matheskript ANALYTISCHE GEOMETRIE und ANALYSIS PFLICHTBEREICH Teil A. Klasse ABI 08 Jens Möller
Autor: Jens Möller 88 696 Owingen Tel. 0755-6889 jmoellerowingen@aol.com 8. erweiterte Auflage Owingen, Juli 07 Druck bei folgender Adresse matheskript Sonnenhalde 6 88 699 Frickingen-Leustetten Tel. 0700-5 87 8 88 Email: Skript@Leustetten.de
VORWORT Seit 00 gibt es im ABITUR den sogenannten PFLICHTTEIL, der ohne Hilfsmittel, wie Formelsammlung oder Taschenrechner, bewältigt werden muss. Er machte bis 0 etwas mehr als ein Drittel der gesamten schriftlichen Mathematik-Prüfung aus (6 / 60). Seit 0 kommen noch Stochastik-Aufgaben hinzu. Neuerdings werden im Pflichtteil nur noch 0 von 60 Punkten vergeben. Dieser bestand 07 aus 7 Aufgaben, wobei schwerpunktmäßig die nachstehenden Themen abgeprüft wurden: ABLEITUNGEN STAMMFUNKTIONEN und BESTIMMTE INTEGRALE GLEICHUNGEN FUNKTIONEN UND SCHAUBILDER FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN ELEMENTARE VEKTORAUFGABEN BESCHREIBEN, VERSTEHEN, BEGRÜNDEN aus den Bereichen Analtische Geometrie und Analsis und Stochastik STOCHASTIK Die folgenden Aufgaben sind nach diesen Themen zusammengestellt, damit der Schüler durch intensives Üben die nötige Sicherheit im praktischen Rechnen erwerben kann. Darüber hinaus sollte er aber auch ganze Pflichteile bearbeiten, um auf allen Gebieten gleichzeitig fit zu werden. Die Pflichtteile von 00 bis 0 befinden sich im zweiten Teil dieses Skriptes. Viel Erfolg beim Üben. Jens Möller
NEUE PUNKTEVERTEILUNG AB 07 0 / 60 Pflichtteil (0 P Analsis + 8 P Analtische Geometrie + P Stochastik) 0 / 60 Wahlteil Analsis 0 / 60 Wahlteil Analtische Geometrie 0 / 60 Wahlteil Stochastik Die Bearbeitungszeit beträgt,5 Stunden (statt bisher Stunden).
ABLEITUNGEN GRUNDREGELN SUMMENREGEL f( ) u( ) v( ) f( ) u( ) v( ) PRODUKTREGEL f( ) u( ) v( ) f( ) u( ) v( ) u( ) v( ) QUOTIENTENREGEL f u u v u v f [entfällt seit 0] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v( ) v( ) d KETTENREGEL f( ) ( u( ) ) f ( ) du du d äußereabl. innereabl. POTENZFUNKTION f( ) f ( ) n n n GEBROCHEN RAT. FKT. WURZELFUNKTION f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) E-FUNKTION f ( ) e f ( ) e e = e = f ( ) ln LN-FUNKTION f( ) f( ) sin e e e = ln SINUS-COSINUS-FKT f ( ) cos f ( ) sin ln 0 ln e ln e n n f ( ) cos IV f ( ) sin - -
ABLEITUNGEN AUFGABEN 00-H Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f( ). [geändert] 00-N Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit 005-H Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit e f( ) e f ( ) e. 005-N Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f ( ) sin ². 006-H Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit 006-N Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f sin. ( ) 8 ( ) f ( ) e. [geändert] 007-H Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f ( ) sin. 007-N Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f( ) e cos. 008-H Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit 008-N Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f( ) ². f( ) e. 009-H Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f ( ) ² sin( ). 009-N Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f ( ) ( ) e. 00-H Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f ( ) ( ) e 00-N Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f( ). [geändert] e 0-H Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f ( ) sin [geändert] 0-N Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f ( ) cos( ). 0-H Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit 5 0-N Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit - - f( ) sin( ) 7.. f( ) 0-H Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit ( ) 5 f e. 0-N Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f( ). 0-H Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f ( ) e. 0-N Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f ( ) sin. 05-H Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f( ) e 5.
ABLEITUNGEN 05-N Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit 5 f( ) e 06-H Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f ( ) 5 sin 06-N Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f ( ) cos 07-H Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f ( ) cos 07-N.. (je P). (,5 P) WEITERE MÖGLICHE AUFGABENTYPEN f ( ) ln, f ( ) f5( ) sin, f6( ) 5, f ln, f k e ( ) ( ), LÖSUNGEN 00-H aufsplitten 6 f( ) f( ) 00-N aufsplitten f ( ) e e f( ) e e 005-H Produkt- / KettenR. f ( ) e e ( ) e 005-N Kettenregel f ( ) cos ² 006-H Kettenregel f ( ) cos ( ²) 8 cos ( ²) 006-N Produktregel ( ) 007-H Kettenregel ( ) 8 f e e e f sin cos ( ) ( ) ( ) 007-N Produktregel f e cos e sin f( ) e cos() sin( ) ² 008-H umformen f( ) ² f( ) ² 8 ² 008-N Produktregel f( ) e e ( ) ( ) e 009-H Produktregel f( ) sin() ² cos( ) - -
ABLEITUNGEN / Lösungen 009-N Produktregel f ( ) e () e ( ) e 00-H Produktregel f ( ) e ( ) e ( ) ( 5 ) e 00-N umformen ( ) ( ) 0-H Produkt- / KettenR. f e f e f ( ) sin sin cos 0-N Produktregel f cos sin () () () f ( ) 5 sin( ) 7 cos( ) 0-H Kettenregel 0-N Kettenregel f ( ) 0-H Produktregel f( ) e 5e f ( ) 0 e 0-N umformen f( ), f( ) 6 0-H Produktregel f ( ) e e e 0-N Produktregel f ( ) sin cos 05-H zweimal KettenR. f( ) 5 e e 5e e 05-N f( ) 5e e 5 0e f( ) 5e e e (zuerst umformen, dann ableiten) (zweimal Kettenregel) 06-H Produktregel f ( ) 5sin 5 cos 06-N Produktregel f ( ) cos sin 07-H Kettenregel ( ) 07-N f cos sin - -
ABLEITUNGEN / Lösungen LÖSUNGEN DER ZUSATZAUFGABEN 6 f ( ), f ( ) ( ),, f ln ln ( ) f ke e, f 5( ) sin cos, f 6( ) 5 5 6( ) 5 f 5-5 -
INTEGRALE GRUNDINTEGRALE n n POTENZFUNKTION d für n n GEBROCHEN RAT. FKT. LÜCKE WURZELFUNKTION d d d ln d d d d E-FUNKTION e d e SINUS-FUNKTION sin d cos COSINUS-FUNKTION cos d sin LINEARE SUBSTITUTION Umkehrung der Kettenregel, d. h. integriere und teile durch die innere Ableitung. Steht im Argument einer Funktion eine lineare Funktion, so integriert man zuerst ganz normal die Funktion, als würde man das Argument gar nicht kennen (black bo). Das nennt man die äußere Integration. Anschließend teilt man noch durch die innere Ableitung. BEISPIELE e e d e cos ( ) sin ( ) d cos ( ) 5 7 5 5 d 5 5 6 7 7 d () ( ) () 6 () ACHTUNG Die lineare Substitution gilt nur für lineare Argumente. - 6 -
INTEGRALE VERSCHIEDENE INTEGRALTYPEN UNBESTIMMTES INTEGRAL = STAMMFUNKTION = Kurvenschar STAMMFUNKTION F = Kurvenschar 6, 0 5 f( ) 0 bestimme die Stammfunktion 8 6 0 5 F( ) f( ) d c 6-5 5 - Funktion f INTEGRALFUNKTION = bestimmte Funktion, bestimme die Integralfunktion, 8 f( ) die durch den Punkt P(6 / ) geht. 8 6 INTEGRALFUNKTION F F( ) f( ) d c F(6) c c 6 6 6 5 5 P 5 F( ) - Funktion f BESTIMMTES INTEGRAL = bestimmte Zahl = Flächeninhalt, berechne die Fläche zwischen der Kurve und der -Achse 8 f( ) in den Grenzen von 5 bis 0. 0 F f( ) d 8 5 0 F F F F,67 FE ( ) 5 (0) ( 5) 0 5 f Fläche F -5-7 -
INTEGRALE AUFGABEN 00-H Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit f ( ) sin( ) an. 00-N Geben Sie für die Funktion f mit f ( ) 5 eine Stammfunktion an. f ( ) cos. 005-H Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit 005-N Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit 006-H Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit ( ) an. f e f( ) an. 006-N Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) sin( ). Geben Sie die Stammfunktion F mit F(0) = an. 007-H Berechnen Sie das bestimmte Integral 007-N Berechnen Sie das bestimmte Integral ln e d. 0 e d. 0 008-H G ist eine Stammfunktion der Funktion g mit g ( ) sin( ). Der Punkt P(0 ) liegt auf dem Schaubild von G. Bestimmen Sie einen Funktionsterm von G. 008-N Berechnen Sie das Integral e 5 d. 009-H Berechnen Sie das Integral 9 d. 009-N Berechnen Sie das Integral cos 0 ( ) d. 00-H Berechnen Sie das Integral d 00-N Gegeben ist die Funktion f mit f( ) sin( ). e Bestimmen Sie die Stammfunktion von f, die bei = 0 eine Nullstelle hat. d. 0 0-H Berechnen Sie das Integral - 8 -
INTEGRALE 0-N Gegeben ist die Funktion f mit f( ) e. Bestimmen Sie die Stammfunktion F von f mit F(0) e. 0-H Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit 0-N Berechnen Sie das Integral e d. 0-H Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) sin 0. f( ) e. Bestimmen Sie die Stammfunktion F von f mit F( ) 7. 0-N Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) cos. Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. 0-H Berechnen Sie das Integral d. 0 0-N Gegeben ist die Funktion f mit f( ),,5. 5 Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion F von f mit F( ) 5. 05-H Berechnen Sie das Integral 05-N Gegeben ist die Funktion sin d. 0 f( ) e. Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion von f, die an der Stelle = den Funktionswert besitzt. 06-H Gegeben ist die Funktion f mit f( ) 8 Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion F von f mit F() =. 06-N Gegeben ist die Funktion f ( ) e ;.. Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion F von f mit F(0) =. 07-H entfällt 07-N. (je - Punkte) - 9 -
INTEGRALE / Lösungen LÖSUNGEN 00-H Stammfunktion 00-N Stammfunktion 005-H Stammfunktion 005-N Stammfunktion 006-H Stammfunktion 006-N Stammfunktion Integralfunktion 007-H bestimmtes Integral F ( ) cos( ) c 5 5 F( ) 5 5 c 5 5 0 5 F ( ) 8 sin c F ( ) e ³ c 8 F ( ) 8 c F( ) cos( ) c und F(0) c c F( ) cos( ) 5 5 ln ln 0 0 F e e e 0,5,5 e e F d ln( ) lneln0 0 007-N bestimmtes Integral 0 008-H Stammfunktion Integr.Konstante Integralfunktion G ( ) cos( ) c G(0) 0 c c G ( ) cos( ) F 5 d ln 5 5 e 0 5 9 5 e e 008-N bestimmtes Integral 9 9 009-H bestimmtes Integral e 9 F d d 9 F 9 (8) 009-N bestimmtes Integral F cos( ) d sin( ) 0 0 F 00-0 -
INTEGRALE / Lösungen e 00-H bestimmtes Integral F d ln e ² F ln e e² (ln) e² 0 e² 00-N Integralfunktion F( ) cos( ) c mit F(0) 0 cos ( ) c 0 ( ) c 0 c 0,5 F( ) cos( ) 0,5 0-H bestimmtes Integral F d 0 5 5 F 0 0 0 5 0 0-N Integralfunktion ( ) F e c F(0) e 0 ece c e F( ) e e 0-H bestimmtes Integral ( ) ( ) F e e c 0-N bestimmtes Integral 0 0 F e d e e e e 0 0 F cos c cos c 0-H Integralfunktion ( ) F( ) 7 cos c 7 c 9 F( ) cos 9 0-N umformen Stammfunktion 0-H bestimmtes Integral f ( ) cos cos F( ) sin sin c F () 0 0 8 () ( ) 9 9 - -
INTEGRALE / Lösungen 0-N Stammfunktion F( ) d ln 5 c 5 F( ) 5 5 ln5c c 5 F ( ) ln5 5 05-H 05-N sin d cos 0 0 0 ( ) F e d e c F e c c c () F e d e ( ) 06-H 8 8 f ( ) 8 ( ) F c F() c c c F( ) 06-N ( ) F e d e ln c F(0) 0 c c F( ) e de ln 07-H entfällt 07-N - -
GLEICHUNGEN EXPONENTIALGLEICHUNGEN LÖSEN MIT SUBSTITUTION. Beispiel: e 6e 5 0 Substitution : e z 6 50 5 z z z und z Rücksubstitution : z 5 e 5 ln 5 Rücksubstitution : z e ln 0. Beispiel: e e 8 Substitution : e z z8z z z z 8 z z z z z und z 8 80 Rücksubstitution : z e ln ln ln Rücksubstitution : z e Lösg. imag. entfällt. Beispiel: e e 0 Substitution : e z z z z und z 0 Rücksubstitution : z e 0 Rücksubstitution : z e Lösg. imag. entfällt. Beispiel: e e Substitution : e z zz z z z z z z z z und z 0 Rücksubstitution : z e ln Rücksubstitution : z e Lösg. imag. entf. - -
GLEICHUNGEN ÜBUNGEN Ergebnisse. e 8e 0 ln ; ln 6.. e 0 ln e 5e e 0. e e 0 ln 6 5. e e 5 0 ln 6. 7. e e 5e 6 0 ln ; ln 7e 0 ln ;ln SUBSTITUTIONSVERFAHREN FÜR GLEICHUNGEN. GRADES Allgemeiner Tp 5. Beispiel: a b c 0 : 0 8 0 0 9 0 Substitution ² z Damit ergibt sich z 0z9 0 z/ 5 5 9 z/ 5 z 9 und z Rücksubstitution ² 9 und ² ; Die Lösungen lauten / und / ÜBUNGEN 00 0 +5/ 5/ / = imaginär 0,5 0 0 + / + / / 5 0 / 7 0 / - -
GLEICHUNGEN MITTERNACHTSFORMEL / a b b ac P-Q-FORMEL NULLPRODUKTE MERKE / p p q AB 0 A 0 oder B 0 Durch Ausklammern wird eine Summe bzw. Differenz in ein Produkt verwandelt. GLEICHUNGEN MIT NULLPRODUKTEN 7 0 0 / 7 / / ( ) 5 0 0 / / 0 und 5 / : e e 0 e e 0 ln MERKE e 0 e 0 0 oder e 0 ln sin sin 0 für 0 ausklammern sin sin 0 sin 0 0/ / oder sin MERKE : sin sin und cos cos ÜBUNGEN 5 0 0/ / a 0 und / a e 5 e 0 5, cos cos 0 für 0 und ( sin ) e e 0 für 0 e 8e 0-5 -
GLEICHUNGEN TRIGONOMETRISCHE GLEICHUNGEN Für die Darstellung der Sinus- und Cosinus-Kurven wird der Winkel in Bogenmaß gemessen, wobei der Umfang des Einheitskreises ist. Es gilt folgender Zusammenhang: 00, 90, 80, 70, 60 SINUS-FKT = sin Periode Wertebereich - π π π π MERKE : sin 0 0 sin sin 0 sin sin 0 COSINUS-FKT = cos Periode π π π π Wertebereich - MERKE : cos 0 cos 0 cos cos 0 cos ÜBUNGEN [Lösen Sie die trigonometrischen Gleichungen durch Vergleich mit den Schaubildern.] sin ( ) mit 0 cos ( ) mit 0 sin ( ) mit 0 sin ( ) mit 0 sin und cos ( ) mit 0 cos ( ) sin ( ) cos ( ) 0 mit 0-6 -
GLEICHUNGEN AUFGABEN 00-H Lösen Sie die Gleichung 00-N Bestimmen Sie für 0; e e 8 0. die Lösungsmenge der Gleichung sin sin 0. MERKE : sin sin und cos cos 005-H Lösen Sie die Gleichung 5 0. ² cos 0 005-N Lösen Sie die Gleichung und geben Sie für 0 die Lösungsmenge an. [geändert] 006-H Bestimmen Sie alle Nullstellen von f ( ) ( ) e. [geändert] 006-N Lösen Sie die Gleichung 0. 5 007-H Lösen Sie die Gleichung e 0 e. 007-N Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung cos cos 0 für 0. 6 008-H Lösen Sie die Gleichung 0. ² 008-N Lösen Sie die Gleichung e 0e 5e 0. 009-H Lösen Sie die Gleichung e ² 8 6 0. 009-N Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung sin sin 00-H Lösen Sie für 0 ( ) ( ) 0. die Gleichung cos cos 0. [geändert] 00-N Lösen Sie die Gleichung 0-H Lösen Sie die Gleichung. [geändert] e 6e. 0-N Lösen Sie für 0 die Gleichung sin ( ) sin ( ) 0. 0-H Lösen Sie für 0 die Gleichung sin ( ) cos ( ) cos ( ) 0. 0-N Lösen Sie für 0 die Gleichung sin sin 0. 0-H Lösen Sie die Gleichung 0-N Lösen Sie die Gleichung e 0 e. 5 5 0. - 7 -
GLEICHUNGEN 0-H Lösen Sie die Gleichung. 0. e 0-N Lösen Sie die Gleichung e e e 05-H Lösen Sie die Gleichung e 05-N Lösen Sie für 0 5 0. die Gleichung sin sin 06-H Lösen Sie die Gleichung e. e 5 06-N Lösen Sie die Gleichung e 6e 5e 0.. 07-H Lösen Sie die Gleichung e 5 e 07-N (je Punkte) LÖSUNGEN 00-H 9 e e 8 0 mit u e u² u 8 0 u/ u 9 e 9 ln 9ln ebenso ln 00-N Substitution: z sin z sin z² z0 z sin keine Lösg - 8 -
GLEICHUNGEN / Lösungen 005-H 5 0 ( ) 0 0 Substitution: z z z z / 0 z keine weiteren Lösungen 0; ; 005-N ² 0 cos 0 und ;; ; 006-H ( ² ) 0 0 und und e 0 keine weiteren Lösungen. 006-N 0 ² 0 ; 007-H 5 5 e 0 z 0 e z z² z 5 0 z / 5 5 entfällt 007-N Gleichung: cos cos 0 ausklammern Nullprodukt: cos cos 008-H 0 für 0 cos 0 und cos 0 und 6 6 z² z 6 0 e 5 ln5 z / 0,5 0, 5 6 0,5,5 entfällt / - 9 -
GLEICHUNGEN / Lösungen 008-N Gleichung: Substitution: e 0e 5e 0 e ( e 0e 5) 0 e z z z z/ 0 5 0 5 Rücksubstitution : e 5 ln5 e 0 hat keine Lösung. 009-H e ² 8 6 0 ² 8 0 oder e 6 0 ln6 009-N ; ; ln 6 Gleichung: 00-H / sin ( ) sin ( ) 0 sin ( ) 0 oder sin ( ) 0 sin ( ) 0 0 ; ; ;...; n sin ( ) hat keine Lösungen. cos 0 / und cos / / 00-N, 5, 5 z z² z0 z / z, 5, 5 Rücksubstitution : 0-H / / imaginär, entfällt e 6e z 6z0 z z0 z/ Rücksubstitution: 0,5 e ln0,5 0-N e keine weitere Lösung. sin ( ) sin ( ) 0 sin ( ) sin ( ) 0 Nullprodukt sin ( ) 0 0und 0,5-0 -
GLEICHUNGEN / Lösungen sin 0-H sin ( ) ( ) sin ( ) entfällt, liegt nicht im Bereich. sin ( ) cos ( ) cos ( ) 0 cos ( ) ausklammern cos ( ) sin ( ) 0 cos ( ) 0 ; 0-N sin sin 0 Substitution u sin, 5 u u 0 u/ 0-H e sin ( ) keine weitere Lösung. e 0 e e 0 e ln... ln ln ln 0-N 5 0 5 0 0 5 5 5 0 Substitution u u 5 0 u/ Rücksubstitution und 0-H 0 z z z/ / 0-N 0 e e 0 0 0 e e e NULLPRODUKT e e e e e e e - -
GLEICHUNGEN / Lösungen 05-H 0 0 0 5 0 5 5 e e ln 05-N sin sin sin sin 0 Substitution : sin z z z 0 z und z Rücksubstitution : sin 06-H e e e e 0 Substitution u e uu 0 u u0 u und u u e 0 oder u e ln 06-N 5 e 6e 5e 0 e e 6e 5 0 Substitution e z z z z und z : 6 5 0 5 Rücksubstitution : 5 ln 5 e / 0 07-H e 5e e e 50 Substitution e z z z z und z : 5 0 5. Rücksubstitution : 5 e ln 5 keine weitere Lösung 07-N - -
FUNKTIONEN UND SCHAUBILDER VERSCHIEDENE OPERATIONEN MIT KURVEN VERSCHIEBUNG einer Kurve in -Richtung um den Betrag b: ersetze durch b Beispiel : ² b ² ² b STRECKUNG einer Kurve in -Richtung um den Faktor k: ersetze durch Beispiel : sin sin k k k sin STAUCHUNG einer Kurve in -Richtung mit dem Faktor /k: ersetze durch k : k Beispiel sin k sin sin VERSCHIEBUNG einer Kurve in -Richtung um den Betrag a: ersetze durch a Beispiel : ² ( a)² STRECKUNG einer Kurve in -Richtung um den Faktor k: ersetze durch Beispiel : sin sin k k STAUCHUNG einer Kurve in -Richtung mit dem Faktor /k: ersetze durch k Beispiel : sin sin k SPIEGELUNG einer Kurve an der -Achse: ersetze durch Beispiel: ² ² ( ² ) SPIEGELUNG einer Kurve an der -Achse: ersetze durch Beispiel: e e SPIEGELUNG einer Kurve am Ursprung: ersetze durch und durch Bsp : ² ( )² ( ) ² - -
BEISPIELE VON SINUSKURVEN FUNKTIONEN UND SCHAUBILDER Streckung / Stauchung in -Richtung = sin = sin π π π π 5π π Streckung in -Richtung = sin π π π π 5π π 7π π Stauchung in -Richtung = sin π π π π 5π Verschiebung in -Richtung = sin - π π π π π 5π - -
FUNKTIONEN UND SCHAUBILDER GRUNDTYPEN f () = f () = f () = e Die GRAPHEN unbedingt einprägen f () = e - f () = sin π π π π f () = cos π π π π - 5 -
SCHAUBILDER INTERPRETIEREN FUNKTIONEN UND SCHAUBILDER Welcher Funktionsterm gehört zu dem folgenden Schaubild? Begründen Sie Ihre Entscheidung.. I f( ) II f( ) III f ( ) IV f( ). I f( ) II f ( ) III f ( ) IV f( ). I f( ) e II f( ) e III f ( ) e IV f( ) e - 6 -
FUNKTIONEN UND SCHAUBILDER. I f( ) sin II f( ) sin III f ( ) sin IV f( ) sin π π π π π 5. I f( ) cos II f( ) cos III f ( ) cos IV f ( ) cos π π π π π 6. Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion f einer Funktion f. Begründen Sie, ob die gemachten Aussagen über das Schaubild K der Funktion f richtig oder falsch sind. K besitzt Tangenten mit der Steigung. Im Schnittpunkt mit der -Achse hat K einen Hochpunkt. K hat an der Stelle = einen Wendepunkt mit der Tangentensteigung. f ' - 7 -
FUNKTIONEN UND SCHAUBILDER 7. In der Abbildung ist das Schaubild der Ableitungsfunktion g' einer Funktion g gegeben. Machen Sie eine Aussage über Hoch-, Tiefund Wendepunkte des Schaubildes der Funktion g und begründen Sie Ihre Antwort. g' LÖSUNGEN III. f ( ). f ( ) ist die waagerechte Asmptote. I. ( ) f e e ist die waagerechte Asmptote. III. f ( ) sin Die Sinuskurve ist um nach oben verschoben. IV 5. f ( ) cos Die Cosinuskurve ist um nach oben verschoben und hat eine um den Faktor / verkürzte Periode. III 6. (a) (b) (c) Die Aussage ist richtig, weil f zweimal den Wert annimmt. Die Aussage ist falsch, weil f bei = 0 einen Vorzeichenwechsel von minus nach plus hat. Für einen HP müsste der Vorzeichenwechsel aber von plus nach minus sein. Die Aussage ist richtig, weil f bei = einen maimalen Wert hat. 7. Das Schaubild von f hat an der Stelle =,5 einen Tiefpunkt, weil die Ableitung dort eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von minus nach plus hat. Das Schaubild von f hat an der Stelle = - einen Sattelpunkt, weil die Ableitung dort eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat. Das Schaubild von f hat an der Stelle = und an der Stelle = - jeweils einen Wendepunkt, weil die Ableitung dort ein Etremum hat. - 8 -
FUNKTIONEN UND SCHAUBILDER AUFGABEN 00-H Gegeben ist die Funktion f mit f( ) ; 0. Das Schaubild von f hat im Punkt P(/ v ) die Tangente t. Ermitteln Sie eine Gleichung von t. Die Tangente t schneidet die -Achse im Punkt S. Bestimmen Sie die Koordinaten von S. 00-N Gegeben ist die Funktion f durch f( ) 6 e 0,5. Geben Sie eine Gleichung der Asmptote an. Zeigen Sie, dass f streng monoton wachsend ist. Skizzieren Sie das Schaubild von f einschließlich der Asmptote. 005-H Gegeben ist die Funktion f mit f( ) ; 0. Geben Sie die Asmptoten des Schaubildes von f an. Skizzieren Sie das Schaubild von f. Ermitteln Sie eine Gleichung der Normalen im Punkt P( f ()). 005-N Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) e. Untersuchen Sie das Schaubild auf Asmptoten. Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Schaubild von f und der. Winkelhalbierenden im Bereich 0. 006-H Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die -Achse im Ursprung. Der Punkt H (/) ist der Hochpunkt des Schaubildes. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. 006-N Beschreiben Sie, wie das Schaubild der Funktion g jeweils aus dem Schaubild der Funktion f mit f ( ) e hervorgeht: a) g ( ) e b) g ( ) e c) ( ) 007-H [geändert] Gegeben ist die gebrochen rationale Funktion f mit f( ). a) Bestimmen Sie die Punkte des Schaubildes von f mit waagerechter Tangente. b) Das Schaubild von f hat im Punkt P/ f () die Normale n. Ermitteln Sie eine Gleichung von n. g e - 9 -
FUNKTIONEN UND SCHAUBILDER 007-N Geben Sie jeweils mit Begründung einen Funktionsterm der Funktionen f und g mit den folgenden Eigenschaften an: a) Das Schaubild von f hat Asmptoten mit den Gleichungen = und =. b) g ist periodisch mit der Periode und hat den Wertebereich ;. 008-H Für eine ganzrationale Funktion h zweiten Grades gilt: T(- - ) ist der Tiefpunkt und Q( 5) ein weiterer Punkt des Schaubildes. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von h. 008-N [geändert] Gegeben ist die gebrochen rationale Funktion f mit f( ). a) Skizzieren Sie das Schaubild von f. b) Bestimmen Sie alle Punkte des Schaubildes von f, in denen die Tangente parallel zur Geraden mit der Gleichung ist. 009-H Das Schaubild der Funktion f mit f ( ) ³ ² besitzt einen Wendepunkt. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt. 009-N Gegeben ist die Funktion f mit f( ). [am einfachsten mit Quotientenregel] a) Untersuchen Sie das Schaubild von f auf Asmptoten und Smmetrie. b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente im Punkt / () 00-H ² Gegeben ist die Funktion f mit f( ). Ihr Schaubild ist K. ² a) Geben Sie die Asmptoten von K an. P f. b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente an K im Punkt P( / f () ) 00-N mit der -Achse. Gegeben sind die Funktionen f mit f ( ) ² und g mit g( ) ². Zeigen Sie, dass sich deren Schaubilder berühren. - 0 -
FUNKTIONEN UND SCHAUBILDER 0-H Gegeben sind die Funktionen f und g mit f ( ) e und g ( ) e. a) Beschreiben Sie, wie das Schaubild von g aus dem Schaubild von f entsteht. b) Zeigen Sie, dass sich die Schaubilder von f und g im Punkt P(0/) berühren. 0-N Das Schaubild der Funktion f mit f ( ) ² besitzt einen Wendepunkt. Die Normale im Wendepunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreieckes. 0-H Gegeben sind die Funktionen f mit f( ) und g mit ( ) g. Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden zugehörigen Graphen. Untersuchen Sie, ob sich die beiden Graphen senkrecht schneiden. 0-N a) Geben Sie einen Term einer Funktion f mit folgenden Eigenschaften an: Für gilt f( ). f () 0 Die -Achse ist Asmptote des Graphen von f. b) Geben Sie einen Term einer trigonometrischen Funktion an, deren Graph den Hochpunkt H(/5) hat. 0-H Gegeben sind die Funktionen f und g mit f und g ( ). ( ) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen wird. 0-N K ist der Graph der Funktion f ( ) e. Die Tangente an K an der Stelle = schneidet die Asmptote von K im Punkt S. Bestimmen Sie die Koordinaten von S. 0-H Gegeben sind die Funktionen f und g mit f ( ) cos und g( ) cos. a) Beschreiben Sie, wie man den Graphen von g aus dem Graphen von f erhält. b) Bestimmen Sie die Nullstellen von g für 0. - -
0-N FUNKTIONEN UND SCHAUBILDER Gegeben ist die gebrochen rationale Funktion f mit f( ). a) Geben Sie die Asmptote des Graphen von f an. Skizzieren Sie den Graphen von f. b) An welcher Stelle ist die Tangente an den Graphen parallel zur Geraden g:? 05-H Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades hat im Ursprung einen Hochpunkt und an der Stelle = die Tangente mit der Gleichung. Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von f. 05-N Gegeben ist die Funktion f mit f. ( ) Die Gerade g schneidet den Graphen von f im Punkt P / orthogonal. Der Graph von f und die Gerade g besitzen einen weiteren gemeinsamen Punkt Q. Berechnen Sie dessen Koordinaten. 06-H Der Graph der Funktion f mit f ( ) besitzt einen Wendepunkt. 6 Zeigen Sie, dass eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt ist. 06-N Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) und g mit g ( ). Berechnen Sie die Fläche, die von den Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen wird. 07-H Gegeben ist die Funktion f mit f( ) ; 0. Berechnen Sie den Inhalt der markierten Fläche. 07-N (je - Punkte) - -
FUNKTIONEN UND SCHAUBILDER / Lösungen LÖSUNGEN 5 00-H Tangentengleichung: t: ( ) 6 Nullstellen von t: 6 0 N( / 0) - 00-N Asmptote: 6 7 0,5 f ( ) e 0 monoton steigend 6 5 005-H f( ) Asmptoten: und / 0 (Polstelle ohne Zeichenwechsel) 8 f ( ) f () Normalensteigung m und f() m( ) n: 5-5 = Skizze: - - - - -
FUNKTIONEN UND SCHAUBILDER / Lösungen 005-N Asmptote: Fläche: A e d 0 0 e e e e FE 0-006-H f ( ) a³ b² cd f( ) a² b c f(0) 0 d 0 f(0) 0 c 0 f () a b f () 0 ab 0 a b f( ) ³ ² 006-N a) Die Funktion ist um Einheiten nach oben verschoben. b) Die Funktion ist um Einheiten nach links verschoben. c) Die Funktion ist an der -Achse gespiegelt. - 5 f() = e g() = e - - 007-H 8 a) f( ) f ( ) Z 0 0 f(0) P(0/) b) m f() m / ( ) : n und Q n,5 - -
FUNKTIONEN UND SCHAUBILDER / Lösungen 6 n -5 - - 007-N a) f( ) f ist eine gebrochen rationale Funktion mit Polstelle bei =. b) g ( ) sin( ) lim f ( ) Asmptote g ist eine Sinus- oder Kosinus-Funktion. Die Periode beträgt normalerweise. Damit diese sich auf die Hälfte verkürzt, muss das Argument verdoppelt werden. Der Wertebereich wird durch den Faktor gegenüber dem normalen Wertebereich ; um das -fache gestreckt. 008-H h( ) a² b c h( ) a b h( ) a bc (-) h() 5 abc 5 ab 9 :( ) h( ) 0 ab 0 a a b c Ergebnis: h ( ) ² - 5 -
FUNKTIONEN UND SCHAUBILDER / Lösungen 008-N a) 6 Skizze: Funktion: f( ) b) f( ) ( ) Ableitung: Berührpkt: f( ) ( ) -5 ( ) / P( / 0, 5) und P( /, 5) 009-H f( ) ³ ² f( ) ² 6 f( ) 66 f( ) 6 f ( ) 660 und f () 0 WP eistiert w f() WP( / ) mit f() m Wendetangente: m( ) ( ) 009-N Ableitung: f( ) f( ). ( ²) ( ²) a) waagerechte Asmptote =, keine senkrechte Asmptote. Smmetrie zur -Achse wegen f ( ) f( ) b) Tangente im Punkt P/ mit m : 5 5 - - 6 -
FUNKTIONEN UND SCHAUBILDER / Lösungen 00-H Funktion: ² f( ) ² a) Asmptoten: und / 0 ohne ZW b) Ableitung: f( ) f( ) ² ³ Punkt: f () P(/ ) und m f () Tangente: m( ) ( ) t: Nullstelle: 0 N( 0,5/0) - 00-N f ( ) g( ) ² ² ² 0 ² 0 / - MERKE : Zwei Punkte, die zusammenfallen, ergeben einen Berührpunkt. - - 0-H a) Das Schaubild von f wird an beiden Koordinatenachsen gespiegelt und anschließend um Einheiten nach oben verschoben. b) gleiche Funktionswerte: f (0) und g(0) Bedingung erfüllt. gleiche Steigungen: f ( ) e und g ( ) e f (0) und g(0) Bedingung erfüllt. P(0 /) ist Berührpunkt. q.e.d. - 7 -
FUNKTIONEN UND SCHAUBILDER / Lösungen 0-N Ableitungen: f f f ( ) ² ( ) 6 ( ) 6 6 f( ) 0 660 W(/ ) und f() m 7 Normale: m( ) ( ) n: 7 Nullstelle: 0 N(7/0) und 0 Y (0/ ) Fläche: A gh 77 9 FE 6 0-H f g ( ) ( ) 0 9 0,5 / 0,5 / ( /) P und Q f ( ) und g( ) f () g () Die beiden Kurven schneiden sich im Punkt Q(/) senkrecht. 0-N 6 Mögliche Funktionsterme sind: a) f ( ) e b) f ( ) 5 sin mit HP(/5) 5-6 8 0 5 0-H Grenzen: f g und ( ) ( ) 0 Fläche: A d 9 0 FE - 8 -
FUNKTIONEN UND SCHAUBILDER / Lösungen 0-N f e f e ( ) () 0 f e f e ( ) () m 0 t: Tangente: Schnittpunkt: t S/ 0-H a) Der Graph von f wird um den Faktor in -Richtung gestreckt und um Einheiten nach unten verschoben. Außerdem wird der Graph in -Richtung mit dem Faktor gestaucht. 0 b) cos 0 cos 0; 0-N a) b) 05-H f( ) Asmptote ( ): Polstelle ohne ZW : f( ) f( ) f( ) f ( ) a b c d f ( ) a b c - f(0) 0 d 0 f(0) 0 c0 Tangente f () 8a b f() ab a8 a 6b b0 b5 f Damit ergibt sich die Funktionsgleichung f ( ) 5. - 9 -
FUNKTIONEN UND SCHAUBILDER / Lösungen 05-N f f f m t ( ) ( ) () Normale : m n n : 60 /,5 n K f Q 06-H f( ) f( ) 6 f( ) f( ) 0 0 8 w w f() 6 m f() w mw 06-N f g und ( ) ( ) 0 0 0 / : Fläche A d FE 6 0 07-H Schnittstelle : f ( ) Fläche : A d FE 07-N 0 (je Punkte) - 0 -
FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN BEZIEHUNGEN zwischen FUNKTION und STAMMFUNKTION HP Stammfunktion F = Kurvenschar 0 8 6 WP mit größter negativer Steigung f TP N(+/-) -5 5 - TP N(-/+) Beispiel: 6 0 5 f( ) 6 0 5 F( ) f( ) d c SCHEMA WP mit WP mit SP mit SP mit Stammfkt F HP TP negativer positiver steigender fallender Steigung Steigung Umgebung Umgebung Funktion f N.St. mit Übergang +/- N.St. mit Übergang -/+ TP HP TP auf der -Achse HP auf der -Achse - -
FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN AUFGABEN 00-H Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion f einer Funktion f. Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f sind wahr, falsch oder unentscheidbar? () f ist streng monoton wachsend für. () Das Schaubild von f hat mindestens einen Wendepunkt. Schaubild von f ' () Das Schaubild von f ist smmetrisch zur -Achse. () Es gilt f( ) 0 für alle [ ;]. - - - Begründen Sie Ihre Antworten. - 00-N Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitung f einer Funktion f. Sind folgende Aussagen über die Funktion f wahr, falsch oder nicht entscheidbar? Schaubild von f ' Begründen Sie Ihre Antworten. - () An der Stelle = 0 hat das Schaubild von f einen Hochpunkt. - () Für 0 ist f ( ) 0. () Das Schaubild von f ist punktsmmetrisch zum Ursprung. () An der Stelle = hat das Schaubild von f einen Wendepunkt. - -
FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN 005-H Gegeben sind die Schaubilder der Funktionen f mit f ( ) e, ihrer Ableitungsfunktion f, einer Stammfunktion F von f und der Funktion g mit g( ). f a) Begründen Sie, dass nur Bild das Schaubild der Funktion f sein kann. b) Ordnen Sie die Funktionen f, F und g den übrigen Schaubildern zu und begründen ( ) Sie Ihre Entscheidung. Bild Bild Bild Bild 005-N Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, falsch oder unentscheidbar? Begründen Sie Ihre Antworten. Schaubild von f 5 () f () f () () f ( ) f( ) - -
FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN 006-H Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion f einer Funktion f. Geben Sie für jeden der folgenden Sätze an, ob er richtig, falsch oder nicht entscheidbar ist. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort. 5 Schaubild von f 5-6 - () Das Schaubild von f hat bei einen Tiefpunkt. () Das Schaubild von f hat für 6 genau zwei Wendepunkte. () Das Schaubild von f verläuft im Schnittpunkt mit der -Achse steiler als die erste Winkelhalbierende. () f (0) f (5) 006-N Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f. Die Funktion F ist eine Stammfunktion von f. Geben Sie für jeden der folgenden Sätze an, ob er richtig, falsch oder nicht entscheidbar ist. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort. a) F() = 0 b) Das Schaubild von F hat keinen Wendepunkt. c) F besitzt mindestens ein Minimum. d) F(0) > F(5) - 5 Schaubild von f - -
FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN 007-H Gegeben ist das Schaubild der Ableitung f einer Funktion f. a) Welche Aussagen über die Funktion f ergeben sich im Hinblick auf Monotonie Etremstellen Schaubild von f Wendestellen? Begründen Sie Ihre Aussagen. b) Es gilt f (0). Skizzieren Sie das Schaubild von f. 007-N Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f. F ist eine Stammfunktion von f. a) Bestimmen Sie die Etrem- und Wendestellen von F. b) Wo hat das Schaubild von F im Bereich, 5 Tangenten mit positiver Steigung? Begründen Sie Ihre Antwort. c) Das Schaubild von F geht durch den Punkt P(-/0). Skizzieren Sie das Schaubild von F. Schaubild von f - 5 -
FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN 008-H Gegeben sind die Schaubilder von vier Funktionen, jeweils mit sämtlichen Asmptoten: Schaubild Schaubild - - - - - - - - Schaubild Schaubild - - - - - - - - Drei dieser vier Schaubilder werden beschrieben durch die Funktionen f, g und h mit 0,5 f( ) g ( ) be h ( ) c² a a) Ordnen Sie den Funktionen f, g und h das passende Schaubild zu. Begründen Sie Ihre Zuordnung. b) Bestimmen Sie die Werte für a und b. 008-N Gegeben sind die Funktion f mit f( ) sin( ) sowie vier Schaubilder. Geben Sie die charakteristischen Eigenschaften des Schaubilds von f an, die man ohne weitere Rechnung dem Funktionsterm entnehmen kann. Welches Schaubild gehört zu f? Geben Sie zu jedem anderen Schaubild mindestens eine Eigenschaft an, die mit den Funktionseigenschaften von f nicht vereinbar ist. - 6 -
FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN Abb. Abb. - - - - - - - - - - - Abb. Abb. - - - - - - - - - - - - 009-H Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f. F ist eine Stammfunktion von f. a) Welche Aussagen über F ergeben sich daraus im Bereich 7 hinsichtlich Schaubild von f Etremstellen Wendestellen Nullstellen? 0 6 Begründen Sie Ihre Antworten. b) Begründen Sie, dass F(6) F() gilt. - 7 -
FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN 009-N Gegeben ist das Schaubild einer Stammfunktion F der Funktion f. - Schaubild von F - a) Geben Sie einen Näherungswert für f() an. b) Bestimmen Sie das Integral f ( ) d. c) Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begründen Sie Ihre Antworten. f( ) 0 für 0 7 f hat im Bereich - < < 0 eine Etremstelle. 00-H Die folgenden vier Abbildungen zeigen Schaubilder von Funktionen einschließlich aller waagerechten Asmptoten. a Eines dieser Schaubilder gehört zur Funktion f mit f( ). ² a) Begründen Sie, dass Abbildung zur Funktion f gehört. Bestimmen Sie den Wert von a. b) Von den anderen drei Abbildungen gehört eine zur Ableitungsfunktion f und eine zur Integralfunktion I mit I( ) f( t) dt. Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehörigen Abbildungen zu und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidungen. - 8 -
FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN Abb. Abb. 5 - - - - 5 - - - - - - - - - - Abb. Abb. 5 - - - - 5 - - - - - - - - - - 00-N Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitung f einer Funktion f. a) Welche Aussagen über f ergeben sich daraus hinsichtlich der Anzahl der - Etremstellen, - Wendestellen, - Nullstellen? Begründen Sie Ihre Antworten. Schaubild von f ' - 0 6 b) Begründen Sie, dass f ( ) d 0 gilt. 5-9 -
FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN 0-H Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f. F ist eine Stammfunktion von f. Begründen Sie, dass folgende Aussagen wahr sind: Schaubild von f () F ist im Bereich monoton wachsend. () f hat im Bereich,5,5 drei Nullstellen. - - - () 0 f d ( ) - () O(0/0) ist Hochpunkt des Schaubildes von f. 0-N Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion f einer Funktion f. a) Wo besitzt die Funktion f im Bereich 0 6 Maima, Wendestellen, Stellen, an denen das Schaubild von f Schaubild von f ' Tangenten parallel zur. Winkelhalbierenden hat? 6 b) Es gilt f (). Bestimmen Sie näherungsweise f (). 0-H Eine der folgenden Abbildungen zeigt den Graphen der Funktion f mit f ( ). a) Begründen Sie, dass die Abbildung den Graphen von f zeigt. b) Von den anderen drei Abbildungen gehört eine zur Funktion g mit g() f( a) und eine zur Funktion h mit h() b f(). Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehörigen Abbildungen zu und begründen Sie Ihre Entscheidung. Geben Sie die Werte für a und b an. c) Die bis jetzt nicht zugeordnete Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion k. Geben Sie ohne Rechnung einen Funktionsterm für k an. - 50 -
FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN Abb. Abb. - - - - Abb. Abb. - - - - 0-N Gegeben ist die Funktion f mit ( ) f 5 e. Die Abbildungen zeigen die Graphen der Funktion f, ihrer Ableitungsfunktion f, einer Stammfunktion F von f sowie der Funktion g mit g ( ) f( b). a) Ordnen Sie die Funktionen den Abbildungen zu und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidungen. b) Bestimmen Sie den Wert von b. Abb. Abb. - 5 -
FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN Abb. Abb. 0-H Eine Funktion f hat folgende Eigenschaften: () f() ( ) f( ) 0 ( ) f( ) 0 und f( ) 0 ( ) für und gilt : f ( ) 5 Beschreiben Sie für jede dieser vier Eigenschaften, welche Bedeutung sie für den Graphen von f hat. Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf des Graphen. 0-N Abgebildet ist der Graph einer Stammfunktion F von f. a) Bestimmen Sie näherungsweise f (). 5 Graph von F b) Bestimmen Sie f( ) d. 0 c) Begründen Sie, dass f im Intervall [- ; ] mindestens eine Nullstelle hat. d) Bestimmen Sie näherungsweise F ( ) d. 0 5 0-H Die Abbildung zeigt die Graphen K f und K g zweier Funktionen f und g. a) Bestimmen Sie f g (). Bestimmen Sie einen Wert für so, dass f g( ) 0 ist. - f g - 5 -
FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN b) Die Funktion h ist gegeben durch h ( ) f( ) g ( ). Bestimmen Sie h (). 0-N Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. F ist eine Stammfunktion von f. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort. () Der Graph der Ableitungsfunktion f verläuft für oberhalb der -Achse. () f hat mindestens eine Nullstelle. f () F hat bei = - ein Minimum. () Für die Funktion I mit I( ) f ( t) dt gilt I() 0. - - 05-H Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f einer ganzrationalen Funktion f. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort. f ' () Der Graph von f hat bei = - einen TP. () f( ) f( ). () f( ) f( ) - - () Der Grad der Funktion ist mindestens. - 5 -
FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN 05-N Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. a) Geben Sie f (0) näherungsweise an. b) F ist eine Stammfunktion von f. Untersuchen Sie, an welchen Stellen im abgebildeten Bereich der Graph von F Hoch-, Tief- und Wendepunkte besitzt. c) Entscheiden Sie, welche der folgenden Funkti- - onsgleichungen zur Funktion f gehört: f( ) e f( ) e f ( ) e f ( ) e Begründen Sie Ihre Entscheidung. 06-H Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F einer Funktion f. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung. Graph von F (5) f () F() (6) (7) f( ) d. 0 f besitzt im Bereich eine Nullstelle. f F( ) (8) 0-06-N a Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f mit f ( ) c. b a) Geben Sie die Zahlenwerte von a, b und c an. b) Gegeben sind die Funktionen g und h durch g( ) f( ) und h( ) f( d). Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehörigen Abbildungen zu. Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung. Geben Sie den Wert von d an. - 5 -
FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN (je 5-6 Punkte) 07-H Sind folgende Aussagen wahr? Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung. () Jede Funktion, deren Ableitung eine Nullstelle hat, besitzt eine Etremstelle. () Jede ganzrationale Funktion vierten Grades hat eine Etremstelle. (,5 P) 07-N - 55 -
FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN / Lösungen LÖSUNGEN 00-H () Wahr, wegen f ( ) 0 ist f im Intervall streng monoton wachsend. () Wahr, weil f bei = 0 ein Maimum besitzt. () Falsch, da f streng monoton wachsend ist. () Unentscheidbar, denn mit f ist auch jede bezüglich f verschobene Funktion eine Stammfunktion von f. f kann also unterhalb oder oberhalb oder sowohl unter- als auch oberhalb der -Achse liegen. 00-N () Wahr, weil f eine Nullstelle mit VZW von + nach hat. () Unentscheidbar, weil die Konstante c bei der Stammfunktion nicht festgelegt ist. () Falsch, weil f smmetrisch zur -Achse sein müsste. Außerdem müsste die Stammfunktion durch den Ursprung gehen, was laut () nicht gewährleistet ist. () Wahr, die Funktion f hat an der Stelle = einen Wendepunkt, weil f dort einen Hochpunkt hat. Der WP ist genauer betrachtet ein Sattelpunkt. f() 005-H a) Bild ist das Schaubild von f, weil f im Ursprung eine doppelt zählende Nullstelle besitzt und das Schaubild daher die -Achse im Ursprung berühren muss. b) f hat zwei Etrempunkte, daher hat f zwei Nullstellen (Bild ). Der Hochpunkt von f führt zum Wendepunkt von F, der Tiefpunkt (und Nullstelle) von f führen zum Sattelpunkt von F (Bild ). f hat bei = 0 eine Nullstelle, daher hat g wegen Division bei = 0 eine Polstelle (Bild ). - 56 -
FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN / Lösungen 005-N f () f () ist wahr, weil f () 0 und f () ist. f() f() ist falsch, weil die Steigung positiv, der Drehsinn aber negativ ist. 006-H () Falsch, denn f hat bei keinen Vorzeichenwechsel. () Richtig, denn f hat für 6 genau zwei Etremstellen. () Richtig, denn f (0), während die. Winkelhalbierende die Steigung hat. () Falsch, denn f ist im Intervall 0;5 monoton wachsend, da f dort keine negativen Werte annimmt. Flachpunkt 8 6 f f ' WP 5 SP - - 57 -
006-N FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN / Lösungen () Unentscheidbar, F hat bei einen Tiefpunkt, der -Wert ist aber unbestimmt. () Falsch, denn F hat bei = 5 einen Wendepunkt. () Richtig, denn f hat bei = eine Nullstelle mit VZW von minus nach plus. () Richtig, denn F ist im Intervall 5;0 monoton steigend, daher muss gelten F(0) F(5). 007-H Monotonie: f ist monoton steigend für < f ist streng monoton fallend für > 5 f Etremstellen f hat für = ein lokales Maimum, weil f bei = einen VZW von + nach hat. Wendestellen f hat Wendestellen bei = 0 und =, weil f an diesen Stellen - lokale Etrema hat. 007-N a) Die Etremstelle liegt bei E, wobei der -Wert unbestimmt ist. Die Wendestelle liegt bei W 0, wobei der -Wert unbestimmt ist. b) Im Bereich hat F Tangenten mit positiver Steigung, weil die Funktionswerte von f (= Steigung von F) positiv sind. F c) Schaubild von F, wenn F durch P(-/0) geht: 5-58 -
FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN / Lösungen 008-H a) f() wird beschrieben durch das Schaubild, weil dies die einzige Kurve mit einer senkrechten und einer waagerechten Asmptote ist. g() wird beschrieben durch das Schaubild, weil dies die einzige Kurve mit keiner senkrechten, aber einer waagerechten Asmptote ( = - ) ist. h() wird beschrieben durch das Schaubild, weil dies die einzige Parabel ist. b) Polstelle bei a 0 a g(0) 0 b0 b 008-N Abb. gehört zur Funktion f. Die Sinuskurve schneidet die -Achse im Punkt S(0/-). Die Amplitude hat den Wert und schlägt zuerst nach unten aus. Die Periode beträgt p. Abb., die Kurve hat einen positiven Amplitudenfaktor. Abb., die Kurve geht durch den Ursprung. Abb., die Kurve hat die Periode p. 009-H a) Da f zwei Nullstellen hat, besitzt F zwei Etremstellen. An der. Nullstelle. hat f einen VZW von + nach -, also besitzt F dort einen HP. An der. Nullstelle. hat f einen VZW von - nach +, also besitzt F dort einen TP. Wo f einen TP hat, besitzt F einen Wendepunkt mit dem größten Gefälle. Über Nullstellen von F kann keine Aussage gemacht werden, da die Integrationskonstante c nicht eindeutig bestimmbar ist. b) 6 F(6) F() f( ) d Fläche zwischen Kurve und -Achse im Bereich 6. Diese ist aus der Zeichnung ersichtlich größer als (leicht einzusehen, wenn man sich unter der Kurve näherungsweise ein Dreieck vorstellt). - 59 -
FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN / Lösungen 009-N a) f () b) f( ) d F() F() 0 ( ) c) Da F im Bereich 0 < < 7 streng monoton wachsend ist, gilt hier f ( ) 0. Da F im Bereich < < 0 eine Wendestelle besitzt, hat f hier eine Etremstelle 00-H a a) f ( ) Asmptote : Kurve muss zur Funktion f gehören, ² weil sie die einzige ist, die die Asmptote besitzt. a Es gilt: f(0) a a b) f hat an der Stelle = 0 ein Maimum, also muss die Ableitungsfunktion dort eine Nullstelle mit VZW von + nach haben. Diese Bedingung wird nur von Kurve erfüllt. c) Wegen I f dt 0 muss die Kurve die Integralfunktion sein. () ( t) 00-N a) Etremstellen, wegen Nullstellen bei der Ableitung Wendestellen, wegen Etrempunkten bei der Ableitung Nullstellen, die Anzahl liegt unbestimmbar zwischen 0 und, da die Lage der Stammfunktion nicht eindeutig festzulegen ist. b) 5 5 f d f d f d 0 ( ) ( ) ( ) d.h. die positiv zählende Teilfläche ist größer als die negativ zählende Teilfläche, daher ist die Summe der beiden Teilflächen größer als Null. 0-H () Es ist F ( ) f( ) 0 im Bereich, daher ist F monoton wachsend. () Das Schaubild von f hat im Bereich,5,5 an drei Stellen waagerechte Tangenten. Somit hat die Ableitungsfunktion f in diesem Bereich drei Nullstellen. - 60 -
() 0 FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN / Lösungen f ( ) d f() f (0) 0 q. e. d. () Das Schaubild von f hat an der Stelle = 0 eine waagerechte Tangente, also gilt f (0) 0. In der Umgebung von = 0 ist f monoton fallend, also gilt f ( ) 0. Damit ist gezeigt, dass der Ursprung HP des Schaubildes f ist. 0-N a) Maimum bei = 5, weil f eine Nullstelle mit VZW von + nach hat. Wendestelle bei =, weil f ein Etremum hat. Tangenten parallel zur. Winkelhalbierenden bei = und =, weil f den Wert hat. b) ( ) [Wert geschätzt] f () f () Fläche unter der Kurve f d,5 6,5 0-H a) Es ist f (0), daher zeigt Abb. den Graphen von f. b) Der Graph in Abb. ist um Einheiten nach rechts verschoben. Daher gilt: g ( ) f( ) a Der Graph in Abb. ist gestaucht und gespiegelt, der Faktor beträgt b h( ) f( ) c) Der Graph in Abb. ist um Einheiten nach oben verschoben. Daher gilt: k ( ) f( ) 0-N a) Wegen f () 0 zeigt Abb. den Graphen von f an. Das Schaubild von f besitzt bei = einen Hochpunkt. Damit gilt f ( ) 0. Abb. entspricht also dem Schaubild von f. Abb. zeigt das um nach links verschobene Schaubild von f und ist daher der Funktion g zuzuordnen. Die verbleibende Abb. gehört demnach zur Stammfunktion F. b) Da das Schaubild von f um nach links verschoben ist, beträgt b. - 6 -
FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN / Lösungen 0-H () Die Kurve geht durch den Punkt P(/). () Die Kurve besitzt an der Stelle = eine waagerechte Tangente. () Die Kurve hat an der Stelle = einen Wendepunkt. () Die Kurve besitzt eine waagerechte Asmptote mit der Gleichung =5. 5 Möglicher Kurvenverlauf. W 0-N a) f () F() Steigungsdreieck zeichnen. b) f ( ) d F () F (0) 0. 0 c) f hat im Intervall [- ; ] mindestens eine Nullstelle, weil F im Intervall [- ; ] einen Wendepunkt hat. d) 0 F d 5 erhält man durch Auszählen der Kästchen. ( ) 0-H a) f g() f( ) 5 f (0) 0 g( ) 0 oder f () 0 g( ) b) h( ) f ( ) g( ) Produktregel verwenden h( ) f( ) g( ) f( ) g( ) Werteablesen h() f() g() f() g() 00 ( ) 0-N () Die Aussage ist falsch, weil die Funktion f für > - streng monoton fallend ist. () Die Aussage ist wahr, weil die Funktion f bei = 0 eine Wendestelle hat. Also gilt f (0) 0. () Die Aussage ist wahr, weil die Funktion f bei = - eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach + hat. () Die Aussage ist falsch, weil auf dem Intervall ; die negative Fläche unterhalb der -Achse größer als die positive oberhalb ist. Daher ist die Gesamtfläche negativ. - 6 -
FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN / Lösungen 05-H () Wahr, weil f an der Stelle = - eine NST mit VZW von nach + hat. () Wahr, weil f im Intervall von - bis - monoton steigend ist. () Falsch, weil die Steigung bei = - Null und der Funktionswert bei = - gleich ist. Daher ergibt sich f( ) f( ) 0. () Wahr, weil f eine ganzrationale Funktion. Grades ist, muss die Stammfunktion mindestens den Grad haben. 05-N a) f (0) ( siehe Steigungsdreieck) b) F hat an der Stelle = einen TP, weil f dort eine Nst. mit VZW von nach + hat. F hat an der Stelle = einen WP, weil f dort einen TP hat. c) Die Fkt f hat bei = eine Nullstelle, daher entfällt f. Die Fkt f schneidet die -Achse im Pkt P(0/-), daher entfällt f. Die Fkt f strebt für gegen plus unendlich, daher ist f die gesuchte Funktion. 06-H () Wahr, weil F() 0 und die Steigung f () 0 sind. () Falsch, weil 0 f( ) df() F(0), also nicht gleich ist. () Wahr, weil die Funktion F bei = 0 eine Wendestelle hat. Außerdem gilt, dass f F, die zweite Ableitung von F ist. () Falsch, weil F( ) 0 Steigung f (0) ist negativ f (0) 0. 06-N a) Zunächst ergibt sich : b und c ( wegen Polstelle / Asmptote). a a N /0 und f ( ) 0 a b) Abb. gehört zu g, weil der Graph von g aus dem Graphen von f durch Spiegelung an der -Achse entsteht. Der Graph von h entsteht aus dem Graphen von f durch Verschiebung parallel zur -Achse. Dabei gilt d = - 6. (je - 5 Punkte) - 6 -
07-H FUNKTIONALE BETRACHTUNGEN / Lösungen () Die Aussage ist falsch. Es genügt ein Gegenbeispiel: Die Funktion f ( ) hat bei = 0 eine Nullstelle, besitzt aber keine Etremstelle. () Dier Aussage ist wahr. Als Ableitung der Funktion erhält man eine ganzrationale Funktion. Grades, welche mindestens eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt. Also besitzt die Ausgangsfunktion mindestens eine Etremstelle. 07-N ( P) (,5 P) - 6 -
VEKTORAUFGABEN 00-H Aufgabe 6 Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g: t ; t und E: 0 Prüfen Sie nach, ob der Punkt A(/0/) auf der Geraden g liegt. Zeigen Sie: Die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E. Bestimmen Sie die Koordinaten desjenigen Punktes der Ebene E, welcher vom Punkt A den kleinsten Abstand hat. ( P) Aufgabe 7 Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der dargestellten Ebene. ( P) 00-N Aufgabe 6 Lösen Sie das Gleichungssstem 6 9 6 5 Interpretieren Sie die Lösung geometrisch. ( P) - 65 -
VEKTORAUFGABEN Aufgabe 7 Gegeben sind die drei Punkte A( /- / ). B( / / 0) und C( / / ). Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig-rechtwinklig ist. Bestimmen Sie den Punkt D so, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist. ( P) 005-H Aufgabe 6 Lösen Sie das lineare Gleichungssstem: 0 8 Aufgabe 7 Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, die den Punkt A(/ / ) und die ( P) Gerade g: t 0 ; t enthält. 005-N Aufgabe 6 Die Figur zeigt einen Würfel mit der Kantenlänge LE. Zeichnen Sie diesen Würfel und die Ebene E: ( P) unter Verwendung ihrer Spurgeraden in ein Koordinatensstem ein. Kennzeichnen Sie die Schnittfläche der Ebene mit dem Würfel. Aufgabe 7 Gegeben sind zwei Geraden ( P) 5 g : t und h : 8 s 5 8 7 Zeigen Sie, dass die Geraden in einer Ebene liegen. Bestimmen Sie eine Gleichung von E. ( P) - 66 -
VEKTORAUFGABEN 006-H Aufgabe 6 Gegeben sind die Ebene E: 5 0 und die Gerade g: 6 t mit t. a) Zeigen Sie, dass g zu E parallel ist. b) Bestimmen Sie den Abstand der Geraden g von der Ebene E. Aufgabe 7 Gegeben sind die Ebenen E: und E : 6. Stellen Sie die beiden Ebenen in einem Koordinatensstem dar. Zeichnen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen ohne weitere Rechnung ein. 006-N Aufgabe 6 Gegeben sind zwei Geraden g : 0 7 0 6 r und h : s 6 mit r, s. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden. Aufgabe 7 Gegeben sind zwei Ebenen ( P) ( P) ( P) 0,5 0 E : r 0 s und E : 0. 0 a) Untersuchen Sie, ob die beiden Ebenen orthogonal zueinander sind. b) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P(// 9) von der Ebene E. 007-H Aufgabe 6 Lösen Sie das lineare Gleichungssstem: ( P) - 67 -
7 5 VEKTORAUFGABEN Interpretieren Sie das Gleichungssstem und seine Lösungsmenge geometrisch. Aufgabe 7 Gegeben sind die Ebenen E und F mit ( P) E: s 0 t s, t und F : 0 0 0 Zeigen Sie, dass die Ebenen parallel sind. Bestimmen Sie den Abstand der Ebenen. ( P) 007-N Aufgabe 6 [geändert] Bestimmen Sie in der folgenden Vektorgleichung die Größen k, s und t. 7 s t k ( P) Aufgabe 7 Die Punkte A(//), B(5/-/) und C(/5/-) liegen in einer Ebene E: a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Koordinatenform. b) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist. ( P) 008-H Aufgabe 6 Gegeben sind die zwei parallelen Geraden g und h durch æö æ ö æö æ 6 ö g : 9 s = und h : t 8 + - = + - s, t Î. ( P) ç ç ç5 ç è ø è ø è ø è ø Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden. Aufgabe 7 Die Ebene E geht durch die Punkte A(,5 0 0), B(0 0) und C(0 0 6). - 68 -
VEKTORAUFGABEN Untersuchen Sie, ob die Gerade g: t t parallel zur Ebene E verläuft. 008-N Aufgabe 6 Spiegeln Sie den Punkt A(5 / / 0) an der Ebene E: 7 Aufgabe 7 Gegeben sind die Ebenen E: und E : 5 0 0. ( P) ( P) Stellen Sie die beiden Ebenen E und E in einem gemeinsamen Koordinatensstem dar. Zeichnen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen ein. Geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden an. ( P) 009-H Aufgabe 6 [geändert] Gegeben sind die beiden Geraden g : s und h : t 0,5. Prüfen Sie, ob g und h einen gemeinsamen Punkt besitzen. Aufgabe 7 Gegeben sind die Ebene E: und die Gerade g: r. 0 a) Veranschaulichen Sie die Ebene E in einem Koordinatensstem. b) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g und E. c) Bestimmen Sie den Abstand des Ursprungs von der Ebene E. 009-N Aufgabe 6 Gegeben sind die Punkte A( / / 0), B( / 7 / ) und C( / 8 / ). ( P) ( P) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. ( P) - 69 -
VEKTORAUFGABEN Aufgabe 7 Gegeben sind die Geraden g und h mit 9 g : r und h : t. 0 5 5 Zeigen Sie, dass g und h parallel, aber nicht identisch sind. Geben Sie eine Gleichung der Ebene an, in welcher die beiden Geraden liegen. 00-H Aufgabe 6 Gegeben sind die Punkte A(//), B(0// ), C(/ /) und D( /9/0). Überprüfen Sie, ob diese vier Punkte in einer Ebene liegen. Aufgabe 7 Gegeben sind die Ebene E: 7 und der Punkt P(9 / /). ( P) ( P) a) Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene E. b) Der Punkt S( //) liegt auf E. Bestimmen Sie den Punkt Q auf der Geraden durch S und P, der genauso weit von E entfernt ist wie P. 00-N Aufgabe 6 [geändert] Lösen Sie die folgende Vektorgleichung: Aufgabe 7 0 s t r 0 6 Gegeben sind die Punkte P( // ) und Q( / / ) sowie die Ebene E:. ( P) ( P) a) Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene E. b) Die Gerade durch die Punkte P und Q schneidet die Ebene E in einem Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten von S. Begründen Sie, dass S zwischen P und Q liegt. (5 P) - 70 -
VEKTORAUFGABEN 0-H Aufgabe 6 Lösen Sie das lineare Gleichungssstem: 5 7 5 Interpretieren Sie das Gleichungssstem und seine Lösungsmenge geometrisch. Aufgabe 7 ( P) Gegeben sind die Ebene 8 E: 0 7 und die Gerade g: 5 t. 7 a) Zeigen Sie, dass E und g parallel sind. b) Bestimmen Sie den Abstand von E und g. 0-N Aufgabe 6 Gegeben sind die Ebenen E: 6und F: 0. ( P) Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E und F. Welche besondere Lage im Koordinatensstem hat diese Gerade? ( P) Aufgabe 7 Die Gerade g verläuft parallel zur -Achse durch den Punkt P(0//0). Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an. Bestimmen Sie einen möglichen Punkt C auf g so, dass das Dreieck ABC mit A(6//0) und B(//0) bei C einen rechten Winkel hat. ( P) 0-H Aufgabe 6 Gegeben sind die Ebenen E: 0 und F: 8. - 7 -
VEKTORAUFGABEN Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden. Aufgabe 7 Gegeben sind der Punkt A(//) und die Ebene E: 0. a) Welche besondere Lage hat E im Koordinatensstem? b) Der Punkt A wird an der Ebene E gespiegelt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes. 0-N Aufgabe 6 Gegeben sind die Ebenen E : 6 und F :. ( P) ( P) Stellen Sie beide Ebenen in einem Koordinatensstem dar. Zeichen Sie die Schnittgerade ein. ( P) Aufgabe 7 Gegeben ist die Gerade g: t 0. a) Bestimmen Sie den Punkt P auf g, der vom Punkt A(6/7/-) den kleinsten Abstand hat. b) Bestimmen Sie einen Punkt Q auf g, der vom Punkt B(//) den Abstand hat. 0-H Aufgabe 6 Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(/-/) und B(/-/0). Die Ebene E wird von g orthogonal geschnitten und enthält den Punkt C(//-8). Bestimmen Sie den Schnittpunkt S von g mit E. Untersuchen Sie, ob S zwischen A und B liegt. Aufgabe 7 Gegeben sind die beiden Ebenen 7 E: und E : 7 s t 5 0 Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind. ( P) ( P) - 7 -
VEKTORAUFGABEN Die Ebene E ist parallel zu E und E und hat von beiden Ebenen denselben Abstand. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E. 0-N Aufgabe 6 Gegeben sind drei Ebenen: E : 0 E : 70 E : 5 0 ( P) Zeigen Sie, dass sich die drei Ebenen in einer Geraden schneiden. Geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden an. Aufgabe 7 Gegeben sind die drei Punkte A(-//), B(/0/) und C(0/6/7). a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist. b) Bestimmen Sie den Punkt D so, dass ABCD ein Quadrat ist. 0-H Aufgabe 6 Gegeben sind die Ebenen E : und F :. ( P) ( P) a) Stellen Sie die beiden Ebenen in einem gemeinsamen Koordinatensstem dar. Geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E und F an. b) Die Ebene G ist parallel zur Achse und schneidet die Ebene in derselben Spurgeraden wie die Ebene F. Geben Sie eine Gleichung der Ebene G an. Aufgabe 7 Gegeben sind die Punkte A/0/, B // und C //. Die Gerade g verläuft durch A und B. Bestimmen Sie den Abstand des Punktes C von der Gerade g. 0-N Aufgabe 6 Lösen Sie das lineare Gleichungssstem: 6 9 8. (5 P) ( P) - 7 -
VEKTORAUFGABEN Interpretieren Sie das Gleichungssstem und seine Lösungsmenge geometrisch. Aufgabe 7 Gegeben sind die Ebene E und die Gerade g durch E : und g : t. a) Ermitteln Sie den Schnittpunkt der Geraden g mit E. b) Bestimmen Sie diejenigen Punkte auf g, die von E den Abstand haben. 05-H Aufgabe 6 Gegeben sind die drei Punkte A/0/, B0//und C 6/6/. ( P) ( P) a) Zeigen Sie, dass das Dreieck gleichschenklig ist. b) Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes, der das Dreieck ABC zu einem Parallelogramm ergänzt. Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, wie viele solcher Punkte es gibt. ( P) Aufgabe 7 Gegeben ist die Ebene E:. a) Stellen Sie die Ebene in einem Koordinatensstem dar. b) Bestimmen Sie alle Punkte auf der Achse, die von E den Abstand haben. 05-N Aufgabe 6 Gegeben sind die Ebene E und die Gerade g durch 5 E : 9 und g : t a) Bestimmen Sie die gegenseitige Lage von g und E. b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene, die orthogonal zu E ist und g enthält. ( P) ( P) - 7 -
Aufgabe 7 VEKTORAUFGABEN Gegeben ist die Ebene E:. Die Ebene E ist parallel zu E. Der Punkt P5/ / liegt zwischen den beiden Ebenen und ist von E doppelt so weit entfernt wie E. Bestimmen Sie eine Gleichung von E. 06-H Aufgabe 6 Gegeben ist die Gerade æö æö g: = 0 t + mit tî. ç ç èø èø ( P) a) Untersuchen Sie, ob es einen Punkt auf g gibt, dessen drei Koordinaten identisch sind. b) Die Gerade h verläuft durch Q(8/5/0) und schneidet g orthogonal. Bestimmen Sie eine Gleichung von h. (5 P) Aufgabe 7 Gegeben ist die Ebene E: 7 8. Es gibt zwei zu E parallele Ebenen F und G, die vom Ursprung den Abstand haben. Bestimmen Sie jeweils eine Gleichung von F und G. 06-N Aufgabe 6 Gegeben ist das lineare Gleichungssstem a b c 8 a b c 6 mit der Lösungsmenge ;; Aufgabe 7. Bestimmen Sie die Werte für a, b und c. ( P) ( P) Die Gerade g verläuft durch den Punkt A 5/5/ und schneidet die Ebene E: 6orthogonal. Bestimmen Sie die beiden Punkte P und Q auf g, die von E doppelt so weit entfernt sind wie der Punkt A. ( P) - 75 -
VEKTORAUFGABEN 07-H Gegeben sind die Ebenen E : 6 und F : 5 0 0. a) Stellen Sie die Ebene E in einem Koordinatensstem dar. b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E und F. c) Ermitteln Sie eine Gleichung einer Geraden, die in E enthalten ist und mit F keinen Punkt gemeinsam hat. - 76 -
VEKTORAUFGABEN / Lösungen LÖSUNGEN 00-H-Lösg 6 Punktprobe für A: t 0 t t Ag 0 t Der Normalenvektor von E ist das Doppelte des Richtungsvektors g orthogonal zu E. g ist das Lot von A auf E. Bestimmung des Lotfußpunktes: E g : ( t) ( t) ( t) t F(/0,5/) 00-H-Lösg 7 Spurpunkte ablesen: S(5/0/0) S(0//0) S (0/0/) von g, also ist ( P) Achsenabschnittsform: 00-N-Lösg 6 6 9 6 5 6 9 t 6 6 0 t E E 5 : : 5 0 60 Lasse herausfallen. Setze t. ( P) 7t 8 8 7t (87 t) t t Zusammenfassung ergibt die Schnittgerade: 8 t 7 0 ( P) - 77 -
VEKTORAUFGABEN / Lösungen 00-N-Lösg 7 AB ² ² ² BC ² ² ² gleichschenklig BA und BC 0 90 5 D C BA D(5//) 005-H-Lösg 6 0 8 ( P) Kombiniere jeweils zwei Gleichungen und lasse jedes Mal herausfallen. Dann erhält man zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten usw. Lösung:,, Geometrische Interpretation: gemeinsamer Punkt S //. Die Gleichungen stellen Ebenen (in Koordinatenform) dar, die sich in genau einem Punkt schneiden. Die Ebenen bilden also einen Trichter. ( P) 005-H-Lösg 7 Parameterform E : t 0 s ; t, sr Koordinatenform E: 6 005-N-Lösg 6 ( P) E 6 Zeichnung : ( P) - 78 -
VEKTORAUFGABEN / Lösungen 005-N-Lösg 7 5 E: t s 5 E: 8 Die Ebene E ist zunächst einmal eine Ebene, die g enthält und parallel zu h verläuft. Punktprobe für ( / 8 /7) P : 8 (7) d.h. g und h liegen in einer Ebene. q.e.d. ( P) 006-H-Lösg 6 Parallelität: æö æ-ö a n= =- + - = 0 g E ç ç- è ø è ø 5 65 9 Abstand: d LE ² ² ² ² ² ² 006-H-Lösg 7 ( P) E 6 : E : ( P) 006-N-Lösg 6 Die Richtungen von g und h sind verschieden, weil die beiden Richtungsvektoren linear unabhängig sind. g h: r 7 r,5 6r s 67s s 6 r 6 s Kontrolle: 0,566 Widerspruch also gibt es keinen Schnittpunkt, somit sind die Geraden windschief. ( P) - 79 -
VEKTORAUFGABEN / Lösungen 006-N-Lösg 7 0,5 0 : 0 a) E r s n und n E : 0 b) n n 0 E E d 007-H-Lösg 6 A B C D 867 9 A² B² C² ² ² ² 9 9 ( P) I 7 II II III 7 7 5 5 III 5 I III 70 5 Setze t 5 t (5 t) t 0 t t s: 5 t ist die gemeinsame Schnittgerade. 0 007-H-Lösg 7 E: s 0 t n E 0 0 0 0 ( P) F: 8 0 nf ne nf Parallelität q. e. d. AB C D 8 Abstand: d d, LE A² B² C² ² ² ² ( P) - 80 -
VEKTORAUFGABEN / Lösungen 007-N-Lösg 6 7 s t k s t :( ) 7s t k st bestimme s, t und k. st 7 st t und s k 6 007-N-Lösg 7 6 a) E: s t n E 6 ( P) E: 9 b) 0 90 AB ² ² ² und AC ² ² ² gleichschenklig 008-H-Lösg 6 H : 9 6 H h (6 t) (8 t) 5t 6 ( P) 8t8 t5 t 6 5t 6 t 0,5 F( / 6 / ) Abstand: d ² ² 0² 5 5 LE 008-H-Lösg 7 E: 6 6 ne, 5 6 ( P) 860 nf a g E oder g E Punktprobe für P(-//) ( ) 0 90 PE g E qed... - 8 - ( P)
VEKTORAUFGABEN / Lösungen 008-N-Lösg 6 5 0 Lot: t 0 Lot E : t ( ) t 7 t F Parameter verdoppeln und einsetzen: 008-N-Lösg 7 A 5 0 5 A(5/ / 6) 0 6 ( P) E: und E : 5 00 und wähle t einsetzen: 6t t Schnittgerade: s: t 0 0 ( P) 009-H-Lösg 6 s t st s t 0,5 s0,5t s t 8 s t t,5 / s,5 Probe für die. Zeile: s0,5t,50,5,5 0,750,75 S /0,75/,5 ( P) - 8 -
VEKTORAUFGABEN / Lösungen 009-H-Lösg 7 E g Der Punkt P (//) liegt in der Ebene E: 0. Der Richtungsvektor von g ist orthogonal zum Normalenvektor von E: 0 0 0 Abstand zum Ursprung: Die Gerade g ist ganz in der Ebene E enthalten. D d A² B² C² ( P) 009-N-Lösg 6 a AB und b AC 5 spannen das Dreieck auf, wobei die Vektoren nicht gekürzt werden dürfen. Fläche: A ab 5 6 9 9 6 6 009-N-Lösg 7 ( P) Da die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind, sind die Geraden parallel. Die Punktprobe ergibt, dass z. B. P(/-/0) nicht auf h liegt, daher sind die beiden Geraden nicht identisch. - 8 -
VEKTORAUFGABEN / Lösungen Ebenengleichung aus g und h : 00-H-Lösg 6 Parameterform aus A, B und C: Normalenvektor: E: 0 r s 0 0 5 E: s t 6 0 n 0 ( P) Ebene in Koordinatenform: 6 E: 6 Punktprobe für D( /9/0): D einsetzen in 6 96 6 6 00-H-Lösg 7 Also liegen alle Punkte in einer Ebene E. ( P) AB 9 0 ( ) C D 7 0 a) Abstand: d 6 LE A² B² C² ² ² 5 b) gespiegelter Punkt: 00-N-Lösg 6 LGS: s r s t r 0 6str 0 Q S PS 5 6 Q( /6/) 0 s r s r ( 0) str 0sr 0 6st r ( P) ( P) 6r r weiterhin ergibt sich durch Einsetzen: s und t Man kann auch noch die Probe für die oben stehende Vektorgleichung machen. ( P) - 8 -
VEKTORAUFGABEN / Lösungen 00-N-Lösg 7 AB CD 0 a) Abstand: d A² B² C² ² ² 0 b) Gerade PQ: g: t ge ( t) ( t) 6tt ( P) t t 0,5 S(,5 / 0,5 /,5) S S liegt zwischen P und Q, weil der Parameter von S zwischen denen von P und Q liegt: t 0 und t t t 0,5 t P Q P S Q 0-H-Lösg 6 I 5 7 I 5 9 II 5 II 5 III III ( P) I II : 0 0 0 Setze t t 5( t) t 55tt t 0 s: t oder t 0 Die Lösungsmenge ist eine gemeinsame Schnittgerade. 0-H-Lösg 7 ( P) 8 E: 0 8 80 E: 8 80 8 a) Wegen 80 stehen der Normalenvektor von E und der Richtungsvektor von g senkrecht aufeinander, also sind E und g parallel zueinander. - 85 -
VEKTORAUFGABEN / Lösungen AB C D 875 ( 7) 8 56588 8 b) d 9 LE A² B² C² 8² ² ² 8 9 ( P) 0-N-Lösg 6 E: 6 F: 0 ( ) 0 setze t 6,5t Zusammenfassung 6 6 0 g: 6 t,5 0 Da der. Komponente des Richtungsvektors gleich Null ist, verläuft die Gerade parallel zur Ebene. ( P) 0-N-Lösg 7 Die Gerade g verläuft parallel zur -Achse durch den Punkt P(0//0). Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an. Bestimmen Sie einen möglichen Punkt C auf g so, dass das Dreieck ABC mit A(6//0) und B(//0) bei C einen rechten Winkel hat. 0 g : t 0 C( t //0) beweglicher Punkt 0 0 t6 t AC BC t t t t 0 0 0 0 ( 6)( ) 0 7 0 0 t C (//0) und t 5 C (5//0) 0-H-Lösg 6 E : und F : 8 ( P) setze t t 8 8t Werte einsetzen (8 t) t t Schnittgerade g : 8 t ( P) 0-86 -
VEKTORAUFGABEN / Lösungen 0-H-Lösg 7 Da die -Kompenente fehlt, verläuft die Ebene parallel zur -Achse. Lot : t 0 Lot E t Parameter verdoppeln t A 6 A(7// ) ( P) 0-N-Lösg 6 E F 6 6 6 : : ZEICHNUNG 6 ( P) 0-N-Lösg 7 H : 6 H g t Lotfußpunkt F(8//0) Der Richtungsvektor von g hat die Länge. Da B(//) Stützpunkt von g ist, erhält man für t = oder für t = - Punkte auf g mit dem vorgegeben Abstand. Die Punkte Q(5//) oder R(-//6) haben von B den Abstand. 0-H-Lösg 6 Gerade g : t Ebene E : 8 ge: t t t t S / 5/ Wegen AB liegt S nicht zwischen A und B, d. h. t liegt nicht zwischen 0 und. S A ( P) ( P) - 87 -
VEKTORAUFGABEN / Lösungen 0-H-Lösg 7 E: n n n n E E 0 A 0 / 0 / ist ein beliebiger Punkt aus E. B 7 / 7 / 5 ist ein bekannter Punkt aus E. M, 5 /, 5 / ist Mittelpunkt der Strecke AB. E muss den Punkt M enthalten:, 5 Mittelebene E :, 5 0-N-Lösg 6 VERFAHREN: Lasse jeweils herausfallen. ( P) I III 7 7 50 5 Das LGS hat -viele Lösungen, I II 7 7 50 5 man erhält eine Schnittgerade: Setze t 5 t ( I): t (5 t) t Schnittgerade : 0 t oder 5 t 5 0 ( P) 0-N-Lösg 7 7 7 a) AB 8 und BC AB BC 8 8 0 90 AB 8 9 und BC 7 9 gleichschenklig 7 6 6 b) BC D6/ /6 D A ( P) - 88 -
VEKTORAUFGABEN / Lösungen 0-H-Lösg 6 a) SCHNITTGERADE E g: 0 t 0 0 F b) ( P) EBENE G : 0-H-Lösg 7 Gerade durch A und B: g: 0 t 0 ( P) Hilfsebene: H : 0 Fußpunkt: H g: F5/7/ Abstand: d CF 0 5 5LE ( P) 0-N-Lösg 6 6 9 8 ( ) 6 9 8 0 5 0 :5 t t einsetzeningliii: t t 7 t 0 Schnittgerade : t 7 ( P) - 89 -
VEKTORAUFGABEN / Lösungen 0-N-Lösg 7 a) SCHNITTPUNKT t t t t S / /0 b) VARIABLER PUNKT auf der Geraden g: t P t/ t/t AB CD Abstand : d A B C ttt ttt 6t 9 Fallunterscheidung 6t 9 t P 0/5/ und P5 6/ / 6t 9 t 5 ( P) 05-H-Lösg 6 a) 6 AB AC 6 BC AC BC 0 b) 6 0 D C BA 6 D0// 0 oder D */0/ oder D ** / /6 D* B A C D Es gibt insgesamt drei mögliche Lösungen. D** ( P) 05-H-Lösg 7 E : Skizze Beweglicher Punkt auf der Achse P 0/0/ t Abstand zur Ebene t 5 t t 5 t5 t 9 t5 t P P 0/0/9 0/0/ ( P) - 90 -
VEKTORAUFGABEN / Lösungen 05-N-Lösg 6 Gegenseitige Lage: Punktprobe: na 0 g E P 5// in E einsetzen 09 P E Daher verläuft g parallel zu E, liegt aber nicht in E. Eine Ebene F, die orthogonal zu E und g ist, wird durch den Normalenvektor von E und den Richtungsvektor von g aufgespannt, enthält außerdem den Stützpunkt von g. Somit ergibt sich F in Parameterform: 05-N-Lösg 7 5 F: t s Ebene E ist parallel zu E, d.h. beide Ebenen haben denselben Normalenvektor. Ein beliebiger Punkt Q auf E wird gewählt, z.b. Q(//0). ( P) Ein Punkt R auf E ergibt sich laut Skizze durch 5 5 7 R p p Q 0 Q P R E E 7 E : n nr E: 9 06-H-Lösg 6 a) Wie man leicht sieht, ergibt sich für t = der Punkt P(//). b) Die Gerade h ist das Lot von Q auf die Gerade g: ( P) Hilfsebene durch Q, welche g orthogonal schneidet : 8 H : 5 H : 58 0 H g:t6t t 58 6t 5 t L(5/8/7) Gerade durch die Punkte Q und L : 8 8 5 8 8 h: 5 t 58 h: 5 t h: 5 t 0 0 7 0 0 ( P) - 9 -
VEKTORAUFGABEN / Lösungen 06-H-Lösg 7 Die gesuchten Ebenen F und G sind parallel zu E und haben daher denselben Normalenvektor wie E. Bezugspunkt für den Abstand ist der Ursprung O(0/0/0). D D D 8 d 8 D D A B C 7 8 8 F: 7 80 oder G: 7 80 ( P) 06-N-Lösg 6 a b 8 8 Werte einsetzen: c c5 a 6b c 6 a b 8 8 a 6b 0 6 b b0 a 8 8 a 6 06-N-Lösg 7 Lot von A auf E : 5 5 t ge 5t 5t t 6 t S 9// als Parameter von P wähle t 6 P 7/ / 5 07-H a) ZEICHNUNG als Parameter von Q wähle t Q /7/ Q A S P ( P) ( P) ( P) 6-9 -
VEKTORAUFGABEN / Lösungen : 5 0 0 0 b) F Lineares Gleichungssstem 6 t 6t 6t 6t 6 Schnittgerade s: 0 t 6 c) Die gesuchte Gerade g muss parallel zur Schnittgerade s verlaufen und gleichzeitig in der Ebene E: 6 liegen. 6 P6/0/0 liegt in E g : 0 t 0 6 ( P) (,5P) - 9 -
VERFAHREN BESCHREIBEN BESCHREIBEN, VERSTEHEN, BEGRÜNDEN 00-H Gegeben sind im Raum eine Gerade g und ein Punkt A, der nicht auf g liegt. Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung des Abstandes A zu g. 00-N Die Gerade g geht durch die Punkte A( ) und B( -). Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der Geraden g mit der Ebene. Begründen Sie, dass S zwischen A und B liegt. 005-H Gegeben sind eine Ebene E und ein Punkt P, der nicht in E liegt. P wird an E gespiegelt. Beschreiben Sie ein Verfahren, um den Bildpunkt P zu bestimmen. Fertigen Sie dazu eine Skizze an. 005-N Beschreiben Sie ein Verfahren, wie der Abstand zweier paralleler Geraden bestimmt werden kann. 006-H Gegeben sind zwei Punkte A und B. Diese liegen bezüglich einer Ebene E smmetrisch. Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung einer Gleichung von E. 006-N [Linearkombination entfällt seit 0.] 007-H Von einem senkrechten Kreiskegel kennt man die Koordinaten der Spitze S, die Koordinaten eines Punktes P des Grundkreises sowie eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der der Grundkreis liegt. Beschreiben Sie ein Verfahren, um den Mittelpunkt M und den Radius r des Grundkreises zu bestimmen. 007-N Gegeben sind die Geraden g und h im Raum. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man die gegenseitige Lage von g und h untersuchen kann. - 9 -
BESCHREIBEN, VERSTEHEN, BEGRÜNDEN 008-H E : p n 0 Gegeben sind die beiden Ebenen E : p n 0. und Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man anhand dieser Normalengleichungen die gegenseitige Lage der beiden Ebenen untersuchen kann. 008-N [entfällt, zu kompliziert] 009-H Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt A im Raum. A liegt nicht auf g. A wird an der Geraden g gespiegelt. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man den Bildpunkt A bestimmen kann. 009-N Gegeben ist eine Ebene E. Gesucht ist eine zu E parallele Ebene F im Abstand. Beschreiben Sie ein Verfahren, wie man eine Gleichung der Ebene F bestimmen kann. 00-H Die Gerade g und die Ebene E schneiden sich im Punkt S. Die Gerade g ist das Bild von g bei Spiegelung an der Ebene E. Beschreiben Sie ein Verfahren, um eine Gleichung der Geraden g zu ermitteln. 00-N Gegeben sind die Ebene E und eine Gerade g. E und g schneiden sich, aber g ist nicht orthogonal zu E. Die Gerade g wird senkrecht auf E projiziert, dabei entsteht die Bildgerade g* in E. Beschreiben Sie ein Verfahren, wie man eine Gleichung von g* bestimmen kann. 0-H Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt A, der nicht auf g liegt. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man denjenigen Punkt B auf g bestimmt, der den kleinsten Abstand von A hat. 0-N Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen E und E. Die Ebene F ist parallel zu E und E und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung von F bestimmen kann. 0-H Gegeben sind eine Ebene E und eine Gerade g, die in E liegt. - 95 -
BESCHREIBEN, VERSTEHEN, BEGRÜNDEN Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung einer Geraden h ermitteln kann, die orthogonal zu g ist und ebenfalls in E liegt. 0-N Gegeben sind zwei parallele Geraden g und h. Diese liegen smmetrisch bezüglich einer Ebene E. Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung einer Gleichung von E. 0-H [ANALYSIS VERSTEHEN, neuer Tp] Gibt es eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph drei Wendepunkte besitzt? Begründen Sie Ihre Antwort. 0-N Im dreidimensionalen Raum sind eine Gerade g und ein Punkt P, der nicht auf g liegt, gegeben. Die Gerade h geht durch P und schneidet g orthogonal. Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung einer Gleichung der Geraden h. 0-H Gegeben sind der Mittelpunkt einer Kugel sowie eine Ebene. Die Kugel berührt diese Ebene. Beschreiben Sie, wie man den Kugelradius und den Berührpunkt bestimmen kann. 0-N Gegeben sind zwei Vektoren a und b mit a b und a b 0. Alle Punkte mit den Ortsvektoren sinracossb ; r, s0; bilden eine Figur F. Stellen Sie die Vektoren a und b Geben Sie den Flächeninhalt von F an. sowie die Figur F in einer Skizze dar. 05-H Mit 0 V d wird der Rauminhalt eines Körpers berechnet. Skizzieren Sie diesen Sachverhalt und beschreiben Sie den Körper. - 96 -
BESCHREIBEN, VERSTEHEN, BEGRÜNDEN 05-N Gegeben sind eine Ebene E und eine Gerade g, welche E schneidet. Die Ebene E stellt eine Spiegelfläche dar, die Gerade g einen Lichtstrahl, der auf die Spiegelfläche trifft und reflektiert wird. Beschreiben Sie, wie man eine Gleichung der Geraden erhält, die den reflektierten Lichtstrahl darstellt. 06-H Von zwei Kugeln K und K sind die Mittelpunkte M und M sowie die Radien r und r bekannt. Die Kugeln berühren einander von außen im Punkt B. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man B bestimmen kann. 06-N Vertauscht man die Koordinaten von P //6 auf alle möglichen Arten, so ergibt sich zusammen mit P eine Menge von Punkten. a) Zeigen Sie, dass alle Punkte dieser Menge auf der Oberfläche einer Kugel liegen. b) Begründen Sie, dass alle Punkte dieser Menge in einer Ebene liegen. 07-H Gegeben sind eine Ebene E, ein Punkt P in E sowie ein weiterer Punkt S, der nicht in E liegt. Der Punkt S ist die Spitze eines geraden Kegels, dessen Grundkreis in E liegt und durch P verläuft. Die Strecke PQ bildet einen Durchmesser des Grundkreises. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man die Koordinaten des Punktes Q bestimmen kann. 07-N (je Punkte) - 97 -
BESCHREIBEN, VERSTEHEN, BEGRÜNDEN / Lösungen LÖSUNGEN 00-H Verfahren zur Abstandsbestimmung: Die Hilfsebene H wird so gewählt, dass sie orthogonal zu g steht und A enthält: H n n, wobei n der Richtungsvektor von g ist. : A Dann wird H mit g geschnitten, man erhält den Lotfußpunkt F. Der Abstand AF ist gleich dem Abstand des Punktes A von g. Skizze: Hilfsebene H d F g A 00-N g: t 0 0 t 0 t 0,75 S (,5/ / 0) Begründung, dass S zwischen A und B liegt: Die Gerade hat A als Stützvektor und AB als Richtungsvektor, so dass man für t = den Punkt B erhält. Weil der Parameter im Bereich 0 t liegt, muss der Punkt S zwischen A und B liegen. 005-H Zunächst stellt man die Gleichung der Lotgeraden g auf, die durch den Punkt P geht und den Normalenvektor der Ebene E als Richtungsvektor hat. Anschließend schneidet man das Lot g mit der Ebene E und erhält für den Lotfußpunkt den Parameter t F. Dieser Parameter wird verdoppelt und in die Geradengleichung eingesetzt. So erhält man die Koordinaten des gespiegelten Punktes P. - 98 -
BESCHREIBEN, VERSTEHEN, BEGRÜNDEN / Lösungen oder: Man bestimmt den Lotfußpunkt F und berechnet anschließend den Ortsvektor für P : OP OP PF Skizze: Ebene E P Lot g F P' Ursprung O 005-N Man nimmt den Stützpunkt der. Geraden und fällt das Lot auf die. Gerade. Dies geschieht mit einer Hilfsebene H, deren Normalenvektor der Richtungsvektor der Parallelen ist und deren fester Punkt der Stützpunkt der. Geraden ist. Dann wird H mit der. Geraden geschnitten und man erhält den Lotfußpunkt. Der Abstand der Parallelen ist der Abstand zwischen dem Stützpunkt und dem Lotfußpunkt. 006-H A M B Der Mittelpunkt M der Strecke AB ist ein Punkt der gesuchten Ebene. Der Vektor AB ist ein Normalenvektor der gesuchten Ebene. Die Ebene erhält man mit dem Ansatz: n ( ) 0 oder n n M M 006-N [entfällt] - 99 -
BESCHREIBEN, VERSTEHEN, BEGRÜNDEN / Lösungen 007-H Man fällt das Lot von S auf die Ebene E, wobei S als S Stützpunkt und der Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor gewählt wird. Den Mittelpunkt M des Grundkreises erhält man, indem man das Lot mit Lot der Ebene E schneidet. Der Radius des Grundkreises ist der Abstand von P nach M. M r P 007-N Zunächst untersucht man, ob die Richtungsvektoren von g und h linear abhängig oder linear unabhängig sind. Sind die Richtungsvektoren linear abhängig, prüft man durch Punktprobe, ob der Stützpunkt von g auf h liegt (oder umgekehrt). Ist dies der Fall, so sind die Geraden identisch, andernfalls sind sie parallel. Sind die Richtungsvektoren linear unabhängig, berechnet man den Schnittpunkt von g und h. Wenn dieser eistiert, liegen die beiden Geraden in einer Ebene und schneiden sich. Wenn kein Schnittpunkt eistiert, sind die Geraden windschief. 008-H Zunächst prüft man, ob die Normalenvektoren linear abhängig sind: n kn Sind sie linear abhängig, so prüft man weiter, ob P in E liegt (Punktprobe). Ist dies der Fall, so sind die Ebenen identisch, sonst aber parallel. Falls die Normalenvektoren linear unabhängig sind, haben die Ebenen eine Schnittgerade. 008-N [wird ausgelassen, untpisch und kompliziert] 009-H Zunächst bestimmt man eine Hilfsebene H, die den Punkt A enthält und deren Normalenvektor gleich dem Richtungsvektor der Geraden ist. Dann schneidet man H mit g, wodurch man den Lotfußpunkt F erhält. Der Punkt A wird schließlich am Punkt F mit Hilfe folgender Gleichung gespiegelt: A F AF oder A A AF - 00 -
BESCHREIBEN, VERSTEHEN, BEGRÜNDEN / Lösungen 009-N Beide Ebenen E und F haben denselben Normalenvektor A n B. C Man sucht einen beliebigen Punkt P, der in der Ebene E liegt. A In P errichtet man das Lot mit dem normierten Normalenvektor n 0 B A² B² C², C welcher die Länge besitzt. So erhält man das Lot: P tn 0 Indem man t = einsetzt, bekommt man einen Punkt Q, der zur Ebene E den Abstand hat. Die Ebenengleichung von F lautet dann: F : n( Q ) 0 00-H P sei ein von S verschiedener Punkt auf g. Man fällt das Lot von P auf die Ebene E. Für die Lotgleichung benutzt man P als Stützpunkt und den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor. Das Lot wird mit der Ebene E geschnitten. Der Parameter des Lotfußpunktes wird verdoppelt und in das Lot eingesetzt. So erhält man den an E gespiegelten Punkt P*. Aus P* und S gewinnt man anschließend die Gleichung der gespiegelten Geraden g. 00-N Man schneidet E mit g und erhält den Schnittpunkt S. Sodann wählt man einen von S verschiedener Punkt P auf g, fällt das Lot von P auf die Ebene E P und bestimmt den Lotfußpunkt F. Für die Lotgleichung benutzt man P als Stützpunkt und den Normalenvektor der Ebene als Richtungs- g* S F vektor. Aus S und F gewinnt man anschließend die Glei- g chung der projizierten Geraden g*. - 0 -
BESCHREIBEN, VERSTEHEN, BEGRÜNDEN / Lösungen 0-H Man bestimmt eine Hilfsebene H, die auf g senkrecht steht und den Punkt A enthält, wobei der Richtungsvektor von g der Normalenvektor von H ist. Der Ansatz lautet: n n A Anschließend schneidet man H mit g und erhält den Lotfußpunkt B, welcher auf g liegt und von A den kleinsten Abstand hat. 0-N Man wählt beliebige Punkte P auf E und P auf E. Anschließend bestimmt man den Mittelpunkt M der Strecke PP. Den Normalenvektor übernimmt man wegen der Parallelität von den gegebenen Ebenen. Der Ansatz für die Mittelebene lautet: F : n nm 0-H Zuerst kreuzt man den Richtungsvektor der Geraden g mit dem Normalenvektor der Ebene E. Der so erhaltene Vektor ist der Richtungsvektor der gesuchten Geraden h. Als Stützvektor für h kann man den Stützvektor von g übernehmen und anschließend die Geradengleichung aufstellen. Die Lösung ist nicht eindeutig, weil man jeden beliebigen Punkt von g oder E als Stützpunkt für h wählen kann. 0-N Man schneidet eine zu g orthogonale Hilfsebene sowohl mit g als auch mit h und erhält dadurch die Schnittpunkte P und Q. Der Vektor PQ ist ein geeigneter Normalenvektor von E. Der Mittelpunkt M der Strecke PQ ist ein geeigneter Stützpunkt von E. Die Ebenengleichung erhält man mit folgendem Ansatz: E : n nm 0-H [ANALYSIS] Die zweite Ableitung der Funktion ergibt eine ganzrationale Funktion zweiten Grades. Um die Wendepunkte zu bestimmen, muss die zweite Ableitung gleich Null gesetzt werden. Man erhält eine quadratische Gleichung, die höchsten zwei reelle Lösungen haben kann. Drei Wendepunkte sind also nicht möglich. - 0 -
BESCHREIBEN, VERSTEHEN, BEGRÜNDEN / Lösungen 0-N Die Gerade h ist das Lot von P auf die Gerade g. Man stellt daher eine Hilfsebene H auf, die durch P enthält und senkrecht auf der Geraden g steht: H : n n wobei n der Richtungsvektor von g ist. P Anschließend schneidet man H mit g und erhält den Lotfußpunkt F. Mit P und F kann man dann die Geradengleichung von h bestimmen. 0-H Man fällt vom Kugelmittelpunkt M aus das Lot auf die Ebene E. Dieses wird mit E geschnitten. So erhält man den Lotfußpunkt F, welcher gleichzeitig der Berührpunkt der Kugel mit der Ebene E ist. Die Länge MF entspricht dem Kugelradius. 0-N Die Vektoren stehen aufeinander senkrecht und haben beide die Länge. Die Länge des Vektors a variiert zwischen 0 und, die Länge des Vektor b variiert zwischen + und -. Als Fläche ergibt sich ein Rechteck mit dem Flächeninhalt. SKIZZE a - b b 05-H Eine Gerade rotiert um die -Achse und erzeugt dabei in den Grenzen von = 0 bis = 5 einen KEGELSTUMPF (siehe Skizze). 05-N Zuerst bestimmt man den Schnittpunkt S von g mit E. Dann wählt man einen weiteren Punkt P auf g und spiegelt diesen an der Ebene E. Mit P und dem Normalenvektor von E stellt man die Lotgleichung auf, welche man anschließend mit E schneidet. Man erhält den Lotfußpunkt L. Verdoppelt man den Parameter von L und setzt den verdoppelten Wert in g ein, so erhält man den gespiegelten Punkt P*. Aus S und P* gewinnt man die Gleichung des reflektierten Strahls. - 0 -
BESCHREIBEN, VERSTEHEN, BEGRÜNDEN / Lösungen 06-H Man bestimmt zunächst den Richtungsvektor Daraus bestimmt man den Einheitsvektor a0 a M M a, welcher die Länge hat. a Den Berührpunkt B erhält man durch r a oder mit r a. B M 0 B M 0 06-N a) Bei Vertauschung der Koordinaten entstehen insgesamt! 6 Punkte. Die Ortsvektoren haben alle dieselbe Länge 6 9 7. Damit liegen alle Punkte auf der Oberfläche einer Kugel um den Ursprung mit dem Radius 7. b) Drei Punkte bestimmen eine Ebene. Die Summe der Koordinaten ergibt stets. Somit liegen alle sechs Punkte in der Ebene E:. 07-H Man fällt zunächst das Lot von der Kegelspitze S auf die Ebene E. Indem man das Lot mit der Ebene E schneidet, erhält man den Lotfußpunkt F, welcher gleichzeitig der Mittelpunkt M des Kegel-Kreises ist. Dann spiegelt man den Punkt P an M und erhält den Punkt Q: Q M PM 07-N - 0 -
ERWEITERUNGEN [seit 0] BESCHREIBEN, VERSTEHEN, BEGRÜNDEN Aufg [ANALYSIS VERSTEHEN] Die täglichen Heizkosten eines Hauses werden durch k(t) dargestellt. Dabei ist t die Zeit in Tagen seit dem. Januar 0. Was bedeutet 90 90 k dt bzw. k dt? () t () t 90 0 0 Aufg [ANALYSIS VERSTEHEN] Es soll eine Gleichung einer ganzrationalen Funktion g dritten Grades ermittelt werden, welche die Etremstellen und besitzt. ( P) Folgende Lösungsschritte werden vorgeschlagen: () Ableitungsfunktion von g: () Gleichung einer Stammfunktion von g : ( ) g g ( ) g( ) a) Begründen Sie die Richtigkeit dieses Vorgehens. b) Geben Sie die Funktionsgleichung einer weiteren ganzrationalen Funktion dritten Grades an, welche die Etremstellen und besitzt. Aufg [ANALYSIS VERSTEHEN] Mit wird der Rauminhalt eines Rotationskörpers berechnet. V d Skizzieren Sie den Sachverhalt. Um welchen Körper handelt es sich? Aufg [ANALYTISCHE GEOMETRIE VERSTEHEN] Die folgenden Zeilen zeigen einen Teil der Lösung einer Geometrieaufgabe. ( P) ( P) 0 5 0 0 5 g: t t ge: 5t t t 0-05 -
BESCHREIBEN, VERSTEHEN, BEGRÜNDEN a) Was war gegeben? Wie lautete die Aufgabe? b) Lösen Sie die Aufgabe vollständig. ( P) Aufg 5 [STOCHASTIK VERSTEHEN] Bei einem Fest möchte ein Besucher an einem Glücksrad spielen. Bevor er spielt, stellt er folgende Rechnung auf: PPP 6 a) Welche Information erhält er durch diese Rechnung? b) Wie könnte das verwendete Glücksrad aussehen und die Gewinnregel lauten? Beschreiben Sie möglichst genau. ( P) LÖSUNGEN Lösg 90 k() t dt beschreibt die gesamten Heizkosten für die ersten 90 Tage des Jahres 0. 0 90 90 k() t dt beschreibt die durchschnittlichen täglichen Heizkosten der ersten 90 Tage 0 des Jahres 0. Lösg a) g besitzt Etremstellen bei und, wenn g an diesen Stellen Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt. g( ). Dies führt auf den Ansatz b) ist eine Stammfunktion von g und damit eine mögliche g mit g( ) Lösung. zb h.. ( ) 5-06 -
Lösg BESCHREIBEN, VERSTEHEN, BEGRÜNDEN Es handelt sich um einen Kegel, wobei die -Achse die Rotationsachse ist. SKIZZE Lösg a) Gegeben waren zwei Punkte A (0 ) und B(5 ) sowie eine Ebene E: 0. Aufgabe: Untersuchen Sie, ob die Ebene E und die Gerade g durch A und B gemeinsame Punkte besitzen. b) 0 t t9 t 0 5 0 Die Gerade g hat keine gemeinsamen Punkte mit der Ebene E. Lösg 5 a) Durch die Rechnung erhält er den Erwartungswert seines Gewinns. Pro Spiel wird er durchschnittlich 50 Cent verlieren. b) Ein mögliches Glücksrad enthält Sektoren. Die Mittelpunktswinkel der Sektoren sind 0, 80 und 60, der jeweilige Gewinn beträgt, bzw.. - 07 -
STOCHASTIK STOCHASTIK [seit 0] 0-H Neun Spielkarten (vier Asse, drei Könige und zwei Damen) liegen verdeckt auf dem Tisch. a) Peter dreht zwei zufällig gewählte Karten um und lässt sie aufgedeckt liegen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: A: Es liegt kein Ass aufgedeckt auf dem Tisch. B: Eine Dame und ein Ass liegen aufgedeckt auf dem Tisch. b) Die neun Spielkarten werden gemischt und erneut verdeckt ausgelegt. Laura dreht nun so lange Karten um und lässt sie aufgedeckt auf dem Tisch liegen, bis ein Ass erscheint. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der aufgedeckten Spielkarten an. Welche Werte kann X annehmen? Berechnen Sie PX. 0-N Ein Fußballspieler verwandelt erfahrungsgemäß 90% aller Elfmeter. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit verwandelt er von drei Elfmetern nur den letzten? mindestens einen b) Für ein Ereignis C gilt: 0 0,9 b a 7 c P C. Geben Sie geeignete Werte für a, b und c an. Beschreiben Sie das Ereignis C in Worten. 0-H An einem Spielautomaten verliert man durchschnittlich zwei Drittel aller Spiele. a) Formulieren Sie ein Ereignis A, für das gilt: P A 0 0 8 8 9 0 b) Jemand spielt vier Spiele an dem Automaten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit verliert er dabei genau zwei Mal? ( P) ( P) ( P) - 08 -
STOCHASTIK 0-N Ein idealer Würfel wird dreimal geworfen. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man dabei dreimal die gleiche Augenzahl? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens einmal eine Augenzahl größer als zu werfen? c) Notiert man die Ziffern in der gewürfelten Reihenfolge von links nach rechts, erhält man eine dreistellige Zahl. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Zahl kleiner als 66? ( P) 05-H Ein Glücksrad hat drei farbige Sektoren, die beim einmaligen Drehen mit folgender Wahrscheinlichkeit angezeigt werden: Rot: 0% Grün: 0% Blau: 50% Das Glücksrad wird n-mal gedreht. Die Zufallsvariable X gibt an, wie oft die Farbe Rot angezeigt wird. a) Begründen Sie, dass X binomialverteilt ist. Die Tabelle zeigt einen Ausschnitt der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X: k P X k 0 5 6 7... 0, 0 0, 06 0, 0, 0, 0,7 0, 0, 05... b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens dreimal Rot angezeigt wird. c) Entscheiden Sie, welcher der folgenden Werte von n der Tabelle zugrunde liegen kann: n 0, 5 oder 0. ( P) 05-N In einer Urne liegen eine schwarze und vier blaue Kugeln. Nacheinander wird jeweils eine Kugel zufällig gezogen und zur Seite gelegt, bis man die schwarze Kugel erhält. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: A: Man erhält spätestens beim zweiten Zug die schwarze Kugel. B: Man erhält die schwarze Kugel erst beim fünften Zug. b) Berechnen Sie, welche Anzahl an Ziehungen bei diesem Eperiment durchschnittlich zu erwarten ist. ( P) - 09 -
STOCHASTIK 06-H Bei einem Glücksrad werden die Zahlen,, und bei einmaligem Drehen mit folgender Wahrscheinlichkeit angezeigt: Zahl Wahrscheinlichkeit 0, 0, 0, 0, a) Das Glücksrad wird einmal gedreht. Geben Sie zwei verschiedene Ereignisse an, deren Wahrscheinlichkeit jeweils 0,7 beträgt. b) An dem Glücksrad sollen nur die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen und so verändert werden, dass das folgende Spiel fair ist: Für einem Einsatz von,50 darf man einmal am Glücksrad drehen. Die angezeigte Zahl gibt den Auszahlungsbetrag in Euro an. Bestimmen Sie die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen und. ( P) 06-N Die Zufallsvariable X kann die Werte 0; ; ; ; und 5 annehmen. Im nebenstehenden Diagramm ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X nur für die Werte 0; ; und dargestellt. a) Bestimmen Sie PX. b) Begründen Sie, dass PX 0, gilt. c) Der Erwartungswert von X beträgt,55. Bestimmen Sie PX und PX 5. 07-H In einer Urne liegen drei rote, zwei grüne und eine blaue Kugel. Es werden so lange nacheinander einzelne Kugeln gezogen und zur Seite gelegt, bis man eine rote Kugel erhält. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man höchstens drei Kugeln zieht. 07-N ( P) (,5 P) - 0 -
STOCHASTIK LÖSUNGEN 0-H 5 5 9 8 8 a) P A Pkein Ass bei 9 Kartenund Pkein Ass bei 8 Karten P BPDame / Assoder PAss / Dame 9 8 9 8 9 b) Da spätestens die 6. Karte ein Ass sein muss, kann die Zufallsvariable X die Werte k =,,,, 5 oder 6 annehmen. 5 5 P X PAss bei X oder PAss bei X 9 9 8 9 8 8 0-N a) P A P TTT,, 0009,,, 0009, 09, % P B P mindestens ein Treffer P T, T, T 0, 0, 00 0, 999 99, 9 % b7 0 b 0 0 P C 0, 9 c c0, 90, P C 0, 9 0, a ab a b) b 7 7 Ereignis C: Der Schütze verwandelt von 0 Elfmetern genau. 0-H a) Das Ereignis A bedeutet: Man verliert von 0 Spielen 8 oder 9 oder 0 Spiele, also mindestens 8 Spiele. b) P X n, p, q, k 8 9 9 7 0-N // / / / /... 6 / 6 / 6 P dreimal die gleiche Zahl P P P P a) 6 6 6 6 6 b) P mindestens einmal größer Phöchstens 8 9 7 7 - -
STOCHASTIK c) 66 Pdie ersten beiden Ziffern dürfen nicht gleichzeitig 6 sein P Zahl kleiner als 5 6 6 6 05-H a) X ist binomialverteilt, weil nur zwei Ausgänge (rot-nicht rot) betrachtet werden. b) PX PX 0,00,06 0, 0,79 79% c) bekannt : E X größter Wert und p 0,0 gesucht : n Ansatz : E n p E n 0 p 0, 0 05-N PA PsPb/ s 5 Pb/ b/ b/ b/ s P B 5 5 5 5 5 5 X Anzahl der Ziehungen, bis man eine schwarze Kugel erhält. Erkenntnis : Alle Fälle sind gleich wahrscheinlich. 5 5 EX 5 5 5 5 5 5 5 5 06-H a) Ereignis A: es erscheint keine. P A 0, 0,7 Ereignis B: es erscheint eine oder eine. PB 0, 0, 0,7 b) ERWARTUNGSWERT Zahl Wahrscheinlichkeit p p 0,0, 0, 0, faires Spiel : EX p0,5 p0,0,,5 p p0,9 0,8,5 p0, P 0, und P 0, - -
06-N STOCHASTIK a) Aus dem Diagramm liest man ab: P X 0, 05 0,0,5 0,5 b) PX P X P X 0,5 0, 0,8 0,8 0, 0, c) Ansatz : P X P X 5 0, und E X,55 P X P X PX PX PX 50, ( ) PX 00, 05 0,0,5 0, 5 5,55 0 0,0, 7 0,9 5 5,55, 7 P X 5 5 0,85 P X P X siehe oben P X 5 5 0,85 P X P X 5 0,8 P X 5 0, 05 und P X 0,5 07-H Spätestens beim vierten Zug zieht man eine rote Kugel, weil es nur drei Kugeln gibt, welche nicht rot sind. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis beträgt Für das Gegenereignis gilt: Phöchstens drei Züge 07-N p. 6 5 0 9 p. 0 0 - -
STOCHASTIK FORMELSAMMLUNG - -
FORMELSAMMLUNG zur VEKTORRECHNUNG EBENENGLEICHUNGEN Koordinatenebenen und Parallelebenen Ebene : 0 und c Ebene : 0 und a Ebene : 0 und b Achsenabschnittsform a b c Spurpunkte zum Zeichnen / /, / /, / / S a 0 0 S 0 b 0 S 0 0 c Achsenschnittpunkte werden abgelesen. Koordinatenform A B C D 0 für D 0 Ursprungsebene Parameterform 0 s0 t0 a b Richtungsvektoren darf man kürzen. Normalenvektor der Ebene A n a b B C E P A n B C GERADENGLEICHUNGEN Parameterform g: 0 t0 a Den Richtungsvektor darf man kürzen. Lot auf eine Ebene Lot t n : P Spurgeraden 0 B C D 0 0 A C D 0 0 A B D 0 Schnittgeraden einer Ebene mit den Koordinatenebenen. Achsen senkrecht stehen : parallel sein : Achse : t0 0 0 Achse : t 0 0 Achse : t0! ab 0! a kb P A n B C E Normalform der Ebenengleichung n( ) 0 n n 0 0 A B n0 D C A B C D 0 Hesse-Normal-Form A B C D A B C 0 WINKEL ab Gerade Gerade cos a b n n Ebene - Ebene cos n n a n Gerade Ebene sin a n BETRAG = Länge eines Vektors a a a a - 5 -
FORMELSAMMLUNG zur VEKTORRECHNUNG ABSTÄNDE Punkt A Punkt B AB AB a b a b a b MITTELPUNKT einer Strecke M B A a b a b a b M,, Punkt P Ebene E (gilt auch für den Abstand zwischen parallelen Ebenen) d A p B p A B Ursprung Ebene E d A D B C C p C D windschiefe Geraden g und g g: 0 sa n ab h: P tb Hilfsebene : 0 n 0 H : A B C D0 d Ap Bp Cp D A B C Punkt P- Gerade g Stelle eine Hilfsebene H : n np auf und schneide die Gerade g mit H. Man erhält den Lotfußpunkt F. d PF SCHNITTPUNKTE Gerade Ebene g komponentenweise einsetzen in E (in Koordinatenform) Gerade Gerade t g und g komponentenweise gleichsetzen Sstem mit Gleichungen und Unbek. aus Zeilen berechne s und t, für die. Zeile mache die Probe. Falls kein Widerspruch S SCHNITTGERADE Ebene - Ebene.Mögl.: Lasse zunächst eine Variable herausfallen. Dann setze z.b..mögl.: S S t und E (Koordinatenform) und E (Koordinatenform): Je zwei entsprechende Spurgeraden schneiden S und S g g g.mögl.: E (Parameterform) einsetzen in E (Koor- n a a F P P 0 dinatenform) satb einsetzen in E g in Parameterform.. Mögl.: a n n und S g - 6 -
FORMELSAMMLUNG zur VEKTORRECHNUNG GEGENSEITIGE LAGE von Geraden windschief a b, d. h. verschiedene Richtungen und kein Schnittpunkt Schnitt a b, d. h. verschiedene Richtungen und ein Schnittpunkt eistiert parallel a b,d. h. gleiche Richtung und P, liegt nicht auf g, (Punktprobe) identisch a b, d.h. gleiche Richtung und P, liegt auf g, (Punktprobe) SONSTIGE FORMELN Flächen ADreieck g h Sonderfall ADreieck ab oder absin A ab oder absin A Parallelogr Trapez A Raute a c h e f AKreis r und U Kreis r Volumen ( ab) c VPramide Gh oder 6 ( ab) c NORMIERUNG eines Vektors Wird ein Vektor durch seine Länge geteilt, erhält man den entsprechenden Einheitsvektor mit der Länge. Dieser heißt normierter Vektor. a VEKTOR a a a LÄNGE a a a a a NORMIERT a0 a a a a a PUNKTPROBE Beim Einsetzen eines Punktes P in eine Geradengleichung müssen sich gleiche Parameterwerte ergeben,, wenn P auf g liegen soll sonst liegt P nicht auf g. BEWEGLICHER PUNKT Liegt ein Punkt P auf einer Geraden g, so kann man die Koordinaten des Punktes mit Hilfe des Parameters t als variable Koordinaten darstellen. BEISPIEL g: 5 t P t/ 5t/ t Spatvolumen V G h oder ( a b) c SPAT - 7 -