Inhalt der Vorlesung Elemente der Algebra und Zahlentheorie Prof. Dr. Arno Fehm TU Dresden SS2017 Kapitel I. Gruppen 1 Grundlegende Definitionen (Wiederholung) 1.1 Definition. Eine Gruppe ist ein Paar (G, ) einer Menge G und einer Abbildung : G G G mit (G1) Für x, y, z G ist (x y) z = x (y z). (Assoziativität) (G2) Es gibt ein e G (neutrales Element), für das für alle x G gilt: x e = e x = x. (G3) Für jedes x G gibt es ein x G (inverses Element) mit x x = x x = e. Gilt zusätzlich x y = y x für alle x, y G, so heißt die Gruppe G abelsch. (Wird nur (G1) gefordert, so spricht man von einer Halbgruppe; werden (G1) und (G2) gefordert, so spricht man von einem Monoid.) 1.2 Bemerkung. Existiert in einer Halbgruppe ein neutrales Element, so ist dieses eindeutig bestimmt. In einer Gruppe existiert zu jedem Element genau ein inverses Element. Wir schreiben Gruppen meist multiplikativ (also (G, ) mit neutralem Element 1 und Inversem x 1 ), abelsche Gruppen auch additiv ((G, +) mit neutralem Element 0 und Inversem x), und es gelten die üblichen Konventionen (z.b. xy = x y, x 3 = x x x). Ist aus dem Kontext klar, welche Verknüpfung gemeint ist, schreibt man oft auch einfach G für die Gruppe (G, ). 1.3 Beispiel. (a) Die natürlichen Zahlen N bilden mit der Addition eine Halbgruppe (N, +) ohne neutrales Element. (b) Die natürlichen Zahlen N bilden mit der Multiplikation eine Halbgruppe (N, ) mit neutralem Element 1. (c) Die ganzen Zahlen Z bilden mit der Addition eine Gruppe (Z, +) mit neutralem Element 0. (d) Die von Null verschiedenen rationalen Zahlen Q := Q \ {0} bilden mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe (Q, ). (e) Die Menge Z/nZ = {0,..., n 1} der Restklassen modulo n bildet eine Gruppe unter Addition. (f) Die Menge (Z/nZ) der Restklassen modulo n der zu n teilerfremden ganzen Zahlen bildet eine Gruppe unter Multiplikation. (g) Die Menge S n der Permutationen der Menge {1,..., n} bildet mit der Komposition eine Gruppe (die symmetrische Gruppe). Für n 3 ist S n nicht abelsch. 1.4 Bemerkung. In einer Gruppe (G, ) gelten (x 1 ) 1 = x und (xy) 1 = y 1 x 1, und es gelten die Kürzungsregeln a x = a y x = y, x a = y a x = y. 1
1.5 Definition. Eine Untergruppe einer Gruppe (G, ) ist eine nichtleere Teilmenge H G mit (UG1) Für x, y H ist x y H. (Abgeschlossenheit unter Multiplikation) (UG2) Für x H ist x 1 H. (Abgeschlossenheit unter Inversen) 1.6 Bemerkung. Genau dann ist H eine Untergruppe von G, wenn sich die Verknüpfung zu einer Abbildung H : H H H einschränken lässt (d.h. H H = ι H H, wobei ι H : H G die Inklusionsabbildung ist) und (H, H) eine Gruppe ist. Wir nennen nicht nur die Menge H eine Untergruppe von G, sondern auch die Gruppe (H, H). Wir schreiben dies als H G. 1.7 Beispiel. (a) Jede Gruppe G hat die trivialen Untergruppen H = G und H = {e}. (b) Ist H G und K H, so ist auch K G. (Transitivität) (c) Unter Addition ist Z Q R eine Kette von Untergruppen, unter Multiplikation ist Z := {1, 1} Q R eine Kette von Untergruppen. 1.8 Definition. Ein Abbildung f : G H ist ein Gruppenhomomorphismus (oder ein Homomorphismus von Gruppen), wenn für alle x, y G gilt: (GH) f(xy) = f(x)f(y) Die Menge der Homomorphismen f : G H bezeichnet man mit Hom(G, H). Der Kern eines Gruppenhomomorphismus f : G H ist Ker(f) := f 1 (1) = {x G : f(x) = 1}. Ein Homomorphismus f : G H ist ein Monomorphismus, wenn f injektiv ist, ein Epimorphismus, wenn f surjektiv ist, und ein Isomorphismus, wenn f bijektiv ist. Die Gruppen G und H heißen isomorph, in Zeichen G = H, wenn es einen Isomorphismus G H gibt. 1.9 Lemma. Sei f : G H ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt: (a) f(1) = 1 (b) Für x G ist f(x 1 ) = f(x) 1. (c) Für x 1,..., x n G ist f(x 1 x n ) = f(x 1 ) f(x n ). (d) Ist G 0 G eine Untergruppe, so ist f(g 0 ) H. (e) Ist H 0 H eine Untergruppe, so ist f 1 (H 0 ) G. 1.10 Beispiel. (a) Die Identität id G : G G ist ein Gruppenhomomorphismus. (b) Die konstante Abbildung c 1 : G H, x 1, ist ein Gruppenhomomorphismus. (c) Ist G 0 G eine Untergruppe, so ist die Inklusionsabbildung ι : G 0 G ein Gruppenhomomorphismus. (d) Ist (A, +) eine abelsche Gruppe und k Z, so ist A A, a ka, ein Gruppenhomomorphismus. (e) Für n N ist die Abbildung Z Z/nZ, a ā, ein Gruppenepimorphismus. (f) Die Exponentialfunktion R R >0, x e x ist ein Gruppenisomorphismus. 1.11 Bemerkung. Genau dann ist f injektiv, wenn Ker(f) = {1}. Eine Komposition von Gruppenhomomorphismen ist ein Gruppenhomomorphismus. Isomorphie (von Gruppen) ist eine Äquivalenzrelation. 2
2 Ordnung und Index Sei G eine Gruppe. 2.1 Lemma. Ist U eine Menge von Untergruppen von G, so ist U := H U H G. 2.2 Satz. Ist X G eine Teilmenge, so gibt es eine eindeutig bestimmte kleinste Untergruppe H von G, die X enthält. Beweis. Der Durchschnitt über die Menge aller Untergruppen von G, die X enthalten, ist die kleinste Untergruppe von G, die X enthält. 2.3 Definition. Ist G eine Gruppe und X G eine Teilmenge, so nennt man die kleinste Untergruppe von G, die X enthält, die von X erzeugte Untergruppe von G und bezeichnet sie mit X, falls X = {x 1,..., x n } endlich auch mit x 1,..., x n. Wird G selbst von einer endlichen Menge erzeugt, so nennt man die Gruppe G endlich erzeugt. 2.4 Satz. Ist G eine Gruppe und X G, so gilt X = {x ɛ 1 1 x ɛn n : n N 0, x 1,..., x n X, ɛ 1,..., ɛ n {±1}}. 2.5 Beispiel. (a) Die leere Menge X = G erzeugt stets die triviale Untergruppe = {e} G. (b) Jede endliche Gruppe G ist endlich erzeugt. (c) Die Gruppe Z ist endlich erzeugt: Z = 1. (d) In der Gruppe Z ist n = nz := {nx : x Z} für jedes n N 0. 2.6 Definition. Seien A, H G und g G. 1. #G N { }, die Ordnung von G 2. ord(g) := # g, die Ordnung von g 2.7 Beispiel. Es ist #Z =, #Z/nZ = n, #S n = n!. In G = Z ist ord(0) = 1 und ord(k) = für k 0. In G = Z/nZ ist ord( 1) = n. 2.8 Lemma. Für g G mit ord(g) = n < ist g = {1, g,..., g n 1 } und ord(g) = min{k N : g k = 1}. 2.9 Definition. Seien A, B G, H G und g G. 1. AB := A B := {ab : a A, b B}, das Komplexprodukt von A und B 2. gh := {g} H = {gh : h H}, die Linksnebenklasse von H bzgl. g (oder nach g, auch von g modulo H ); Hg := H {g}, die Rechtsnebenklasse von H bzgl. g 3. G/H := {gh : g G}, H \ G := {Hg : g G}. 2.10 Lemma. Seien H G und g, g G. (a) gh = g H g = gh für ein h H; und Hg = Hg g = hg für ein h H (b) Es ist gh = g H oder gh g H =, und Hg = Hg oder Hg Hg =. (c) Durch gh Hg 1 wird eine wohldefinierte Bijektion G/H H \ G gegeben. 3
2.11 Definition. Sei H G. Dann ist der Index von H in G. (G : H) := #G/H = #H \ G N { } 2.12 Beispiel. (Z : kz) = k, (G : {1}) = #G 2.13 Satz. Der Index ist multiplikativ: Für K H G ist (G : K) = (G : H) (H : K). Beweis. Nach 2.8(b) ist G die disjunkte Vereinigung der Linksnebenklassen von H. Ist also G = i I g ih und analog H = j J h jk, so ist G = i I j J g ih j K, also (G : K) = #(I J) = (G : H) (H : K). 2.14 Korollar (Satz von Lagrange). Ist G endlich und H G, so gilt #H #G und (G : H) #G. 2.15 Beispiel. Es folgt: Ist #G = p prim, so ist G = g für jedes 1 g G. 2.16 Korollar. Ist G endlich und n = #G, so ist g n = 1 für alle g G. 2.17 Beispiel. Es gilt der Kleine Satz von Fermat: Für a Z ist a p a mod p. 3 Normalteiler und Quotientengruppen Sei G eine Gruppe. 3.1 Lemma. Ist f : G H ein Homomorphismus, so ist N := Ker(f) eine Untergruppe von G mit x 1 yx N für alle x G, y N. 3.2 Definition. Ist N eine Untergruppe von G mit x 1 yx N für alle x G, y N, so nennt man N normal in G (oder einen Normalteiler von G) und schreibt N G. 3.3 Lemma. Seien H G und N G. (a) H G gh = Hg für alle g G (b) HN = NH, HN G, N HN, H N N und H N H (c) Sind N, H G, so auch H N G und HN G. (d) Für g, g G ist gn g N = gg N. 3.4 Definition. Sei N G. Die Quotientengruppe (auch Faktorgruppe) G/N ist die Menge G/N zusammen mit dem Komplexprodukt als Multiplikation. 3.5 Satz. Sei N G. Dann ist G/N eine Gruppe und π N : G G/N, g gn ist ein Gruppenepimorphismus mit Ker(π N ) = N. 3.6 Korollar. Die Normalteiler sind genau die Kerne von Gruppenhomomorphismen. 3.7 Lemma. Sei N G. Für H G ist π N (H) = HN/N G/N. Insbesondere liefert H π N (H) eine Bijektion zwischen den H G mit N H und den U G/N. 4
3.8 Satz (Homomorphiesatz). Sei ϕ : G H ein Gruppenhomomorphismus und N G mit N Ker(ϕ). Dann existiert genau ein Gruppenhomomorphismus ϕ : G/N H mit ϕ = ϕ π N. 3.9 Korollar. Ein Gruppenhomomorphimus ϕ : G H induziert einen Isomorphismus = ϕ : G/Ker(ϕ) Im(ϕ) H. 3.10 Korollar (1. Isomorphiesatz). Seien H G und N G. Die Abbildung induziert einen Isomorphismus ϕ : H HN π N HN/N ϕ : H / (H N) = HN /N. 3.11 Korollar (2. Isomorphiesatz). Seien N G und N H G. Die Abbildung π H : G G/H induziert einen Isomorphismus (G/N) / (H/N) 3.12 Definition. Seien x, x, g G und H G. = G /H. 1. x g := g 1 xg, Konjugation von x mit g 2. x und x heißen konjugiert (in G) : ex. g G mit x = x g 3. Aut(G) := {ϕ : G G Isomorphismus} mit Multiplikation ϕ ϕ := ϕ ϕ, die Automorphismengruppe von G 3.13 Lemma. Die Abbildung int : G Aut(G), g (x x g ) ist ein Gruppenhomomorphismus. 3.14 Definition. 1. Inn(G) := Im(int) Aut(G), die Gruppe der inneren Automorphismen von G 2. Z(G) := Ker(int) = {g G : xg = gx für alle x G}, das Zentrum von G 3. H G ist charakteristisch : H = σ(h) für alle σ Aut(G) 3.15 Bemerkung. Sei H G. Genau dann ist H normal, wenn H = σ(h) für alle σ Inn(G). Deshalb ist jede charakteristische Untergruppe von G auch normal in G. 3.16 Beispiel. Die sogenannte Kommutatorgruppe G = {x 1 y 1 xy : x, y G} ist charakteristisch und deshalb normal, ebenso G, G, usw. 4 Zyklische Gruppen Sei G eine Gruppe. 4.1 Definition. G ist zyklisch : G = g für ein g G 4.2 Lemma. Die Untergruppen von (Z, +) sind genau die k = Zk mit k N 0, und für k 1,..., k r Z ist k 1,..., k r = k mit k = ggt(k 1,..., k r ). 5
Beweis. Sei H Z. Ist k = min{n N : n H}, so ist H = k : Wäre m H \ k, so wäre m = a + bk mit a {1,..., k 1} und a = m bk H. 4.3 Satz. Sei G zyklisch. Dann ist G abelsch, und G = (Z, +) oder G = (Z/nZ, +) mit n = #G. Beweis. Ist G = g, so ist Z G, k g k ein Epimorphismus mit Kern kz für ein k nach 4.2, die Behauptung folgt dann aus 3.9. 4.4 Definition. Für n N bezeichnen wir mit C n die bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte zyklische Gruppe der Ordnung n in multiplikativer Notation. 4.5 Satz. Sei G = (G, +) = g zyklisch der Ordnung n N. (a) Zu jedem d N mit d n hat G genau eine Untergruppe der Ordnung d, nämlich U d := n g. d (b) Für d n, d n ist U d U d genau dann, wenn d d. (c) Für k 1,..., k r Z ist k 1 g,..., k r g = dg = U n mit d = ggt(k 1,..., k d r, n). (d) Für k Z ist ord(kg) = n. ggt(k,n) 4.6 Definition. Das direkte Produkt von Gruppen G 1,..., G k ist das kartesische Produkt G 1 G k mit komponentenweise Multiplikation. Wir schreiben auch k i=1 G i. Im Fall additiver Notation spricht man auch von der direkten Summe und schreibt k i=1 G i oder G 1 G k. 4.7 Theorem (Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen, ohne Beweis). Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe G = g 1,..., g l ist eine direkte Summe zyklischer Gruppen: G r k = Z Z/d i Z i=1 mit eindeutig bestimmten r N 0, d 1,..., d k N, die d i d i+1 für alle i erfüllen. 4.8 Beispiel. Ist K ein endlicher Körper, so sind sowohl (K, +) als auch (K \ {0}, ) endliche abelsche Gruppen. Für jedes n N sind (Z/nZ) und Aut(Z/nZ) endliche abelsche Gruppen. 4.9 Lemma. Sei G = (G, +) zyklisch von Ordnung n <. Die Endomorphismen von G sind genau die ϕ k : G G, x kx mit k = k + nz Z/nZ. Dabei ist ϕ l ϕ k = ϕ kl für k, l Z/nZ. 4.10 Satz. Ist G zyklisch der Ordnung n <, so ist Aut(G) = (Z/nZ). i=1 6