem auf eine intuitive ökonomische Charakterisierung der Superreplikationskosten führt. Das duale Problem zu (PP) hat die Form max f hf, Xi für alle f 0, so dass D0 f = S 0 ; (DP) siehe etwa Kapitel 4 von Bertsimas and Tsitsiklis (1997) oder.... Die schwache Dualität bietet eine unmittelbare Abschätzung für Lösungen von (DP) und (PP). Demnach gilt für zwei zulässige Lösungen q und f immer f 0 X apple S 0 q. Bei Gleichheit erhält man zwingend Optimalität - vorab könnte aber auch echte Ungleichheit gelten. 32

2.4 Unvollständige Märkte Lemma 2.4.2 (schwache Dualität). Sei q zulässig in (PP) und f zulässig in (DP). Dann gilt hf, XiapplehS, qi. Beweis. Da f 0 und Dq X folgt f 0 X apple f 0 Dq =(D 0 f) 0 q = S 0 q. Tatsächlich gilt aber viel mehr. Satz 2.4.3 (Dualitätssatz). Falls für (PP) oder für (DP) eine Lösung existiert, so sind die beiden linearen Programme lösbar, und die Optimalwerte der Zielfunktion stimmen überein. Dies ist insbesondere der Fall, wenn die zulässigen Bereiche von (PP) und von (DP) beide nicht leer sind. Überraschend ist, das unter No-Arbitrage immer gilt, dass eine Lösung der beiden Probleme existiert. Lemma 2.4.4. In einem arbitragefreien Markt (S, r) haben (DP) und (PP) eine Lösung, und die Werte der Zielfunktion stimmen überein. Beweis. Der zulässige Bereich von (DP) ist nicht leer: Das Modell ist arbitragefrei und somit existiert ein risikoneutrales Maß Q. Setzen wir q k := Q({w k }) > 0, 1 apple k apple K, so gilt S 0 = e rt Dq für den Vektor q 0 =(q 1,...,q K ) und somit ist e rt q zulässig für (DP). Der zulässige Bereich von (PP) ist ebenfalls nicht leer, da D 1 =(1,...,1) 0 und somit l D 1 X für l genügend groß. Also haben (PP) und (DP) eine Lösung, und die Zielfunktionswerte stimmen nach dem Dualitätssatz, Satz 2.4.3, überein. Der kostenminimale Superhedgingpreis ist gerade die obere Grenze des No-Arbitrage-Intervalls P(X), wie folgender Satz zeigt. Satz 2.4.5. Sei (S,r) ein arbitragefreier Markt. Dann gibt es zu jeder Auszahlung X eine kostenminimale Superreplikationsstrategie q. Die Superreplikationskosten sind gegeben durch n o sup e rt E Q [X] : Q 2 M. (2.7) Beweis. Zunächst einmal ist (2.7) kleiner oder gleich der Lösung des dualen Problems: Mit f gegeben durch q k = Q(w k )e rt, 1 apple k apple K für ein risikoneutrales Maß Q 2 M folgt, dass D 0 f = S 0, also ist f zulässig für (DP). Wir zeigen, dass das Supremum die optimale Lösung erreicht: Sei f eine Lösung von (DP), so dass S 0 = e rt Df e rt. Gilt q 0 := fe rt > 0, so erhält man durch Q 0 ({w k })=q 0 k ein risikoneutrales Maß und wir sind fertig. Sind eine oder mehrere Komponenten von q 0 gleich Null, so ist Q 0 nicht äquivalent zu P. Wir konstruieren 33

2. Einperiodenmodell ein risikoneutrales Maß wie folgt: Nach Lemma 2.4.4 gibt es ein strikt positives f > 0, welches zulässig ist, also D 0 f = S 0. Definiere f e :=(1 e)f +ef. Dann ist f e > 0, und es gilt D 0 f e = (1 e)d 0 f + ed 0 f = S 0, d.h. f e ist zulässig für (DP) und wie oben gibt es ein zugehöriges Maß Q e 2 M. Die Behauptung folgt, da lim e rt E Q e [X]=lim f 0 e X = hf, S 0 i. e!0 e!0 Bemerkung 2.4.1. Die minimalen Superreplikationskosten entsprechen also gerade der oberen Preisschranke aus Proposition 2.4.1. Man kann analog zeigen, dass die untere Preisschranke aus Proposition 2.4.1 gerade dem Negativen der Superreplikationskosten für die Auszahlung X entspricht. In Anwendungen ist das Optimierungsproblem (DP) oft leichter lösbar. Mit Hilfe des folgenden Resultats kann bei bekannter Lösung f des (DP) ein kostenminimierendes Superreplikationsportfolio berechnet werden. Proposition 2.4.6. Sei q zulässig in (PP) und f zulässig in (DP). Dann sind äquivalent (i) Es gilt f 0 (X Dq)=0. (ii) f ist eine Lösung von (DP) und q eine Lösung von (PP). Beweis. (i))(ii). Gilt (i) so sieht man unmittelbar, dass in der schwachen Dualität (Lemma 2.4.2) Gleichheit gelten muss, woraus (ii) unmittelbar folgt. (ii) )(i). Ist f eine Lösung von DP und q eine Lösung von (PP), so stimmen nach dem Dualitätssatz die Werte der Zielfunktion beider Optimierungsprobleme überein und wir erhalten wie in Lemma 2.4.2, dass S 0 0q = f 0 X apple f 0 Dq =(D 0 f) 0 q = S 0 0q. Es folgt, dass f 0 X = f 0 Dq und somit (i). Sei nun f eine nicht-degenerierte Lösung des (DP), d.h. N Komponenten 1 apple k 1 < < k N apple K von f seien echt positiv (dies ist der typische Fall). Nach Proposition 2.4.6 müssen also für ein kostenminimales Portfolio q die N Gleichungen (Dq) kn = W kn 1 apple n apple N, (2.8) erfüllt sein. Das lineare Gleichungssystem (2.8) besteht aus N Gleichungen und N Unbekannten; es kann zur Berechnung eines optimalen Portfolios verwendet werden wie wir in folgendem Beispiel illustrieren. 34

2.4 Unvollständige Märkte B 2.6 Fortsetzung: Wieder betrachten wir den Markt mit Auszahlungsmatrix 0 1 0 1 1 180 30 D = @ 1 150A, X = @ 1 0 A, S 0 =. 150 1 120 0 Die Menge der Zustandspreise wurden bereits in Beispiel 2.4 bestimmt. Wir bestimmen deshalb unmittelbar eine Lösung des (DP) und erhalten n o sup{f 0 X, f > 0, S = D 0 f} = sup a30 +(1 2a)0 + 0, a 2 (0, 1/2) = 1 30 = 15. 2 Der zugehörige degenerierte Vektor von Zustandspreisen ist f =( 1 2,0, 1 2 )0. Zur Bestimmung des kostenminimalen Superreplikationsportfolios q verwenden wir das Gleichungssystem (2.8); da f2 = 0, besteht dieses System aus den 2 Gleichungen q 1 + 180q 2 = 30, und q 1 + 120q 2 = 0; die Lösung ist durch q 1 = 60,q 2 = 1 2 gegeben. Die zugehörigen kostenminimalen Superreplikationskosten sind 60 + 1 2150 = 15 und stimmen - wie in Satz 2.4.5 gezeigt - mit der oberen Preisschranke für X aus Proposition 2.4.1 überein. 35

3. Mehrperiodenmodelle In diesem Kapitel verallgemeinern wir das bisher betrachtete Modell auf mehrere Perioden. 3.1 Modell und grundlegende Begriffe Wie zuvor betrachten wir einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum (W, F, P) mit W <, und P({w}) > 0für alle w 2 W. Dazu betrachten wir die Handelszeitpunkte T = {0,1,...,T } und eine Filtration F =(F t ) t2t. Die s-algebra F t beschreibt die Information, die den Marktteilnehmern zum Zeitpunkt t zur Verfügung steht 1. Wir nehmen an, dass am Zeitpunkt 0 noch keine Information vorhanden ist, also F 0 = {/0,W}. An T steht die volle Information zur Verfügung und es gilt F T = F. Wertpapiere und Handelsstrategien. Auf dem betrachteten Markt werden d + 1 Wertpapiere gehandelt, deren Preisprozesse wir mit S =(S 0,...,S d ) bezeichnen, S i t(w) stellt also den Preis der i-ten Aktie zur Zeit t im Zustand w dar. Wir nehmen an, dass S an F adaptiert ist. Das 0-te Wertpapier wird zum diskontieren verwendet und wir nehmen deswegen an, dass S 0 > 0 gilt (St 0 (w) > 0für alle t 2 T und w 2 W). Zur einfacheren Darstellung setzen wir noch S0 0 = 1 voraus. Dieses Wertpapier nennen wir Numéraire. Es spielt eine ausgezeichnete Rolle in den betrachteten Handelsstrategien: man nimmt an, dass das Numéraire eine beliebig hohe Liquidität besitzt. Zusammenfassend werden wir im Folgenden stets diesen Markt, beschrieben durch betrachten. {(W,F,P),F,S} (3.1) 1 Eine Filtration ist eine Familie von wachsenden s-algebren, so dass F 0 F 1 F. Ein stochastischer Prozess X ist eine Familie von Zufallsvariablen X =(X t ) t2t. X heißt F-adaptiert, falls X t F t -messbar ist. Er heißt F-vorhersehbar, falls X t sogar F t 1 -messbar ist. Bei uns ist die Filtration meist aus dem Zusammenhang klar, und wir sagen einfach adaptiert oder vorhersehbar. 36

3.1 Modell und grundlegende Begriffe Definition 3.1.1. Eine Handelsstrategie ist ein (d + 1)-dimensionaler stochastischer Prozess q, der vorhersehbar ist. Der Wertprozess der Strategie q ist W q t = hq t, S t i, t 2 T. Die Interpretation einer Handelsstrategie ist subtil: Der Wert q i t gibt die Anzahl der i-ten Wertpapiere an, die zur Zeit t 1 gekauft und über den Zeitraum (t 1,t) gehalten werden. Vorhersehbarkeit ist deswegen natürlich: zur Zeit t 1dürfen nur Informationen aus F t 1 verwendet werden. An t können neue Käufe oder Verkäufe getätigt werden und so weiter. Definition 3.1.2. Eine Handelsstrategie q heißt selbstfinanzierend, falls hq t, S t i = hq t+1, S t i, 0 apple t apple T 1. (3.2) Gleichung (3.2) bedeutet, dass dem Portfolio zu keinem Zeitpunkt Geldmittel zugeführt oder entnommen werden. Wir definieren das diskrete stochastische Integral q S von q bezüglich S durch folgenden stochastischen Prozess: (q S) t := t  u=1 hq u, S u S u 1 i = t  q > u DS u, t 2 T, u=1 mit der Bezeichnung DS u := S u S u 1. Es gibt folgende Charakterisierung von selbstfinanzierenden Handelsstrategien. Lemma 3.1.1. Eine Handelsstrategie q ist selbstfinanzierend genau dann, wenn W q t = W q 0 +(q S) t, 1 apple t apple T. (3.3) Der Ausdruck Gt q := (q S) t wird als Handelsgewinn der selbstfinanzierenden Strategie q bezeichnet. Das Lemma besagt, dass der Wert einer selbstfinanzierenden Strategie im Zeitpunkt t die Summe aus Anfangsinvestition und Handelsgewinne bis t ist. Beweis. Zunächst betrachten wir eine selbstfinanzierende Handelsstrategie q. Nach Definition von V q ist nach (3.2). Wir erhalten, dass W q t+1 W q t = hq t+1, S t+1 i hq t, S t i = hq t+1, S t+1 i hq t+1, S t i, (3.4) W q t+1 = W q t + hq t+1,ds t+1 i, (3.5) also (3.3). Umgekehrt folgt aus (3.3) die Darstellung (3.5). Durch Gleichsetzen von (3.5) und (3.4) erhalten wir hq t+1, S t+1 i hq t+1, S t i = hq t+1,ds t+1 i, also (3.2) und q ist selbstfinanzierend. 37

3. Mehrperiodenmodelle 3.1.1 Diskontierte Größen Der Übergang zu diskontierten Größen vereinfacht die Handhabung des Modells wesentlich. Wir diskontieren mit dem Numéraire S 0 und definieren den d-dimensionalen diskontierten Preisprozess X durch seine Komponenten Xt i := Si t St 0, t 2 T mit i = 1,...,d. Der diskontierte Wertprozess einer Strategie q berechnet sich zu V q t := W t q St 0 = q 0 t + hq t, X t i, wobei wir die Konvention hq t, X t i =  d i=1 q i t X i t nutzen. Analog zu Lemma 3.1.1 erhält man Lemma 3.1.2. Eine Strategie q ist selbstfinanzierend genau dann, wenn V q t = V q 0 +(q X) t, 1 apple t apple T. Beweis. Wir erhalten für eine selbstfinanzierende Handelsstrategie, dass V q t+1 V q t = q 0 t+1 q 0 t + 1 S 0 t+1 = 1 St+1 0 hq t+1, S t+1 i = 1 St+1 0 hq t+1, S t+1 i = = d  i=0 d  i=1 d  i=1 q i t+1 (X i t+1 X i t ) q i t+1 (X i t+1 X i t ), und die Behauptung folgt wie in Lemma 3.1.1. q i t+1 Si t+1 1 hq t, S t i S 0 t 1 hq t+1, S t i Bemerkung 3.1.1. Da X 0 1, ist (q,x) unabhängig von q 0. Somit legt die Wahl von V 0 und (q 1,...,q d ) eindeutig die Position im Numéraire S 0 fest, sobald q selbstfinanzierend ist. Umgekehrt kann bei gegebenem V 0 jede Strategie (q 1,...,q d ) durch geeignete Wahl von q 0 auf eindeutige Weise zu einer selbstfinanzierenden Strategie ergänzt werden: Man wählt Man sieht leicht, dass q 0 vorhersehbar ist. S 0 t q 0 t = V 0 +(q X) t hq t, X t i. 1 S 0 t d  i=1 q i t S i t 38

3.2 Der erste Hauptsatz 3.2 Der erste Hauptsatz Ein stochastischer Prozess X für den E[ X t ] < für alle t 2 T gilt und E[X t+1 F t ]=X t, 0 apple t apple T 1, heißt Martingal, oder P-Martingal bzw. F-Martingal, falls der Bezug zu dem Maß P oder der Filtration F hervorgehoben werden soll. Der Begriff Martingal hat französische Wurzeln und wurde in der Provence für eine Spielstrategie verwendet, die stets verdoppelt 2. Definition 3.2.1. Eine selbstfinanzierende Handelsstrategie q heißt Arbitrage, falls V q 0 apple 0, V q T 0 und P V q T > 0 > 0. Die Definition mit diskontierten Wertprozessen ist äquivalent zu derjenigen mit undiskontierten Wertprozessen: Da S 0 > 0 ist, gilt VT q 0 genau dann, wenn WT q 0. Ebenso gilt P(VT q > 0) > 0 genau dann, wenn P(W T q > 0) > 0. Ein Markt heißt arbitragefrei, falls keine Arbitragemöglichkeiten existieren. Wir sagen dann auch, er erfüllt die No-Arbitrage-Bedingung (NA). Für Q ist äquivalent zu P schreiben wir kurz: Q P. Für die Charakterisierung von Martingalen in unserem (recht einfachen) Fall gibt es folgendes Hilfsmittel. Lemma 3.2.1. Der Prozess X ist genau dann ein Martingal, falls für jeden vorhersehbaren Prozess q gilt, dass E (q X) T = 0. Beweis. Da W <, ist (q X) stets beschränkt und es gilt, dass E[(q X) t F t 1 ]=(q X) t 1 + q t E[DX t F t 1 ]. Ist X ein Martingal, so verschwindet der letzte Summand und (q X) ist ebenfalls ein Martingal. Umgekehrt betrachten wir ein festes t und F 2 F t 1 und wählen q t = 1 F und q s = 0für s 2 T \{t}. Dann ist q ein vorhersehbarer Prozess und also X ein Martingal. E[1 F X t+1 ]=E[1 F X t ], Definition 3.2.2. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q heißt äquivalentes Martingalmaß, falls Q P und E Q X t+1 F t = Xt, 1 apple t apple T 1. (3.6) 2 Eine hervorragende historische Aufarbeitung findet sich in Mansuy (2009). 39

3. Mehrperiodenmodelle Ein äquivalentes Martingalmaß Q nennt man oft auch risikoneutrales Maß. Unter Q sind die diskontierten Preisprozesse aller gehandelten Wertpapiere Martingale. Dies gilt auch für die diskontierten Wertprozesse selbstfinanzierender Handelsstrategien, wie das folgende Resultat zeigt. Lemma 3.2.2. Sei Q ein äquivalentes Martingalmaß. Dann ist der diskontierte Wertprozess einer selbstfinanzierenden Handelsstrategie ein Q-Martingal. Beweis. Da q selbstfinanzierend ist, folgt aus Lemma 3.1.2 und somit gilt E Q [V q t F t V q t = V q t 1 + hq t,dx t i 1 ]=Vt q 1 + q t > E Q [X t X t 1 F t 1 ] = Vt q 1, denn q t ist vorhersehbar, also F t 1 -messbar, und E Q [DX t F t 1 ]=0, da X ein Q-Martingal ist. Der 1. Hauptsatz der Wertpapierbewertung besagt dass Arbitragefreiheit äquivalent zur Existenz eines äquivalenten Martingalmaßes ist. Wir verwenden die Notation M = Q P : Q ist Martingalmaß. Theorem 3.2.3. Ein Markt ist frei von Arbitrage genau dann, wenn ein äquivalentes Martingalmaß existiert: (NA), M 6= /0. Wir teilen den ersten Hauptsatz in den leichten, ersten Teil und den schwierigeren zweiten Teil. Satz 3.2.4. Es gilt, dass M 6= /0 ) (NA). Beweis. Wir zeigen, dass für jede Strategie q,für welche VT q 0 und P(VT q > 0) > 0 gilt, auch V0 q > 0 gelten muss. Für eine solche Strategie folgt aus Q P, dass Q(V T q > 0) > 0. Dann ist E Q [VT q ]= Â VT q (w)q({w}) > 0, w2w da mindestens ein Summand echt größer Null ist. Schließlich ist nach Lemma 3.2.2 V q ein Q-Martingal, also gilt V q 0 = EQ [V q T ] > 0, und die Behauptung folgt. 40

3.2 Der erste Hauptsatz Nun soll die Umkehrung bewiesen werden. Wir benötigen folgende, geometrische Version des Satzes von Hahn-Banach (siehe Werner (2000), Theorem III.2.4 und Theorem III.2.4.5). Ein lineares Funktional ist eine Abbildung F : R d! R für die F(x + y) =F(x)+F(y) und F(ax)=aF(x) für alle x,y 2 R d und a 2 R gilt. Satz 3.2.5. Für einen linearen Unterraum M R d und eine konvexe, abgeschlossenen Menge C R d mit M \C = /0 existiert ein lineares Funktional F, so dass F(M)=0 und F(C) > 0. Der Satz ist eine unmittelbare Folgerung aus Theorem III.2.4.5 in Werner (2000). Satz 3.2.6. Es gilt, dass Beweis. Definiere M := C := (NA) ) M 6= /0. n o (q X) T : q ist selbstfinanzierende Handelsstrategie, n X : W 7! R : X 0, und K o  X(w k )=1. k=1 Wir können M und C mit Teilmengen von R K identifizieren, indem wir jede Zufallsvariable x : W 7! R durch den Vektor (x (w 1 ),...,x (w K )) > darstellen. Zunächst folgt aus (NA), dass M \C = /0; sonst existierte eine selbstfinanzierende Handelsstrategie, q mit (q X) T (w k ) > 0 für mindestens ein k 2{1,...,K}. Dann ist C eine konvexe, abgeschlossene und beschränkte Teilmenge von R K und M aufgrund der Linearität der Abbildung q! (q X) T ein linearer Unterraum von R K. Satz 3.2.5 nun die Existenz eines linearen Funktionals F, so dass F(m)=0 für alle m 2 M und F(c) > 0für alle c 2 C. Der letzte Schritt besteht nun in der Konstruktion des Maßes Q aus F. Mit {e 1,...,e K } seien die Einheitsvektoren auf R K bezeichnet. Dann ist e k 2 C für jedes K, und somit F(e k ) > 0. Wir setzen q k := F(e k). F(e i ) K  i=1 Die Wahrscheinlichkeiten Q({w k }) := q k definieren ein äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß Q.Für jede selbstfinanzierende Handelsstrategie q gilt E Q (q X) T = K  k=1q k (q X) T (w k ) = 1 K F K  e k (q X) T (w k ) = 0,  F(e i ) k=1 i=1 41

3. Mehrperiodenmodelle da das Argument, auf welches F angewendet wird, in M liegt. Nach Lemma 3.2.1 ist X ein Martingal und somit Q ein äquivalentes Martingalmaß. 3.2.1 Die risikoneutrale Bewertungsformel. Dieser Abschnitt behandelt die Bewertung von allen möglichen gehandelten Produkten, in unserer Sprache bedingte Auszahlungen. Beispiele sind Calls, Puts und andere Derivate. Die folgenden Definition legt die allgemeine Grundlage. Definition 3.2.3. Eine bedingte Auszahlung ist eine F T -messbare Zufallsvariable H. Sie heißt erreichbar, falls es eine selbstfinanzierende Handelsstrategie q gibt, so dass W q T = H; dieses q nennt man Replikationsstrategie für H. Der Wert heißt fairer Preis von H an t 2{0,...,T }. W q t Satz 3.2.7. Der bedingte Anspruch H sei erreichbar. Dann ist der faire Preis von H an t eindeutig und gegeben durch für alle Q 2 M. H t := S 0 t E Q apple H S 0 T F t, 0 apple t apple T (3.7) Ein erreichbarer bedingter Anspruch hat demnach einen eindeutigen fairen Preis, den man durch Gleichung (3.7) berechnen kann. Insbesondere ist der faire Preis von H wohl definiert. Gleichung (3.7) heißt risikoneutrale Bewertungsformel (Risk-Neutral Pricing Rule). Ist das Numéraire gegeben durch St 0 = exp  t s=1 r s mit Zinsprozess r, so gilt H t = E Qh e ÂT s=t+1 r s H F t i. Ist r konstant, so erhält man H t = e r(t t) E Q H F t. Beweis von Satz 3.2.7. Sei q eine Replikationsstrategie für H. Wir betrachten den diskontierten Wertprozess und zeigen, dass Vt q = H t,0apple t apple T. Es gilt WT q = H und somit V T q = H. Es folgt ST 0 die Darstellung V q T = V q t +(q X) T (q X) t. 42

3.3 Der zweite Hauptsatz Wie in Lemma 3.2.2 gezeigt wurde, ist (q X) ein Q-Martingal und es folgt E Q apple H S 0 T F t = V q t + E Qh (q X) T (q X) t F t i = V q t. Die Multiplikation mit S 0 t ergibt die Behauptung. 3.3 Der zweite Hauptsatz Definition 3.3.1. Ein Finanzmarktmodell heißt vollständig, falls jeder bedingte Anspruch erreichbar ist. Das folgende Resultat ist der zweite Hauptsatz der Wertpapierbewertung. Er besagt, dass ein Markt genau dann volständig ist, wenn es ein eindeutiges äquivalentes Martingalmaß gibt. Theorem 3.3.1. Ein arbitragefreier Markt ist genau dann vollständig, wenn M = {Q}. Beweis. Zunächst sei also der betrachtet Markt vollständig und Q und Q 0 zwei verschiedene Martingalmaße. Da der Markt vollständig ist, sind alle Zufallsvariablen 1 F mit F 2 F T erreichbare bedingte Ansprüche. Wir fixieren F und betrachten H := 1 F. Dann hat H nach Satz 3.2.7 einen eindeutigen fairen Preis an 0, H 0. Es gilt E Q [1 F ]=H 0 = E Q0 [1 F ], F 2 F T = F, also Q = Q 0. ( : Wir zeigen die Negation: Ist das Modell nicht vollständig, so ist Q nicht eindeutig. Definiere die Menge von erreichbaren, diskontierten Ansprüchen durch M := n H : H = V 0 +(q X) T, V 0 2 R, q selbstfinanzierende Handelsstrategie o. Sei Q ein äquivalentes Martingalmaß und sei H 0 ein nicht-erreichbarer bedingter Anspruch. Dann ist H 0 (S 0 T ) 1 62 M. Somit ist M ist ein echter linearer Unterraum von L 0 (W,F,Q), der Menge aller Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (W, F, Q). Dann gibt es ein Z 2 L 0 (W,F,Q), Z 6= 0 mit E Q [Z H]=0für alle H 2 M. Es folgt insbesondere E Q [Z]=0. Da W = K <, ist k Z k := max w2w Z(w) <. Wir definieren ein neues Maß Q 0 durch Q 0 (w) := 1 + Z(w) Q(w). 2 k Z k 43

3. Mehrperiodenmodelle Q 0 ist ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß, da Q 0 (w) > 0für alle w 2 W und Q 0 (W)= 1 + EQ [Z] 2kZk = 1. Darüber hinaus ist Q verschieden von Q 0, da Z 6= 0. Schließlich folgt für jede selbstfinanzierende Handelsstrategie q, dass E Q0 [(q X) T ]=E Q [(q X) T ]+ 1 2 Z E Q [Z (q X) T ]=0. Mit Hilfe von Lemma 3.2.1 folgt nun, dass auch Q 0 ein Martingalmaß ist und der Beweis ist abgeschlossen. 3.4 Das Cox-Ross-Rubinstein Modell Das Modell von Cox et al. (1979) ist ein einfaches Mehrperiodenmodell für eine Aktie. Wesentliches Merkmal ist, dass beim Übergang von einem Zeitpunkt zum nächsten nur zwei Fälle auftreten können. Der risikolosen Zinssatz r ist konstant, d.h. S 0 t = e rt. Neben dem Bankkonto gibt es noch eine Aktie S = S 1. Wir wählen u und d so dass u > e r > d > 0. (3.8) Die Entwicklung der Aktie im CRR Modell wird folgendermaßen angenommen: us 0 u 2 S 0 S 0 ud S 0 ds 0 d 2 S 0 Der betrachtete Baum ist rekombinierbar, was die numerische Handhabung wesentlich vereinfacht. Nun benötigen wir noch eine präzise Beschreibung des N-Perioden-CRR-Modells. Dazu wählen wir W = {u,d} T, so dass die Elemente von W die Gestalt w =(w 1,...,w T ) mit w t 2{u,d} haben. Für ein festes w definieren wir die Anzahl der Schritte nach oben bis zum Zeitpunkt t durch t U t (w) := Â 1 {ws =u}, t = 1,...,T, (3.9) s=1 44

3.4 Das Cox-Ross-Rubinstein Modell mit U 0 = 0, und erhalten folgende Darstellung Die Filtration (F t ) t=0,...,t definieren wir durch S t = S 0 u U t d t U t, t = 0,...,T. (3.10) F t := s (S 1,...,S t ). (3.11) Das Wahrscheinlichkeitsmaß P ist beliebig: Wir fordern lediglich P({w}) > 0 8w 2 W. Insbesondere können die Sprünge abhängig sein. 3.4.1 Arbitragefreiheit Zunächst betrachten wir T = 1 und suchen ein äquivalentes Martingalmaß Q und setzen q := Q({w 1 = u}). Das Maß Q ist ein Martingalmaß, falls S 0 = E Q e r S 1 = e r (S 0 uq + S 0 d(1 q)) was äquivalent ist zu q = 1 + r d u d. (3.12) Dabei ist q 2 (0,1) genau dann, wenn d < e r < u (in diesem Fall ist Q P), was wir in (3.8) gefordert hatten. Die Zahl q ist dann auch eindeutig. Nun betrachten wir den Mehrperiodenfall. Wir bestimmen Q rekursiv: Setzen wir im Zeitpunkt t Q(w t+1 = u F t ) := q und Q(w t+1 = d F t )=1 q so erhalten wir rekursiv Dann gilt auch Q({w})=q U t(w) (1 q) t U t(w). (3.13) E Q e r S t+1 F t = e r (S t uq + S t d(1 q)), und Q ist somit ein äquivalentes Martingalmaß, falls nur (3.8) gilt. Weiterhin ist Q eindeutig, da es in jeder Periode eindeutig ist. Das betrachtete CRR-Modell ist also arbitragefrei (erster Hauptsatz) und vollständig (zweiter Hauptsatz). Die Produktstruktur von Q in (3.13) bedeutet, dass aufeinanderfolgende Bewegungen unter Q unabhängig sind. Demnach gibt es x 1,...,x T welche i.i.d. unter Q sind, so dass S t = S 0 x 1 x t = S 0 t s=1 x s. (3.14) 45

3. Mehrperiodenmodelle 3.4.2 Hedging in vollständigen Märkten In diesem Abschnitt diskutieren wir die nützlichste Konsequenzen der Vollständigkeit: Absicherungsstrategien (Hedgingstrategien). Für jeden bedingten Anspruch gibt es in einem vollständigen Markt eine replizierende Handelsstrategie. Der zweite Hauptsatz liefert nur die Existenz und die Bestimmung der Absicherungsstrategie ist oft schwierig. In diesem Abschnitt bestimmen wir die Absicherungsstrategie in einem allgemeinen CRR-Modell. Eine F t -messbare Zufallsvariable hängt nur von den ersten t Komponenten von w ab, und wir schreiben x t (w)=x t ((w 1,...,w t )). Ausgehen von x t = x t ( ) erhält man nur zwei Möglichkeiten für x t+1 welche mit x t (,u) und x t (,t) bezeichnet werden. Satz 3.4.1. Sei H ein bedingter Anspruch. Der faire Preisprozess von H ist H t = e r qh t (,u)+(1 q)h t (,d), 0 apple t apple T 1, und H T = H. Die Replikationsstrategie q ist gegeben durch qt 1 H(,u) H(,d) = S t (,u) S t (,d) q 0 t = e (3.15) 2t uh(,d) dh(,u). (3.16) (u d) In obiger Formel ist S t (,u)=s t u aufgrund der multiplikativen Struktur des Modells. Beweis. Wir betrachten T = 2 und den bedingten Anspruch H, eine F 2 -messbare Zufallsvariable. Für jede F t -messbare Zufallsvariable X gilt X((w 1,...,w T ) > )=X((w 1,,w t ) > ) und wir schreiben vereinfacht X(w 1,,w t ). Wir fixieren t = 1 und bedingen auf {w 1 = u}. Dann muss für die replizierende Handelsstrategie q 2 (u)=(q2 0(u),q1 2 (u))> gelten, dass q 0 2 (u) e2r + q 1 2 (u) us 1 (u) = H(u,u) q 0 2 (u) e2r + q 1 2 (u) ds 1 (u) = H(u,d). 46

3.4 Das Cox-Ross-Rubinstein Modell Das ist äquivalent zu q2 1 H(u,u) H(u,d) H(u,u) H(u,d) (u) = = S 1 (u)(u d) S 0 u(u d) apple q2 0 (u) = e 2r H(u,u)+u H(u,d) H(u,u) u d 2r uh(u,d) dh(u,u) = e. (u d) Den Wert dieses Portfolios zum Zeitpunkt t = 1 liefert uns die risikoneutrale Bewertungsregel: Auf {w 1 = u} ist H 1 (u)=e Qh e r H F 1 i = e r (qh(u,u)+(1 q)h(u,d)). Die Berechnungen auf {w 1 = d} verlaufen analog. Für die Hedgingstrategie im Zeitpunkt t = 0 nutzen wir rekursiv die oben erhaltenen Ergebnisse. Dabei hedged man nun den bedingten Anspruch H 1 (w 1 ), also q 0 1 er + q 1 1 us 0 = H 1 (u) q 0 1 er + q 1 1 ds 0 = H 1 (d), und erhält q1 1 = H 1(u) H 1 (d) S 0 (u d) und q1 0 = e r uh 1(d) dh 1 (u). (u d) Interessant ist die genauere Betrachtung von q1 1 = H 1(u) H 1 (d) S 1 (u) S 1 (d). Nehmen wir an, dass H 1 (w 1 )= f S 1 (w 1 ) z.b. der payoff eines Calls mit Fälligkeit T = 1 wäre, so wäre q1 1 die (diskrete) Ableitung von f nach S. Dies scheint vernünftig, da man gerade so viele Aktien kauft, dass sich die Veränderung des Wertes des Portfolios genauso verhält, wie die Veränderung des Derivates, also H 1 (u) H 1 (d) S 1 (u) S 1 (d) (S 1(u) S 1 (d)) V 1 (u) V 1 (d). Konkrete Aussagen zur Bewertung von Optionen im CRR-Modell im allgemeinen Fall werden im folgenden Abschnitt getroffen. 47

3. Mehrperiodenmodelle 3.4.3 Europäische Optionen Von nun an setzen wir (3.8) voraus, so dass das CRR-Modell arbitragefrei ist. Satz 3.4.2. Der faire Preisprozess einer europäischen Option mit Auszahlung H(S T ) ist gegeben durch T t r(t t) T t H t = e  q j (1 q) (T t) j H(S t u j d (T t) j ), (3.17) j=0 j t = 0,...,T. Beweis. Nach der risikoneutralen Bewertungsregel gilt C t = E Qh e r(t t) (S T K) + F t i. Wir verwenden die Darstellung (3.14) mit (unter Q) unabhängigen x 1,...,x T 2{u,d} und Q(x 1 = u)=q. In Analogie zur Binomialverteilung folgt, dass x Q(S T = S t u j d x j )= q j (1 q) x j, j für j = 0,...,x.Für den Preis des Calls erhalten wir x C t = e rx q j (1 q) x j (S t u j d x j K) +. j x  j=0 Als Anwendung erhalten wir für den Preis eines europäischen Calls C(t,T,K,r,q)=e T t r(t t) T  j=0 j t q j (1 q) (T t) j S t u j d (T t) j K +, Es gibt natürlich noch kompliziertere Optionen als einfache Calls. Ein Beispiel dafür sind sogenannte Barrier-Optionen. Man unterscheidet zwischen zwei Mechanismen beim Treffen einer Barriere: Knock-In und Knock-Out. Beim Knock-In wird der Kontrakt erst dann aktiviert, wenn die Barriere innerhalb der Laufzeit erreicht wurde. Wird die Barriere nicht erreicht, ist der Kontrakt wertlos. Beim Knock-Out ist es gerade umgekehrt: Beim ersten Erreichen der Barriere wird der Kontrakt wertlos. Des Weiteren unterscheidet man, ob die Barriere von oben ( up ) oder von unten ( down ) durchbrochen wird und summa summarum erhält man vier Typen von Barrier-Optionen: Downand-Out, Down-and-In, Up-and-Out und Up-and-In. Eine Beziehung ist sofort klar: Hält man eine Knock-Out und eine Knock-In Option vom gleichen Typ, so ist der Wert des Portfolios gleich dem Wert einer Standard-Option. 48

3.4.4 Das Spiegelungsprinzip 3.4 Das Cox-Ross-Rubinstein Modell Ein nützliches Hilfsmittel für die Bewertung einer Barrier-Option ist das Spiegelungsprinzip. Im CRR-Modell müssen wir zwei grundsätzliche Fälle unterscheiden: p = 1 p = 1 2 und p 6= 1 2. Der erstere Fall ist der deutlich einfachere. Wir betrachten i.i.d. x 1,...,x T 2{u, u} und setzen X T = Satz 3.4.3. Sei P(x 1 = u)=1/2. Dann gilt für 0 < a apple b = ku mit k 2 N, dass T  t=1 x t. P(X T apple a, max 1appletappleT X t b)=p(x T 2b a). (3.18) Beweis. Die wesentliche Idee ist in aus Abbildung 3.1 ersichtlich. Die durchgezogene Linie stellt einen Beispielpfad für X dar, der max(x) b erfüllt. Für einen jeden solchen Pfad gibt es einen ab t := inf{1 apple t apple T : X t b} an b gespiegelten Pfad (gestrichelte Linie) Y t = t  x s s=1 i  x s, t > t (3.19) s=t+1 und Y t = X t für t apple t. Es folgt, dass {X T apple a} = {Y T 2b a}. Die Bedingung {maxx i b} ist für den gespiegelten Pfad immer erfüllt. Als letzten Schritt gilt es, die Wahrscheinlichkeit von {Y T 2b a} zu bestimmen. Da wir p = P(x i = u) =1/2 vorausgesetzt haben, hat jeder Pfad die gleiche Wahrscheinlichkeit wie sein gespiegelter Pfad: Ein Pfad von X oder Y mit jeweils j Sprüngen nach oben hat stets die Wahrscheinlichkeit 1 n p j (1 p) n j = 2 und die Behauptung folgt. Für den asymmetrischen Fall p 6= 1 p muss man beachten, dass der gespiegelte Pfad eine andere Wahrscheinlichkeit hat und wir formulieren die Aussage nur für festes a und b. Satz 3.4.4. Sei b = ku und a = lu mit k,l 2 N. Dann gilt P(X T = a, max 1appletappleT X t p k l b)= P(X T = 2b a). (3.20) 1 p 49

3. Mehrperiodenmodelle 2b-a b a Abbildung 3.1: Das Spiegelungsprinzip. Beweis. Wir betrachten die Folgenden beiden Bilder. Im linken Bild sind wieder ein Beispielpfad und der zugehörige an b gespiegelte Pfad dargestellt. Da p 6= 1 p gilt, haben diese beiden Pfade unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten. Im rechten Bild erzeugen wir einen neuen Pfad (gestrichelte Linie) durch Ersetzen von zwei downs durch ups, alle anderen ups und downs werden vom ursprünglichen Pfad (durchgezogene Linie) übernommen. 2b-a 2b-a b b a a Die Schlüsselbeobachtung ist also, dass nur eine feste Anzahl von downs in ups getauscht werden muss, nämlich so viele, wie Knotenpunkte von b nach a führen (im Beispiel 2 Knotenpunkte). Mit unserer Notation b = ku und a = lu besitzt der gespiegelte Pfad gerade k l ups mehr 50

3.4 Das Cox-Ross-Rubinstein Modell als der Originalpfad. Die Anzahl der Pfade bleibt gleich, aber die Wahrscheinlichkeit ändert sich, und zwar muss an k l Stellen 1 p durch p ersetzt werden, also p k l P(X T = a, max X t b)=p(x T = 2b a). 1appletappleT 1 p B 3.1 Up-and-In Call: Nun soll das Spiegelungsprinzip für die Bewertung eines Up-and-In (UI) Calls verwendet werden. Dazu wandeln wir das betrachtete Modell S t = S 0 t i=1 x i durch Logarithmieren von Produkt- auf Summengestalt um, und erhalten X t := ln S t S 0 = Die Bedingung (lnx i ) 2{ũ, } ist nun gleichbedeutend mit xi 2{eũ,e ũ} := {u, 1 u } und wir wählen d = u 1. Mit der h Barriere B > K erhalten wir i C UI = e rt E Q (S T K) + 1 {max1appleuapplet S u B} = e rt  T E Q u "1 u {ST S t + =S t 0 t=1 u T t } 0 u T t K 1 {max1applesapplet Ss B}# = e rt  u t:s t 0 u T t =S 0u 2t T K t  i=1 (S 0 u 2i T K)Q lnx i. S T = S 0 u 2t T, max 1applesappleT S s Jetzt müssen wir noch die Wahrscheinlichkeit bestimmen. Mit B = S 0 u k und 2i B > S T > K) haben wir Q S T = S 0 u 2t T, max S s B = Q ln S T =(2t T )lnu, max 1applesappleT S ln S s 0 1applesappleT S 0 Hierauf lässt sich das asymmetrische Spiegelungsprinzip anwenden und wir erhalten q k+t 2t = Q ln S T = 2k lnu (2t T )lnu 1 q S 0 q k+t 2t = Q S T = S 0 u 2k+T 2t. 1 q B. T < k (d.h. k lnu. Auf dem Ereignis {S T = S 0 u 2k+T 2t } hat der Pfad zunächst 2k + T 2t Schritte nach oben und danach ebenso viele Schritte nach oben wie nach unten. Demnach ist Q S T = S 0 u 2k+T 2t T = q T +k i (1 q) i k T + k i 51

3. Mehrperiodenmodelle und der Preis ist vollständig bestimmt: C UI = e rt  u t:s t 0 u T t =S 0u 2t T K (S 0 u 2i T K) q 1 q k+t 2t T T + k i q T +k i (1 q) i k. (3.21) Es gibt auch Optionen mit einer zeitabhängigen Barriere, z.b. Asian Barrier Options, wo das geometrische Mittel des Aktienkurses die Rolle des Indikators spielt, oder Forward Start, Early Ending, Window Barrier options, bei denen nur ein Teilbereich der Barriere eine Rolle spielt. Ein Lookback Call hat den Payoff (S T min n2[ t,t ] S n ) + für ein festes t < t < T. Die risikoneutrale Bewertungsformel liefert hier LC = 1 (1 + r) T E Q (S T ) E Q ( min S n). n2[ t,t ] 52