Was haben die folgenden Dinge gemeinsam?

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Parthenon zu Athen

Mona Lisa von Leonardo da Vinci

Nautilus

Berliner Fernsehturm

CN Tower

Obelix

Brüder Grimm

Ananas

Rose

Biene

Apple

Das goldene Zeitalter Der Goldene Schnitt und seine Anwendung Martin Bünnig Marcel Pietschmann Universität Potsdam Lehrstuhl Didaktik der Mathematik David Kollosche Unterrichtsanlässe aus der Geschichte der Mathematik 27. Januar 2012

Goldener Schnitt Gliederung 1 Goldener Schnitt 2 3 M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 14/51

Goldener Schnitt Übersicht Definition Definition (Euklid, 2. Buch der Elemente, 11. Satz) Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist. Definition (Beutelspacher u. Petri (1989)) Sei AB eine Strecke. Ein Punkt S von AB teilt AB im goldenen Schnitt, falls sich die größere Teilstrecke (M Major) zur kleineren (m Minor) so verhält wie die Gesamtstrecke zum größeren Teil. M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 15/51

Goldener Schnitt Übersicht Formal A M S m B Sei a = AB = M + m: a M = M m am = M 2 (M + m)m = M 2 M m + 1 M = 0 m Φ 2 Φ 1 = 0 2 M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 16/51

Goldener Schnitt Übersicht Das noble Φ Die quadratische Gleichung Φ 2 Φ 1 = 0 hat die Lösungen: Φ 1,2 = 1 ± 5 2 Φ = 1 + 5 2 1, 618 Φ = 1 5 2 0, 618 M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 17/51

Goldener Schnitt Antike Neuzeit Konstruktion Eigenschaften von Φ Geometrisches Goldenen Schnitt in der Natur Die Pythagoreer und Hippasos Hippasos entdeckt Goldenen Schnitt am Pentagramm Teilung der Diagonalen ergeben kleine und grosse Abschnitte grosser Abschnitt zur ganzen Diagonalen steht im gleichen Verhältnis wie der kleinere Abschnitt zum grösseren M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 18/51

Goldener Schnitt Antike Neuzeit Konstruktion Eigenschaften von Φ Geometrisches Goldenen Schnitt in der Natur proportio habens medium et duo extrema Euklid erwähnt Goldenen Schnitt erstmalig in seinen Schriften Teilung im äusseren und mittleren Verhältnis Untersuchungen an den platonischen Körpern und dem Fünfeck 5 platonischen Körper Sinnbilder für die Schöpfung 14.Jahrhundert: Göttliche Teilung M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 19/51

Goldener Schnitt Antike Neuzeit Konstruktion Eigenschaften von Φ Geometrisches Goldenen Schnitt in der Natur Hype entsteht Bezeichnung Goldener Schnitt erst ab 1835 durch den deutschen Mathematiker Martin Ohm Philosophen Adolf Zeising postulierte die Existenz eines Naturgesetzes der Ästhetik Basis ist der Goldene Schnitt Gustav Theodor Fechner fand eine Präferenz bei Menschen für den Goldenen Schnitt bei Rechtecken heraus (1876) rumänischer Diplomat Matila Ghyka interpretierte den Goldenen Schnitt als fundamentales Geheimnis des Universums M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 20/51

Goldener Schnitt Antike Neuzeit Konstruktion Eigenschaften von Φ Geometrisches Goldenen Schnitt in der Natur Station 1 & 2 Innere Teilung nach Euklid (ca. 525 v. Chr.): Die Strecke AB der Länge a soll gemäß dem goldenen Schnitt geteilt werden. 1 Errichte über dem Punkt A eine Senkrechte der Länge a 2 mit Endpunkt C. 2 Der Kreis vom Radius CB mit Mittelpunkt C schneidet die Verlängerung der Strecke AC in einem Punkt D. 3 Der Kreis um den Punkt A mit dem Radius AD teilt nun die Streke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes. M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 23/51

Innere Teilung Goldener Schnitt Antike Neuzeit Konstruktion Eigenschaften von Φ Geometrisches Goldenen Schnitt in der Natur C A S B D M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 24/51

Äußere Teilung Goldener Schnitt Antike Neuzeit Konstruktion Eigenschaften von Φ Geometrisches Goldenen Schnitt in der Natur Z C A a S b B X 2a Y M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 25/51

Goldener Schnitt Innere Teilung - Version 2 Antike Neuzeit Konstruktion Eigenschaften von Φ Geometrisches Goldenen Schnitt in der Natur C D A S B M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 26/51

Goldener Schnitt Antike Neuzeit Konstruktion Eigenschaften von Φ Geometrisches Goldenen Schnitt in der Natur Beweis Beweis. Nach Pythagoras gilt: Wegen CD = CB = a 2 ist: AC = a 5 2 AS = AD = AC CD = a 5 2 a 2 = a( 5 1) = a 2 φ M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 27/51

Goldener Schnitt Antike Neuzeit Konstruktion Eigenschaften von Φ Geometrisches Goldenen Schnitt in der Natur Eigenschaften von Φ Beweise die folgenden Aussagen über die Zahl Φ. Satz 1 Φ 2 = Φ + 1 2 1 Φ = Φ 1 = ( 5 1) 2 3 Φ + 1 Φ = 5 M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 28/51

Goldener Schnitt Antike Neuzeit Konstruktion Eigenschaften von Φ Geometrisches Goldenen Schnitt in der Natur Beweis von (1) Beweis. Eigenschaft (1) folgt automatisch aus der der charakteristischen Gleichung. Φ 2 Φ 1 = 0 Φ 2 = Φ + 1 Man kann somit die Potenzen von Φ linearisieren. M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 29/51

Beweis von (2) Goldener Schnitt Antike Neuzeit Konstruktion Eigenschaften von Φ Geometrisches Goldenen Schnitt in der Natur Beweis. Für den Beweis der Eigenschaft (2) multiplizieren wir zu (1) den Faktor 1 Φ : und daraus Φ = 1 + 1 Φ 1 Φ = Φ 1 1 Φ = Φ 1 = 1 + 5 1 = 2 5 1 2 M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 30/51

Beweis von (3) Goldener Schnitt Antike Neuzeit Konstruktion Eigenschaften von Φ Geometrisches Goldenen Schnitt in der Natur Beweis. Wir beweisen nun (3) mithilfe von (2): Φ + 1 Φ = 1 + 5 2 + 5 1 2 = 5 M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 31/51

Goldener Schnitt Antike Neuzeit Konstruktion Eigenschaften von Φ Geometrisches Goldenen Schnitt in der Natur Berechne Φ 4 Φ 2 Φ 4 Φ 2 = Φ 2 Φ 2 1 Φ 1 Φ = (Φ + 1)(Φ + 1) (Φ 1)(Φ 1) = [Φ + 1 (Φ 1)][Φ + 1 + Φ 1] = 2 2Φ = 4Φ M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 32/51

geometrische Figuren Goldener Schnitt Antike Neuzeit Konstruktion Eigenschaften von Φ Geometrisches Goldenen Schnitt in der Natur 1 Goldenes Dreieck: gleichschenkliges Dreieck, bei dem zwei Seiten im Goldenen Schnitt stehen 2 Goldenes Rechteck: Seitenverhältnis entspricht dem Goldenen Schnitt 3 Goldener Winkel: Ψ = 360 360 Φ 137, 5 M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 33/51

Vitruv Goldener Schnitt Antike Neuzeit Konstruktion Eigenschaften von Φ Geometrisches Goldenen Schnitt in der Natur M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 34/51

Goldener Schnitt Mona Lisa von Leonardo da Vinci Antike Neuzeit Konstruktion Eigenschaften von Φ Geometrisches Goldenen Schnitt in der Natur M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 35/51

Ananas Goldener Schnitt Antike Neuzeit Konstruktion Eigenschaften von Φ Geometrisches Goldenen Schnitt in der Natur M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 36/51

Pferd Goldener Schnitt Antike Neuzeit Konstruktion Eigenschaften von Φ Geometrisches Goldenen Schnitt in der Natur M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 37/51

Biene Goldener Schnitt Antike Neuzeit Konstruktion Eigenschaften von Φ Geometrisches Goldenen Schnitt in der Natur M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 38/51

Apple Goldener Schnitt Antike Neuzeit Konstruktion Eigenschaften von Φ Geometrisches Goldenen Schnitt in der Natur M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 39/51

Goldener Schnitt Formale Definition Fibonacci-Quotienten algebraische Zusammenhänge Kaninchenproblem Wir berechnen die Nachkommenschaft eines Kaninchenpaares. Wie viele Nachkommen gibt es? 1 Jedes Kaninchenpaar wird im Alter vom 2 Monaten gebärfähig. 2 Jedes Paar bringt (von da an) jeden Monat ein neues Paar zur Welt. 3 Alles Kaninchen leben ewig. M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 40/51

Goldener Schnitt Formale Definition Fibonacci-Quotienten algebraische Zusammenhänge Es ist f 1 = 1,f 2 = 1,f 3 = 2,f 4 = 3,f 5 = 5,f 6 = 8,... M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 41/51

Goldener Schnitt Formale Definition Fibonacci-Quotienten algebraische Zusammenhänge Die Fibonacci-Folge Definition f n+2 = f n+1 + f n (1) mit f 1 = 1 und f 2 = 1 (2) Was haben die Fibonacci-Zahlen mit dem Goldenen Schnitt zu tun? M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 42/51

Goldener Schnitt Formale Definition Fibonacci-Quotienten algebraische Zusammenhänge Fibonacci-Quotienten Es lässt sich zeigen, dass die Folge x n = f n+1 f n konvergent ist und der Grenzwert Φ ist. M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 43/51

Goldener Schnitt Formale Definition Fibonacci-Quotienten algebraische Zusammenhänge Formel von Binet Andersrum lässt sich zeigen, dass für die Fibonacci-Folge gilt: Satz (Formel von Binet) bzw. x ˆ= Gaußklammer f n = 1 [( ) n 1 + 5 5 2 f n = φ n + 1 5 2 ( ) n ] 1 5 2 M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 44/51

Goldener Schnitt Formale Definition Fibonacci-Quotienten algebraische Zusammenhänge Formel von Binet - Approximation Für große n lässt sich die Formel vereinfachen zu: f n φn 5 Die Fibonacci-Zahl f n ist die nächstgelegende ganze Zahl. M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 45/51

Goldener Schnitt Formale Definition Fibonacci-Quotienten algebraische Zusammenhänge Simpson-Identität Ebenfalls kann gezeigt werden: Satz (Simpson-Identität) f n+1 f n 1 f 2 n = ( 1) n M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 46/51

Goldener Schnitt Formale Definition Fibonacci-Quotienten algebraische Zusammenhänge Linearisierung der Potenzen von Φ Satz Es gilt: Φ n = f n Φ + f n 1 M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 47/51

Goldener Schnitt Beutelspacher u. Petri 1989 Beutelspacher, Albrecht ; Petri, B: Der Goldene Schnitt. Mannheim, Wien, Zürich: Bibliographisches Institut 1989. ISBN 9783411031559 Lausch 2009 Lausch, Huberta: Fibonacci und die Folge(n). Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2009 Walser 1996 Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. Teubner Verlag, 1996. ISBN 9783815420706 Worobjow 1954 Worobjow, N.N.: DIE FIBONACCISCHEN ZAHLEN. TEXT IN GERMAN. Verlag der Wissenschaften, 1954 M.B. & M.P. Der Goldene Schnitt und seine Anwendung 51/51