Markov Ketten und Bonus Malus Systeme

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L 1 / 46 Markov Ketten und Bonus Malus Systeme Klaus D. Schmidt Lehrstuhl für Versicherungsmathematik Technische Universität Dresden TU Wien 19. Mai 2010

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L 2 / 46 Übersicht Bonus Malus Systeme: Die Grundstruktur Stochastische Vektoren und Matrizen Grundlagen Invarianz Ergodizität Markov Ketten Definition Charakterisierung Stationarität Bonus Malus Systeme Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand Probleme Literatur

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Wir betrachten ein Bonus Malus System mit vier Klassen i {1, 2, 3, 4} und den Prämienniveaus h(i) bezogen auf die Grundprämie µ: i 1 2 3 4 h(i) 120% 100% 80% 60% Notation: h := 120% 100% 80% 60% Wir bezeichnen h als Prämienstruktur. 4 / 46

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Übergangsmatrix und Anfangsverteilung: 0, 3 0, 3 0 0 Q := 0, 7 0 0, 3 0 0 0, 7 0 0, 3 0 0 0, 7 0, 7 Interpretation: q := q i ist die Wahrscheinlichkeit, sich im Jahr 0 in der Klasse i zu befinden. q ij ist die Wahrscheinlichkeit, in einem Jahr von Zustand j nach Zustand i zu gelangen. Malus Klasse: 1 Einstiegsklasse: 2 Bonus Klassen: 3 und 4 0 1 0 0 5 / 46

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Verteilung auf die Klassen in den Jahren n {0, 1, 2, 3}: q (n) := Q n q = 0 1 0 0 0, 3 0 0, 7 0 0, 09 0, 42 0 0, 49 0, 153 0, 063 0, 441 0, 343 Erwartetes Prämienniveau in den Jahren n {0, 1, 2, 3}: h q (n) = 100% 92% 82, 2% 80, 52% Normierter Eigenvektor von Q zum Eigenwert 1: 27 0, 0466 1 q := 63 580 147 0, 1086 0, 2534 343 0, 5914 Es gilt h q 72, 21%. 6 / 46

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L 7 / 46 Aufgaben: Ableitung der Übergangsmatrix Q aus einem stochastischen Modell für die Anzahl der Schäden pro Jahr. Berechnung der Grundprämie µ für eine gegebene Prämienstruktur h. Wahl der Prämienstruktur h.

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Grundlagen Invarianz Ergodizität 8 / 46 Übersicht Bonus Malus Systeme: Die Grundstruktur Stochastische Vektoren und Matrizen Grundlagen Invarianz Ergodizität Markov Ketten Definition Charakterisierung Stationarität Bonus Malus Systeme Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand Probleme Literatur

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Grundlagen Invarianz Ergodizität 9 / 46 Notation Wir betrachten Vektoren a R m und Matrizen A R m m. Notation: e i i ter Einheitsvektor 1 := m i=1 e i Einsvektor I Einheitsmatrix E := 11 Einsmatrix Für eine Matrix A R m m und n N 0 ist die n te Potenz von A durch A n := { I falls n = 0 A n 1 A sonst definiert.

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Grundlagen Invarianz Ergodizität 10 / 46 Stochastische Vektoren und Matrizen Ein Vektor q R m heißt stochastischer Vektor, wenn 0 q und 1 q = 1 gilt. Eine Matrix Q R m m heißt stochastische Matrix, wenn für alle j {1,..., m} der Vektor Qe j ein stochastischer Vektor ist. Lemma. Sei Q R m m eine stochastische Matrix. Dann gilt: 1 Q = 1. Ist q R m ein stochastischer Vektor, so ist auch Qq ein stochastischer Vektor. Ist R R m m eine stochastische Matrix, so ist auch QR eine stochastische Matrix. Für alle n N ist auch Q n eine stochastische Matrix.

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Grundlagen Invarianz Ergodizität 11 / 46 Invarianz Sei Q R m m eine stochastische Matrix. Ein stochastischer Vektor q R m heißt invariant unter Q, wenn gilt. Qq = q Lemma. Ist q R m ein stochastischer Vektor, für den die Folge {Q n q} n N0 konvergiert, so ist der stochastische Vektor invariant unter Q. q := lim n Q n q

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Grundlagen Invarianz Ergodizität Schwache Ergodizität (1) Eine stochastische Matrix Q R m m heißt schwach ergodisch, wenn es einen stochastischen Vektor q R m gibt mit für alle j {1,..., m}. lim n Qn e j = q Lemma. Ist Q schwach ergodisch, so gibt es einen stochastischen Vektor q R m mit und lim n Qn q = q 1 n 1 lim Q k q = q n n k=0 für jeden stochastischen Vektor q R m. 12 / 46

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Grundlagen Invarianz Ergodizität 13 / 46 Schwache Ergodizität (2) Folgerung. Zu jeder schwach ergodischen Matrix gibt genau einen invarianten Vektor. Beispiel. Sei Q := ( 0 1 1 0 ) und q := ( 1/2 1/2 ) Dann ist Q eine stochastische Matrix und q ist invariant unter Q. Andererseits gilt für alle n N 0 Q n = { I falls n = 2k mit k N0 Q falls n = 2k + 1 mit k N 0 Daher ist Q nicht schwach ergodisch.

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Grundlagen Invarianz Ergodizität 14 / 46 (Starke) Ergodizität (1) Eine stochastische Matrix Q R m m heißt (stark) ergodisch, wenn es einen stochastischen Vektor q R m gibt mit für alle j {1,..., m} und für alle i {1,..., m}. lim n Qn e j = q e i q > 0 Lemma. Ist Q R m m ergodisch und q R m invariant unter Q, so gilt e iq > 0 für alle i {1,..., m}.

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Grundlagen Invarianz Ergodizität 15 / 46 (Starke) Ergodizität (2) Satz. Für eine stochastische Matrix Q R m m sind äquivalent: Q ist ergodisch. Es gibt ein n N mit e i Qn e j > 0 für alle i, j {1,..., m}. Beispiel. Sei Q eine stochastische Matrix mit Dann ist Q ergodisch. q 1,1 > 0 q i,i+1 > 0 für i {1,..., m 1} q i,i 1 > 0 für i {2,..., m}

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Definition Charakterisierung Stationarität 16 / 46 Übersicht Bonus Malus Systeme: Die Grundstruktur Stochastische Vektoren und Matrizen Grundlagen Invarianz Ergodizität Markov Ketten Definition Charakterisierung Stationarität Bonus Malus Systeme Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand Probleme Literatur

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Definition Charakterisierung Stationarität 17 / 46 Sei M := {1,..., m} eine endliche Menge mit m N und m 2. Wir bezeichnen M als Zustandsraum. Sei ferner {Y n } n N0 eine Folge von Zufallsvariablen mit P[Y n M] = 1 für alle n N 0. Dann ist die Verteilung von Y n durch die Wahrscheinlichkeiten q (n) i := P[Y n = i] mit i M und damit durch den stochastischen Vektor q (n) q (n) := 1. q (n) m bestimmt.

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Definition Charakterisierung Stationarität 18 / 46 Die Folge {Y n } n N0 heißt (homogene) Markov Kette, wenn es eine stochastische Matrix Q R m m und einen stochastischen Vektor q R m gibt derart, dass für alle n N 0 und i 0, i 1,..., i n M [ n ] ( n P {Y j = i j } = q ij,i j 1 )q i0 gilt. j=0 j=1 In diesem Fall gilt q (0) = q und wir nennen Q die Übergangsmatrix und q die Anfangsverteilung der Markov Kette {Y n } n N0.

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Definition Charakterisierung Stationarität 19 / 46 Lemma. Sei {Y n } n N0 eine Markov Kette mit Übergangsmatrix Q und Anfangsverteilung q. Dann gilt: Für alle n N 0 gilt Insbesondere gilt q (0) = q. q (n) = Q n q Für alle n N 0 und i, j M gilt P[{Y n+1 = i} {Y n = j}] = q i,j P[Y n = j] Insbesondere gilt im Fall P[Y n = j] > 0 P[Y n+1 = i Y n = j] = q i,j

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Definition Charakterisierung Stationarität 20 / 46 Satz. Für die Folge {Y n } n N0 sind äquivalent: {Y n } n N0 ist eine Markov Kette. Es gibt eine stochastische Matrix Q derart, dass für alle n N 0 und i 0, i 1,..., i n, i n+1 M mit P [ n j=0 {Y j = i j } ] > 0 [ n ] P Y n+1 = i n+1 {Y j = i j } = q in+1,i n gilt. In diesem Fall gilt für alle n N und i 0, i 1,..., i n, i n+1 M mit P [ n j=0 {Y j = i j } ] > 0 [ n ] P Y n+1 = i n+1 {Y j = i j } = P[Y n+1 = i n+1 Y n = i n ] j=0 j=0

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Definition Charakterisierung Stationarität 21 / 46 Ist {Y n } n N0 eine Markov Kette mit Übergangsmatrix Q, so heißt eine Verteilung q stationär unter Q, wenn gilt. Qq = q Beispiel. Sei {Y n } n N0 eine Markov Kette mit Übergangsmatrix Q mit q 1,1 > 0 q i,i+1 > 0 für i {1,..., m 1} q i,i 1 > 0 für i {2,..., m} Dann besitzt die Markov Kette eine stationäre Verteilung.

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand 22 / 46 Übersicht Bonus Malus Systeme: Die Grundstruktur Stochastische Vektoren und Matrizen Grundlagen Invarianz Ergodizität Markov Ketten Definition Charakterisierung Stationarität Bonus Malus Systeme Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand Probleme Literatur

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand 23 / 46 Konstruktion (1) Zur Konstruktion eines Bonus Malus Systems für einen homogenen Bestand betrachten wir eine Folge von Zufallsvariablen {N n } n N0 mit P[N n N 0 ] = 1, einen Zustandsraum M := {1,..., m} und eine Abbildung ϕ : N 0 M M sowie eine Abbildung h : M (0, ). Wir interpretieren N n als die zufällige Anzahl der Schäden im Jahr n, M als die Menge der möglichen Bonus Malus Klassen und h(m) als die Menge der möglichen Prämienniveaus und bezeichnen ϕ als Übergangsfunktion.

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand 24 / 46 Konstruktion (2) Wir betrachten ferner eine Zufallsvariable Y 0 mit P[Y 0 M] = 1 und setzen für n N Wir interpretieren Y n := ϕ(n n 1, Y n 1 ) Y n als zufällige Bonus Malus Klasse und h(y n ) als zufälliges Prämienniveau im Jahr n in Abhängigkeit von der Anzahl der Schäden und der Bonus Malus Klasse im Jahr n 1. Wir nehmen an, dass die Folge {N n } n N0 i.i.d. mit α := E[N] > 0 und ist. unabhängig von Y 0

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand Konstruktion (3) Für k N 0 und i, j {1,..., m} sei q (k) i,j := { 1 falls ϕ(k, j) = i 0 sonst und für i {1,..., m} sei q i := P[Y 0 = i] Dann ist jede der Matrizen Q (k) und damit auch Q := P[N = k] Q (k) k=0 eine stochastische Matrix und q ist ein stochastischer Vektor. 25 / 46

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand 26 / 46 Konstruktion (4) Satz. Die Folge {Y n } n N0 ist eine Markov Kette mit Übergangsmatrix Q und Anfangsverteilung q. Notation: h := h(1). h(m)

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand 27 / 46 Kollektives Modell Wir nehmen an, dass für jedes Jahr n N 0 ein kollektives Modell N n, {X n,k } k N vorliegt. Dies bedeutet, dass die Folge der Schadenhöhen {X n,k } k N i.i.d. und unabhängig von N n ist, und für den Gesamtschaden S n := N n k=1 X n,k gilt dann E[S n ] = E[N n ] E[X n,1 ] Wir nehmen an, dass die kollektiven Modelle voneinander unabhängig sind. Wir nehmen weiterhin an, dass die Folge {N n } n N0 identisch verteilt mit α := E[N] > 0 und unabhängig von Y0 ist.

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand Grundprämie Für das weitere nehmen wir an, dass E[X n,1 ] = 1 und damit E[S n ] = E[N n ] gilt. Für die Grundprämie µ ist Z n := µ h(y n ) die zufällige Prämie in Jahr n und es gilt E[Z n ] = m µ h(i) P[Y n = i] = µ h q (n) = µ h Q n q i=1 Zu bestimmen ist die Grundprämie µ. 28 / 46

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand 29 / 46 Äquivalenzprinzip für Jahr n Das Äquivalenzprinzip für Jahr n besteht in der Forderung E[Z n ] = E[N n ] Für die Grundprämie µ gilt daher µ h Q n q = α und damit µ = α(h Q n q) 1

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand 30 / 46 Äquivalenzprinzip auf der Basis der ersten n Jahre (1) Das Äquivalenzprinzip für die ersten n Jahre besteht in der Forderung n 1 E[Z k ] = k=0 n 1 E[N k ] k=0 Für die Grundprämie µ n auf der Grundlage der ersten n Jahre gilt daher und damit n 1 µ n h Q k q = n α k=0 ( 1 n 1 µ n = α h Q k q n k=0 ) 1

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand 31 / 46 Äquivalenzprinzip auf der Basis der ersten n Jahre (2) Ist Q schwach ergodisch und ist q stationär, so gilt lim µ n = α (h q) 1 n Dies liefert eine Approximation für die Grundprämie auf der Basis der ersten n Jahre bei langem Planungshorizont.

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand Beispiel (1) Ein Bonus Malus System besteht aus den drei Klassen 1, 2, 3 mit den Prämienniveaus 100%, 90%, 80%. Die Anzahl der Schäden pro Jahr besitzt die folgende Verteilung: k 0 1 2 P[N = k] 0,7 0,2 0,1 Jeder Versicherungsnehmer wird zunächst in die niedrigste Klasse eingestuft. Meldet der Versicherungsnehmer keinen Schaden, so wird er im folgenden Jahr eine Klasse höher eingestuft (oder bleibt in der höchsten Klasse). Meldet der Versicherungsnehmer einen Schaden, so wird er im folgenden Jahr eine Klasse niedriger eingestuft (oder bleibt in der niedrigsten Klasse). Meldet der Versicherungsnehmer zwei Schäden, so wird er im folgenden Jahr in die niedrigste Klasse eingestuft. 32 / 46

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand 33 / 46 Beispiel (2) Standard Tableau: k 1 2 3 P[N = k] 0 2 3 3 0,7 1 1 1 2 0,2 2 1 1 1 0,1 h(i) 100% 90% 80% Übergangsmatrix und Anfangsverteilung: 0, 3 0, 3 0, 1 Q = 0, 7 0 0, 2 q = 0 0, 7 0, 7 Stationäre Verteilung: q = 1 86 16 21 49 = 0, 1860 0, 2442 0, 5698 1 0 0

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand 34 / 46 Beispiel (3) Dynamik: Q = Q 2 = Q 4 = Q 8 = 0, 3000 0, 3000 0, 1000 0, 7000 0 0, 2000 0 0, 7000 0, 7000 0, 3000 0, 1600 0, 1600 0, 2100 0, 3500 0, 2100 0, 4900 0, 4900 0, 6300 0, 2020 0, 1824 0, 1824 0, 2394 0, 2590 0, 2394 0, 5586 0, 5586 0, 5782 0, 1864 0, 1860 0, 1860 0, 2441 0, 2445 0, 2441 0, 5695 0, 5695 0, 5699

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand Beispiel (4) Verteilung auf die Klassen in den Jahren n {0, 1, 2, 3, 4}: 0, 3000 0, 3000 0, 1000 1, 0000 0, 7000 0 0, 2000 0 0 0, 7000 0, 7000 0 0, 3000 0, 7000 0 0, 3000 0, 2100 0, 4900 0, 2020 0, 3080 0, 4900 0, 2020 0, 2394 0, 5586 35 / 46

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand Beispiel (5) Erwartete Prämienniveaus in den Jahren n {0, 1, 2, 3, 4}: ( ) 1, 0000 1, 00 0, 90 0, 80 0 = 1, 00 0 0, 3000 0, 7000 = 0, 93 0 0, 3000 0, 2100 = 0, 881 0, 4900 0, 2020 0, 3080 = 0, 8712 0, 4900 0, 2020 0, 2394 = 0, 86434 0, 5586 36 / 46

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand Beispiel (6) Erwartete Anzahl der Schäden pro Jahr: α = E[N] = 0, 4 Durchschnittliches erwartetes Prämienniveau über die ersten n Jahre und Grundprämie µ n : n Durchschnitt µ n 1 1,0000 0,4000 2 0,9650 0,4145 3 0,9379 0,4269 4 0,9206 0,4345 5 0,9093 0,4398 0,4753 37 / 46

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand 38 / 46 Konstruktion (1) Die Bausteine eines Bonus Malus Systems für einen homogenen Bestand werden auch für einen inhomogenen Bestand verwendet, aber geeignet erweitert: Aufgrund der Inhomogenität des Bestandes nehmen wir an, dass es einen Risikoparameter Θ gibt und dass die Folge {N n } n N0 unter Θ ist. bedingt i.i.d. mit α := E[N] > 0 und bedingt unabhängig von Y 0

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand Konstruktion (2) Für k N 0 und i, j {1,..., m} sei q (k) i,j := { 1 falls ϕ(k, j) = i 0 sonst und q i (Θ) := P(Y 0 = i Θ) Dann ist Q(Θ) := P(N = k Θ) Q (k) k=0 eine zufällige stochastische Matrix und q(θ) ist ein zuflliger stochastischer Vektor. 39 / 46

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand 40 / 46 Konstruktion (3) Satz. Die Folge {Y n } n N0 ist eine unter Θ bedingte Markov Kette mit bedingter Übergangsmatrix Q(Θ) und bedingter Anfangsverteilung q(θ).

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand 41 / 46 Grundprämie Für die Grundprämie und die zufällige Prämie µ Z n := µ h(y n ) in Jahr n gilt und damit E(Z n Θ) = m µ h(i) P(Y n = i Θ) = µ h Q n (Θ)q(Θ) i=1 E[Z n ] = µ E[h Q n (Θ)q(Θ)]

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L Homogener Bestand Beispiel Inhomogener Bestand 42 / 46 Äquivalenzprinzip Aus dem Äquivalenzprinzip für die ersten n Jahre ergibt sich ( 1 n 1 µ n = α E[h Q k (Θ)q(Θ)] n k=0 ) 1 Ist Q(Θ) bedingt schwach ergodisch und ist q(θ) bedingt stationär, so gilt ( ) 1 lim µ n = α E[h q(θ)] n

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L 44 / 46 Probleme Wahl der Planungshorizonts für die Grundprämie. Diskontierung. Monotonie des Prämienniveaus. Inhomogener Bestand: Bestimmung der Struktur des Bestandes und der bedingten Verteilung der Schadenzahl.

Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L 46 / 46 Literatur DAA & DAV: Klausuraufgaben Grundwissen Schaden. Schmidt [2010]: Bonus Malus Systeme. In Vorbereitung.