Aufgabenstellung: Bestimmen Sie die Schallgeschwindigkeit in Wasser und Ethanol über das mittels Debye- Sears-Verfahren bei 4 verschiedenen Frequenzen. Führen Sie eine Größtfehlerrechnung durch. Stichworte zur Vorbereitung: Beugung am Spalt und am Gitter, Brechzahl, Ultraschall, piezoelektrischer Effekt, stehende Wellen, Phasengitter, Debye-Sears-Effekt Literatur: F. Schenk, W. Kremer (Hrsg.), Physikalisches Praktikum, Kap. 4.2, 14. Auflage, Springer Verlag Berlin 2014 H. J. Eichler, H.-D. Kronfeldt, J. Sahm, Das Neue Physikalische Grundpraktikum, Kap. 13, Kap. 38, 2. Auflage, Springer Verlag Berlin 2006 19/05/2016 1/7
1. Theoretische Grundlagen Mechanische Schwingungen und Wellen Schwingungen und Wellen treten vor allem in zwei Erscheinungsformen auf, als elektromagnetische und mechanische, zeitlich bzw. räumlich periodische Zustandsänderungen. Grundsätzlich unterscheiden sich beide Formen dadurch, dass die elektromagnetische Schwingung bei der Ausbreitung in Form von Wellen keinerlei stoffliche Teilchen benötigen, während die mechanischen Schwingungen bei der Ausbreitung an Materie, und zwar an ein elastisches Medium gebunden sind. Als Schall bezeichnet man mechanische Schwingungen und Wellen kleiner Amplitude. Der Schallbereich wird wie folgt aufgeteilt: f < 16 Hz Infraschall 16 Hz bis 16000 Hz Hörschall (Akustik) 16000 Hz bis 10 10 Hz Ultraschall > 10 10 Hz Hyperschall Wird in einem deformierbaren Stoff eine Schwingung erregt, so bleibt diese nicht auf das Erregerzentrum beschränkt. Die benachbarten Teilchen werden durch die von der Schwingung hervorgerufenen elastischen Spannungen (Kopplung) ebenfalls angeregt. Dieser zeitlich und räumlich periodische Vorgang wird als Welle bezeichnet. Die für Schallwellen kleiner Amplitude gültige Wellengleichung! " # =!$ " c'!" # (1)!( " enthält wie die Bewegungsgleichung einer Schwingung die zweite Ableitung der betrachteten Größe nach der Zeit, zusätzlich jedoch die zweifache Ortsableitung. Darin bedeuten u die Elongation (Auslenkung) und c die Ausbreitungsgeschwindigkeit (Schallgeschwindigkeit). Gase und Flüssigkeiten besitzen eine Volumenelastizität, aber keine Formelelastizität, d. h. die Schallwelle kann sich nur als Druckwelle fortpflanzen, wobei die Teilchen in Fortpflanzungsrichtung schwingen (Longitudinalwelle). Im Festkörper können außerdem Transversalwellen und Torsionswellen vorkommen. Bei der räumlichen Ausbreitung grenzt an jedes Teilchen eine große Anzahl phasengleich schwingender Teilchen, die alle einer Fläche zugeordnet werden können, der Wellenfläche. Die Ausbreitungsrichtung der Welle stimmt mit der Flächennormalen überein. Alle akustischen Vorgänge sind also an ein Medium gebunden, sie sind weitgehend von der Art des Mediums und dessen akustischen Eigenschaften abhängig. Die wichtigsten akustischen Konstanten der Stoffe sind die Schallgeschwindigkeit, die Impedanz (Produkt aus Schallgeschwindigkeit und Dichte) und der Schallabsorptionsgrad. 19/05/2016 2/7
Erzeugung von Ultraschall Für die Ultraschallerzeugung wird in diesem Versuch ein piezoelektrischer Schwinger verwendet. In bestimmten Kristallen erfolgt infolge einer Deformation oder Dehnung eine Verschiebung der Ladungsschwerpunkte, so dass am Kristall dadurch eine Spannungsdifferenz messbar ist. Dieser Effekt wird als direkter piezoelektrischer Effekt bezeichnet. Andererseits werden durch das Anlegen eines elektrischen Feldes an solch einen Kristall elastische Spannungen und Deformationen erzeugt. Das ist der reziproke piezoelektrische Effekt. Letzterer wird hier angewandt, um Ultraschallwellen zu erzeugen. Praktische werden die piezoelektrischen Schwinger je nach der Form in Dicken-, Längs-, Ring- oder Rohrschwinger unterschieden. Im Versuch wird ein Dickenschwinger verwendet. Er besteht aus einer kreisrunden Platte, deren Dicke klein gegenüber dem Durchmesser ist. Die Dickenschwinger werden so gefertigt, dass beim Anlegen einer Wechselspannung an die beiden Elektroden nur in Richtung der Flächennormalen longitudinale Schwingungen ausgeführt werden, dass sich also die Dicke beim Schwingen im Rhythmus der Frequenz der angelegten Wechselspannung ändert. Stimmt die Frequenz der angelegten Wechselspannung mit der Eigenfrequenz des Schwingers überein (Resonanz), so werden intensive mechanische Dickenschwingungen ausgeführt. Diese Schwingungen regen die Teilchen des umgebenden Mediums ebenfalls an und es kommt zur Ausbildung einer Welle mit der Frequenz der angelegten Wechselspannung. Die Eigenfrequenz ist durch f = * '+, = *. - '+ (2) Dabei ist n die Ordnungszahl der Schwingung (n = 1, 3, 5, ), E der Elastizitätsmodul in Richtung der Dicke, ρ die Dichte und d die Dicke des Schwingers. Spezifische Eigenschaften und Effekte des Ultraschalls Ultraschallwellen zeigen eine Reihe von physikalischen Eigenschaften, die schon von der Akustik (Hörschallbereich) oder der Optik bekannt sind: Refleion, Brechung, Absorption, Interferenzbildung, stehende Wellen. Die auftretenden Effekte lassen sich in Primär- und Sekundäreffekte unterteilen. Primäreffekte sind u. a. der Schallstrahlungsdruck, die Wellenaufteilung und die Absorption. Die Sekundäreffekte unterteilt man grob in mechanische, thermische, elektrische, optische, in chemische und biologische Effekte. Hier wird nur auf einen optischen Effekt, der Bildung eines Phasengitters, näher eingegangen. Die in einer Flüssigkeit laufende Ultraschallwelle ist eine elastische Welle, bei der in regelmäßigen Abständen Verdichtungen und Verdünnungen hintereinander herlaufen. Der Abstand zweier aufeinanderfolgender Verdichtungen ist durch die Schallwellenlänge in der Flüssigkeit gegeben. 19/05/2016 3/7
Wird eine Schallwelle am Ende einer Flüssigkeit mit der Länge l reflektiert, so entstehen, wenn die Bedingung l = 9:, m = 1, 2, 3, (3) ' erfüllt ist, stehende Wellen, d. h. es eistieren in der Flüssigkeit ortsfeste Druckknoten und bäuche. Zonen mit sehr großen Druckgradienten wechseln sich mit solchen Zonen ab, in denen keine oder nur sehr geringe Druckgradienten auftreten. Die Druckgradienten können zeitlich verstanden werden, d. h. man betrachtet die Druckschwankungen!= > (?.onst.,$!$ während einer Schwingungsperiode an einen festen Ort, oder räumlich d. h. man betrachtet zu einem bestimmten Zeitpunkt die räumliche Änderung des Wechseldruckes p F!= > (,$?const.!$. p w n t=0 t= 1 T 4 t= 1 T 2 t= 3 T 4 rtliche Verteilung der Druck- bzw. der Brechzahl für 4 Zeitpunkt Abb. 1: Örtliche Verteilung der Druck- bzw. der Brechzahl für vier Zeitpunkte einer stehenden Schallwelle mit der Periodendauer T und der Wellenlänge λ. In Abb. 1 ist die Abhängigkeit des Schallwechseldrucks p F vom Ort für vier Zeitpunkte t einer stehenden Welle dargestellt. Infolge der Druckschwankungen ändert sich auch die Brechungzahl n der Flüssigkeit, wobei die Änderung des Brechungsinde Δn bei kleinen Amplituden als proportional zur Druckänderung p F betrachtet werden kann. In einer Flüssigkeit, in der sich eine stehende Schallwelle ausbilden konnte, wechseln sich also zu den Zeitpunkten t = 0 und t = N (T: Periodendauer der ' Schwingung) in der Ausbreitungsrichtung der Schallwelle Zonen mit relativ großer (n + Δn) und relativ kleiner (n Δn) Brechungzahl ab. Zu den Zeitpunkten t = N Q und t = RN Q hat die gesamte Flüssigkeit die gleiche Brechzahl. Durchquert Licht senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Ultraschalls die Flüssigkeit (Abb. 2), so ist für seine Brechung nicht die absolute Brechungzahl von Bedeutung, sondern 19/05/2016 4/7
dessen räumliche Änderung +*. Der Strahl wird zum optisch dichteren Medium hin gebrochen, d. h. +( zum Bereich des höheren Brechungsinde, also zum Bereich des höheren Drucks. Obwohl in den Druckbäuchen zeitlich gesehen die größten Druckschwankungen auftreten, ist die räumliche Änderung dort sehr gering. Dagegen ist +* am Ort der Druckknoten maimal. Daraus folgt, dass Teilstrahlen eines +( Strahlenbündels die Flüssigkeit im Zentrum der Druckbäuche ohne Brechung passieren können, während die Strahlteile, die die Flüssigkeit in der Nähe der Druckknoten durchdringen, abgelenkt werden (Abb. 2). pw, n Brechung von Licht an einer stehenden Ultrascha Abb.2: Brechung von Licht an einer stehenden Ultraschallwelle Zur Abbildung der periodischen Änderung des Brechungsindees, die durch stehende Schallwellen in einer Flüssigkeit hervorgerufen wird, können 2 Verfahren genutzt werden: Durchstrahlung der Versuchsflüssigkeit senkrecht zur Schallausbreitungsrichtung mit einem parallelen monochromatischen Lichtbündel (Debye-Sears-Effekt), Durchstrahlung der Versuchsflüssigkeit mit einem divergenten monochromatischen Lichtbündel (Zentralprojektion). Das erste Verfahren (Debye-Sears-Verfahren) soll in diesem Eperiment genutzt werden. Debye-Sears-Effekt Bei Verwendung von parallelem Licht wirkt die Ultraschallwelle wie ein Phasengitter, weil die periodischen Druckschwankungen mit entsprechenden Änderungen der Brechzahl einhergehen, und damit auch die Laufzeiten des Lichtes durch die Ultraschallwelle variieren. Letzteres führt zu einer Phasenverschiebung zwischen den Lichtstrahlen, je nachdem, ob diese einen Knoten oder einen Bauch der Ultraschallwelle durchqueren. Tritt das Licht senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Schallwelle durch das Medium, so kann auf einem Schirm in einem gewissen Abstand ein typisches Beugungsmuster mit mehreren Maima beobachtet werden. In einem jeden Maimum überlagern sich dabei von den benachbarten Druckknoten der Ultraschallwelle ausgehenden Teilstrahlen konstruktiv, 19/05/2016 5/7
d.h. die Phasenverschiebung beträgt an unter diesem Ablenkwinkel gerade ein ganzzahliges Vielfaches von 2π. Anschaulich ausgedrückt bedeutet das, dass sich Wellenberge der abgelenkten Lichtwellen überlagern, was zu hohen Intensitäten führt. Schematisch ist dies in Abbildung 3 gezeigt. Abb. 3: Schematische Darstellung des Versuchsaufbaus nach Debye-Sears. Bei Kenntnis der Entfernung s zwischen Ultraschallsonde und Beobachtungsschirm, kann nun aus dem Abstand zwischen +N -tem und N -tem Beugungsmaimum die Wellenlänge λ X der stehenden Ultraschallwelle aus der Wellenlänge λ Y des verwendeten Lichtes berechnet werden: λ X = 'Z: [\. (4) ( Mit der bekannten Frequenz des Ultraschalls f ergibt sich die Schallgeschwindigkeit c in der Flüssigkeit entsprechend c = λ X f = ']Z: [\. (5) ( 2. Versuchsdurchführung 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Justierschrauben zur Wandlerausrichtung Deckel Sondenhalterung Ultraschallsonde Feststellschraube für Laserdiode Einstellschlitz für Linsenhalterung Halterung für Laserdiode Feststellschraube für Ultraschallsonde Glasgefäß Abb. 4: Aufbau des Probengefäßes Die Erzeugung der stehenden Welle erfolgt in einem speziellen Probegefäß (siehe Abb. 3) aus Glas (9), in dessen Deckel (2) eine Sondenhalterung (3) integriert ist, die es ermöglicht, die Ultraschallsonde (4) mittels Stellschrauben (1) auf eakt senkrechten Einfall zu justieren. Zusätzlich ist eine senkrecht zur Schallachse angeordnete Laserhalterung (7) angebracht. Eine Linse (bei Bedarf einzubringen in die Linsenhalterung (6)) ist für den Debye-Sears-Versuch nicht erforderlich. 19/05/2016 6/7
Allgemeine Hinweise Folgende Hinweise sollten zum Gelingen des Versuchs beachtet werden: Beim Umgang mit Lasern ist besondere Vorsicht geboten. Reflektierende Gegenstände, wie z. B. Uhren und Ringe, sollten abgelegt werden, um unkontrollierte Refleionen zu vermeiden. An der Ultraschallsonde befindliche Luftblasen sind zu entfernen. Es sollten möglichst große Entfernungen zwischen Probengefäß und Projektionswand verwendet werden, um so die Abstände der Beugungsordnungen zu vergrößern und den Messfehler zu minimieren. Dazu wird der Lichtweg mit Spiegeln verlängert. Für die Berechnungen nach Gleichung (4) ist der tatsächlich zurückgelegte Lichtweg erforderlich! Beachten Sie bei der Abschätzung der Messunsicherheit, dass dafür mehrere Teilmessungen erforderlich sind. Wenn nicht gemessen wird, ist die Ultraschallsonde auszuschalten, um eine Erwärmung der Probenflüssigkeit zu vermeiden. Bei allen Frequenzen sollten bei höheren Spannungen mit guter Ausrichtung der Sonde mindestens zwei bis drei Beugungsordnungen sichtbar. Ggf. ist an den Justierschrauben ((1) in Abb. 4) systematisch nachzustellen. Die (teure) Ultraschallsonde kann bei unsachgemäßer Anwendung schnell zerstört werden. Es ist darauf zu achten, dass diese nur in Flüssigkeiten betrieben wird. Vor dem Herausnehmen muss sie unbedingt abgeschaltet werden. Am Ende des Versuches muss der Schallkopf außerdem getrocknet werden, da die Flüssigkeit sonst die Membran zerstören kann. Vermessen Sie für Wasser und Ethanol die Beugungsbilder für vier Frequenzen: 1 MHz, 2 MHz, 4 MHz sowie 8 MHz. Nutzen Sie die jeweils größtmögliche Beugungsordnung. 3. Hinweise zur Auswertung Berechnen Sie für jede Flüssigkeit und für jede Frequenz die Schallgeschwindigkeit aus dem Abstand der beobachteten Beugungsmaima entsprechend Gleichung (5). Bilden Sie den Mittelwert der Schallgeschwindigkeit für jede Flüssigkeit. Führen Sie eine Größtfehlerrechnung für Wasser bei 4 MHz durch. Der relative Fehler ^. kann für den Mittelwert und für beide Flüssigkeiten übernommen werden.. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse im Rahmen der Messunsicherheiten mit Tabellenwerten! 19/05/2016 7/7