H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen Nordrhein-Westfalen Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen
Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis 1 Von der Gleichung zur Kurve... 11 2 Aufstellen von Funktionen mit Randbedingungen... 13 3 Von der Kurve zur Gleichung... 15 4 Differenzieren... 19 5 Gleichungslehre... 21 6 Eigenschaften von Kurven... 23 7 Kurvendiskussion... 29 8 Integralrechnung... 34 9 Extremwertaufgaben / Wachstums- und Zerfallsprozesse... 37 Geometrie 10 Rechnen mit Vektoren... 39 11 Geraden... 43 12 Ebenen... 46 13 Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen... 50 14 Gegenseitige Lage zweier Ebenen... 52 15 LK: Abstandsberechnungen... 54 16 Winkelberechnungen... 57 17 Spiegelungen... 58 18 Matrizen... 59 Stochastik 19 Grundlegende Begriffe... 66 20 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten... 68 21 Kombinatorische Zählprobleme... 71 22 Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zufallsgrößen... 76 23 Binomialverteilung... 78 24 LK: Normalverteilung... 81 25 Hypothesentests... 83
Inhaltsverzeichnis Verteilungstabellen... 279 Tipps... 85 Lösungen... 129 Stichwortverzeichnis... 283
1. Von der Gleichung zur Kurve Analysis 1 Von der Gleichung zur Kurve Tipps ab Seite 85, Lösungen ab Seite 129 Funktionale Betrachtungen Kenntnis grundlegender Funktionstypen Skizze des Graphs einer Funktion aus dem Funktionsterm Es geht in diesem Kapitel darum, aus einer gegebenen Funktionsgleichung den zugehörigen Graph zu skizzieren. Dazu ist es nötig, dass Sie die Graphen grundlegender Funktionstypen kennen. Tipp: Skizzieren Sie zuerst den Graphen der zugehörigen Grundfunktion und anschließend schrittweise eine eventuelle Spiegelung, Streckung/Stauchung sowie die Verschiebungen in x-bzw. y-richtung. 1.1 Ganzrationale Funktionen Skizzieren Sie die Graphen folgender Funktionen und bestimmen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. a) f (x) = 2 1x + 1 b) f (x) = 3 4x c) f (x) = x + 1 d) f (x) = (x 1) 2 4 e) f (x) = x 2 + 4 f) f (x) = (x + 1) 2 + 1 g) f (x) = (x 1) 3 + 1 h) f (x) = (x + 1) 3 i) f (x) = 2x 3 2 1.2 Exponentialfunktionen Skizzieren Sie den Graphen folgender Funktionen und bestimmen Sie jeweils die Asymptote. a) f (x) = e x 1 + 1 b) f (x) = e x 1 + 1 c) f (x) = e (x 1) + 2 d) f (x) = e x+1 + 1 11
1. Von der Gleichung zur Kurve 1.3 LK: Gebrochenrationale Funktionen Skizzieren Sie die Graphen von folgenden Funktionen und bestimmen Sie jeweils die Asymptoten. a) f (x) = 1 1 x+1 + 2 b) f (x) = x 1 c) f (x) = 1 x 1 2 d) f (x) = 1 (x+1) 2 1 e) f (x) = 1 (x+1) 2 f) f (x) = 1 (x 1) 2 + 2 1.4 LK: Logarithmusfunktionen Skizzieren Sie die Graphen von folgenden Funktionen und geben Sie jeweils den Definitionsbereich und die Asymptoten an. a) f (x) = lnx + 2 b) f (x) = ln(x + 2) c) f (x) = lnx 1 d) f (x) = ln(x 1) + 1 12
Tipps 1. Von der Gleichung zur Kurve Tipps Analysis 1 Von der Gleichung zur Kurve 1.1 Ganzrationale Funktionen Den Schnittpunkt mit der y-achse erhalten Sie durch Einsetzen von x = 0 in f (x), die Schnittpunkte mit der x-achse erhalten Sie durch Lösen der Gleichung f (x) = 0. Zuerst wird gespiegelt und gestreckt, anschließend verschoben (Reihenfolge beachten!). a) - c) Die Graphen sind Geraden. Hat eine Gerade die Gleichung y = mx + b, so ist b der y-achsenabschnitt und m die Steigung der Geraden. d) - i) Die Graphen sind Variationen der Graphen der beiden Grundfunktionen f (x) = x 2 (Parabel) oder g(x) = x 3 (kubische Parabel). Ist f (x) = a(x b) 2 + c bzw. g(x) = a(x b) 3 + c, so gibt es folgende Verwandlungen: a: Streckfaktor in y-richtung; a < 0: zusätzlich Spiegelung an der x-achse. b > 0 bzw. b < 0: Verschiebung nach rechts bzw. links. c > 0 bzw. c < 0: Verschiebung nach oben bzw. unten. 1.2 Exponentialfunktionen Zur Bestimmung der Asymptoten betrachten Sie f (x) für x ±. Die Graphen sind Variationen der Grundfunktionen f (x) = e x bzw. g(x) = e x. Ist f (x) = a e x b + c bzw. g(x) = a e (x b) + c, so gibt es folgende Verwandlungen: a: Streckfaktor in y-richtung; a < 0: zusätzlich Spiegelung an der x-achse. b > 0 bzw. b < 0: Verschiebung nach rechts bzw. links. c > 0 bzw. c < 0: Verschiebung nach oben bzw. unten. 1.3 Gebrochenrationale Funktionen Die Asymptoten der Graphen der Funktionen erhalten Sie, indem Sie den Nenner gleich Null setzen und f (x) für x ± betrachten. Die Graphen sind Variationen der Graphen der Grundfunktionen f (x) = 1 x bzw. g(x) = 1 x 2. Falls vor dem Bruch ein Minuszeichen steht, müssen Sie zuerst an der x-achse spiegeln und anschließend in x- bzw. y-richtung verschieben. Ist f (x) = x b a + c bzw. g(x) = a (x b) 2 + c, so gibt es folgende Verwandlungen: a: Streckfaktor in y-richtung; a < 0: zusätzlich Spiegelung an der x-achse. b > 0 bzw. b < 0: Verschiebung nach rechts bzw. links. c > 0 bzw. c < 0: Verschiebung nach oben bzw. unten. Asymptoten: x = b senkrechte Asymptote (Pol) und y = c waagrechte Asymptote. 85
2. Aufstellen von Funktionen mit Randbedingungen Tipps 1.4 Logarithmusfunktionen Zur Bestimmung des Definitionsbereichs müssen Sie beachten, dass das Argument der Logarithmusfunktion (der Ausdruck in der Klammer) stets positiv sein muss. Ist f (x) = a ln(x b) + c, so gibt es folgende Verwandlungen: a: Streckfaktor in y-richtung; a < 0: zusätzlich Spiegelung an der x-achse. b > 0 bzw. b < 0: Verschiebung nach rechts bzw. links. c > 0 bzw. c < 0: Verschiebung nach oben bzw. unten. 2 Aufstellen von Funktionen mit Randbedingungen 2.1 Ganzrationale Funktionen Für alle ganzrationalen Funktionen gilt: Parabel 2. Grades: f (x) = ax 2 + bx + c Zur y-achse symmetrische Parabel 2. Grades: f (x) = ax 2 + b Parabel 3. Grades: f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d Zum Ursprung punktsymmetrische Parabel 3. Grades: f (x) = ax 3 + bx Zum Aufstellen der Funktionen: 1. Bilden Sie die 1. und 2. Ableitung des jeweiligen Ansatzes (dies ist nicht nötig, falls es keine Angaben über die Steigung oder über die Extrempunkte gibt). 2. Verwenden Sie die Bedingungen der Kurvendiskussion: Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 Schnittpunkt mit der y-achse: x = 0 Extrempunkt: f (x) = 0 Wendepunkt: f (x) = 0 3. Sie brauchen so viele Gleichungen wie Unbekannte! Stellen Sie die Gleichungen auf und lösen Sie sie nach den Parametern (a, b, c,...) auf. 2.2 Exponentialfunktionen a) - e) Stellen Sie zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten auf, dazu müssen Sie eventuell noch ableiten. 86
Lösungen 1. Von der Gleichung zur Kurve Lösungen 1 Von der Gleichung zur Kurve 1.1 Ganzrationale Funktionen a) f (x) = 2 1x + 1 Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = 2 1 0 + 1 = 1 S(0 1) Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 bzw. 1 2x + 1 = 0 führt zu x = 2 N( 2 0) Es handelt sich um eine Gerade mit y-achsenabschnitt b = 1 und Steigung m = 1 2. b) f (x) = 3 4 x Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = 4 3 0 = 0 S(0 0) Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 bzw. 3 4x = 0 führt zu x = 0 N(0 0) Es handelt sich um eine Ursprungsgerade (Gerade durch den Koordinatenursprung) mit y-achsenabschnitt b = 0 und Steigung m = 3 4. c) f (x) = x + 1 Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = 1 0 + 1 = 1 S(0 1) Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 bzw. x + 1 = 0 führt zu x = 1 N(1 0) Es handelt sich um eine Gerade mit y-achsenabschnitt b = 1 und Steigung m = 1. a) g 1 : f (x) = 1 2 x + 1, b) g 2: f (x) = 3 4 x c) g 3: f (x) = x + 1 d) f (x) = (x 1) 2 4 Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = (0 1) 2 4 = 3 S(0 3) Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 bzw. (x 1) 2 4 = 0 führt zu x 1 = 3, x 2 = 1 N 1 (3 0), N 2 ( 1 0). Es handelt sich um eine Normalparabel, die um eine LE nach rechts und 4 LE nach unten verschoben wurde, d.h. eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitel bei (1 4). 129
1. Von der Gleichung zur Kurve Lösungen e) f (x) = x 2 + 4 Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = 0 2 + 4 = 4 S(0 4) Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 bzw. x 2 + 4 = 0 führt zu x 1 = 2, x 2 = 2 N 1 (2 0), N 2 ( 2 0). Es handelt sich um eine Normalparabel, die an der x-achse gespiegelt und dann um vier LE nach oben verschoben wurde, d.h. eine nach unten geöffnete Normalparabel mit Scheitel (0 4). d) f (x) = (x 1) 2 4 e) f (x) = x 2 + 4 f) f (x) = (x + 1) 2 + 1 Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = (0 + 1) 2 + 1 = 0 S(0 0) Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 bzw. f (x) = (x + 1) 2 + 1 = 0 führt zu x 1 = 0, x 2 = 2 N 1 (0 0), N 2 ( 2 0). Es handelt sich um eine Normalparabel, die an der x-achse gespiegelt und anschließend um eine LE nach links und eine LE nach oben verschoben wurde, d.h. eine nach unten geöffnete Normalparabel mit Scheitel ( 1 1). g) f (x) = (x 1) 3 + 1 Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = (0 1) 3 + 1 = 0 S(0 0) Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 bzw. f (x) = (x 1) 3 + 1 = 0 führt zu x = 0 N(0 0). Es handelt sich um eine kubische Parabel, die um eine LE nach rechts und eine LE nach oben verschoben wurde. h) f (x) = (x + 1) 3 Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = (0 + 1) 3 = 1 S(0 1) Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 bzw. f (x) = (x + 1) 3 = 0 führt zu x = 1 N( 1 0). Es handelt sich um eine kubische Parabel, die an der x-achse gespiegelt und anschließend um eine LE nach links verschoben wurde. 130
Lösungen 1. Von der Gleichung zur Kurve i) f (x) = 2x 3 2 Schnittpunkt mit der y-achse: f (0) = 2 0 3 2 = 2 S(0 2). Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = 0 bzw. f (x) = 2x 3 2 = 0 führt zu x = 1 N(1 0). Es handelt sich um eine kubische Parabel, die mit Faktor 2 in y-richtung gestreckt und um zwei LE nach unten verschoben wurde. f) f (x) = (x + 1) 2 + 1 g) f (x) = (x 1) 3 + 1 h) f (x) = (x + 1) 3 i) f (x) = 2x 3 2 1.2 Exponentialfunktionen a) f (x) = e x 1 + 1 Asymptote: x führt zu y = 1 (waagerechte Asymptote). Der Graph der Funktion g(x) = e x wurde um eine LE nach rechts und eine LE nach oben verschoben. b) f (x) = e x 1 + 1 Asymptote: x führt zu y = 1 (waagerechte Asymptote). Der Graph der Funktion g(x) = e x wurde an der x-achse gespiegelt und anschließend um eine LE nach rechts und eine LE nach oben verschoben. 131
1. Von der Gleichung zur Kurve Lösungen c) f (x) = e (x 1) + 2 Asymptote: x führt zu y = 2 (waagerechte Asymptote). Der Graph der Funktion g(x) = e x wurde um eine LE nach rechts und zwei LE nach oben verschoben. d) f (x) = e x+1 + 1 = e (x 1) + 1 Asymptote: x führt zu y = 1 (waagerechte Asymptote). Der Graph der Funktion g(x) = e x wurde an der x-achse gespiegelt und anschließend um eine LE nach rechts und eine LE nach oben verschoben. a) f (x) = e x 1 + 1 b) f (x) = e x 1 + 1 c) f (x) = e (x 1) + 2 d) f (x) = e x+1 + 1 1.3 Gebrochenrationale Funktionen a) f (x) = x+1 1 + 2 Asymptoten: x + 1 = 0 führt zu x = 1, senkrechte Asymptote (Pol); x ± führt zu y = 2 (waagerechte Asymptote), da der Bruchterm gegen Null geht. Der Graph von g(x) = 1 x wurde um eine LE nach links und zwei LE nach oben verschoben. 132
Lösungen 1. Von der Gleichung zur Kurve b) f (x) = x 1 1 Asymptoten: x 1 = 0 führt zu x = 1, senkrechte Asymptote (Pol); x ± führt zu y = 0 (waagerechte Asymptote), da der Bruchterm gegen Null geht. Der Graph der Funktion g(x) = 1 x wurde an der x-achse gespiegelt und anschließend um eine LE nach rechts verschoben. a) f (x) = x+1 1 1 + 2 b) f (x) = x 1 c) f (x) = 1 x 1 2 Asymptoten: x 1 = 0 führt zu x = 1, senkrechte Asymptote (Pol); x ± führt zu y = 2 (waagerechte Asymptote), da der Bruchterm gegen Null geht. Der Graph der Funktion g(x) = 1 x wurde an der x-achse gespiegelt und anschließend um eine LE nach rechts und zwei LE nach unten verschoben. d) f (x) = 1 1 (x+1) 2 Asymptoten: x + 1 = 0 führt zu x = 1, senkrechte Asymptote (Pol); x ± führt zu y = 1 (waagerechte Asymptote), da der Bruchterm gegen Null geht. Der Graph der Funktion g(x) = 1 wurde um eine LE nach links und eine LE nach unten x 2 verschoben. c) f (x) = x 1 1 1 2 d) f (x) = 1 (x+1) 2 133
1. Von der Gleichung zur Kurve Lösungen e) f (x) = 1 (x+1) 2 Asymptoten: x + 1 = 0 führt zu x = 1, senkrechte Asymptote (Pol); x ± führt zu y = 0 (waagerechte Asymptote), da der Bruchterm gegen Null geht. Der Graph der Funktion g(x) = 1 x 2 wurde an der x-achse gespiegelt und anschließend um eine LE nach links verschoben. f) f (x) = 1 (x 1) 2 + 2 Asymptoten: x 1 = 0 führt zu x = 1, senkrechte Asymptote (Pol); x ± führt zu y = 2 (waagerechte Asymptote), da der Bruchterm gegen Null geht. Der Graph der Funktion g(x) = 1 x 2 wurde an der x-achse gespiegelt und anschließend um eine LE nach rechts und zwei LE nach oben verschoben. e) f (x) = 1 (x+1) 2 f) f (x) = 1 (x 1) 2 + 2 1.4 Logarithmusfunktionen 134 a) f (x) = lnx + 2 Definitionsbereich: x > 0, senkrechte Asymptote: x = 0. Der Graph der Funktion g(x) = lnx wurde um zwei LE nach oben verschoben. b) f (x) = ln(x + 2) Definitionsbereich: x + 2 > 0 führt zu x > 2, senkrechte Asymptote: x = 2. Der Graph der Funktion g(x) = lnx wurde um zwei LE nach links verschoben. c) f (x) = lnx 1 Definitionsbereich: x > 0, senkrechte Asymptote: x = 0. Der Graph der Funktion g(x) = ln x wurde an der x-achse gespiegelt und anschließend um eine LE nach unten verschoben. d) f (x) = ln(x 1) + 1 Definitionsbereich: x 1 > 0 führt zu x > 1, senkrechte Asymptote: x = 1 Der Graph der Funktion g(x) = ln x wurde an der x-achse gespiegelt und anschließend um eine LE nach rechts und eine LE nach oben verschoben.
Lösungen 1. Von der Gleichung zur Kurve a) f (x) = lnx + 2 b) f (x) = ln(x + 2) c) f (x) = lnx 1 d) f (x) = ln(x 1) + 1 135