. Umkehrfunktion 77 B e w e i s : Sei o.b.d.a. fa) > und fb) <, setzen M y [a, b] mit f) > für alle [a, y] M a M), M beschränkt y b) Aiom V ξ [a, b] : ξ sup M fa) f) n.z.z. : i) fξ) ii) ξ a, b) zu i): Annahme : fξ) fb) a b fξ) > f stetig fξ) < f stetig Widerspruch, d.h. fξ) δ > ξ δ, ξ + δ) : f) > ξ nicht obere Schranke von M η > ξ η, ξ +η) : f) < ξ nicht kleinste obere Schranke von M zu ii): fa)fb) < fa), fb) fξ) ξ [a, b] ξ a, b) Satz.3. Zwischenwertsatz) Es sei I ein Intervall offen, halboffen, abgeschlossen) und f) eine stetige Funktion mit Df) I. Ist α eine reelle Zahl mit inf f) : I < α < sup f) : I, so gibt es mindestens einen Punkt I mit f ) α. B e w e i s : Def. sup, inf, I : inf f) : I f ) < α < f ) sup f) : I, o.b.d.a. sei <, setzen h) : f) α, Dh) [, ], h) stetig, h ) <, h ) > Lemma.3.5, ) : h ) Df) : f ) α Bemerkung : Beim Übergang von einem Wert zu einem anderen Funktionswert nimmt eine stetige Funktion jeden dazwischen liegenden Wert mindestens einmal an. Ist f) : I nicht nach oben bzw. unten beschränkt, so setzt man sup f) : I : + bzw. inf f) : I :. Ist f) nicht stetig, dann gilt Satz.3. i.a. nicht. α f). Umkehrfunktion Ähnlich wie bei Matrizen linearen Abbildungen) sucht man für f : X Y die inverse bzw. Umkehrfunktion f : Y X mit f f id Y und f f id X. Begriffe f : Df) Y heißt surjektiv von... auf ), falls Y W f), d.h. y Y Df) : f) y f : Df) Y heißt injektiv eineindeutig), falls, Df) : f ) f ) f : Df) Y heißt bijektiv f surjektiv & injektiv
78 Reelle Funktionen sei f : Df) W f) bijektiv y W f)! Df) : y f), d.h. y f) eineindeutig f : W f) Df), y f y), Df ) W f)... Umkehrfunktion/inverse Funktion zu f f bijektiv f bijektiv, Df ) W f), W f ) Df) f f id W f), f f id Df), d.h. f f)), Df), f f y) ) y, y W f) f : X Y bijektiv, g : Y Z bijektiv g f) f g : Z X Definition.. Sei y f) mit Df) gegeben. i) f heißt monoton wachsend bzw. monoton fallend) in a, b) Df), falls f ) f ) bzw. f ) f ) ) für alle, mit a < < < b gilt. ii) f heißt streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend) in a, b) Df), falls f ) < f ) bzw. f ) > f ) ) für alle, mit a < < < b gilt. Das offene Intervall a, b) Df) heißt Monotonie-Intervall der Funktion f. Ist f in a, b) streng monoton, so ist sie eine eineindeutige Abbildung von Df) a, b) auf W f), es eistiert also die Umkehrfunktion f : W f) a, b). Möchte man f wieder als Funktion von darstellen, so vertauscht man - und y-achse Spiegelung an y ). fb) y f ) y f) y f) Γ f, y) : y f), Df), y) : f y), y W f), f)) f y), y ) Spiegelung y, f y) ) Umbenennung, f ) ) fa) a b Bemerkung : Sei f streng monoton wachsend und stetig auf [a, b] Satz.3. W f) [fa), fb)]. Satz.. Sei f streng monoton auf Df) a, b) und W f) y : y f), a, b). Dann ist f y) auf D f ) W f) streng monoton und stetig. B e w e i s : Strenge Monotonie von f ist klar; sei o.b.d.a. f streng monoton wachsend f streng monoton wachsend Sei y W f) a, b) : f ) y z.z. : f stetig in y, d.h. ε > δ > y W f), y y < δ : f y) f y ) < ε Sei ε > gegeben, f y) f y ) < ε f y ) ε < f y) < f y ) + ε ε :f y ) < f y) < + ε :f y )
. Umkehrfunktion 79 o.b.d.a. a < ε < + ε < b, setzen y : f ε), y : f + ε) Monotonie δ : miny y, y y ) y W f), y y < δ : y δ y y < y < y, < y < y + δ y y W f), y y < δ : y < y < y Monotonie < f y) < f y ) y W f), y y < δ : f y ) von f ε y W f), y y < δ : f y) f y ) < ε +ε Bemerkung : f) muss auf Df) a, b) nicht stetig sein, kann aber aufgrund der Monotonie dort höchstens Sprünge als Unstetigkeiten) besitzen, W f) W f) W f) W k f), f y und f auf einzelnen Intervallen definiert, D f ) k W f) W m f) m W f) f W f) Beispiel : ) Umkehrfunktionen zu f), Df) R Df) R f) nicht eineindeutig f eistiert nicht! aber : f ), Df ) [, ) streng monoton wachsend f ), Df ), ] streng monoton fallend f, f eistieren - - Umkehrfunktion von f ), Df ) [, )........................ W f ) [, ) f y) y, D f ) W f ) [, ), denn ) f f ) f f )) [, ) f f ) y) f f y)) y) y y [, ) Umkehrfunktion von f ), Df ), ]......................... W f ) [, ) f y) y, D f ) W f ) [, ), denn ) f f ) f f )), ] f f ) y) f f y)) y) y) y y [, )
8 Reelle Funktionen ) Umkehrfunktion zu f) 3, Df) R f) 3 auf Df) R streng monoton wachsend Umkehrfunktion f eistiert auf W f) R: 3 y, y [, ) f y) 3 y, y, ] - f f ) ) f f)) f 3) 3 3, 3 [, ) -, [, ) - - 3 3, 3, ],, ], R f f ) y) f f y) ) f 3 ) 3 y), y [, ) 3 y y, y [, ) f 3 y ), y, ] 3 y) 3 y), y, ] y, y R.5 Elementare Funktionen Die Eponentialfunktion ep) n ep) :, R, Dep) R n Konvergenz für alle R: siehe Beispiel nach Folg. 3..9 5 Eigenschaften der Eponentialfunktion 5 e ) ep + y) ep) epy): Beispiel nach Satz 3..3 e ) ep) : klar ep), R: Annahme: R : ep ) e ) ep) ep) 3 e ) ep) stetig auf R: n y k n y k sei y < : epy) y k! k! y ε sei ε >, R, < δ, wählen δ < min, ep) ep ) ), y, e) e ) ep) > für alle R : k k -3 - - 3 ) l ep), [ 3, 3] l + )! ep) ep) y ep) ep ) ep ) ep ) ep ) ep) < ε > <δ Annahme : ξ R : epξ) e ) η R : epη) < e ) Widerspruch R : ep + ξ) ep) ) epη) epη)) > Satz.3. ) γ : epγ)
.5 Elementare Funktionen 8 5 e ) ep) streng monoton wachsend auf R : h k Sei h > eph) + h + k! k k h k k! > > + h > Sei nun < y h : y > epy) ep + h) ep) > e ) ep) e + n ) n) + n+ n Q ep) e eph) > ep) > 7 e ) e : o.b.d.a. > 5 e ) e > + ) e + ) 8 e ) e k, k N : e k > k+ k + )! k k + )! 9 e ) e e, R : e) ep) e) ep) ep ) e e e ) e : folgt aus 7 e ), 9 e ) e ) k e, k N : k e e) k e y yk e y y y k e y 8 e) e ) e : e n n n n + n n stetig, Der natürliche Logarithmus ln) log ln ep ),, ).5.5 Umkehrfunktion von ep) e, R 5 e ) wohldefiniert gemäß Abschnitt. nach Eigenschaft.5 -.5 - Dln ) W e ) e ),7 e ), e ) Eigenschaften der Logarithmusfunktion, ) l ) ln ist auf, ) streng monoton wachsend und stetig folgt aus Satz.. und 5 e )) l ) ln y) ln + ln y,, y > : lny) ln e ln e ln y ) ln + ln y eln +ln y 3 l ) ln : ln ln e -.5 - -.5-8 ln,, ] l ) ln k) k ln, >, k Z : folgt aus l ), 3 l ) 5 l ) ln : Dln ) W e ) y R : e y, ln : analog 5 e), 7 e), e) ln y - e & ln e y y y y
8 Reelle Funktionen l ) ln : folgt analog aus e) Bemerkung : Es gilt + n e n), R : Sei R, setzen a n : + n ln a n l ) a n a n a n ln ) + n n l ) ln + ) n n ln + ) n, ep Funktion stetig n + n [ n) ep ln + ) n ] n ep stetig [ ep ln + ) n ] n e Die Funktionen a, Für a > definiert man log a und α a : e ln a, Da ) R, a >. a streng monoton fallend, a <, a streng monoton wachsend, a > Umkehrfunktion eistiert für a >, a Bezeichnung der Umkehrfunktion zu a : log a, a >, a, >, d.h. Dlog a ), ) Bemerkung : Rechtfertigung der Schreibweise : a n e n ln a l ) e lnan ) a n, n N 8 8 - - - 8 a.7) a & log a, < a < - 8 a 5) a & log a, a > Weiterhin definiert man α : e α ln, D α ), ), α R.