Jurgen Muller Analysis I-IV

Jurgen Muller Analysis I-IV Skriptum zur Vorlesung Wintersemester 5/6 bis Sommersemester 7 Universitat Trier Fachbereich IV Mathematik/Analysis Dank an Elke Gawronski und Judith Wahlen fur die Mithilfe bei der Erstellung

INHALTSVEREICHNIS Inhaltsverzeichnis Mengen und Abbildungen Korper und das Prinzip der vollstandigen Induktion 7 3 Geometrische Summenformel und binomische Formel 5 4 Reelle und komplexe ahlen 5 Folgen 4 6 Reihen 37 7 Normierte und metrische Raume 5 8 Stetige Funktionen zwischen metrischen Raumen 59 9 Topologische Grundbegrie 7 Dierenzialrechnung von Funktionen einer Variablen 8 Funktionenfolgen und Funktionenreihen 96 Potenzreihen 5 3 Integralrechnung von Funktionen einer reellen Veranderlichen 4 Uneigentliche Integrale 5 5 Dierenzialrechnung von Funktionen mehrerer Variablen 36 6 Taylorsatz und Extremstellen von Funktionen mehrerer Variablen 49 7 Hauptsatze der mehrdimensionalen Analysis 6 8 DGLn: einfache Beispiele und Losungsmethoden 73 9 Losungstheorie fur allgemeine gewohnliche DGLn 8 Allgemeine lineare Dierenzialgleichungen 93 Lineare Dierenzialgleichungen mit konstanten Koezienten 9 Wege, Kurven und zusammenhangende Mengen 5 3 Mae und Integrale 35

INHALTSVEREICHNIS 3 4 Transformation von Maen 49 5 Holomorphe Funktionen und Cauchyscher Integralsatz 59 6 Analytizitat holomorpher Funktionen 69 7 Fourier- und Laurent-Reihen 8 8 Isolierte Singularitaten und Residuensatz 9 9 Anwendungen des Residuensatzes 35 3 Folgen holomorpher Funktionen 34 3 Harmonische Funktionen und Dirichlet Problem 37 A Vollstandigkeit geordneter Korper 39 B Machtigkeit von Mengen 336 C Elementare Funktionen 339 D Polarkoordinaten und der Fundamentalsatz der Algebra 348 E Kompaktheit 35

MENGEN UND ABBILDUNGEN Mengen und Abbildungen Wir starten mit einigen einfuhrenden Denitionen und Ergebnissen aus der Theorie der Mengen und Abbildungen, die nicht nur Grundlage der Analysis sondern der gesamten Mathematik sind. Unsere Darstellung grundet auf den von G. Cantor gepragten (sog. naiven) Mengenbegri. Eine Menge M ist eine "usammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen". Ein solches Objekt x heit Element der Menge M (Schreibweise: x M; ist x nicht Element von M, so schreiben wir x 6 M). Es gibt prizipiell zwei Moglichkeiten der Darstellung von Mengen: die aufzahlende Schreibweise (etwa M = f; 3; 5; 7g) und die beschreibende Schreibweise. Die beschreibende Schreibweise hat allgemein die Form M = fx : x hat die Eigenschaft Eg, wobei E irgendeine Eigenschaft ist (also im obigen Fall etwa M = fx : x ungerade naturliche ahl kleiner als 9g). Denition. Es seien A; B Mengen.. A heit Teilmenge von B, falls fur jedes x A auch x B gilt. (Schreibweise: A B).. A und B heien gleich (Schreibweise A = B), falls A B und B A. 3. Die Menge B n A := fx : x B und x 6 Ag heit Dierenz von B und A. Ist A B, so heit A c := C B (A) := B n A Komplement von A (bzgl. B). 4. Die Menge ohne Elemente heit leere Menge (Schreibweise: ;). 5. Die Menge A [ B := fx : x A oder x Bg heit Vereinigung von A und B. 6. Die Menge A \ B := fx : x A und x Bg heit Schnitt von A und B. Denition. Es seien A und B Mengen. Dann heit A B := f(a; b) : a A; b Bg ; also die Menge der geordneten Paare von Elementen aus A und B, das Produkt oder die Produktmenge von A und B. (Ein geordnetes Paar ist formal deniert als (a; b) := ffag;fa; bgg; insbesondere gilt also (a; b) = (~a; ~ b) genau dann, wenn a = ~a und b = ~ b ist.)

MENGEN UND ABBILDUNGEN Beispiel.3 Ist A = f; g und B = f3g, so ist A B = f(; 3); (; 3)g und B A = f(3; ); (3; )g : Man beachte, dass A B nicht mit B A ubereinstimmt. Satz.4 Es seien A ; A ; A 3 Mengen. Dann gilt. A [ A = A [ A, A \ A = A \ A.. A [ (A [ A 3 ) = (A [ A ) [ A 3, A \ (A \ A 3 ) = (A \ A ) \ A 3. Wir schreiben deshalb auch kurz A [ A [ A 3 und A \ A \ A 3. 3. A \ (A [ A 3 ) = (A \ A ) [ (A \ A 3 ), A [ (A \ A 3 ) = (A [ A ) \ (A [ A 3 ). Beweis.. und. folgen sofort aus Denition.. Wir beweisen die erste Aussage von 3. \": Es sei x A \ (A [ A 3 ) : Dann ist x A und x A [ A 3.. Fall: x A und x A. Dann ist x A \ A, also auch x (A \ A ) [ (A \ A 3 ).. Fall: x A und x A 3. Dann ist x A \ A 3, also auch x (A \ A ) [ (A \ A 3 ). Also ist in jedem Fall x (A \ A ) [ (A \ A 3 ). Damit gilt A \ (A [ A 3 ) (A \ A ) [ (A \ A 3 ). \": Umgekehrt sei x (A \ A )[(A \ A 3 ). Dann ist x A \ A oder x A \ A 3. In beiden Fallen ist dann x A \ (A [ A 3 ). Also folgt (A \ A ) [ (A \ A 3 ) A \ (A [ A 3 ). Die zweite Aussage von 3. als [ U]. Satz.5 (Regeln von de Morgan) Es seien A ; A Mengen, und es sei B eine Menge mit A B und A B. Dann gilt. C B (A [ A ) = C B (A ) \ C B (A ).. C B (A \ A ) = C B (A ) [ C B (A ).

MENGEN UND ABBILDUNGEN 3 Beweis.. \": Es sei x C B (A [A ). Dann ist x B und x 6 A [A, also x B und x 6 A sowie x 6 A. Damit ist x C B (A ) und x C B (A ), d. h. x C B (A ) \ C B (A ). \": Es sei x C B (A ) \ C B (A ). Dann ist x C B (A ) und x C B (A ). Also ist x B und x 6 A sowie x 6 A. Dann ist x B und x 6 A [A, also x C B (A [A ).. [U]. Denition.6 Es seien X und Y Mengen. Eine Teilmenge R von X Y heit Relation (zwischen X und Y ). Ist speziell X = Y, so heit R Relation in X. Eine Relation R zwischen X und Y heit Abbildung (von X nach Y ) bzw. Funktion (von X nach Y ) falls gilt: und a) Fur alle x X existiert ein y Y mit (x; y) R. b) Sind (x; y) R und (x; ~y) R so gilt y = ~y. Bemerkung und Denition.7 Ist R eine Abbildung von X nach Y, so ist jedem Wert x X genau ein Wert f(x) mit (x; f(x)) R zugeordnet. Wir identizieren R dann auch mit dieser uordnungsvorschrift f und schreiben f : X! Y oder x 7! f(x). Weiter heien X der Denitionsbereich, Y der ielbereich und W (f) := ff(x) : x Xg = fy Y : 9 x X mit y = f(x)g der Wertebereich (von f). Ferner setzen wir fur B Y f (B) := fx X : f(x) Bg (f (B) heit Urbild von B unter f) und fur A X f(a) := ff(x) : x Ag = fy Y : 9 x A mit y = f(x)g (f(a) heit Bild von A unter f). Ist f : X! Y und ist X X, so heit f jx : X! Y, deniert durch f jx (x) := f(x) fur alle x X, Einschrankung von f auf X. Satz.8 Es seien X; Y Mengen und f : X! Y. Dann gilt fur A ; A X und B ; B Y. f(a [ A ) = f(a ) [ f(a ),. f (B [ B ) = f (B ) [ f (B ),

MENGEN UND ABBILDUNGEN 4 3. f(a \ A ) f(a ) \ f(a ), 4. f (B \ B ) = f (B ) \ f (B ). Beweis.. \": Es sei y f(a [A ). Dann existiert ein x A [A mit f(x) = y. Ist x A, so ist y = f(x) f(a ) f(a )[f(a ). Entsprechend ist y f(a ) f(a )[f(a ) im Falle x A. \": Nach Denition gilt f(a ) f(a [ A ) und f(a ) f(a [ A ) also f(a ) [ f(a ) f(a [ A ).. \": Es sei x f (B [ B ). Dann ist f(x) B [ B. Ist f(x) B, so ist x f (B ) also auch x f (B ) [ f (B ). Entsprechend ist x f (B ) f (B ) [ f (B ), falls f(x) B. \": Nach Denition gilt f (B ) f (B [ B ) und f (B ) f (B [ B ) ; also f (B ) [ f (B ) f (B [ B ). 3. Es sei y f(a \ A ). Dann existiert ein x A \ A mit f(x) = y. Da x A und x A ist, folgt y f(a ) \ f(a ). 4. [U] Beispiel.9 Es seien und N := f; ; 3; : : :g = fnaturliche ahleng := fganze ahleng = f; ; ; : : :g : Weiter seien X = Y = und f :! deniert durch f(x) := ( x; falls x x; falls x < : Dann gilt W (f) = N := N [ fg. Weiter ist etwa f (f; : : : ; ng) = f (f; : : : ; ng [ f ; ; 3; : : :g) = f n; : : : ; ; ; : : : ; ng und f (f ; ; 3; : : :g) = ; sowie f(n) = N = f(nfg). Ist ~ f : N! deniert durch ~f(x) := x (x N ) ; so ist zwar ~ f(x) = f(x) fur alle x N, aber ~ f 6= f. Es gilt aber f jn = ~ f.

MENGEN UND ABBILDUNGEN 5 Denition. Es seien X; Y Mengen. Eine Abbildung f : X! Y heit. surjektiv (oder Abbildung von X auf Y ), falls W (f) = Y ist,. injektiv (oder eineindeutige Abbildung), falls fur alle y W (f) die Menge f (fyg) einelementig ist (d. h. sind x ; x X mit f(x ) = f(x ), so ist x = x ), 3. bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist. Beispiel. Es seien f und ~ f wie im B.9 Dann ist f weder surjektiv noch injektiv (es gilt f (f(ng) = fn; ng fur alle n N); ~ f ist injektiv. Denition. Es seien X; Y; Mengen und f : X! Y sowie g : Y! Abbildungen. Dann heit g f : X!, deniert durch (g f)(x) := g(f(x)) (x X) Verknupfung von g und f (oder Hintereinanderausfuhrung von f und g). Satz.3 Es seien X; Y; ; U Mengen und f : X! Y; g : Y! und h :! U Abbildungen. Dann gilt h (g f) = (h g) f : Beweis. Es gilt h (g f) : X! U sowie (h g) f : X! U und fur x X ist (h (g f))(x) = h((g f)(x)) = h(g(f(x))) = (h g)(f(x)) = = ((h g) f)(x) : Denition.4 Es seien X; Y Mengen und es sei f : X! Y bijektiv. Wir denieren f (y) := x (y Y ) ; wobei y = f(x). Die Abbildung f : Y! X heit Umkehrabbildung von f. Es gilt dabei f f : X! X ; (f f)(x) = x (x X) ; d. h. f f = id X, wobei id X : X! X, deniert durch id X (x) := x (x X), die sog. identische Abbildung auf X bezeichnet. Genauso gilt f f = id Y und auerdem ist auch f : Y! X bijektiv.

MENGEN UND ABBILDUNGEN 6 Denition.5 Es sei I 6= ; eine Menge, und es seien A Mengen fur alle I. (I nennt man dann \Indexmenge".) Dann heit [ I Vereinigung der Mengen A (uber I). Weiter heit \ I A := fx : x A fur ein Ig A := fx : x A fur alle Ig Durchschnitt der Mengen A (uber I). Ist speziell I endlich, etwa I = fj ; : : : ; j n g so schreiben wir auch A j [ : : : [ A jn = n[ k= A jk := [ ji A j und A j \ : : : \ A jn = n\ k= A jk := \ ji A j : Beispiel.6 Es sei P = fp : p Primzahlg und Dann ist [ A p := fkp : k Ng (p P) : fkp : k Ng = N n fg [ A p = pp pp und \ A p = ; : pp

K ORPER UND DAS PRINIP DER VOLLST ANDIGEN INDUKTION 7 Korper und das Prinzip der vollstandigen Induktion Den geeigneten Rahmen fur die Fragen der Dierential- und Integralrechnung, denen wir uns spater zuwenden wollen bilden die reellen ahlen. Wir werden die reellen ahlen als den (i. W. einzigen) \vollstandigen geordneten Korper" kennenlernen. Denition. Es sei K eine Menge mit mindestens zwei Elementen, und es seien + : K K! K und : K K! K Abbildungen. Dann heit K = (K; +; ) Korper, falls folgende Rechenaxiome gelten: (K.) Fur alle x; y K ist x + y = y + x und x y = y x (Kommutativgesetze) (K.) Fur alle x; y; z K ist (x + y) + z = x + (y + z) und (x y) z = x (y z) (Assoziativgesetze) (K.3) (K.4) (K.5) Es existiert ein Element = K K mit x + K = x fur alle x K (Existenz einer Null) Es existiert ein Element = K K n fg mit x K = x fur alle x K n fg (Existenz einer Eins) Fur alle x K existiert ein Element x K mit x + ( x) = und fur alle x K n fg existiert ein Element x K mit x x = (Existenz von inversen Elementen) (K.6) Fur alle x; y; z K gilt x (y + z) = (x y) + (x z) (Distributivgesetz) Statt x y schreiben wir im folgenden auch kurz xy. Auerdem schreiben wir kurz x y + z statt (x y) + z (Punktrechnung vor Strichrechnung). Schlielich schreiben wir kurz x y statt x + ( y) und x y (oder x=y) statt xy. Bemerkung. Wichtig fur Axiom (K.5) ist, dass \die Null und die Eins eindeutig bestimmt sind", d. h. es existiert nur ein K K mit x + K = x fur alle x X und nur ein K K n f K g mit x K = x fur alle x K n f K g. (Denn: Es seien K und K K mit x + K = x + K = x fur alle x K. Dann gilt Entsprechendes gilt fur K ) K = K + K (K:) = K + K = K : Die Eindeutigkeit der inversen Elemente ist ein Spezialfall des folgenden Satzes

K ORPER UND DAS PRINIP DER VOLLST ANDIGEN INDUKTION 8 Satz.3 Es sei (K; +; ) ein Korper, und es sei a K.. Fur jedes b K hat die Gleichung a + x = b genau eine Losung, namlich x = b a.. Ist a 6=, so hat fur jedes b K die Gleichung a x = b genau eine Losung, namlich x = b=a. Auerdem gilt K x = K fur alle x K. Beweis. Wir beweisen, nur Aussage. Der Beweis von. bleibt als [U]. Wir zeigen, dass x = b a die Gleichung lost: Es gilt a + (b a) = a + (b + ( a)) (K:) = a + (( a) + b) (K:) = (a + ( a)) + b (K:5) = + b (K:) = b + (K:3) = b : Wir zeigen, dass die Losung eindeutig bestimmt ist: Ist x K mit a + x = b, so gilt x (K:3) = x + (K:5) = x + (a + ( a)) (K:) = (x + a) + ( a) (K:) = (a + x ) + ( a) = b + ( a) = b a : Also ist x = b a. Bemerkung.4 Wir stellen noch einige Rechenregeln zusammen, deren Beweis sich aus den Axiomen (K.) bis (K.6) und S..3 ergibt ([U]). Fur alle x; y K gilt. Esi ist x y = K genau dann, wenn x = K oder y = K. ( x) = x 3. (x ) = x (x 6= K ) 4. (xy) = ( x)y = x( y) 5. (xy) = x y (x; y 6= K )

K ORPER UND DAS PRINIP DER VOLLST ANDIGEN INDUKTION 9 Beispiel.5. Es sei Q := fp=q : p ; q n fgg = frationale ahleng (Dabei werden p=q und p =q als gleich angesehen, falls pq = qp gilt. Eine Eindeutigkeit der Darstellung erhalt man etwa durch die Forderung x = p q wobei p und q N teilerfremd sind.) Wir denieren wie ublich fur x = p=q und y = r=s Q und x + y = p q + r s x y = p q r s := ps + rq qs := pr qs (man sieht leicht, dass diese Denitionen unabhangig von den gewahlten Darstellungen fur x und y sind).. Es sei K = foh; eig mit den Rechenoperationen + oh ei oh oh ei ei ei oh oh ei oh oh oh ei oh ei Dann ist (K; +; ) ein Korper mit oh = K und ei = K (Beweis: [ U]). 3. (N; +; ) und (; +; ) mit der ublichen Addition und Multiplikation bilden keine Korper. Denition.6 Wir denieren nun Summen und Produkte fur mehr als zwei Summanden bzw. Faktoren: Sind x ; : : : ; x n K fur ein n N, so setzen wir und X = Y = x := x x := x und und Xk+ = k+ Y = x := x := kx = x! + x k+ fur k = ; : : : ; n! ky x xk+ fur k = ; : : : ; n : = Ist speziell x = : : : = x n =: x, so schreiben wir nx = x = nx = x =: nx

K ORPER UND DAS PRINIP DER VOLLST ANDIGEN INDUKTION und ny x = ny = = x =: x n : Schlielich setzen wir noch fur n N ( n)x := n( x) ; x n := (x ) n und x := K ; x := K wobei die Null in bezeichnet : Eng verbunden mit dem eben verwendeten Prinzip der rekursiven oder induktiven Denition ist das Beweisverfahren der vollstandigen Induktion: Fur alle n N sei eine Aussage A(n) gegeben. um Beweis der Behauptung geht man oft folgendermaen vor: \Fur alle n N gilt A(n)". Man zeigt, dass A() richtig ist (Induktionsanfang).. a) Man nimmt an, dass A(k) (oder auch A(); : : : ; A(k)) fur ein beliebiges k N richtig ist (Induktionsannahme). b) Man zeigt, dass aus der Richtigkeit von A(k) (bzw. A(); : : : ; A(k)), d. h. aus der Induktionsannahme, die Richtigkeit von A(k + ) folgt (Induktionsschritt). Dieses Beweisschema nennt man Induktionsbeweis oder vollstandige Induktion. Aus. und. ergibt sich, dass A(n) fur alle n N richtig ist, denn es ist ja n = : A() richtig nach. n = : A() richtig nach., wenn dort k = gesetzt wird n = 3 : A(3) richtig nach., wenn dort k = gesetzt wird u.s.w Manchmal mochte man statt A(n) fur alle n N auch A(n) fur alle n N ; n N fur ein N N zeigen. Dann macht man den Induktionsanfang nicht fur n =, sondern fur n = N und den Induktionsschritt von k auf k + fur beliebiges k N. Ein typischer Induktionsbeweis ist der Beweis zu Satz.7 Fur alle n N gilt nx = = n(n + ) :

K ORPER UND DAS PRINIP DER VOLLST ANDIGEN INDUKTION Beweis.. Induktionsanfang: Fur n = gilt P = =. a) Induktionsannahme: Fur ein k N gelte k P b) Wir zeigen: aus a) folgt k+ P Es gilt: Xk+ = = = kx =! (k + )(k + ) = + (k + ) = : (d. h. A() gilt). = = k(k+) (d. h. A(k) gelte). = (k+)(k+) (d. h. A(k + ) folgt). k(k + ) + (k + ) = k(k + ) + (k + ) Wir kommen noch einmal auf das Summen- und das Produktzeichen zu sprechen. Bemerkung.8 Ist ' : f; : : : ; ng! f; : : : ; ng bijektiv, so gilt nx = x '() = nx = x und ny = x '() = Damit wird folgende Schreibweise sinnvoll: Ist I eine n-elementige Menge und sind x j K fur j I, so setzen wir X ji x j := nx = x j und Y ji x j := wobei I = fj ; : : : ; j n g eine beliebige Nummerierung von I ist. Es ergibt sich damit weiter: Ist x K, so folgt X x x j = x X x j ji ji S und ist I = m I mit I \ I = ; P fur 6=, so folgt fur y := = sowie fur z := Q ji x j X ji Y ji x j = x j = mx = my = y (= z (= mx X = my = ny = ji x j ) Y ji x j ) : ny = x j x ji x j

K ORPER UND DAS PRINIP DER VOLLST ANDIGEN INDUKTION Die obigen Beziehungen verallgemeinern die entsprechenden Axiome (K.), (K.) sowie (K.6). Die Beweise ergeben sich (nicht ganz leicht!) per Induktion. Weiter kann man hiermit zeigen, dass fur m; m ; m und x ; x ; x 6= folgende Potenzgesetze gelten: x m x m = x m +m ; x m x m = (x x ) m ; (x m ) m = x m m : Wir betrachten jetzt Korper, die neben den algebraischen Strukturen \+" und \ " eine Ordnungsstruktur haben. Denition.9 Es sei K = (K; +; ) ein Korper. Dann heit K = (K; +; ; <) geordnet, wenn auf K eine Relation < gegeben ist, die folgenden Ordnungsaxiomen genugt. (O.) Fur alle x; y K gilt genau eine der Beziehungen x = y oder x < y oder oder y < x (Trichotomiegesetz). (O.) Aus x < y und y < z folgt x < z (Transitivgesetz). (O.3) Aus x < y folgt x + z < y + z fur alle z K (. Monotoniegesetz). (O.4) Aus x < y und K < z folgt xz < yz (. Monotoniegesetz). Fur x < y schreiben wir auch y > x. Auerdem bedeutet x y, dass entweder x = y oder x < y gilt. Dann schreibt man auch y x. Wir nennen x K positiv, falls x > K gilt und negativ, falls x < K gilt. Beispiel. Es sei Q = (Q; +; ) mit der ublichen Addition und Multiplikation (B..5.). Wir setzen p q < p q (p ; p ; q ; q N) falls p q kleiner als p q in den ganzen ahlen. Dann ist (Q; +; ; <) ein geordneter Korper. Satz. Es seien K = (K; +; ; <) ein geordneter Korper und x; y K. Dann gilt. Es ist x > K genau dann, wenn x < K ist,. Aus x; y < K oder x; y > K folgt xy > K, 3. Fur x 6= K ist x > K, insbesondere also K = K > K,

K ORPER UND DAS PRINIP DER VOLLST ANDIGEN INDUKTION 3 4. Aus K < x < y folgt K < y < x. Beweis.. Aus < x folgt mit (O.3) x = + ( x) < x + ( x) = ; d. h. x <. Entsprechend folgt aus x < auch = x + ( x) < x + = x.. Sind x; y > so folgt mit (O.4) sofort = y < xy. Es seien x; y <. Aus x < folgt x > nach. Wegen y < ergibt sich mit (O.4) (xy) = y( x) < ( x) = ; also xy > mit. 3. Ergibt sich unmittelbar aus. und (O.). 4. Wir zeigen zunachst: x >. (Denn: Angenommen, es ist x < (beachte x 6= ). Dann folgt mit (O.4) = xx < x = im Widerspruch zu 3.) Genauso ist y >. Damit ergibt sich aus x < y mit (O.4) xy < yy = und wieder mit (O.4) x xy < x = x, also y < x. Bemerkung. Es sei K ein geordneter Korper. Per Induktion sieht man leicht:. Ist x < y, so ist auch nx < ny fur alle n N,. Ist x > K, so ist auch nx > mx > K fur alle n; m N mit n > m, 3. Ist K < x < y, so ist auch K < x n < y n fur alle n N. Insbesondere erhalt man aus k > K damit n K > m K > fur alle n; m N mit n > m. Als Folgerung ergit sich, dass jeder geordnete Korper unendlich viele Elemente enthalt! Aus S...4 folgt weiter K < (n K ) < (m k ). Setzt man also fur x K und n N x=n := x (n K ) ; so ergibt sich damit fur alle x > K x > x= > x=3 > x=4 > K : Also liegen zwischen K und x unendlich viele Elemente aus K. Entsprechend gilt fur y < x auch y < y + (x y)=n < x fur alle n N n fg.

K ORPER UND DAS PRINIP DER VOLLST ANDIGEN INDUKTION 4 Wir beweisen zum Abschluss eine sehr nutzliche Ungleichung. Satz.3 (Bernoullische Ungleichung) Es sei K ein geordneter Korper, und es sei x K; x K. Dann gilt fur alle n N ( K + x) n K + nx : Beweis. Es sei x fest. Wir fuhren den Beweis per Induktion nach n.. Fur n = ist die Behauptung klar.. Fur ein k N gelte ( + x) k + kx. Dann folgt mit (O.4) ( + x) k+ = ( + x)( + x) k ( + x)( + kx) = + kx + x + x(kx) = + (k + )x + kx + (k + )x (man beachte: es ist x und damit auch kx ).

3 GEOMETRISCHE SUMMENFORMEL UND BINOMISCHE FORMEL 5 3 Geometrische Summenformel und binomische Formel Eine wichtige Formel fur Summen von Potenzen in Korpern ist die Satz 3. (geometrische Summenformel) Fur alle x K n fg und alle n N gilt: Beweis. Wir zeigen: x n = ( x) n P sich hieraus die Behauptung. Es gilt X n ( x) x = = = X x n n x = x (3.) n X n X n X x n X x. Da x 6= und damit x 6= ist, ergibt X n x x x = x x = X n n x x + X n x x = x n : = X Bemerkung 3. Allgemeiner kann man zeigen ([U]): Ist K ein Korper und sind a; b K, so gilt fur alle n N b n a n = (b a) n X nu a b n : Neben der geometrischen Summenformel gibt es eine weitere Formel in Korpern, die von fundamentaler Bedeutung ist, die sog. binomische Formel. Hierauf wollen wir nun lossteuern. Es handelt sich dabei um eine Summenformel fur die Ausdrucke (a + b) n, wobei a; b K und n N ist. Bekanntlich gilt (a + b) = a + b (a + b) = a + ab + b (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 : Um eine allgemeine Formel angeben zu konnen, brauchen wir

3 GEOMETRISCHE SUMMENFORMEL UND BINOMISCHE FORMEL 6 Denition 3.3 wobei nq =m. Fur n; N setzen wir. Wir denieren n! (\n-fakultat") fur n N durch n! := ny = ; x := im Falle n < m gesetzt ist (also! = ). n := nq k=n + Die ahlen n heien Binomialkoezienten.! k Es gilt also etwa 7 5 6! = 3 4 5 6 = 7 ;! = 3:68:8 ; = 7 6 5 4 3 5! = Wir stellen einige Eigenschaften der Binomialkoezienten zusammen. Satz 3.4 Es seien n; N. Dann gilt n. n. n 3. Beweis. = n!!(n )! ; falls n = ; falls > n n = ; falls n n. Es gilt fur n n = nq k=n +! k = nq k (n )!! (n )! = n!!(n )! k=n +. Fur > n ist n + und damit nq k=n + k =, also auch n =.

3 GEOMETRISCHE SUMMENFORMEL UND BINOMISCHE FORMEL 7 3. Nach. gilt n = n!!(n )! = n! n (n (n ))!(n )! = : n Besonders wichtig ist folgende Rekursionsformel: Satz 3.5 Fur n; N gilt n + Beweis. Nach S. 3.4. gilt fur f; : : : ; ng n + n = = = = n + n n! ( )!(n + )! + n!!(n )! = n!!(n + )! Fur = n + ist nach S. 3.4. n +! ( )! + (n + )! (n )! n!!(n + )! f + (n + )g = (n + )! n +!(n + )! = n = n + = = n n + und fur > n + sind beide Seiten =. Ordnet man die Binomialkoezienten n in einem dreieckigen Schema an, wobei in der n-ten eile die Koezienten n ; : : : ; n n stehen, so entsteht das sog. Pascal'sche Dreieck: n n n+ n+...... : : : n n : : : n n : : : n+ : : : n+ n+ = : Die ersten eilen berechnen sich etwa unter Ausnutzung von S. 3.5 zu

3 GEOMETRISCHE SUMMENFORMEL UND BINOMISCHE FORMEL 8 3 3 4 6 4 5 5 6 5 5 6 Damit gilt Satz 3.6 Es sei K ein Korper, und es seien a; b K sowie n N. Dann gilt (a + b) n = nx n a b n Beweis.. Fur n = gilt (a + b) = = P. Fur ein k N gelte Dann gilt mit S. 3.5 (a + b) k = a b. kx k a b k : (a + b) k+ = (a + b)(a + b) k = (a + b) = = kx k+ X = k a + b k + k = a k+ + = Xk+ k + kx = kx a b k ( ) + k + a b k+ : kx k kx k a b k a b k + k a b k + a b n+ + b k+

3 GEOMETRISCHE SUMMENFORMEL UND BINOMISCHE FORMEL 9 Beispiel 3.7 Es gilt etwa (a + b) 6 = 6X 6 a b n = b 6 + 6 ab 5 + 5a b 4 + a 3 b 3 + 5a 4 b + 6a 5 b + a 6 : Bemerkung 3.8 Als Spezialfalle aus S. 3.6 ergeben sich interessante Beziehungen fur das Pascal'sche Dreieck: Fur (K = Q und) a = ; b = ergibt sich n = ( + ) n = nx n n = nx n ; d. h. die Summe der Binomialkoezienten in der n-ten eile des Pascal'schen Dreiecks ergibt stets n. Fur a = ; b = ergibt sich fur n N = n = ( + ) n = nx n ( ) n = nx n ( ) ; d. h. versieht man die Binomialkoezienten in der n-ten eile jeweils abwechselnd mit dem Vorzeichen + und, so erhalt man als Summe. Fur n = 6 gilt etwa + 6 + 5 + + 5 + 6 + = 64 = 6 und 6 + 5 + 5 6 + = :

4 REELLE UND KOMPLEXE AHLEN 4 Reelle und komplexe ahlen Wir stellen zunachst einige wichtige Ergebnisse zusammen, die im Anhang bewiesen werden. Bemerkung und Denition 4. Es existiert ein (ordnungs-) vollstandiger, geordneter Korper R mit (N ) Q R (genauer: der geordnete Korper Q ist eingebettet in den geordneten Korper R, d. h., es existiert eine injektive Abbildung ' : Q! R mit '(x + y) = '(x) + '(y) sowie '(xy) = '(x)'(y) und so, dass x < y genau dann erfullt ist, wenn '(x) < '(y) gilt). Ferner ergibt sich dabei: Fur alle x; y R mit x < y existiert ein r Q mit x < r < y. Insbesondere existiert damit zu jedem x R ein n N mit n > x. Die Elemente von R heien reelle ahlen. Aus der Vollstandigkeit von R ergibt sich (siehe S..7): Fur alle c R; c existiert genau ein x R; p x mit x n = c. Wir schreiben dafur x =: np c und im Falle n = kurz x =: c. Dabei ergibt sich fur c; d R; c; d aus den entsprechenden Potenzgesetzen aus B..8 leicht ([ U]) q np cd = np c np m d und np c = nmp c : Schliesslich setzen wir noch fur a; b R (mit a b) [a; b] := fx R : a x bg ( ; b] := fx R : x bg (a; b) := fx R : a < x < bg ( ; b) := fx R : x < bg [a; b) := fx R : a x < bg [a;) := fx R : x ag (a; b] := fx R : a < x bg (a;) := fx R : x > ag Diese Mengen heien Intervalle. (;) := R ; ( ; ) = R ; (;) = R + Wie wir eben bemerkt haben, hat in R jede Gleichung x n = c fur n N und c eine Losung. Leider gilt dies nicht mehr im Falle c < und n gerade (da x n fur gerades n und beliebiges x R nach S...3). Unser iel ist es nun, den Korper der reellen ahlen so zu \erweitern", dass x n = c auch fur c < (also etwa x = ) losbar ist. Bemerkung und Denition 4. Wir setzen C := f(x; y) : x; y Rg (= R R) und fur z = (x ; y ); z = (x ; y ) C z + z = (x ; y ) + (x ; y ) := (x + x ; y + y )

4 REELLE UND KOMPLEXE AHLEN sowie z z = (x ; y ) (x ; y ) := (x x y y ; x y + x y ) : Man rechnet leicht nach, dass dann (C; +; ) ein Korper ist. C = (C; +; ) heit Korper der komplexen ahlen und z C heit komplexe ahl. Dabei ist die Null in C gegeben durch = C = ( R ; R ) und die Eins in C ist gegeben durch = C = ( R ; R ). Weiter sieht man: Ist z = (x; y) C, so gilt z = ( x; y) und z = Wir nennen fur z = (x; y) C x x + y ; y x + y fur z 6= : Re z := x Realteil von z und Im z := y Imaginarteil von z : Beispiel 4.3 Es sei z = (3; ); z = (; 4). Dann gilt z + z = (5; 3); z z = (3; ) + ( ; 4) = (; 5) und z z = (3; ) (; 4) = (6 ( 4); ) = (; ) : Bemerkung 4.4 Wir konnen R als \Teilkorper" in C wiedernden. (Genauer: R ist eingebettet in C vermittels der Abbildung ' : R! C deniert durch '(x) := (x; ) (x R) : Man leicht, dass ' injektiv ist und die Korperstruktur erhalt, d. h. es ist '(x + y) = '(x) + '(y) sowie '(xy) = '(x)'(y) fur alle x; y R). Damit konnen wir R als Teilmenge von C auassen. Den reellen ahlen entsprechen die komplexen ahlen mit Imaginarteil =. Wir schreiben dann auch kurz x statt (x; ). Man nennt weiterhin i := (; ) C die imaginare Einheit in C. Fur i gilt i = (; ) (; ) = ( ; ) = : Mit diesen Bezeichnungen konnen wir jedes z = (x; y) C in der Form z = (x; y) = (x; ) + (; )(y; ) = x + iy (= Re z + i Im z) schreiben. Diese Darstellung heit Normaldarstellung von z. So gilt etwa z = (3; ) = 3 + i( ) (= 3 i) z = (; 4) = + i4 (= + 4i)

4 REELLE UND KOMPLEXE AHLEN Bemerkung 4.5 In (C; +; ) ist es nicht moglich, eine Ordnungsrelation < (mit den Eigenschaften aus D..9) zu denieren! (Denn: Angenommen, doch. Dann gilt C > C nach S...3, also C < C nach S.... Fur z = i gilt mit S...3 aber andererseits < i = C also Widerspruch zu (O.).) Denition 4.6 Es sei z = x + iy eine komplexe ahl.. Die komplexe ahl z := x iy heit zu z konjugiert komplex.. Die ahl jzj := p x + y [;) heit Betrag von z. Geometrisch entsteht z durch Spiegelung von z an der reellen Achse. Der Betrag jzj gibt anschaulich die Lange der Strecke von zu z wieder (Pythagoras!) Satz 4.7 Fur z; z ; z C gilt. z + z = z + z,. z z = z z, 3. (z) = z, 4. jzj = zz und damit z = jzj z falls z 6=, 5. Re (z) = z + z und Im (z) = z z. i Beweis. [U] Fur das Rechnen mit Betragen gelten folgende Regeln Satz 4.8 Fur z; z ; z C gilt. jzj und jzj = genau dann, wenn z = ist,. jzj = jzj ; Re z jzj ; Im z jzj, 3. jz z j = jz jjz j, 4. jz z j jz j + jz j (\Dreiecksungleichung in C").

4 REELLE UND KOMPLEXE AHLEN 3 Beweis.. und. als [U]. 3. Es gilt jz z j = (z z )(z z ) = (z z )(z z ) = jz j jz j = (jz jjz j) : Durch Wurzelziehen folgt die Behauptung. 4. Es gilt jz + z j = (z + z )(z + z ) = z z + z z + z z + z z = = jz j + Re (z z ) + jz j : jz j + jz z j + jz j :=3: = jz j + jz jjz j + jz j = (jz j + jz j) Durch Wurzelziehen folgt die Behauptung fur z + z. Damit erhalt man dann auch jz z j jz j + j z j = jz j + jz j : Beispiel 4.9 Es gilt fur z = (3; ) = 3 i; z = (; 4) = + 4i jz j = p 9 + = p ; jz j = p 4 + 6 = p z = 3 ( i) = 3 + i z z = (3 i)(3 + i) = 9 3i + 3i i = 9 + = jz j Denition 4. In Verallgemeinerung von D. 3.3 setzen wir noch fur z C und N Die ahlen z := Q k= (z + k) =! 8 < : z(z ) (z + ) ;! falls > ; falls = z C heien ebenfalls Binomialkoezienten.

5 FOLGEN 4 5 Folgen Es sei a : N! Y, wobei Y eine beliebige Menge ist. Wir schreiben dann ublicherweise n als \Index", d. h. a n := a(n) und statt a schreiben wir (a n ) nn oder (a n ) n= oder kurz (a n). Mann nennt dann (a n ) nn eine Folge (in Y ). Allgemeiner betrachtet man auch Indexmengen J N oder J (mit vielen Elementen) und schreibt dann (a n ) nj statt a : J! Y. Solche Objekte heien auch Folgen (in Y ). Folgen konnen entweder durch explizite Angabe von a n fur jedes n N (oder n J) gegeben sein (etwa a n = =n (n N)) oder induktiv oder rekursiv, d. h. durch eine sog. Rekursionsformel: a := a; a n+ := '(a n ) wobei ' : Y! Y eine Funktion und a Y ist (etwa: '(y) = p y mit Y = [;) und a =, d. h. a := ; a n+ = p a n ). Meist betrachten wir Y = R (Folgen reeller ahlen) oder Y = C (Folgen komplexer ahlen). Um die beiden Falle R und C einheitlich bezeichnen zu konnen, schreiben wir K := K, falls K fr; Cg. Denition 5. Eine Folge (a n ) nn in K heit. beschrankt, falls ein M > existiert mit ja n j M (n N). (Anderenfalls heit (a n ) unbeschrankt.). Cauchy-Folge, falls zu jedem " > ein N " N existiert mit ja n a m j < " fur alle n; m N " : 3. konvergent, falls ein a K so existiert, dass zu jedem " > ein N " N existiert mit ja n aj < " fur alle n N " : Die ahl a heit dann Grenzwert von (a n ) und wir schreiben a = lim n! a n oder kurz a n! a (n! ) : (Eine Folge, die nicht konvergent ist, heit divergent.) Bemerkung 5.. Man sieht leicht, dass jede Folge hochstens einen Grenzwert hat ([U]).. Es sei A(n) eine Aussage (n N). Man sagt, A(n) gilt fur fast alle n N, falls die Menge fn N : A(n) ist nicht wahrg endlich ist. So lasst sich etwa die Konvergenz

5 FOLGEN 5 einer Folge auch folgendermaen formulieren: (a n ) ist genau dann konvergent gegen a, falls fur alle " > gilt ja n aj < " fur fast alle n N: Beispiel 5.3. Die Folge (a n ) in R mit a n = n ist unbeschrankt (siehe B/D. 4.).. Die Folge (a n ) in R mit a n = =n ist konvergent zum Grenzwert a =, d. h.! (n! ) : n (Denn: Es sei " > gegeben. Dann existiert ein N " N mit n > =" fur alle n N " (wieder B/D. 4.). Also gilt fur alle n N " ja n j = n < " : ) 3. Die Folge (a n ) in R mit a n = ( ) n ist beschrankt (da ja n j = fur alle n N), aber keine Cauchy-Folge. (Denn: Fur alle k N ist ja k a k+ j = ; d. h. es existiert kein N " N mit ja n a m j < " fur alle n; m N ".) Damit ist (a n ) auch divergent, wie der folgende Satz zeigt. Satz 5.4. Jede Cauchy-Folge (a n ) in K ist beschrankt.. Jede konvergente Folge (a n ) in K ist eine Cauchy-Folge. Beweis.. u " = existiert ein N N mit ja n a m j < (n; m N) ; also ja n j = ja n a + a N j ja n a N j + ja N j < ja N j + M := maxfja j; : : : ;ja N j;ja N j + g gilt dann fur alle n N. Mit ja n j M fur alle n N :. Es sei a := lim a n. Dann existiert zu jedem " > ein N " N mit ja n aj < "= (n N " ). Also gilt ja n a m j ja n aj + ja a m j < " fur alle n; m N " : Der folgende Satz ist sehr \praktisch", da er es in vielen Fallen gestattet, Grenzwerte zu bestimmen ohne auf die \"-N " -Denition" zuruckzugreifen.

5 FOLGEN 6 Satz 5.5 Die Folgen (a n ) und (b n ) seien konvergent mit Dann gilt a = lim n! a n ; b = lim n! b n :. Die Folge (a n + b n ) konvergiert gegen a + b, d. h. lim (a n + b n ) = a + b = lim a n + lim b n n! n! n! :. Die Folge (a n b n ) konvergiert gegen a b, d. h. lim (a n b n ) = a b n! = lim n! a n lim n! b n : 3. Ist b n 6= fur alle n N und b 6=, so konvergiert (a n =b n ) gegen a=b d. h. Beweis. lim (a n=b n ) = a=b = lim a n= lim b n n! n! n!. Es sei " > gegeben. Dann existieren ein N () " N und ein N () " N mit ja n aj < "= (n N () " ) und jb n bj < "= (n N () " ) : Also gilt fur n N " := max(n () " ; N () " ): ja n + b n (a + b)j = ja n a + b n bj ja n aj + jb n bj < "= + "= = " :. Nach S. 5.4 ist (b n ) beschrankt, d. h. es existiert ein M > mit jb n j M fur alle n N. Es sei " > gegeben. Dann existieren ein N () " N mit : Mja n aj < " (n N () " ) und ein N () " N mit jajjb n bj < " (n N () " ) : Fur alle n N " := max(n () " ; N () " ) gilt dann ja n b n abj = ja n b n ab n + ab n abj jb n jja n aj + jajjb n bj Mja n aj + jajjb n bj < M " M + " = " :

5 FOLGEN 7 3. a) Wir zeigen zunachst: lim n! Da b 6= ist, existiert ein N N mit b n = b : jb n bj < jbj= (n N) : Also gilt (umgekehrte Dreiecksungleichung!) jb n j = jb + b n bj jbj jb n bj > jbj jbj= = jbj= > (n N) : Es sei " > gegeben. Dann existiert ein N " N mit jb n bj < " jbj Fur alle n N " := max(n; N ") folgt b n b Also gilt =b n! =b (n! ). (n N ") : = jb n bj < jb n bj jbj jb n bj < " : b) Mit. und a) ergibt sich a n lim = lim n! b n n! a n b n = a b : Beispiel 5.6 Es sei a n = 3n 4n n +5. Da fur Folgen (c n) mit c n = c (n N) oenbar lim n! c n = c gilt, folgt mit S. 5.5 und B. 5.3. lim a n = lim n! n! 3 4=n 3 4 lim =n + 5=n = n! + 5 lim = 3 4 n! =n + = 3 : Bemerkung 5.7 Ein weiteres, einfaches aber sehr nutzliches Konvergenzkriterium ist das folgende: Es sei (a n ) eine Folge in K und es sei (b n ) eine Folge mit ja n j b n fur fast alle n. Gilt dann b n! (n! ), so folgt auch a n! (n! ). (Denn: Es sei N N so, dass ja n j b n fur alle n N. Ist " > gegeben, so existiert ein N " N, wobei o.e. N " N, mit b n < " (n N " ) Dann ist auch ja n j b n < " (n N " ).) Als wichtiges Anwendungsbeispiel erhalten wir

5 FOLGEN 8 Beispiel 5.8 (geometrische Folge) Wir betrachten fur q C die Folge (q n ) n. Dann gilt. Fur jqj < konvergiert (q n ) mit lim n! qn =.. Fur jqj > ist (q n ) unbeschrankt, also insbesondere divergent. (Denn:. Fur q = ist die Behauptung klar. Es sei also < jqj <. Dann ist mit einem a > =jqj = + a : Aus der Bernoullischen Ungleichung (S..3) folgt ( + a) n + na > na und daher jq n j = jqj n = ( + a) n < na (n N) Aus =(an)! folgt mit B. 5.7 die Behauptung.. Nun sei jqj >, d. h. jqj = + b mit einem b >. Mit S..3 gilt jq n j = ( + b) n + nb (n N) ; d. h. (q n ) ist unbeschrankt und damit nach S. 5.4 divergent.). Wir betrachten nun speziell Folgen reeller ahlen, wobei wir entscheidend von der Ordnungsstruktur in R Gebrauch machen. Bemerkung und Denition 5.9 Manchmal erweist es sich als nutzlich, fur reelle Folgen (a n ) erweiterte Grenzwerte zu betrachten. Wir sagen deshalb. (a n ) heit bestimmt divergent gegen, falls zu jedem R > ein N R N existiert mit a n > R fur alle n N R. Wir schreiben dann a n! (n! ). (a n ) heit bestimmt divergent gegen, falls zu jedem R > ein N R N existiert mit a n < R fur alle n N R. Wir schreiben dann a n! (n! ) So gilt etwa q n! (n! ) im Falle q >, aber fur q < ist (q n ) weder bestimmt divergent gegen noch bestimmt divergent gegen. Wir untersuchen jetzt eine wichtige Klasse von Folgen in R, die monotonen Folgen. Denition 5. Es sei (a n ) nn eine reelle Folge. Dann heit (a n )

5 FOLGEN 9. monoton wachsend, falls a n+ a n (n N) (Schreibweise: a n %),. streng monoton wachsend, falls a n+ > a n (n N) (Schreibweise: a n streng %), 3. monoton fallend, falls a n+ a n (n N) (Schreibweise: a n &), 4. streng monoton fallend, falls a n+ < a n (n N) (Schreibweise: a n streng &). Beispiel 5. Es gilt. n ist streng monoton fallend, n. ( n ) n ist streng monoton wachsend, 3. ( ) n ist weder monoton wachsend, noch monoton fallend, n 4. () n ist monoton wachsend und fallend, aber nicht streng monoton wachsend oder fallend. Eine fundamentale Folgerung aus der Vollstandigkeit von R ist Satz 5. (Hauptsatz uber monotone Folgen) Es sei (a n ) eine Folge in R.. Ist (a n ) monoton wachsend und beschrankt, so ist (a n ) konvergent. Ist (a n ) monoton wachsend und unbeschrankt, so gilt a n!.. Ist (a n ) monoton fallend und beschrankt, so ist (a n ) konvergent. Ist (a n ) monoton fallend und unbeschrankt, so gilt a n!. Beweis.. Es sei (a n ) beschrankt. Wir betrachten die Menge A := fx : x = a n fur ein n Ng : Dann ist A 6= ; und (nach oben) beschrankt. Da R ollstandig ist, existiert a := sup A : Wir zeigen: a = lim n! a n. Da a obere Schranke von A ist, gilt a n a fur alle n N. Es sei " > gegeben. Dann ist (nach Denition von sup A) a " keine obere Schranke von A, d. h. es existiert ein N = N " N mit a N > a ". Da (a n ) monoton wachsend ist, gilt a n a N > a " fur alle n N, also insgesamt a " < a n a (n N)

5 FOLGEN 3 d. h. " a n a (n N) und damit insbesondere ja n aj < " fur alle n N. Da " > beliebig war, folgt a n! a (n! ). Nun sei (a n ) unbeschrankt. Da (a n ) monoton wachsend ist, gilt insbesondere a n a fur alle n. Damit existiert zu jedem R > ein N mit a n > R. Wieder auf Grund der Monotonie ist damit auch a n > R fur alle n N. Da R > beliebig war, gilt a n!.. Ist (a n ) monoton fallend, so geht der Beweis entsprechend. Der Hauptsatz uber monotone Folgen ist eines der wichtigsten Kriterien fur die Konvergenz von Folgen. Man beachte, dass der Grenzwert bei der Konvergenzuntersuchung nicht eingeht (und dass auch keine Aussage uber den Grenzwert gemacht wird). Beispiel 5.3 (Eulersche ahl e) Wir betrachten die Folgen (a n ) und (b n ) in R mit a n = + n n ; b n = + n n+ (n N) : Dann ist (a n ) (streng) monoton wachsend und (b n ) (streng) monoton fallend. (Denn: Fur alle n gilt a n a n = n+ n n n n = n + n n = n + n (n + ) n n n S::3 n + n (n ) n = n n n = n3 + n 3 > : Der Beweis fur (b n ) verlauft analog; [U]) Hieraus folgt = a a n b n b = 4. Nach dem Hauptsatz uber monotone Folgen sind (a n ) und (b n ) konvergent und mit S. 5.5. folgt Wir setzen (e heit Eulersche ahl). lim b n = lim ( + =n)a n = lim a n n! n! n! e := lim n! + n n Beispiel 5.4 (Babylonisches Wurzelziehen)

5 FOLGEN 3 Es sei p x > gegeben. Ein sehr ezientes Verfahren zur naherungsweisen Berechnung von x ist das sog. Babylonische Wurzelziehen: Wir betrachten mit einem beliebigen Startwert a > die Folge (a n ) in (;) mit a n+ := a n + xan = a n a n + x : (Der Startwert a kann eine grobe Naherung an p x sein.) Behauptung: (a n ) ist konvergent mit lim n! a n = p x. Denn:. Wir zeigen: a n p x (n N). Denn: Fur n N gilt also ist a n+ p x.. Die Folge (a n ) n= a n+ p x = a n (a n a n p x + x) = a n (a n p x) ; ist monoton fallend, denn fur n N ist a n a n+ = a n a n + xan = a xan n = a n a n x : Aus a n p x folgt a n x, also a n a n+. 3. Nach dem Hauptsatz uber monotone Folgen ist (a n ) konvergent. ur Bestimmung des Grenzwertes kann man folgendermaen vorgehen: Aus lim a n = a folgt lim a n+ = a, und damit (da a p x > ) n! n! a a n+ = a n a n + x! a a + x (n! ) : Aus der Eindeutigkeit des Grenzwertes folgt a = a a + x ; woraus man a = p x berechnet (beachte a > ). Man kann also die Folgeglieder a n als Naherungen fur p x verwenden (dabei sind im Falle x Q und a Q die Naherungen a n stets rationale ahlen). Wie sieht es dabei mit dem Fehler aus, wenn man a n statt p x verwendet? Wir schatzen den Fehler nach oben ab. Dazu sei a n = p x( + f n ) (f n = an p x p x heit \relativer Fehler"). Dann gilt f n und + f n+ = + f n + + f n ;

5 FOLGEN 3 also f n f n+ = + f n min(f n; fn)(= f n ; falls f n < ) : Hat man nach n Schritten fur a n einen Fehler f n m, so ist der Fehler f n+ dem nachsten Schritt ( m ) = m ; die Anzahl der \exakten Stellen" verdoppelt sich im Wesentlichen. Bemerkung und Denition 5.5 Es sei (a n ) eine beschrankte Folge in R. Wir betrachten die Mengen B n := fa k : k ng Es gilt dabei B n+ B n (und die B n sind beschrankt). Also existieren b n := sup B n und b n := inf B n (n N) und nach Denition von sup und inf sind die Folgen (b n ) bzw. (b n ) monoton fallend bzw. monoton wachsend (und beschrankt, da b b n b n b ). Also sind beide Folgen konvergent nach dem Hauptsatz uber monotone Folgen. Damit existieren a := lim n! b n und a := lim n! b n Die reelle ahl a heit Limes superior von (a n ) (Schreibweise: a =: lim a n oder auch n! lim sup a n ), und a heit Limes inferior von (a n ) (Schreibweise: a = lim a n oder auch n! n! lim inf a n). n! Satz 5.6 Es sei (a n ) eine beschrankte Folge in R, und es sei a R. Dann gilt. Es ist a = lima n genau dann, wenn folgende beiden Bedingungen gelten: a) Fur alle " > gilt a n < a + " fur fast alle n N. b) Fur alle " > gilt a n > a " fur unendlich viele n N.. Es ist a = lima n genau dann, wenn folgende beiden Bedingungen gelten: a) Fur alle " > gilt a n > a " fur fast alle n N. b) Fur alle " > gilt a n < a + " fur unendlich viele n N. Beweis.. \=)" Es sei a = lima n = lim n! supfa k : k ng, und es sei " > gegeben. Dann existiert ein N " mit a " < supfa k : k ng < a + " (n N " ). Aus der zweiten Ungleichung ergibt sich insbesondere a n < a + " (n N " ). Aus der ersten Ungleichung folgt, dass fur jedes n( N " ) ein k n existiert mit a " < a k. Damit gilt auch b).

5 FOLGEN 33 \(= " Es sei " > gegeben. Aus a) folgt b n = supfa k : k ng a + " fur fast alle n. Also ist lim a n = lim b n a + " : n! n! Aus b) folgt b n > a " fur alle n N. Also ergibt sich lim a n = lim b n a " : n! n! Da " > beliebig war, ist lim n! a n a und lim n! a n a, also insgesamt lim n! a n = a.. Der Beweis fur lima n verlauft analog. Beispiel 5.7 Es sei a n = ( ) n + n. Dann ergibt sich mit S. 5.6 lim a n = und lim a n = : Satz 5.8 Es sei (a n ) eine beschrankte Folge in R. Dann gilt. lim n! a n lim n! a n.. (a n ) ist genau dann konvergent, wenn lim a n = lim a n gilt (und in diesem Fall n! n! ist lim a n = lim a n = lim a n). n! n! n! Beweis.. Teil. ergibt sich sofort aus b n = inffa k : k ng b n = supfa k : k ng und lima n = lim b n ; lima n = lim b n :. \=)" Es sei (a n ) konvergent, lim a n =: a, und es sei " > gegeben. Dann gilt a " < a n < a + " fur fast alle n N " : Also sind a) und b) aus S. 5.6. und. erfullt und folglich gilt mit S. 5.6 lim a n = lima n = lima n : \(=" Gilt lima n = lima n =: a, so folgt aus S. 5.6 dass fur alle " > ein N () " N mit a n < a + " (n N () " )

5 FOLGEN 34 und ein N () " N mit a n > a " (n N () " ) existieren. Also gilt fur n N " := max(n () " ; N () " ) a " < a n < a + " : Da " > beliebig war, ist (a n ) konvergent mit lim a n = a. Damit gilt folgendes wichtige Konvergenzkriterium (fur R und C). Satz 5.9 (Cauchysches Konvergenzkriterium) Es sei (a n ) eine Folge in K. Genau dann ist (a n ) konvergent wenn (a n ) eine Cauchy- Folge ist. Beweis.. Ist (a n ) konvergent, so ist (a n ) nach S. 5.4. eine Cauchy-Folge.. Es sei umgekehrt (a n ) eine Cauchy-Folge. Dann ist (a n ) jedenfalls beschrankt nach S. 5.4.. a) unachst sei (a n ) eine reelle Folge. Nach S. 5.8. genugt es, zu zeigen lima n = lima n. Angenommen, die ist nicht der Fall. Dann ist lima n < lima n nach S. 5.8.. Es sei " := (lima n lima n )=3. Dann existiert ein N " N mit Auerdem existieren nach S. 5.6 ein n N " mit ja n a m j < " (n; m N " ) : ( ) a n > lima n " und ein m N " mit a m < lima n + " : Also folgt a n a m > lima n " lima n " = 3" " = " im Widerspruch zu ( ). b) Nun sei (a n ) eine beliebige komplexe Folge, und es sei a n = n + i n die Normaldarstellung von a n. Dann sind ( n ) und ( n ) Folgen in R und es gilt j n m j j n m j ) jan a m j (n; m N) : Also sind ( n ) und ( n ) Cauchy-Folgen in R. Nach. existieren ; R mit n! und n! (n! ). Also folgt mit S. 5.5 n + i n! + i (n! ) :

5 FOLGEN 35 Denition 5. Es sei (a n ) eine beliebige Folge in Y. Ist (n k ) eine streng monoton wachsende Folge in N, so heit (a nk ) kn eine Teilfolge von (a n ) nn. Es gilt damit Satz 5. Es sei (a n ) eine beschrankte Folge in R. Dann gilt:. Es existiert eine Teilfolge (a nk ) mit a nk! lim n! a n.. Es existiert eine Teilfolge (a mk ) mit a mk! lim n! a n. 3. Ist (a`k) eine konvergente Teilfolge von (a n ) so ist lim a n lim n! n! a`k lim a n : n! Beweis.. Wir denieren (n k ) induktiv. Dazu setzen wir n :=. Sind n ; : : : ; n k bereits deniert, so wahlen wir ein n k+ N mit n k+ > n k und so, dass ja nk+ lim n! a nj < =(k + ) gilt (existiert nach S. 5.6). Dann gilt a nk! lima n (k! ).. Analog 3. Es sei (a`k) eine konvergente Teilfolge von (a n ) und a := lim k! a`k. Ist " >, so existiert ein N " mit a n < lima n + " (n N " ) also auch a`k lima n + " fur k N " (beachte: `k k). Damit ist auch a lima n + ". Da " > beliebig war, gilt a lima n. Entsprechend sieht man, dass lima n a gilt. Als Konsequenz erhalten wir insbesondere folgenden zentralen Satz Satz 5. (Bolzano-Weierstra) Jede beschrankte Folge in K besitzt eine konvergente Teilfolge. Beweis.. Es sei K = R. Dann wahle man etwa (n k ) wie in S. 5.... Es sei K = C, und es sei (a n ) eine beschrankte Folge in C. Ist a n = n + i n die Normaldarstellung von a n, so sind die Folgen ( n ) und ( n ) in R beschrankt (es gilt j n j ja n j und j n j ja n j). Nach. existieren eine Teilfolge ( nk ) von ( n ) und ein R mit nk! (k! ). Da auch ( k ) := ( nk ) beschrankt ist, existieren wieder

5 FOLGEN 36 nach. eine Teilfolge ( nk` ) = ( k`) von ( k ) und ein R mit nk`! (`! ). Nach S. 5.5 gilt also nk` + i nk`! + i (`! ) : (Man beachte: Konvergiert eine Folge, so konvergiert auch jede Teilfolge, und zwar gegen den gleichen Grenzwert). Beispiel 5.3. Es sei a n = ( ) n ( + =n). Dann gilt a k = + k! und a k = k! :. Es sei a n = q n mit q C; jqj =. Dann ist auch ja n j = fur alle n. Also hat nach S. 5. die geometrische Folge (a n ) eine konvergente Teilfolge. Ist etwa q = i, so gilt a 4k =! ; a 4k+ = i! i; a 4k+ =! ; a 4k+3 = i! i :

6 REIHEN 37 6 Reihen Wir betrachten wieder die Folge (q ) ersten (n + ) Folgelieder gilt nach der geometrischen Summenformel Wegen q n+! (n! ) folgt nx nx fur ein q K mit jqj <. Fur die Summe der q = qn+ q q! q die Folge der Summen konvergiert also gegen Symbol P q fur den Grenzwert q. Bemerkung und Denition 6. Es sei (a ) : (n! ) ; q. Man verwendet dann kurz das eine Folge in K.. Die der Folge (a ) zugeordnete Folge (s n ) n der Partial- oder Teilsummen s n := nx a (n N ) P heit (die mit (a ) gebildete) Reihe und wird mit a bezeichnet. Die a heien dann Reihenglieder. P. Ist die Reihe s =: P a (also die Folge (s n )) konvergent gegen s, so schreiben wir a. Die ahl s heit dann der Reihenwert.!!! Man beachte, dass das Symbol P a also zwei Bedeutungen hat: Erstens steht es fur die Folge (s n ) der Teilsummen und zweitens (im Falle der Konvergenz!) fur deren Grenzwert. P Dass die Summation bei beginnt ist unwesentlich. Genauso kann man Reihen fur ein n N oder auch n betrachten (d. h. die Folge (s n = Beispiel 6.. Es sei a = (+) ( N). Dann gilt s n = nx = ( + ) = Also folgt lim n! s n =, d. h. nx = P = + (+) X = = nx = n+ X ist konvergent mit ( + ) = : = n P =n a ) n=n ). = n + : =n a

6 REIHEN 38. Es sei a = q fur ein q K; jqj <. Dann ist (s. o.) P X q = q : q konvergent mit Diese Reihe heit geometrische Reihe. Speziell ergibt sich etwa fur q = = oder auch X X = = = : Fur das \Rechnen" mit konvergenten Reihen gilt Satz 6.3 Es seien P P P a und b konvergente Reihen in K, und es seien ; K. =n =n Dann ist auch (a + b ) konvergent mit =n X X X (a + b ) = a + b : =n =n =n Beweis. Ergibt sich leicht durch Anwendung von S. 5.5. Damit gilt etwa X 3 + 4 5 = X 3 5 + 4 X 5 = 3=5 + 4 =5 = : Durch Ubertragung des Cauchy'schen Konvergenzkriteriums fur Folgen ergibt sich unmittelbar Satz 6.4 Es sei (a ) eine Folge in K.. (Cauchy-Kriterium fur Reihen) P Genau dann ist die Reihe a konvergent, wenn zu jedem " > ein N " N existiert mit nx =m+ a < " (n > m N " ) :

6 REIHEN 39. Ist P a konvergent, so gilt stets a n! (n! ) ; d. h. notwendig fur die Konvergenz einer Reihe ist die Bedingung, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden. Beweis.. Ist s n := n P P a, so ist (s n ) (und damit a ) nach S. 5.9 genau dann konvergent, wenn zu jedem " > ein N " N existiert mit js n s m j < " (n; m N " ) Dabei kann ohne Einschrankung n > m vorausgesetzt werden. Mit nx X m nx s n s m = a a = =m+ ergibt sich die Behauptung. P. Ist a konvergent, so folgt aus. insbesondere: u jedem " > existiert ein N " N mit ja n j = nx a < " (n > N " ) =n (wahle m = n ). Also gilt a n! (n! ). a Beispiel 6.5 Es sei q C mit jqj. Dann ist auch jq n j fur alle n. Also ist P q P nach S. 6.4 divergent. Insbesondere divergiert also etwa P und ( ) oder auch P i. Fur Reihen mit nichtnegativen Gliedern a gilt folgendes sehr einfache Kriterium Bemerkung 6.6 Es sei P a eine Reihe mit a fur alle N. Dann gilt: P. Ist die Folge (s n ) der Teilsummen beschrankt, so ist a konvergent.. Ist die Folge (s n ) der Teilsummen unbeschrankt, so gilt s n! (und insbeson- P dere ist a divergent).

6 REIHEN 4 (Denn: Fur die Teilsummen s n = n P a gilt s n s n = a n (n N) : Also ist (s n ) monoton wachsend. Also ergeben beide Aussagen sich unmittelbar aus dem Hauptsatz uber monotone Folgen.) P Man schreibt (nur fur a ) auch P a < im Fall. und Beispiel 6.7. (Harmonische Reihen) Es sei p N; p >. Dann ist P Denn: Es gilt fur n N (vgl. B. 6.) s n = nx = X n p = + nx = a = im Fall. = p konvergent. n X ( ) = + ( + ) = n < : P Also ist die Teilsummenfolge (s n ) beschrankt. Nach S. 6.6 ist konvergent (und p = P es gilt ). p = P Viel schwieriger ist die Frage nach dem Reihenwert zu beantworten. Man kann zeigen (etwa mit Methoden der \Fourier-Analysis") X =. (DIE harmonische Reihe) Die Reihe P = = p X = 6 ; 4 = 4 9 : = ist divergent. [Dies zeigt insbesondere, dass die Bedingung \a n! " nicht hinreichend fur die Konvergenz von a P ist!!!] (Denn: Fur alle j N ist s j = X j = = + + 3 + 4 + 5 + + + + 8 + + 4 + 4 8 + : : : + j j + j : Also ist (s n ) unbeschrankt.) j + + + j Satz 6.8 (Cauchy'scher Verdichtungssatz) Es sei (a n ) eine monoton fallende Folge mit a n. Dann konvergiert P dann, wenn die Reihe k a k konvergiert. k P = a genau

6 REIHEN 4 Beweis. Wir setzen s n := nx = a und n := Dann sind (s n ) und ( n ) monoton wachsend.. Es sei P k nx k k a k : k a k konvergent. Dann ist die Folge ( n ) beschrankt. Da (a ) monoton fallend ist, ergibt sich fur n N s n = nx = X a n+ = a Also ist auch (s n ) beschrankt.. Es sei P = ergibt sich fur n N n = = a + (a + a 3 ) + (a 4 + + a 7 ) + + (a n + + a n+ ) a + a + a 4 + + n a n = n : a konvergent. Dann ist (s n ) beschrankt. Da (a ) monoton fallend ist, nx k a k = a + a + a 4 + 3 a 8 + + n a n k = a + a + a 4 + a 8 + + n a n fa + a + (a 3 + a 4 ) + (a 5 + + a 8 ) + + (a n + + + a n)g = n X = a = s n : P Also ist auch ( n ) beschrankt und folglich k a k konvergent. k Beispiel 6.9 Es sei p N. Dann ist P = pp konvergent. (Denn: Die Folge a = pp ist monoton fallend und. Nach S. 6.8 konvergiert P P a genau dann, wenn k a k konvergiert. Es gilt = X k k k a k = X k k =( k p p k ) = X k (= p p ) k und diese geometrische Reihe konvergiert, da = p p < ist.) Ein weiteres klassisches Konvergenzkriterium gilt fur so genannte \alternierende Reihen":

6 REIHEN 4 Satz 6. (Leibnizsches Konvergenzkriterium fur alternierende Reihen) Es sei (a n ) eine monotone fallende Folge (nichtnegativer) ahlen a n mit lim n! a n =. P Dann konvergiert die Reihe ( ) a. Beweis. unachst gilt fur alle n s n s n = nx X n ( ) a ( ) a = ( ) n (a n a n ) ; {z } d. h. die Teilfolge (s j ) ist monoton fallend und die Teilfolge (s j+ ) ist monoton wachsend. Weiter gilt s j = Xj ( ) a = (a a ) + (a a 3 ) {z } {z } + + (a j a j ) {z } + a {z} j : Folglich ist (s j ) nach dem Hauptsatz uber monotone Folgen konvergent. Ist s := lim j! s j, so gilt auch s j+ = s j a j+ {z }! s (j! ) :! Hieraus folgt auch s n! s fur n! ([U]). Beispiel 6. (alternierende harmonische Reihe) Die Reihe P = P Wahrend also ( ) = konvergiert nach S. 6. (denn: a n & (n! )). = (nach B. 6.5.) divergiert, fuhrt das \Anbringen" abwechselnder Vorzeichen zur Konvergenz. Wir untersuchen nun Reihen, bei denen dieser Unterschied nicht auftritt. Denition 6. Es sei falls P P P ja j konvergent ist. Ist bedingt konvergent. P a eine Reihe in K. Dann heit a absolut konvergent, P a konvergent und P ja j divergent, so heit a Beispiel 6.3. Wie oben gesehen, ist P. Die Reihe P 6.7). = = ( ) bedingt konvergent. ( ) p ist fur jedes feste p N mit p > absolut konvergent (vgl. B.