Rechenoperationen mit Folgen. Die Menge aller Folgen in V bildet einen Vektorraum, V N, für den die Addition und skalare Multiplikation wie folgt definiert sind. (a n ) n N + (b n ) n N := (a n + b n ) n N λ(a n ) n N := (λa n ) n N Rekursion und Iteration. Folgen lassen sich rekursiv beschreiben durch a n+1 := Φ(n, a n ), für n N, wobei Φ : N V V eine bestimmte Iterationsvorschrift bezeichnet. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 77
Das Bisektionsverfahren (Intervallhalbierung). Ziel: Bestimme eine Nullstelle einer stetigen Funktion f : [a, b] R. Voraussetzung: f(a) f(b) < 0. Iteration: Definiere zwei Folgen (u n ) n N0 und (v n ) n N0 rekursiv mit den Startwerten (u 0, v 0 ) = (a, b) und der folgenden Iterationsvorschrift. FOR n = 1, 2,... x := (u n 1 + v n 1 )/2 IF f(x) = 0 THEN RETURN IF (f(x) f(v n 1 ) < 0) THEN u n := x; v n := v n 1 ; ELSE u n := u n 1 ; v n := x; OUTPUT: x mit f(x) = 0, Nullstelle von f in [a, b]. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 78
Beispiel. f : [1, 2] R mit f(x) = x 2 2, a = 1 und b = 2. Beachte: f( 2) = 0, d.h. 2 = 1.4142 13562... ist Nullstelle von f. n u n v n 0 1.0000 00000 2.0000 00000 1 1.0000 00000 1.5000 00000 2 1.2500 00000 1.5000 00000 3 1.3750 00000 1.5000 00000 10 1.4140 62500 1.4150 39063 20 1.4142 13181 1.4142 14134 30 1.4142 13562 1.4142 13562 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 Graph von f(x) = x 2 2. Beobachtung: Das Bisektionsverfahren konvergiert relativ langsam! Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 79
Das Newton-Verfahren. Ziel: Bestimme eine Nullstelle einer differenzierbaren Funktion f : [a, b] R. Verwende Newton-Iteration: mit Startwert x 0. x n+1 := x n f(x n) f (x n ), für f (x n ) 0, Bemerkung: Verfahren konvergiert, falls x 0 nahe bei einer Nullstelle von f liegt. Beispiel: Für f(x) = x 2 2 und x 0 = 1 erhält man n 0 1 2 3 4 t n 1.0000 1.5000 1.4166 66667 1.4142 15686 1.4142 13562 Erinnerung: f( 2) = 0, d.h. 2 = 1.4142 13562... ist Nullstelle von f. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 80
Konvergenz von Folgen. Definition: Sei (a n ) n N eine Folge in einem normierten Vektorraum V. Dann heißt (a nj ) j N für n j N mit 1 n 1 < n 2 <... eine Teilfolge von (a n ) n N. die Folge (a n ) n N beschränkt, falls es ein C > 0 gibt mit n N : a n C. die Folge (a n ) n N konvergent mit Grenzwert (Limes) a V, falls ε > 0 : N = N(ε) N : n N : a n a < ε. Eine nicht-konvergente Folge heißt divergent. die Folge (a n ) n N Cauchy-Folge, falls ε > 0 : N = N(ε) N : n, m N : a n a m < ε. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 81
Satz: Sei (a n ) n N eine Folge in einem normierten Vektorraum. Dann gilt: (a) (a n ) konvergent = (a n ) beschränkt; (b) (a n ) konvergent = (a n ) Cauchy-Folge; (c) Falls (a n ) konvergiert, so ist der Grenzwert von (a n ) eindeutig bestimmt. Beweis von (a): Sei (a n ) konvergent mit Grenzwert a. Dann gilt für vorgegebenes ε > 0 die Abschätzung a n = a n a + a a n a + a < ε + a für alle n N(ε). Damit ist die Folge (a n ) beschränkt mit der Konstanten C = max{ a 1, a 2,..., a N 1, a + ε}. Also n N : a n C. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 82
Beweis von (b): Sei (a n ) konvergent mit Grenzwert a. Dann gilt für vorgegebenes ε > 0 die Abschätzung a n a m = a n a + a a m a n a + a m a < ε 2 + ε 2 = ε für alle n, m N = N(ε/2) Beweis von (c): Sei (a n ) konvergent mit verschiedenen Grenzwerten a und a. Dann gelten für ε > 0 die Abschätzungen a n a < ε a n a < ε für alle n N(ε) für alle n N(ε) Somit folgt für n max{n,n} die Ungleichung a a = a a n + a n a a n a + a n a < 2ε. Da dies für jedes ε > 0 gilt, folgt a = a im Widerspruch zur Annahme a a. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 83
Notationen. Für eine konvergente Folge (a n ) mit Grenzwert a schreiben wir lim a n = a oder a n a (n ). n Uneigentliche Konvergenz...... bzw. Divergenz gegen den uneigentlichen Grenzwert ±. Für reelle Folgen definieren wir zusätzlich lim n a n = C > 0: N N : n N :a n > C lim n a n = C > 0: N N : n N :a n < C Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 84
Bemerkungen. Die Umkehrung der Aussage im Satz, Teil (b), (a n ) Cauchyfolge = (a n ) konvergent gilt nur in gewissen normierten Räumen, nämlich in vollständigen Räumen bzw. Banachräumen. Einen vollständigen Euklidischen Vektorraum nennt man Hilbertraum. Beispiele: für vollständige Räume: (R, ), (C, ), (R n, ), (C[a, b], ); für einen nicht vollständigen Raum: (C[a, b], 2 ). Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 85
Satz: Seien (a n ) und (b n ) zwei konvergente Folgen. Dann konvergieren die beiden Folgen (a n + b n ) und (λa n ) für λ R (bzw. λ C), wobei gilt (a) lim n (a n + b n ) = lim n a n + lim n b n, (b) lim n (λa n ) = λ lim n a n. Beweis: Sei a = lim n a n und b = lim n b n, d.h. a sei Grenzwert von (a n ) und b sei Grenzwert von (b n ). (a): Für n max{n 1 (ε/2), N 2 (ε/2)} gilt (a n + b n ) (a + b) a n a + b n b < ε 2 + ε 2 = ε. (b): Sei λ 0. Dann gilt für n N 1 (ε/ λ ) die Abschätzung Der Fall λ = 0 ist trivial. λa n λa = λ a n a < λ ε λ = ε Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 86
Konvergenzgeschwindigkeit. Definition: Sei (a n ) eine konvergente Folge mit Grenzwert a. (a) Die Folge (a n ) heißt (mindestens) linear konvergent, falls eine Konstante 0 < C < 1 und ein Index N N existiert mit n N : a n+1 a C a n a (b) Die Folge (a n ) heißt (mindestens) superlinear konvergent, falls es eine nicht-negative Nullfolge C n 0 gibt mit lim n C n = 0, so dass n: a n+1 a C n a n a (c) Die Folge (a n ) heißt konvergent der Ordnung (mindestens) p > 1, falls es eine nicht-negative Konstante C 0 gibt mit n: a n+1 a C a n a p. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 87
4 Konvergenz von Folgen und Reihen 4.1 Konvergenzkriterien für reelle Folgen Definition: Eine reelle Folge (a n ) n N heißt monoton wachsend streng monoton wachsend nach oben beschränkt n < m :a n a m n < m :a n < a m C R : n : a n C Analog definiert man die Begriffe monoton fallend streng monoton fallend nach unten beschränkt n < m :a n a m n < m :a n > a m C R : n : a n C Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 88
Satz: Eine monoton wachsende, nach oben beschränkte reelle Folge (a n ) n N ist konvergent mit Grenzwert lim a n = sup{a n n N}. n Beweis: Sei (a n ) n N nach oben beschränkt. Dann gilt s = sup{a n n N} <. Sei nun ε > 0 gegeben. Dann existiert ein N = N(ε) mit s ε < a N s Die Folge (a n ) n N ist monoton wachsend, also folgt s ε < a N a n s n N, d.h. s a n < ε n N N(ε) Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 89
Folgerung (Prinzip der Intervallschachtelung): Sei (a n ) n N eine monoton wachsende reelle Folge und (b n ) n N eine monoton fallende reelle Folge mit a n b n für alle n N. Dann sind beide Folgen konvergent. Gilt weiterhin lim (a n b n ) = 0, n so haben (a n ) n N und (b n ) n N denselben Grenzwert, d.h. es gibt ein ξ R mit ξ = lim n a n = lim n b n. Weiterhin gelten in diesem Fall die Fehlerabschätzungen a n ξ b n a n und b n ξ b n a n. a 1 a 2 a 3 ξ b 3 b 2 b 1 Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 90
Beispiel. Definiere für 0 < a < b zwei Folgen (a n ) und (b n ) rekursiv durch a 0 := a b 0 := b a n+1 := a n b n b n+1 := (a n + b n )/2 für n 0. Die Folgen (a n ) und (b n ) bilden Intervallschachtelung, und es gilt (b n+1 a n+1 ) b n a n 2 Der gemeinsame Grenzwert von (a n ) und (b n ) lim a n = lim b n n n heißt arithmetisch-geometrisches Mittel von a und b. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 91
Die Bernoullische Ungleichung. Es gilt x 1, n N :(1 + x) n 1 + nx, wobei Gleichheit nur für n = 1 oder x = 0 gilt. Beweis: vollständige Induktion. Die Geometrische Folge. Sei (a n ) n N reelle Folge mit a n := q n für q R. Dann gilt q > 1 : lim n q n = + (q n = (1 + (q 1)) n 1 + n(q 1)) q = 1 : lim n q n = 1 0 < q < 1 : lim n q n = 0 1 < q 0 : lim n q n = 0 ( q n = q n ) ( ) q n 1 1 = (1+(1/q 1)) n 1+n(1/q 1) q = 1 : (q n ) beschränkt, aber nicht konvergent (q n { 1, 1}) q < 1 : (q n ) divergent, kein uneigentlicher Grenzwert Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 92
Weitere Rechenregeln. Satz: Seien (a n ) n N und (b n ) n N konvergente reelle Folgen. Dann gilt (a) lim n (a n b n ) = (lim n a n ) (lim n b n ) (b) n:b n 0 lim n b n 0 = lim n ( an b n ) = lim n a n lim n b n (c) n:a n 0 m N = lim n m a n = m lim n a n Beweis: Seien (a n ) n N und (b n ) n N zwei konvergente Folgen mit lim a n = a und lim b n = b n n Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 93
Beweis von (a): Für ε > 0 und n N N(ε) gilt a n b n ab = a n b n a n b + a n b ab a n b n b + b a n a C a b n b + b a n a < (C a + b )ε Beweis von (b): Da b n 0 und b 0 existiert eine Konstante C b > 0 mit C b b n für alle n N. Damit gilt 1 1 b n b = b b n b n b = 1 b n b b n b für hinreichend große n N N(ε). 1 C b b ε Nun folgt die Aussage in Teil (b) direkt aus Teil (a), denn es gilt 1/b n 1/b. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 94
Beweis von (c): Wir setzen hierzu folgenden Satz voraus. Satz: Zu a > 0 und m N existiert genau eine Zahl w > 0 mit w m = a. Diese Zahl wird mit w = m a bezeichnet. Fall 1: Sei (a n ) eine Nullfolge und ε > 0 vorgegeben. a n < ε m n N(ε m ) Daraus folgt 0 m a n < ε und daher m a n 0 für n. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 95
Fall 2: Sei a > 0. Verwende die Identität m (x y) x m j y j 1 j=1 = (x y) (x m 1 y 0 + x m 2 y 1 +... + x 0 y m 1) = x m y 0 + x m 1 y 1 +... + x 1 y m 1 x m 1 y 1... x 1 y }{{ m 1 x } 0 y m =0 = x m y m Setze nun x = m a n und y = m a. Dann folgt für ε > 0 und n N(ε): m a n m a = a n a ( m a n ) m 1 +... + ( m a) m 1 a n a ( m a) m 1 < C ε Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 96