Mengen und Mengenoperationen (Teil I) Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 2. Juni 2014
Table of Contents Mengen und ihre Darstellung Darstellung endlicher Mengen Darstellung unendlicher Mengen 1 Mengen und ihre Darstellung Darstellung endlicher Mengen Darstellung unendlicher Mengen 2 Gleichheit Inklusion 3 4
Mengen und ihre Darstellung I Darstellung endlicher Mengen Darstellung unendlicher Mengen Definition nach G. Cantor Unter einer Menge verstehen wir jede M von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen. Mengen sind also eine Reihe von Elementen. Elemente sind entweder in einer Menge enthalten oder nicht. Wir schreiben: a M (a ist in M enthalten) a / M (a ist nicht in M enthalten)
Mengen und ihre Darstellung II Darstellung endlicher Mengen Darstellung unendlicher Mengen Per Konvention werden Mengen meist mit Großbuchstaben (A, B, C,..., M, N,..., S,... ) und die Elemente einer Menge mit Kleinbuchstaben (a A, b B,... ) betitelt. Es gibt zwei grundsätzliche Strategien, um Mengen darzustellen: Endliche Mengen lassen sich darstellen, indem alle Elemente, die sie enthalten, explizit aufgezählt werden. Unendliche (und natürlich auch endliche Mengen mit sehr vielen Elementen) können mit einer Eigenschaft ϕ, die auf die Objekte zutrifft, die in der Menge enthalten sind, implizit dargestellt werden.
Darstellung endlicher Mengen I Darstellung endlicher Mengen Darstellung unendlicher Mengen Endliche Mengen können dargestellt werden, indem alle enthaltenen Elemente aufgezählt werden. Dazu verwendet man geschweifte Klammern: M = {1, 2, 3} N = {M, i, s, p} A = {} B = M ist somit die Menge mit den Elementen 1, 2 und 3. N ist z.b. die Menge der Buchstaben des Wortes Mississippi. A und B sind beides leere Mengen (d.h. Mengen, die keine Elemente enthalten).
Darstellung endlicher Mengen II Darstellung endlicher Mengen Darstellung unendlicher Mengen Mengen können selbst wiederum andere Mengen enthalten. Hierzu einige Beispiele: M = { } hat genau ein Element, nämlich die leere Menge. M = {{1, 2, 3}, {1, 2}} hat zwei Elemente, die Mengen {1, 2, 3} und {1, 2}. M = {{ }, } hat ebenfalls zwei Elemente, nämlich { } und die leere Menge.
Darstellung endlicher Mengen III Darstellung endlicher Mengen Darstellung unendlicher Mengen Eine einfache Intuition, um sich Mengen vorzustellen insbesondere den Unterschied zwischen der leeren Menge und der Menge { }, die als einziges Element die leere Menge enthält ist die Darstellung von Mengen als Schachteln mit (oder ohne) Inhalt. In dieser Darstellungsform ist z.b. eine leere Schachtel offensichtlich etwas anderes als eine Schachtel, die eine leere Schachtel enthält. Abbildung : Schachteldarstellung von Mengen
Darstellung unendlicher Mengen I Darstellung endlicher Mengen Darstellung unendlicher Mengen Mengen können mit einer Eigenschaft ϕ beschrieben werden. Diese Eigenschaft definiert all jene Elemente, die in der Menge enthalten sind. So bezeichnet {x ϕ(x)} die Menge aller Objekte x, für die die Aussage ϕ wahr ist. {y ϕ(y) χ(y)} enthält alle Objekte y für die die Aussagen ϕ und χ wahr sind. Was bezeichnet die Menge {x N x > 5}? Was bezeichnet die Menge {a lieben(a, Anna)}?
Darstellung unendlicher Mengen II Darstellung endlicher Mengen Darstellung unendlicher Mengen Die Eigenschaften zur Definition von Mengen können aus komplexen Kombinationen von Aussagen und Bedingungen bestehen: M := {x N y N : x = 2y} M ist somit die Menge aller natürlichen geraden Zahlen. Es können auch Mengen definiert werden, deren Elemente nicht notwendigerweise berechnet werden können: M := {n N n ist die kleinste Primzahl oberhalb von k}
Table of Contents Mengen und ihre Darstellung Gleichheit Inklusion 1 Mengen und ihre Darstellung Darstellung endlicher Mengen Darstellung unendlicher Mengen 2 Gleichheit Inklusion 3 4
Extensionalitätsprinzip I Gleichheit Inklusion Extensionalitätsprinzip Zwei Mengen M und N sind gleich genau dann, wenn sie dieselben Elemente enthalten: M = N : x : (x M x N) Für Beweise kann das Extensionalitätsprinzip direkt zum Vergleich von Mengen herangezogen werden. Man muss dabei immer zeigen, dass alle Elemente von M auch in N vorkommen und umgekehrt.
Extensionalitätsprinzip II Gleichheit Inklusion Direkt aus dem Extensionalitätsprinzip lassen sich die folgenden Äquivalenzen ableiten: {1, 2, 3} = {3, 2, 1} = {2, 3, 1}... {1, 2, 3} = {1, 1, 2, 3} = {1, 1, 2, 2, 3} =... {M, i, s, p} = {M, i, s, s, i, s, s, i, p, p, i} Überprüfen Sie diese äquivalenten Mengen mit Hilfe des Extensionalitätsprinzips!
Extensionalitätsprinzip III Gleichheit Inklusion Inhaltlich besagt das Extensionalitätsprinzip, dass bei einem Prozess der davon abstrahiert wird, welche Anschauung bei der Auswahl der Elemente maßgebend war. Somit kann eine Gleichheit {x ϕ(x)} = {x ψ(x)} gelten, auch wenn ϕ und ψ nichts miteinander gemeinsam haben: {4} = {n N 3 < n n < 5} = { 16} {Morgenstern} = {Abendstern} = {Venus}
Teilmenge Mengen und ihre Darstellung Gleichheit Inklusion Teilmenge M und N seien Mengen. N heißt Teilmenge von M genau dann, wenn jedes Element von N auch Element von M ist: M N : x : (x M x N) N heißt echte Teilmenge von M genau dann, wenn N Teilmenge von M ist und zusätzlich N M gilt. Oftmals schreibt man N M (resp. N M), um auszudrücken, dass N keine (echte) Teilmenge von M ist.
Venn-Diagramm Mengen und ihre Darstellung Gleichheit Inklusion Abbildung : Teilmengenbeziehung A B im Venn-Diagramm Zur Veranschaulichung von Mengen und deren möglichen Beziehungen untereinander verwendet man oft sog. Venn-Diagramme. Beim Arbeiten mit Venn-Diagrammen sollte man sich aber immer vergegenwärtigen, dass einige der dargestellten Menge i.a. leer sein können.
Eigenschaften von Teilmengen Gleichheit Inklusion Lemma: Für beliebige Mengen L, M, N gilt stets: (L M M N) L N (1) (M N N M) M = N (2) M M M (3) Wie kann man diese drei Eigenschaften jeweils beschreiben?
Gleichheit Inklusion Beweis der Transitivität der Teilmengenbeziehung I Mit einem Venn-Diagramm ist die Transitivität der Teilmengenbeziehung gut zu verstehen. Hier soll nun einmal der triviale Beweis der Eigenschaft 1 der vorherigen Folie (L M M N) L N vorgeführt werden, anhand dessen ein wichtiges Beweisrezept vorgestellt werden soll.
Gleichheit Inklusion Beweis der Transitivität der Teilmengenbeziehung II Zwei Eigenschaften von Aussagen sind für die folgende Beweisführung von Bedeutung: Die Eigenschaft der Implikation nur dann überhaupt falsch sein zu können, wenn die Prämisse wahr ist. Man kann bei der Beweisführung von Implikationen immer davon ausgehen, dass die Prämisse stimmt. Das Rezept zum Beweis des Allquantors. Zum Beweis des Allquantors muss ein generisches Element g verwendet werden, mit dem die Aussage erfüllt wird.
Gleichheit Inklusion Beweis der Transitivität der Teilmengenbeziehung III Zum Beweis der Eigenschaft (L M M N) L N können wir als Erstes die Teilmengenbeziehung mit ihrer Definition ersetzen: x : (x L x M) (4) x : (x M x N) (5) Zu zeigen ist die Konklusion L N ebenfalls mit der Definition der Teilmenge: x : (x L x N) (6) Für den eigentlichen Beweis benötigen wir noch folgende aussagenlogische Tautologie 1 : (α (α β)) β (7) 1 Siehe hierzu Tautologie 17 aus Satz 1.1 des Skripts.
Gleichheit Inklusion Beweis der Transitivität der Teilmengenbeziehung IV Wir verwenden ein beliebiges Objekt g und wollen zeigen, dass g L auch g N impliziert (vgl 6). Dabei können wir annehmen, dass tatsächlich g L gilt (Implikation): 1 Mit 4 gilt: g L g M 2 Aus 7 folgt dann: g M 3 Mit 5 gilt: g M g N 4 Aus 7 folgt dann: g N 5 Somit gilt g L g N und (L M M N) L N ist bewiesen.
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Vereinigung zweier Mengen Die Vereinigung zweier Mengen resultiert in einer Ergebnismenge, die alle Elemente beider Mengen enthält: Definition der Vereinigung Die Menge A B := {x x A x B} heißt Vereinigung von A und B. Abbildung : Venn-Diagramm der Vereinigungsmenge von A B
Durchschnitt zweier Mengen Der Durchschnitt zweier Mengen resultiert in einer Ergebnismenge, die alle Elemente enthält, die in beiden Mengen vorkommen: Definition des Durchschnitts Die Menge A B := {x x A x B} heißt Durchschnitt von A und B. Zwei Mengen A und B heißen disjunkt falls gilt: A B =. Abbildung : Venn-Diagramm der Durchschnittsmenge von A B
Beispiel I Mengen und ihre Darstellung Die Vereinigung der Mengen {1, 3, 4} und {1, 2, 4, 9} ist {1, 2, 3, 4, 9}. Die Vereinigung der Mengen {{1, 3, 4}} und {{1, 2, 4, 9}} ist {{1, 3, 4}, {1, 2, 4, 9}}. Im Schachtelbild vereinigen wir jeweils den Inhalt der beiden Ausgangsschachteln in einer neuen Schachtel. Dabei werden doppelte Elemente eliminiert:
Beispiel II Mengen und ihre Darstellung Der Durchschnitt der Mengen {1, 3, 4} und {1, 2, 4, 9} ist {1, 4}. Der Durchschnitt der Mengen {{1, 3, 4}} und {{1, 2, 4, 9}} ist {}. Im Schachtelbild werden nur diejenigen Elemente der Schachteln ausgewählt, die in beiden Schachteln vorkommen:
Eigenschaften Mengen und ihre Darstellung Lemma Für beliebige Mengen A, B und C gelten stets folgende Identitäten: A A = A (Idempotenz) (8) A A = A A B = B A (Kommutativität) (9) A B = B A A (B C) = (A B) C (Assoziativität) (10) A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) (Distributivität) (11) A (B C) = (A B) (A C) A = A, A = (12)
Beweis der Kommutativität von I Um die Kommutativität von (9) zu beweisen, verwenden wir das Standardrezept, um die Gleichheit von Mengen zu beweisen. Um die Gleichheit zweier Mengen zu beweisen, muss man zeigen, dass alle Elemente der einen Menge Element der anderen sind und umgekehrt. Desweiteren benötigen wir noch diese aussagenlogische Tautologie 2 : (α β) (β α) (13) 2 Siehe hierzu Tautologie 4 aus Satz 1.1 des Skripts.
Beweis der Kommutativität von II Zu beweisen: A B = B A. 1 x (A B) 2 Durch Ersetzen mit der Definition der Vereinigung erhalten wir: (x A) (x B) 3 Über die aussagenlogische Tautologie 13 erhalten wir: (x B) (x A) 4 Damit erhalten wir über die Definition der Vereinigung: x (B A) Gemäß dem Extensionalitätsprinzip (x N x M) folgt nun A B = B A
Differenz I Mengen und ihre Darstellung Definition Differenz Die Menge A \ B := {x x A x B} heißt Differenz der Mengen A und B. Dabei muss nicht A B oder B A gelten. Abbildung : Differenz zwischen den Mengen A und B.
Differenz II Mengen und ihre Darstellung Lemma Für beliebige Mengen A und B gilt stets: Beispiele: A \ = A (14) A B = A \ B = A B \ A = B (15) Es gilt: {4, 1, 2} \ {1, 4, 6} = {2} Es gilt: {1, 5, 6} \ {4, 1, 2} = {5, 6} Es gilt: {{1, 3, 4}} \ {{1, 3, 4, 9}} = {{1, 3, 4}}
Symmetrische Differenz I Definition symmetrische Differenz Die Menge A B := (A \ B) (B \ A) heißt symmetrische Differenz der Mengen A und B. Dabei muss nicht A B oder B A gelten. Abbildung : Symmetrische Differenz zwischen den Mengen A und B
Symmetrische Differenz II Lemma Für beliebige Mengen A, B und C gilt stets: A B = (A B) \ (A B) (16) A B = B A (17) A (B C) = (A B) C (18) A A = (19) A (A B) = B (20) A (B C) = (A B) (A C) (21) A B = A B = A B (22) Beispiele: Es gilt: {4, 1, 2} {1, 5, 6} = {4, 2, 5, 6} Es gilt: {4, 1, 5, 6} \ {1, 5, 6} = {4}
I Mengen und ihre Darstellung Definition Ist A Teilmenge von B, so wird die Differenz B \ A auch von A in B genannt. Abbildung : von A in B
II Mengen und ihre Darstellung Lemma De Morgansche Regeln (einfache Form) Es seien A und B beliebige Teilmengen einer Menge M. Das Symbol bezeichne die bildung in M; dann gilt immer: (A B) = ( A) ( B) (23) (A B) = ( A) ( B) (24)
Beweis I Mengen und ihre Darstellung Zum Beweis der De Morganschen Regel (23) benötigen wir wieder das allgemeine Rezept zum Beweis von Mengengleichheit (Extensionalitätsprinizp) und die beiden aussagenlogischen Tautologien 3 : α (β γ) (α β) (α γ) (25) (α β) ( α β) (26) 3 Siehe hierzu Tautologien 10 und 7 aus Satz 1.1 des Skripts.
Beweis II Mengen und ihre Darstellung 1 Alle Elemente der einen Menge müssen Element der anderen sein: x (A B) 2 Definition der Schnittmenge und des s (A und B Teilmenge von M): x M ((x A) (x B)) 3 Umformung mit (26): x M ( (x A) (x B)) 4 Umformung mit (25): ((x M) (x A)) (( (x M) (x B)) 5 Definition des s: x ( A) ( B)
III Mengen und ihre Darstellung Lemma Es seien A, B beliebige Teilmengen einer Menge M. Das Symbol bezeichne wiederum die bildung in M; dann gilt stets: ( A) = A (27) A B B A (28) = M (29) M = (30) A B A B = M (31)
Table of Contents Mengen und ihre Darstellung 1 Mengen und ihre Darstellung Darstellung endlicher Mengen Darstellung unendlicher Mengen 2 Gleichheit Inklusion 3 4
tl;dr Mengen und ihre Darstellung Endliche Menge können immer durch explizite Angabe aller ihrer Elemente definiert werden. Unendliche Mengen können immer über eine Eigenschaft, die alle Elemente erfüllen müssen definiert werden. Zwei Mengen sind gleich wenn sie die selben Elemente enthalten (Extensionalitätsprinzip). Eine Menge ist Teilemenge einer anderen, wenn alle ihre Elemente auch in der anderen vorkommen. Die Vereinigung zweier Mengen ist die Menge aller Elemente die mindestens in einer der beiden vorkommen. Der Durchschnitt zweier Mengen ist die Menge aller Elemente die in beiden Menge vorkommen.