ANALYSIS Funktionntraining Umfassnd Aufgabn zu Eponntialfunktionn Funktionstrm mit Brüchn, Wurzln und Ln Lösungn auch mit CAS All Mthodn ganz ausführlich Dati Nr. 45130 Stand 6. Oktobr 016 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Dmo-Tt für www.math-cd.d
45130 Aufgabnsammlung: po 3 Vorwort Dis Sammlung an umfangrichn Aufgabn zu komplizirtn Eponntialfunktionn ist zur Auswahl für Übungszwck gdacht. Mistns ligt Abiturnivau vor. Di Mustrlösungn sind tilwis auch mit CAS-Vrwndung rstllt wordn, dnnoch wurdn all Mthodn ausführlich dargstllt. Wr also nicht mit inm CAS arbitt, kann dis Lösungn dnnoch vrwndn um di Mthodn zu trainirn und di Lösungn zu vrglichn. (1) Hir in klin Zusammnstllung ds Grundwissns für und ln: Dis Grundlagn kann man in dn Ttn 1810, 1830, 1850 lrnn und übn. a lna Bispil: n () n lna lna (3) Bispil: lna a Bispil: a (4) 0 ln0 1 ln3 ln3 ln9 1 1 ln4 ln 4 ln 4 ln ln3 ln9 9 1 ln 4 ln ln a ln a 1 a Umkhrung von (): (5) (6) Bispil: ln 1 ln u v lnu ln v 1. Logarithmusrgl Bispil: ln ln 1 ln ln ln ln 1 u ln ln u ln v. Logarithmusrgl v Bispil: ln ln ln 1 ln Nwtonschs Nährungsvrfahrn: h n1 n h' rgibt in Nährungsfolg für di Nullstll inr Hilfsfunktion h. Sih Tt 41150 bzw. 41151. Dmo-Tt für www.math-cd.d n n Fridrich Buckl
45130 Aufgabnsammlung: po 3 3 WISSEN: Rgl von d l Hospital für problmatisch Grnzwrt: Am Bispil f 1 rknnt man, was für passirt: Dr 1. Faktor ght ggn Unndlich, dr zwit ggn 0: Doch dr Ausdruck "0 " ist unbstimmt.. lim 1 0 Im Grundkurs wird dr Lhrr disn Tatbstand im Untrricht rklärn und dann mist damit zufridn sin, dass man disn Tatbstand wiß. Man kann disn Fakt auch ganz licht mit inm Taschnrchnr übrprüfn: 1 5 4 f(5) 5 5 0,0915 9 f(10) 10 0,00134 19 8 f(0) 0 5,6 10 0,000 000 056 0 Dis lässt rknnn, wi schnll di Funktion dm Grnzwrt 0 zustrbt. Auf Listungskursnivau wird man für disn und ähnlich Fäll di Rgl von d l Hospital anwndn. Si bsagt (infach formulirt): Wnn dr Grnzwrt istirt, gilt z() lim n() a a z'() lim. n'() Damit kann man Grnzwrt von Bruchfunktionn durch dis spzill Art ds gtrnntn Ablitns von Zählr und Nnnr brchnn. 1. Schritt: Man vrwandlt das Produkt. Schritt: Nach d L'Hospital gilt: 1 in inn Bruch: 1 1 f 1 In inn Bruch vrwandln 1 1 lim f lim lim lim lim lim 0 Also ist y = 0 di waagrcht Asymptot für. Ablitn nach d L'Hospital zurück vrwandln Dmo-Tt für www.math-cd.d Fridrich Buckl
45130 Aufgabnsammlung: po 3 4 Aus folgndr List kann man rknnn, wlch Zusatzaufgabn vorkommn. Inhalt Funktionstrm Inhalt Aufgab Lösung 301 fk Punktsymmtri zu Z, Umkhrbarkit, k Intgralfläch, 6 15 30 t f Ortskurv dr Wndpunkt, Monotoni, k t Punktsymmtri zum Wndpunkt trmr Drickinhalt, Nwton-Itration 6 0 3t 303 f Ortskurv dr Wndpunkt, Punktsymmtri, k t Intgralfläch, Umkhrfunktion 7 5 Partill CAS-Lösung im Anhang 66 304 5t f Punktsymmtri zum Wndpunkt, Monotoni, t 4 1 Umkhrfunktion mit Flächnbrchnung 8 3 305 f Monotoni, Umkhrfunktion, minimalr 3 1 Rchtckumfang, Spiglung an dr y-achs. 8 36 310 f 1 8 Kondnsatoraufladung, Monotoni, 4 Punktsymmtri, Intgralfläch abschätzn 9 39 k 311 f Gminsam Punkt mit y k 1, Intgralfläch 10 44 31 f Monotoni, Stammfunktion, Umkhrfunktion. Anwndung: Gschwindigkit Fallschirm, Wg. g' Spzialfragn zu y h 11 47 g 341 4 f = Rchtckinhalt, Bwis inr Unglichung 1+ Abschätzung inr Intgralfläch 1 51 34 Drhkörpr-Volumn, Abschätzung inr f 4 Intgralfläch durch Vrglich mit - 351 35 t 1 g 6 1 56 3 f =ln +t Dfinitionsbrich, Asymptotn 13 60-1 f =ln +4 Etrm- und Wndpunkt, Umkhrfunktion 13 63 1 Dmo-Tt für www.math-cd.d Fridrich Buckl
45130 Aufgabnsammlung: po 3 5 Aufgabnsammlungn mit -Funktionn 45100 Nur Kurvndiskussionn vilr Artn von -Funktionn 45110 Umfassnd Aufgabn mit infachn -Funktionn 4510 Umfassnd Aufgabn mit -Funktionn in Produktn 45130 Umfassnd Aufgabn mit komplizirtrn -Funktionn (disr Tt) 45811 Aufgabnsammlung: Eponntills Wachstum 4581 Aufgabnsammlung: Bgrnzts Wachstum 45831 Aufgabnsammlung: Logistischs Wachstum 71306 Abituraufgabn zum Thma Wachstum 71307 Abituraufgabn zum Thma Wachstum mit Diffrntialglichungn 71310 Abituraufgabn zum Thma Krankhitn und Mdikamnt 71311 Abituraufgabn mit spzilln -Funktionn Abituraufgabnsammlungn von Bruflichn Gymnasin nthaltn vil Aufgabn zum Thma -Funktionn: 7401 BW Analysis ab 010 74013 Analysis Til 3 Anwndungsaufgabn 005 bis 009 74014 Analysis Til 4 Anwndungsaufgabn ab 010 Abituraufgabnsammlungn zur Fachhochschulrif: 74301 Analysis 1 ganzrational (+ -Fkt..) 00-008 7430 Analysis ganzrational (+ -Fkt..) ab 009 74305 Analysis 3 Eponntialfunk. (+ ganzrat. Fkt.) 00-009 74306 Analysis 4 Eponntialfunk. (+ trigon. Fktr.) ab 010 Dmo-Tt für www.math-cd.d Fridrich Buckl
45130 Aufgabnsammlung: po 3 6 Eponntialfunktionn mit Bruchtrmn Aufgab 301 f k k mit k \ 0 a) Ermittl all Asymptotn ds Schaubilds C k von f k. Untrschid dabi zwischn positivm und ngativm k. Untrsuch di Eistnz von Etrm- und Wndpunktn von C k Zichn di Schaubildr C 1 und C -1 für 4 4 mit Längninhit 1 cm. b) Es si k > 0. Zig, dass C k punktsymmtrisch zu Zlnk 1 ist. c) Brchn mit dm Nwtonschn Itrationsvrfahrn dn Schnittpunkt von C 1 mit dr rstn Winklhalbirndn. d) Untrsuch allgmin di Umkhrbarkit dr Funktion f k. ) C - bgrnzt zusammn mit dn Gradn = ln und = r ( r < ln ) in Fläch. Brchn drn Inhalt A(r) sowi drn Grnzwrt für r. Wi groß ist di Fläch zwischn dr Gradn y =, K - und dn Gradn = ln und = r (r > ln ) im Grnzfall für r? Aufgab 30 f t t t für t > 0 a) Bstimm Schnittpunkt mit dr -Achs, Etrm- und Wndpunkt für das Schaubild K t von f t. Wlch Glichungn habn di Asymptotn? Brchn di Glichung dr Ortskurv dr Wndpunkt. Zichn K für [ - 4 ; 4 ] b) Untrsuch das Monotonivrhaltn dr Funktion f t. Bstimm di Glichung dr Umkhrfunktion g t zu f t. Gib drn Dfinitionsbrich und ihr Asymptotn an. Zichn das Schaubild G von g ins glich Achsnkruz. c) Zig, dass K t punktsymmtrisch zum Wndpunkt ist. d) P u f u mit u > 0 si in Punkt von K. Di -Achs, di Grad y = und di Parallln dazu durch P bgrnzn in Rchtck. Zig, dass dr Inhalt diss Rchtcks inn Etrmwrt annimmt. Dmo-Tt für www.math-cd.d (Auf in Kontroll mit dr. Ablitung darf vrzichtt wrdn). Brchn di Etrmstll mit dm Nwtonschn Nährungsvrfahrn auf 3 Dzimaln gnau. Fridrich Buckl