F. Wärmlitung in ippnsystmn F1 Zil: Erhöhung ds Wärmstroms (Fstkörpr Fluid) durch Vrgrößrung dr Austauschfläch Litratur: Elsnr, Hrwig, VDI-Atlas Stationär Wärmlitung in und Wärmübrgang von ippn (Einfach Thori) V: Tmpratur übr ippnqurschnitt konstant Sih Figur! Dünn ipp ippnmatrial: Wärmlitfähigkit: λ const Wärmübrgangskoffizint: α const
F2 U dq ( ) da α T a ipp Q ( + d) Q + d 0 λ ippnfuß A A ( + d) Qurschnitt : A A Obrfläch : A A Wärmbilanz aus ippnlmnt Q Q + d dq 0 (1) α 2 ( ) Taylor : Q +d Q + Q d + O d (2) Fourir: dq da T T (3) a Fourir: Q ( ) λa( ) T (4) 2 1 α T + A T A ( T T a ) 0 (5) A λa (1-4):
Spzialfall: Ebn ippn mit konstantm Qurschnitt F3 A A const (6a) ippnobrfläch A U (6b) ippnumfang : U const A U const (6c) T, a α T T 0 0 Q0 Q λ θ ( ) T( ) Ta 0 H Tmpraturglichung (5), (6) 2 αu T ( T T a ) 0 (7) λa Abkürzungn: αu m² (8a) λa θ a T T (8b)
(7,8) 2 θ m² θ 0 (9) F4 ODE, 2.Ordnung, Koff. konstant! Lösung übr Ansatz θ p (10) (9,10) p ± m (11) m 1 2 m θ C + C (12) Bstimmung von C 1, C 2 übr andbdingungn 1) ippnbasistmpratur si bkannt: θ ( 0) T0 T a (13) (12) θ 0 C1 + C2 (14a)
2) ippnhöh (H) so groß, dass Wärmstrom durch Stirnfläch vrnachlässigt wrdn kann F5 Fourir Q λa T λa θ mh mh λ ( 1 2 ) (12) Q H A m C + mc 0 (14b) (14a, b) : C mh 1 mh mh 0 + θ (15a) C mh 2 mh mh 0 + θ (15b) mh ( ) mh ( + ) (15,12) θ( ) θ mh mh 0 (16) + θ ( ) Cosm H ( ) Cos mh θ 0
F6 Gsamtr Wärmstrom durch ippnfuß: mh ( ) mh ( ) (16) Q + ( ) λa θ λaθ0m (17) mh mh + λ θ Q0 A mthmh (17a) 0 m αu λa Hyprbolisch Tangnsfunktion: Th + +1 0 1
αλ θ0 17a,8a Q 0 AU Th mh (18) F7 θ T T 0 0 a m αu λa Vrstärkrungsfaktor () dr Wärmabgab von Basisstruktur durch ipp: Wärmabgab durch Basisfläch ohn ipp: Q αa θ (19) 0 0 Wärmabgab durch ipp nach (18) Q0 αa θ (18a) 0 λu (18,19) Th ( mh ) (20) αa
Maimal von ipp abgbbar Wärm (ippnobrfläch hat übrall BasistmpraturT 0 ): F8 Q α U H θ (21) ma 0 A H UH ippnwirkungsgrad: η Q0 Q ma λa 1 (18),(21) η Th( mh ) (22) αu H 1 1 mh Th mh 0 groß, lang ippn lohnn nicht! H 1 lim Th mh m m² H H 0 + Ο
``ippnfaktor`` (F) F9 ( ) Q0 F T T (23) 0 a αu (18) F αλua Th H (24) λa chtckrippn, Läng, Höh H, Dick d Q0 λ α H T a d T 0 Q0 A d ( ) U 2 d + Aufgabn A19, A20
Krisrippn um Zylindrrohr F10 d ( + dr) Qr Qr ( + dr) Qr dq,t r dq Qr dq r a T a Hohlzylindrlmnt r a H ra H Wärmabgab durch Vordr- und ücksit dr ipp! Sationarität Zylindrrohr,Außnradius: r a Krisripp: Höh H Basisfläch A 2π r d B a ippnobrflächnlmnt da 2π r dr ippnobrfläch A 2π ² r ² + 2π d ippntmpratur: T T r a () ippnfußtmpratur: T T r... bkannt. 0 a
Enrgibilanz Hohlzylindrlmnt: Sationarität! F11 Qr Qr + dr 2dQ r 0 (1) Taylor Entwicklung 2 ( + ) () + () + Ο Qr dr Qr Qr dr dr (2) r ( () ) a Wärmübrgang ippnflächnlmnt da dq α da T r T (3) Homogn Tmpraturvrtilung in dr ipp! Nwton Fourir Gstz innrr Wärmfluss Q 2π r d q r (4) qr () λ rtr () r (5) r 2 1 (1 5) rθ + rθ m² θ 0 (6) r () () θ r T r T (7) a 2α 2α m², m ± (8) λd λd (6): ODE 2.Ordnung, andbdingungn!
Bssl Funktionn J 0... K 3 F12 f.: Wikipadia,2010
Allg. Lösung von (6) F13 θ r C J mr + C K (9) 1 0 2 0 J 0, K 0 modifizirt Bssl Funktionn als Spzialfäll dr Hyprgomtrischn ih Litratur: Bronstin Smndjajw Taschnbuch dr Mathmatik, Tubnr; Madlung, Smirnow, Fichtnholz Bstimmung Intgrationskonstant C, 1 C 2 übr andbdingungn: 1) r r : θ r T T...vorggbn (10) a a 0 a 2) r ra + H : θ 0 kin Wärm- (11) strom am ippnnd
F14 Wärmstrom durch ippnbasis Wärmstrom abggbn / aufgnommn durch ippnobrfläch (4) Q Q r A q r (12) 0 a B a λ θ qr r (13) a r a Brchnung von θ ( r ) AB 2π ra d...basisfläch (14) dr ipp nach Gl. (9) allgmin möglich! r Bschränkung auf Schmidt Nährung a Q A T T (15) 0 α B 0 a α ( ( a )) λm Th mh 1 + 0,35ln r 1 + (16) 21 0,35ln r r + a a m + 2α λd...ippnaußnradius r a...ohraußnradius V : mh 2, mr 0,5 (17) a α Äquivalntr WÜ Koffizint dr ipp. Aufgab A21
Andr ippnformn F15 Nährungswis Brchnung ds abggbnn Wärmstroms als Wärmstrom durch Basisfläch dr ipp. Vrglich dr ipp mit a) Ebnr ipp auf bnr Wand b) Krisripp um Zylindrrohr Einführung von ``äquivalntn`` ippnparamtrn (Dick d, Höh H) aus Mssungn bzw. Erfahrung. a) Q α A ( T T ) 0 B 0 a Basistmpratur Umgbungstmpratur Basisfläch dr ipp A B d Äquivalntr WÜ Koffizint α m λ Th mh m 2α λd Th mh > 2 1
F16 b) Q A T T 0 α B 0 a A 2π r d B a α ( ( a )) λm Th mh 1 + 0,35ln r 1 + 21 0,35ln r r + a a limα mλ Th mh... bn ipp ( r) 1 a
Äquivalnt Dickn vrschidnr ippn auf bnr Wand Litratur: Elsnr, VDI -Wärmatlas F17
Äquivalnt Dickn und Höhn vrschidnr ippn auf Zylindrrohrn F18 Litratur: Elsnr, VDI -Wärmatlas