Theoretische Physik 4 - Blatt 1 Christopher Bronner, Frank Essenberger FU Berlin 21.Oktober.2006 Inhaltsverzeichnis 1 Compton-Effekt 1 2 Bohrsches Atommodell 2 2.1 Effektives Potential.......................... 2 2.2 Energie E n, Bahnradius r n, Geschwindigkeit v n.......... 5 2.3 Korrespondenzprinzip........................ 6 2.4 Stabilitätsproblem.......................... 7 1 Compton-Effekt Die relativistische Energie des Elektrons ist mit m e als Ruhemasse des Elektrons: Aus der Energieerhaltung ergibt sich: E 2 e m 2 ec 4 + p 2 ec 2 (1) Die Impulserhaltung lautet: E ph + E o,e E ph + E e E e hν hν + m e c 2 (2) p p p e + p p p 2 e 2 ( k k ) 2 2 (k 2 + k 2 2kk cos θ) h2 c 2 (ν2 + ν 2 2νν cos θ) (3) Darin ist θ der Streuwinkel und es gilt k 2π λ Jetzt setzen wir Gln. (2, 3) in Gl. (1) ein. 2πν c und h 2π. 1
(hν hν + m e c 2 ) 2 m 2 ec 4 + h 2 (ν 2 + ν 2 2νν cos θ) 2h 2 νν + 2m e c 2 hν 2m e c 2 hν 2h 2 νν cos θ m e c 2 ν m ec 2 ν h h cos θ 1 ν 1 h (1 cos θ) ν m e c2 λ λ h (1 cos θ) m e c λ λ c (1 cos θ) 2 Bohrsches Atommodell 2.1 Effektives Potential Beim Wasserstoffatom handelt es sich um ein klassisches Zweikörperproblem. Der Atomkern mit der Masse m 1 und das ihn umkreisende Elektron mit der Masse m 2. Für die kinetische Energie gilt: Abbildung 1: Zwei Körper Problem T 1 2 m 1ȧ(t) 2 + 1 2 m 2ḃ(t)2. 2
Die Vektoren a und b lassen sich auch über r und R : a m 2 R r m 1 + m 2 b m 1 R + r. m 1 + m 2 Wenn man nun die kinetische Energie mit Hilfe der Zeitableitungen der Vektoren r und R ausdrückt ergibt sich (M : m 1 + m 2 ): T 1 2 m 1ȧ(t) 2 + 1 2 m 2ḃ(t)2 1 2 m 1[Ṙ2 m 2 M R r + m2 2 M 2 ṙ2 ] + 1 2 m2[ṙ2 + m 1 M R r + m2 1 M 2 ṙ2 ] Aus der Lagrangefunktion L L(r, ṙ, Ṙ) sieht man gleich, dass R zyklisch ist: 0 d L dt Ṙ L R 0 d dt [(m 1 + m 2 )Ṙ] Daher ist Ṙ const. und wir dürfen den Koordinatienursprung in den Schwerpunkt setzen, da das Schwerpunktsystem ein Inertialsystem ist. In diesem neuen System gilt dann natürlich R R 0. Damit vereinfacht sich der Ausdruck für die kinetische Energie. m 2 2 m 2 1 T 1 2 m 1 M r 2 2 + 1 2 m 2 M r 2 2 1 m 1 m 2 2 M 2 (m 1 + m 2 ) r 2 1 2 µ r 2 Darin ist µ m1m2 m 1+m 2 die reduzierte Masse. Für die weitere Betrachtung führen wir Kugelkoordinaten ein: r(t) cos(ϕ(t) sin(θ(t)) r (t) r(t) sin(ϕ(t) sin(θ(t)) r(t) cos(θ(t)) Daraus folgt für r(t) 2 ṙ(t) 2 + [r(t) ϕ(t)] 2 + [r(t) θ(t)] 2. Als Potential nehmen wir als radialsymmetrisch an. Damit ergibt sich die Lagrangefunktion als: L T V µ 2 r 2 V (r) µ 2 [ṙ2 + r 2 ϕ 2 + r 2 θ2 ] V (r) 3
Wenn man sich nun die Lagrangefunktion ansieht, erkennt man, dass beide Winkelkoordinaten zyklisch sind und ihre konjugierten Impulse konstant: 0 d L L (4) dt θ }{{} θ 0 0 d L dt θ d dt p θ (5) p θ µr 2 θ const. (6) Analog folgt für p ϕ µr 2 ϕ const..außerdem ist nun leicht einsichtig, dass der Drehimpuls D konstant ist: E T + V µ 2 [ṙ2 + r 2 ϕ 2 + r 2 θ2 ] + V (r) µ 2 ṙ2 + p θ 2µr 2 + p ϕ 2µr 2 + V (r) }{{} effektives P otential µ 2 ṙ2 + V (r) eff. Hier wird nun F ( r ) p r E( r ) analog zu Hamilton H r d D r F r ( E) dt r ( ( µ 2 ṙ2 + V (r) eff. ) r ( V (r) eff. ) r [ r V (r) eff.] r }{{} e r 0, p r: da e r r. Der Drehimpuls ist also konstant, das heißt die Bewegung findet nur in einer Ebene statt. Es reicht also eine Winkelkoordinate aus um die Bewegung des Teilchens im Zentralkraftfeld zu beschreiben. Da dass Problem rotationssymmetrisch ist kann man das Kordinatensystem so drehen, dass die Bewegung im der X-Y-Ebene verläuft. Dann ist θ π 2 und es ergibt sich aus 4
Gleichung (4): L µ 2 [ṙ(t)2 + [r(t) ϕ(t)] 2 ] V (r) p2 r p2 r 2µ + p2 ϕ V (r) (7) 2µr2 2µ + D2 2µr 2 V (r) }{{} :V (r) T (ṙ) V (r, ϕ) V (r, ϕ) ist das effektive Potential dieses Systems. Ersetzt man nun V (r) durch das bekannte Coulomb-Potential für Wasserstoff und implementiert die Bohrsche Forderung nach einem gequantelten Drehimpuls D n, so erhält man das Ergebnis: V (r) n2 2 2µr 2 1 e 2 4πε 0 r 2.2 Energie E n, Bahnradius r n, Geschwindigkeit v n Damit eine Bahn stabil ist, muss Energie für den entsprechenden Bahnradius ein Minimum haben. Anders gesagt: Der Gradient der Energie muss eine Nullstelle haben. (T (ṙ) + V (r)) 0 V (r) 0 e 2 4πɛ 0 r 2 n2 2 µr 3 Löst man diese Gleichung nach r auf, erhält man die Bohrschen Radien: Die Geschwindigkeit lässt sich nach r n 4πε 0 2 µe 2 n 2 (8) v ωr ϕr p ϕ rµ D rµ berechnen und lautet nach Einsetzen von r n und D n: v n e2 4πε 0 1 n (9) 5
Die Energien kann man nach E T + V und mit dem Virialsatz 2T V, der für geschlossene Wege in konservativen Kraftfeldern gilt, berechnen. e2 E 1 2 V 8πɛ 0 r Setzt man hier nun die Bohrschen Radien aus Gl. (8) ein, erhält man die Bohrschen Energieniveaus: 2.3 Korrespondenzprinzip E n µe4 32π 2 ε 2 1 0 2 n 2 Wenn ein Elektron zwischen zwei Energieniveaus wechselt wird ein Photon der Frequenz ν E h emittiert. Für die Übergangsfrequenz zweier benachbarter Atome gilt: ν 1 h µe 4 2(4πε 0 ) }{{ 2 [ 1 n } 2 1 (n + 1) 2 ] :R R (n + 1) 2 h [n2 n 2 (n + 1) 2 ] R h [ 2n + 1 n 4 + 2n 3 + n 2 ]. Für große n ist 2n 2n + 1 und n 4 n 4 + 2n 3 + n 2, damit ergibt sich: ν 2R hn 3. (10) Klassisch würde das Elektron eine Frequenz emittieren, die sich aus dem Bahnradius und der Geschwindigkeit ergibt. Man muss dann nur mit Gleichung (9) und (8) eingehen: ν v 2πr e 2 4πε 0 1 n 2π 4πε0 2 µe n 2 2 e 2 µe 2 2π4πε 0 4πε 0 2 1 n 3 µe 4 2π(4πε 0 ) 2 3 1 n 3 1 µe 4 h (4πε 0 ) 2 2 1 n 3. 6
2 h µe 4 2(4πε 0 ) 2 2 } {{ } R 1 n 3 ν 2R hn 3. (11) Für große n sind die Übergangfrequenzen bei der klassischen Annahme (Gleichung (11)) und der Variante, die auf gequantelten Energiezuständen basiert (Gleichumg (10)), gleich. Diese Tatsache, dass die klassische Physik als Grenzfall der Quantenmechanik (zum Beispiel für große n) auftritt, wird als Korrespondenzprinzip bezeichnet. 2.4 Stabilitätsproblem Die Beschleunigung, die das Elektron erfährt, ist die Zentripetalbeschleunigung seiner Kreisbewegung. a ω 2 r v2 r a 2 v4 r 2 Ersetzt man hier nun die Geschwindigkeit nach Gl. (9), erhält man e 2 a 2 [ 1 4πε 0 n ]4 r 2. Wenn man mit dieser Formel in die Larmor-Formel für die abgestrahlte Leistung eines Elektrons eingeht ergibt sich: e 2 P 2 3 4πε 0 c 3 a2 2 e 2 3 4πε 0 c 3 [ e 2 1 4πε 0 n ]4 r 2 e 14 µ 2 3 2 13 π 7 ɛ 7 0 c3 8 n 8 Der Zahlenwert für die Leistung auf der ersten Bohrschen Bahn (n 1) beträgt: P 1 4, 66 10 8 W. Für die erste Bahn ergibt sich eine Energie von: E 1 2, 18 10 18 J 13, 6 ev. 7
Damit hätte das H-Atom mit einem Elektron im Grundzustand eine Zeit von E 1 P 4, 68 10 11 s bis es seine Energie verloren hat. Wasserstoffatome wären also nicht stabil. 8